Preliminärt lösningsförslag - omtentamen i Finansiell statistik,

Transkript

1 Preliminärt lösningsförslag - omtentamen i Finansiell statistik, Uppgift 1a) y x P(Y = y) -1 1/16 3/16 1/16 5/16 0 3/16 0 3/16 6/16 1 1/16 3/16 1/16 5/16 P(X = y) 5/16 6/16 5/16 1 E[X] = ( 1) = 0 E[Y] = ( 1) = 0 V[X] = ( 1 0) (0 0) (1 0) = V[Y] = ( 1 0) (0 0) (1 0) = E[XY] = ( 1) ( 1) ( 1) = 0 Cov[X,Y] = E[XY] E[X]E[Y] = 0 0 = 0 Corr[X,Y] = 0 b) X och Y är oberoendeom och endastom P(X = x) P(Y = y) = P(X = x,y = y) för alla kombinationer av (x,y). Testar man detta ser man att: P(X = 1) P(Y = 0) = = P(X = 1,Y = 0) = 16 Då det finns åtminstånde en kombination av (x, y) där ovanstående relation inte håller, är X och Y beroende (inte oberoende), detta trots att Corr[X,Y] = 0. c) Cov[X,Y] = E[(X µ X )(Y µ Y )] = E[XY Xµ Y Yµ X +µ X µ Y ] = E[XY] E[Xµ Y ] E[Yµ X ]+E[µ X µ Y ] = E[XY] µ Y E[X] µ X E[Y]+µ X µ Y = E[XY] µ Y µ X µ X µ Y +µ X µ Y = E[XY] µ X µ Y 1

2 Uppgift 2a-c) Eftersom datat är uppdelat i tre perioder är ett 3-punkters glidande medelvärde lämpligt. Tertial X t Xt X t /Xt Korrigerat SI Säsongsrensad X t Säsongsindex: år tertial1 tertial2 tertial Median Säsongsindex Korrigeringsfaktorn: = Korrigerade säsongsindex: Tertial = Tertial = Tertial = Till följd av förvirrande direktiv på lektionerna ges även full poäng till de som korrekt har beräknat korrigerade säsongsindex baserat på medelvärden istället för medianer. d) En nackdel med att använda glidande medelvärden är att metoden inte baserar sig på en matematisk modell. Detta skapar problem eftersom man då inte kan använda sig av de vanliga inferensverktygen, t.ex beräkna konfidensintervall eller utföra en hypotesprövning. 2

3 Uppgift 3a) och b) Genom att beräkna första differensen på Y t, dvs. Z t = Y t Y t 1, blir serien stationär. Z t pendlar bara mellan värdena 1 och 2 och serien har därför ett konstant väntevärde z = 1.5 och varians vilket är krav för stationäritet. t y t y t 1 z t z t 1 z t z z t 1 z * * * * * * 0.5 * Då vi har en AR(1)-modell med drift fås skattningen av φ 1 som: ˆφ 1 = 2010 t=2002 (zt z)(z t 1 z) 2010 = ( 0.5) ( 0.5)+...+( 0.5) 0.5 t=2001 (zt z) ( 0.5) ( 0.5) = = 0.9 c) Den anpassade AR(1) modellen är: z t = z t 1 Eftersom att z t = y t y t 1 kan vi utveckla AR(1) modellen: (y t y t 1 ) = (y t 1 y t 2 ) y t = y t y t 2 +y t 1 = y t y t 2 Prognosmodellen ser då ut på följande sätt: ŷ t+1 = y t +0.9y t 1 Stoppar man sedan in värden från Y t så får man prognosen: ŷ 2011 = y y 2009 = = Används ˆφ 1 = 0.4 fås att ŷ 2011 =

4 d) Utgångspunkten är en Random Walk-modell utan drift, Y t = Y t 1 +ǫ t, där p rognosmodellen har följande utseende: ŷ t+1 = y t Eftersom prognosmodellen inte inkluderar parametrar, är det prognosen för en tidsperiod lika med det observerade värdet från föregående tidsperiod: ŷ 2011 = y 2010 = 18 Uppgift 4a) Då alla diagonalelement i övergångsmatrisen är lika med 0 så kommer ett tillstånd aldrig att upprepas mellan två tidsperioder. Tillståndet E 1 kommer aldrig att övergå till E 1, osv. Den praktiska innebörden blir att aktien aldrig kommer att ha samma typ av prisförändring två dagar i följd. b) Övergångsmatrisen av andra ordningen fås som: P (2) = Där varje element i P (2) fås som: p (2) 11 p (2) 12 p (2) = = = 0.28 = = = = c) Då utfallet den första dagen redan är känt, blir detta utgångspunkten för beräkningen. Startpunkten är tillståndet E 2 och efter tre övergångar (från dag 1 till dag 4) befinnersig aktien i E 1. Övergångssannolikheten vi söker är p (3) 21 vilken fås från övergångsmatrisen av tredje ordningen, P(3) = P P (2). P (3) = I matrisen finns p (3) 21 = =

5 Uppgift 5a) E[Z t ] = E[δ +a t +θ 1 a t 1 ] = E[δ]+E[a t ]+E[θ 1 a t 1 ] = δ +E[a t ]+θ 1 E[a t 1 ] = δ Eftersom att E[a t ] = E[a t 1 ] = 0 b) Sannolikheten som efterfrågas är P(X(5) < 2) alternativt P(10 + X(5) < 8). För att beräkna sannolikheten uttrycks X(t) i termer av den standardiserade Brownska Rörelsen B(t). X(t) N(tµ,tσ 2 ) X(t) tµ N(0,1) tσ 2 B(t) N(0,t) B(1) N(0,1) X(t) tµ tσ 2 = B(1) X(t) = tσ 2 B(1)+tµ Där N(0, 1) är en standard-normalfördelning. Stoppar man in värden på parametrarna, t = 5,σ a 2 = 0.8 och µ = 0.1, fås att X(5) = 2B(1) Detta uttryck ger sannolikheten: P(X(5) < 2) = P(2B(1)+0.5 < 2) = P(B(1) < 2.5 ) = P(Z < 1.25) 2 P(Z < 1.25) = [enligt tabell] = = 10.56% c) Det x-värde vi söker är det som löser följande ekvation: 0.75 = e x 1+e x Om man möblerar om uttrycket fås att: 0.75(1+e x ) = e x e x = e x 0.75 = e x 0.75e x 0.75 = 0.25e x 3 = e x ln3 = lne x ln3 = x x = ln

6 d) Eftersom X 1 kan uttryckas som en linjärkombination av X 2 så finns ett multikollinearitetsproblem. Man kan då inte se en unik effekt av respektive variabel och parameterskattningarna från modellen kommer inte att vara väntevärdesriktiga. Matematisk lösning: Y = β 0 +β 1 (3+7X 2 )+β 2 X 2 +ǫ = β 0 +3β 1 +7β 1 X 2 +β 2 X 2 +ǫ = (β 0 +3β 1 )+(7β 1 +β 2 )X 2 +ǫ Man ser då att modellens nya intercept (β 0 + 3β 1 ) och lutning (7β 1 + β 2 ) överskattar de sanna parametervärdena β 0 och β 2. e) Laspeyres Index = P L 0 t = n i=1 (ptq 0) n i=1 (p 0q 0 ) 100 Paasches Index = P P 0 t = n i=1 (ptqt) n i=1 (p 0q t) 100 Stoppar man in värden för p och q i de olika formlerna fås följande indexvärden då man summerar över alla n=3 varor: P L = P L = P P = P P =