TENTAMEN GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER
|
|
- Bernt Hellström
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Statistiska institutionen Frank Miller Dan Hedlin Skrivtid: TENTAMEN GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER Hjälpmedel: Miniräknare utan lagrade formler eller text, bifogade tabeller och bifogad formelsamling Tentamensgenomgång och återlämning: tisdagen den 8 april kl i hörsal 3 (B3). Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset. Uppgift 1-5: Svar lämnas på SVARSBILAGA. Uträkningar lämnas ej in till dessa. Uppgift 6: Fullständiga svar lämnas in på vanligt skrivpapper. För full poäng krävs tydliga, utförliga och väl motiverade lösningar. Tentamen kan ge totalt 50 poäng. Betygskriterier A: p B: p C: p D: p E: p F: 0-24 p Lösningsförslag till denna tentamen finns ute på kurshemsidan senast kl 17. LYCKA TILL!
2 Uppgift 1 I en matsal finns en vegetarisk rätt. 30% av kvinnorna som äter i matsalen väljer den vegetariska rätten. 22% av männen väljer den vegetariska rätten. 40% av matsalens kunder är kvinnor, 60% män. a) Vad är sannolikheten att högst 2 av 5 slumpmässigt utvalda kvinnor väljer den vegetariska rätten? Anta oberoende observationer. (2p) A B C D E b) Vad är sannolikheten att minst 3 av 5 slumpmässigt utvalda män väljer den vegetariska rätten? Anta oberoende observationer. A B C D E (2p) c) Vilken andel av alla kunder väljer den vegetariska rätten? (2p) A B C D E d) Vad är sannolikheten att en slumpmässigt utvald kund av dem som äter den vegetariska rätten är en kvinna? (2p) A B C D E
3 Uppgift 2 a) Man antar att längden av 24 månader gamla flickor är normalfördelad med medelvärde 85 cm och standardavvikelse 3 cm. Vad är sannolikheten att en slumpmässigt utvald flicka är mellan 79 cm och 91 cm? (2p) A B C D E b) Man antar att längden av 24 månader gamla pojkar är normalfördelad med medelvärde 86 cm och standardavvikelse 3 cm. Vad är sannolikheten att en slumpmässigt utvald pojke är mellan 73 cm och 83 cm? (2p) A B C D E c) Anta att vi har observationer x 1, x 2,, x t från en tidsserie och vi vill prognostisera värdet vid tidpunkt t+1. Vi betraktar följande metoder för att beräkna en prognos för tid t+1: Holt- Winters metod; glidande medelvärde av de sista m observationerna; enkel exponentiell utjämning med parametern α. Nedan är fem påståenden: fyra är rätt, ett är fel. Vilket av följande påståenden är inte rätt: (3p) A. Om man beräknar prognosen med enkel exponentiell utjämning, får senare tidpunkter större vikt än tidigare tidpunkter. B. Holt-Winters metod tar hänsyn till en eventuell tidstrend. C. Metoden med glidande medelvärde tar hänsyn till en eventuell tidstrend. D. Man kan välja en eller flera parametrar för Holt-Winters metod. E. Prognosen för tid t+1 är lika med x t om man använder glidande medelvärden med m=1.
4 Uppgift 3 En bilhandlare har data över säljpris (i svenska kronor) och körda mil från 10 sålda begagnade bilar av samma modellfabrikat och samma modellår. Handlaren ställer upp en enkel linjär regressionsmodell där säljpris är beroende variabel och körda mil är oberoende variabel i modellen. Medelvärdet för körsträckan av dessa 10 bilar är mil och variansen är Medelvärdet för säljpriset är SEK. Kovariansen mellan körsträckan och säljpriset är a) Beräkna minsta-kvadratskattningen b 0 för interceptet i regressionsmodellen. Vilket av alternativen A-E är rätt? (2p) A B C D E b) Beräkna minsta-kvadratskattningen b 1 för lutningsparametern i regressionsmodellen. Vilket av alternativen A-E är rätt? (2p) A B C D E De 10 bilarna hade alla en komplett ifylld servicebok. Bilhandlaren lägger nu till data från 8 bilar av samma modellfabrikat och samma modellår som inte hade en komplett ifylld servicebok. Eftersom att bilhandlaren tror att informationen om serviceboken har betydelse för säljpriset definieras en variabel som anger om serviceboken är komplett ifylld (1=ja, 0=nej). Handlaren ställer nu upp en multipel regressionsmodell där säljpris är beroende variabel och de två variabler körda mil och servicebok är oberoende variabler i modellen. Delar av resultatet från modellanpassningen i Excel redovisas i följande tabell:
5 UTDATASAMMANFATTNING Regressionsstatistik Multipel-R 0,9731 R-kvadrat 0,9469 Justerad R-kvadrat 0,9398 Standardfel 1490,5318 Observationer 18 ANOVA fg KvS Regression ,8 Residual ,5 Totalt ,3 Koefficienter Standardfel t-kvot p-värde Konstant 53789, ,340 23,142 0,0000 mil -1,642 0,132-12,414 0,0000 servicebok 2913, ,944 3,646 0,0024 c) Prediktera säljpriset för en bil som har kört mil och har en korrekt ifylld servicebok. Vilket av alternativen A-E är rätt? (3p) A SEK B SEK C SEK D SEK E SEK d) Två hypotesprövningar med signifikansnivå α ska genomföras för att testa om 1) körda mil har betydelse för säljpriset 2) en korrekt ifylld servicebok har betydelse för säljpriset. Vilket av alternativen A-E är rätt? (2p) A. Med nivå α=0.05 har vi stöd för att körda mil har betydelse men har inte stöd för att serviceboken har betydelse. B. Med nivå α=0.05 har vi stöd för att både körda mil och serviceboken har betydelse. C. Med nivå α=0.001 har vi stöd för att serviceboken har betydelse men har inte stöd för att körda mil har betydelse. D. Med nivå α=0.001 har vi varken stöd för att serviceboken eller körda mil har betydelse. E. Med nivå α=0.001 har vi stöd för att både körda mil och serviceboken har betydelse.
6 Uppgift 4 En investerare tänker välja bland 3 fonder (A, B och C) och kan eventuellt också dela upp investeringen. Baserad på kursernas utveckling under de senaste åren utgår man för alla tre fonder från en förväntad årlig kursuppgång på 5%, dvs. en investering av 1000 kr förväntas bli 1050 kr efter ett år. Värdet efter ett år antas vara normalfördelad och standardavvikelsen för värdet av en 1000 kronors investering efter ett år är 120 kr för alla tre fonderna. Tabell 1 visar korrelationskoefficienterna mellan A, B och C. Beräkningen av korrelationskoefficienterna är baserad på hur kurserna varierat de senaste åren. Till exempel är korrelationen mellan kursen för fond A och fond B medan korrelationen mellan fond A och C är noll. Anta att fonderna fortsätter att utveckla sig som de har gjort de senaste åren, alltså som framgår av Tabell 1 och beskrivet ovan. Tabell 1 A B C A 1 B C Notera att: Cov(X,Y)=Corr(X,Y) Var(X) Var(Y) a) Investeraren satsar 2000 kr i fond A. Vad är sannolikheten att det blir förlust, dvs. att kapitalet är <2000 kr efter ett år? A B C D E (2p) b) Investeraren delar upp sin satsning på 2000 kr och satsar 1000 kr i fond B och 1000 kr i fond C. Vad är sannolikheten att det blir förlust, dvs. att sammanlagda kapitalet är <2000 kr efter ett år? (4p) A B C D E c) Investeraren kan välja att antingen satsa 2000 kr på en enda fond eller satsa 1000 kr på en och 1000 kr på en annan fond. Om investeraren vill ha så låg risk som möjligt i den meningen att sannolikheten att förlora något av de investerade pengarna ska vara så liten så möjligt under det närmaste året, vilket av följande alternativ A-E är bäst? (4p) A kr i fond B B kr i fond C C kr i fond A och 1000 kr i fond B D kr i fond A och 1000 kr i fond C E kr i fond B och 1000 kr i fond C
7 Uppgift 5 Antal döda i trafikolyckor registreras. Skillnaden från år till år framgår i tabell 2. Antal är antal döda per 100 miljoner fordonskilometer och diff är differensen mellan aktuellt år och förgående år. I slutet av året 1996 genomfördes en trafiksäkerhetskampanj. Tabell 2 år antal diff x Under åren är förändringarna 0.2, 0.1, -0.1, 0.2. Under åren är de -0.2, -0.2, -0.2, -0.5, 0.0 vilka antas vara normalfördelade och oberoende av varandra. En analytiker vill testa om det är någon skillnad i dessa förändringar under åren och åren Hon anpassar en linjär regressionsmodell till data, med diff som beroende variabel (n=9). Som oberoende variabel kodar hon varje år som 0 och varje år som 1, vilket framgår i tabellen. Hon får resultaten i tabell 3, b j är koefficienten för interceptet respektive den oberoende variabeln, s.e.( b j ) är standardavvikelsen av skattningen för b j och t( b j ) är test-variabeln att användas för ett dubbelsidigt t-test av nollhypotesen att b j = 0. Tabell 3 b j s.e.( b j ) t( b j ) intercept x Nollhypoteserna i vardera av de två-sidiga t-testen är 1. koefficienten för interceptet är noll 2. koefficienten för den oberoende variabeln är noll. a) Hur många frihetsgrader har fördelningarna för dessa t-test-variabler? (2p) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10 b) Signifikansnivån är 0.05 (5%). Vilket av följande alternativ är rätt: (3p) A. Såväl nollhypotesen 1 som nollhypotesen 2 kan förkastas. B. Nollhypotesen 1 kan förkastas men inte nollhypotesen 2. C. Nollhypotesen 2 kan förkastas men inte nollhypotesen 1. D. Ingen av nollhypoteserna kan förkastas. E. Inget av alternativen A, B, C eller D är rätt.
8 Använd samma data som förut. Utför ett t-test av hypotesen att det inte är någon skillnad i diff i de två grupper som definieras av variabeln x. Se åren som ett stickprov och åren som ett annat stickprov. I båda stickproven observeras diff. Stickproven är oberoende av varandra. I tabell 4 ges medelvärdena och varianserna för diff. Antag att diff är normalfördelad och att variansen av diff i grupp x=0 och i grupp x=1 är lika. Tabell 4 Medelvärde av diff Varians av diff, s 2 x= x= c) Vad blir värdet på testvariabeln? (3p) A B C D E
9 Uppgift 6 Två olika läkemedel, Anomit och Bunomit, används för långtidsbehandling av en kronisk sjukdom. Med en hälsoekonomisk studie vill man undersöka om de två läkemedlen skiljer sig med avseende på sjukdomsrelaterade kostnader (t.ex. kostnader för läkarbesök, behov av andra läkemedel, indirekta kostnader p.g.a. frånvaro från arbetet under sjukskrivningen) som patienterna har under ett år. Man klassificerar därför 44 patienter behandlade med Anomit och 46 patienter behandlade med Bunomit i en av fyra kostnadsgrupper (låga, mellanhöga, höga, mycket höga kostnader relaterade till sjukdomen under ett år): Låga kostnader Mellanhöga kostnader Höga kostnader Mycket höga kostnader Total Anomit Bunomit Genomför ett signifikanstest för att testa hypotesen att kostnaderna inte beror av typ av läkemedel. Använd signifikansnivån α=0.05 (5%). Redovisa samtliga steg i hypotesprövningen och tolka din slutsats i ord. (8p)
10 Tabeller över statistiska fördelningar 2013 Michael Carlson Statistiska institutionen, Stockholms universitet
11 INNEHÅLL TABELL 1. Normalfördelningen, standardiserad... 4 TABELL 2. Normalfördelningens kvantiler, standardiserad... 5 TABELL 3. t-fördelningens kvantiler... 6 TABELL 4. χ2-fördelningens kvantiler... 8 TABELL 7. Binomial-fördelningen; n = Michael Carlson, Statistiska inst., Sthlm:s univ. 3
12 TABELL 1. Normalfördelningen, standardiserad Φ(z) = P(Z z) där Z N(0, 1). P(Z z) För negativa värden, utnyttja att Φ(-z) = 1 Φ(z). z z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , Michael Carlson, Statistiska inst., Sthlm:s univ.
13 TABELL 2. Normalfördelningens kvantiler, standardiserad Z N(0, 1). Vilket värde har z α om P(Z > z α ) = α där α är en given sannolikhet. Utnyttja även Φ(-z) = 1 Φ(z) för P(Z -z α ). z α P(Z > z α ) = α α z α 0,1 1,2816 0,05 1,6449 0,025 1,9600 0,010 2,3263 0,005 2,5758 0,0025 2,8070 0,0010 3,0902 0,0005 3,2905 0, ,4808 0, ,7190 0, ,8906 0, ,0556 0, ,2649 0, , Michael Carlson, Statistiska inst., Sthlm:s univ. 5
14 TABELL 3. t-fördelningens kvantiler T t(ν) där ν = antal frihetsgrader. Vilket värde har t α om P(T > t α ) = α där α är en given sannolikhet. Utnyttja även P(T -t α ) = P(T > t α ). t α P(T > t α ) = α ν α = 0,1 0,05 0,025 0,010 0,005 0,0025 0,0010 0, ,078 6,314 12,706 31,821 63, , , , ,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,089 22,327 31, ,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,215 12, ,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8, ,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6, ,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5, ,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5, ,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5, ,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4, ,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4, ,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4, ,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4, ,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4, ,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787 4, ,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4, ,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 4, ,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3, ,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3, ,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3, ,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3, ,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3, ,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3, ,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3, ,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3, ,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3, ,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3, ,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3, ,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3, ,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3, ,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3, ,306 1,690 2,030 2,438 2,724 2,996 3,340 3, ,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3, ,301 1,679 2,014 2,412 2,690 2,952 3,281 3, ,299 1,676 2,009 2,403 2,678 2,937 3,261 3, ,297 1,673 2,004 2,396 2,668 2,925 3,245 3, ,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 3,232 3, ,295 1,669 1,997 2,385 2,654 2,906 3,220 3, ,294 1,667 1,994 2,381 2,648 2,899 3,211 3, ,293 1,665 1,992 2,377 2,643 2,892 3,202 3,425 Forts. nästa sida Michael Carlson, Statistiska inst., Sthlm:s univ.
15 TABELL 3 forts. t-fördelningens kvantiler ν α = 0,1 0,05 0,025 0,010 0,005 0,0025 0,0010 0, ,292 1,664 1,990 2,374 2,639 2,887 3,195 3, ,292 1,663 1,988 2,371 2,635 2,882 3,189 3, ,291 1,662 1,987 2,368 2,632 2,878 3,183 3, ,291 1,661 1,985 2,366 2,629 2,874 3,178 3, ,290 1,660 1,984 2,364 2,626 2,871 3,174 3, ,288 1,657 1,979 2,357 2,616 2,858 3,157 3, ,287 1,655 1,976 2,351 2,609 2,849 3,145 3, ,286 1,654 1,974 2,348 2,604 2,843 3,137 3, ,286 1,653 1,972 2,345 2,601 2,839 3,131 3, ,284 1,650 1,968 2,339 2,592 2,828 3,118 3, ,284 1,649 1,966 2,336 2,588 2,823 3,111 3, ,283 1,648 1,965 2,334 2,586 2,820 3,107 3, ,282 1,646 1,962 2,330 2,581 2,813 3,098 3, ,282 1,646 1,961 2,328 2,578 2,810 3,094 3, ,282 1,645 1,961 2,328 2,577 2,809 3,093 3, ,282 1,645 1,961 2,327 2,577 2,809 3,092 3, ,282 1,645 1,960 2,327 2,577 2,808 3,092 3, Michael Carlson, Statistiska inst., Sthlm:s univ. 7
16 TABELL 4. χ 2 -fördelningens kvantiler Q χ 2 (ν) där ν = antal frihetsgrader. Vilket värde har q α om P(Q > q α ) = α där α är en sannolikhet. ν α = 0,999 0,995 0,99 0,975 0,95 0,05 0,025 0,01 0,005 0, ,000 0,000 0,000 0,001 0,004 3,841 5,024 6,635 7,879 10, ,002 0,010 0,020 0,051 0,103 5,991 7,378 9,210 10,597 13, ,024 0,072 0,115 0,216 0,352 7,815 9,348 11,345 12,838 16, ,091 0,207 0,297 0,484 0,711 9,488 11,143 13,277 14,860 18, ,210 0,412 0,554 0,831 1,145 11,070 12,833 15,086 16,750 20, ,381 0,676 0,872 1,237 1,635 12,592 14,449 16,812 18,548 22, ,598 0,989 1,239 1,690 2,167 14,067 16,013 18,475 20,278 24, ,857 1,344 1,646 2,180 2,733 15,507 17,535 20,090 21,955 26, ,152 1,735 2,088 2,700 3,325 16,919 19,023 21,666 23,589 27, ,479 2,156 2,558 3,247 3,940 18,307 20,483 23,209 25,188 29, ,834 2,603 3,053 3,816 4,575 19,675 21,920 24,725 26,757 31, ,214 3,074 3,571 4,404 5,226 21,026 23,337 26,217 28,300 32, ,617 3,565 4,107 5,009 5,892 22,362 24,736 27,688 29,819 34, ,041 4,075 4,660 5,629 6,571 23,685 26,119 29,141 31,319 36, ,483 4,601 5,229 6,262 7,261 24,996 27,488 30,578 32,801 37, ,942 5,142 5,812 6,908 7,962 26,296 28,845 32,000 34,267 39, ,416 5,697 6,408 7,564 8,672 27,587 30,191 33,409 35,718 40, ,905 6,265 7,015 8,231 9,390 28,869 31,526 34,805 37,156 42, ,407 6,844 7,633 8,907 10,117 30,144 32,852 36,191 38,582 43, ,921 7,434 8,260 9,591 10,851 31,410 34,170 37,566 39,997 45, ,447 8,034 8,897 10,283 11,591 32,671 35,479 38,932 41,401 46, ,983 8,643 9,542 10,982 12,338 33,924 36,781 40,289 42,796 48, ,529 9,260 10,196 11,689 13,091 35,172 38,076 41,638 44,181 49, ,085 9,886 10,856 12,401 13,848 36,415 39,364 42,980 45,559 51, ,649 10,520 11,524 13,120 14,611 37,652 40,646 44,314 46,928 52, ,222 11,160 12,198 13,844 15,379 38,885 41,923 45,642 48,290 54, ,803 11,808 12,879 14,573 16,151 40,113 43,195 46,963 49,645 55, ,391 12,461 13,565 15,308 16,928 41,337 44,461 48,278 50,993 56, ,986 13,121 14,256 16,047 17,708 42,557 45,722 49,588 52,336 58, ,588 13,787 14,953 16,791 18,493 43,773 46,979 50,892 53,672 59, ,811 15,134 16,362 18,291 20,072 46,194 49,480 53,486 56,328 62, ,057 16,501 17,789 19,806 21,664 48,602 51,966 56,061 58,964 65, ,324 17,887 19,233 21,336 23,269 50,998 54,437 58,619 61,581 67, ,611 19,289 20,691 22,878 24,884 53,384 56,896 61,162 64,181 70, ,916 20,707 22,164 24,433 26,509 55,758 59,342 63,691 66,766 73, ,239 22,138 23,650 25,999 28,144 58,124 61,777 66,206 69,336 76, ,576 23,584 25,148 27,575 29,787 60,481 64,201 68,710 71,893 78, ,929 25,041 26,657 29,160 31,439 62,830 66,617 71,201 74,437 81, ,295 26,511 28,177 30,755 33,098 65,171 69,023 73,683 76,969 84, ,674 27,991 29,707 32,357 34,764 67,505 71,420 76,154 79,490 86,661 Forts. nästa sida Michael Carlson, Statistiska inst., Sthlm:s univ.
17 TABELL 4 forts. χ 2 -fördelningens kvantiler ν α = 0,999 0,995 0,99 0,975 0,95 0,05 0,025 0,01 0,005 0, ,173 31,735 33,570 36,398 38,958 73,311 77,380 82,292 85,749 93, ,738 35,534 37,485 40,482 43,188 79,082 83,298 88,379 91,952 99, ,362 39,383 41,444 44,603 47,450 84,821 89,177 94,422 98, , ,036 43,275 45,442 48,758 51,739 90,531 95, , , , ,757 47,206 49,475 52,942 56,054 96, , , , , ,520 51,172 53,540 57,153 60, , , , , , ,320 55,170 57,634 61,389 64, , , , , , ,155 59,196 61,754 65,647 69, , , , , , ,022 63,250 65,898 69,925 73, , , , , , ,918 67,328 70,065 74,222 77, , , , , , ,755 83,852 86,923 91,573 95, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,446 P(Q > q α ) = α (ex. 0,99) P(Q > q α ) = α (ex. 0,05) q α q α 2013 Michael Carlson, Statistiska inst., Sthlm:s univ. 9
18 TABELL 7. Binomial-fördelningen; n = 2 9 P(X x) där X Bin(n, p). För p > 0,5, utnyttja att P(X x) = P(Y n-x) där Y Bin(n, 1-p) n x p = 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Michael Carlson, Statistiska inst., Sthlm:s univ.
19
20 Additionssatsen: P (A B) = P (A)+P (B) P (A B) Multiplikationssatsen P (A B) = P (A B)P (B) = P (B A)P (A) Satsen om total sannolikhet: k P(B) = P(A i )P(B A i ) i=1 Bayes Sats: P(A B) = P(A)P(B A) P(B) Väntevärde för en diskret stokastisk variabel X: E(X) = µ X = alla xx P(x) Varians för en diskret stokastisk variabel X: ( ) Var(X) = E(X 2 ) µ 2 X = x 2 P(x) µ 2 X = X ) alla x(x µ 2 P(x) alla x Kovarians mellan två diskreta stokastiska variabler X och Y: Cov(X,Y) = E(XY) µ X µ Y = xyp(x,y) µ X µ Y alla x alla y 2
21 Räkneregler för väntevärden och varianser (a, b och c är konstanter, X och Y är stokastiska variabler): E(c) = c E(cX) = ce(x) E(c+X) = c+e(x) E(aX +by) = ae(x)+be(y) Var(c) = 0 Var(cX) = c 2 Var(X) Var(c+X) = Var(X) Var(aX +by) = a 2 Var(X)+b 2 Var(Y)+2abCov(X,Y) Binomialfördelningen: ( ) n P (x) = P x (1 P) n x = x n! x!(n x)! Px (1 P) n x E(X) = np Var(X) = np(1 P) Z = X µ σ N(0,1) om X N(µ,σ) Väntevärde och varians för urvalsmedelvärdet n i=1 X = X i n där alla X 1,X 2,...,X n är oberoende och har väntevärde µ och varians σ 2 : E ( X ) = µ Var ( X ) = σ2 n 3
22 Stratifierat urval: X str = Var(X str ) = L W i X i i=1 L i=1 W 2 i Var(X i ) där W i = N i N Ändlighetskorrektion (OSU utan återläggning, liten population): Konfidensintervall för µ: N n N 1 = (1 n N n 30 σ 2 känd: x±z α/2 ( oavsett om ( populationen är σ 2 okänd: x±z α/2 normalfördelad eller ej n < 30 σ 2 känd: x±z α/2 ( populationen är ( normalfördelad σ 2 okänd: x±t υ,α/2 ) ) σ n ) s n ) σ n ) s n n < 30 populationen är ej normalfördelad Konfidensintervall kan inte beräknas Konfidensintervall för P: ˆp±z α/2 ˆp(1 ˆp) n 4
23 Konfidensintervall för µ x µ y (Oberoende stickprov): n x 30, n y 30 σ 2 x, σ 2 y känd: (x ȳ)±z α/2 σ 2 x n x + σ2 y n y oavsett om populationerna är normalfördelade eller ej σ 2 x, σ 2 y okänd: (x y)±z α/2 s 2 x n x + s2 y n y n x < 30, n y < 30 σ 2 x, σ 2 y känd: (x y)±z α/2 σ 2 x n x + σ2 y n y populationerna är normalfördelade σ 2 x, σ 2 y okänd: (x y)±t υ,α/2 s 2 p (men antas lika) ( ) 1 n x + 1 n y där s 2 p = (nx 1)s2 x +(ny 1)s2 y n x+n y 2 n x < 30, n y < 30 populationerna är ej normalfördelade Konfidensintervall kan inte beräknas Konfidensintervall för P x P y : (ˆp x ˆp y )±z α/2 ˆp x (1 ˆp x ) n x + ˆp y(1 ˆp y ) n y 5
24 Testvariabler vid test av hypotes om µ: n 30 σ 2 känd: Z = X µ 0 σ/ n oavsett om populationen är normalfördelad eller ej σ 2 okänd: Z = X µ 0 s/ n n < 30 σ 2 känd: Z = X µ 0 σ/ n populationen är normalfördelad σ 2 okänd: t = X µ 0 s/ n Testvariabel vid test av hypotes om P: Z = ˆp P 0 P 0 (1 P 0 ) n 6
25 Testvariabler vid test av hypotes om µ x µ y (Oberoende stickprov): n x 30, n y 30 σx, 2 σy 2 känd: Z = (x y) D 0 σ 2 x nx +σ2 y ny oavsett om populationerna är normalfördelade eller ej σx, 2 σy 2 okänd: Z = (x ȳ) D 0 s 2 x nx + s2 y ny n x < 30, n y < 30 σx, 2 σy 2 känd: Z = (x y) D 0 σ 2 x nx +σ2 y ny populationerna är normalfördelade σx, 2 σy 2 okänd: t = (x y) D 0 (men antas lika) s 2 p ( 1 nx + 1 ny där s 2 p = (nx 1)s2 x +(ny 1)s2 y n x+n y 2 ) n x < 30, n y < 30 populationerna är ej normalfördelade Konfidensintervall kan inte beräknas Testvariabel vid test av hypotes om P x P y : Z = ˆp x ˆp y ( ˆp 0 (1 ˆp 0 ) 1 n x + 1 n y ) där ˆp 0 = n xˆp x +n yˆp y n x +n y 7
26 Testvariabler för χ 2 -test: K χ 2 (O i E i ) 2 = r χ 2 = i=1 i=1 j=1 E i c (O ij E ij ) 2 E ij där E i = np i där E ij = R ic j n Linjär regression: Y i = β 0 +β 1 x i +E i ŷ i = b 0 +b 1 x i b 1 = n i=1 (x i x)(y i y) n i=1 (x i x) 2 = xi y i ( x i )( y i ) n x 2 i ( x i ) 2 n = s xy s 2 x = r xy s y s x b 0 = y b 1 x SST = SST = SSR + SSE n (y i y) 2 n SSR = (ŷ i y) 2 SSE = i=1 MSR = SSR K R 2 = SSR SST i=1 = 1 SSE SST MSE = SSE n K 1 F = MSR MSE n (y i ŷ i ) 2 i=1 Konfidensintervall för β j : b j ±t υ,α/2 s bj Testvariabel vid test av hypotes om β j: t = b j β j s bj Testvariabel vid test av hypotes om ρ: t = r n 2 1 r 2 8
27 Tillägg: Uppgift 2a och 2b: Tredje decimalen i de svarsalternativ är fel. Välj ditt svar baserad på de första två decimaler (avrundad).
28
29
30
31
32
33
34
Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie
Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie TENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2012-03-16 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Miniräknare utan lagrade formler eller text, bifogade
Läs merStockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie
Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie TENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2011-10-28 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Miniräknare utan lagrade formler eller text, bifogade
Läs merOMTENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Termeh Shafie OMTENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2012-04-16 Skrivtid: 15.00-20.00 Hjälpmedel: Miniräknare utan lagrade formler eller text,
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merTentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl
Karlstads universitet Avdelningen för nationalekonomi och statistik Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema
Läs merFormler och tabeller till kursen MSG830
Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)
Läs merSkriftlig Tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5 hp, HT2012
Statistiska Institutionen Patrik Zetterberg Skriftlig Tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5 hp, HT2012 2013-01-18 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller
Läs merMultipel Regressionsmodellen
Multipel Regressionsmodellen Koefficienterna i multipel regression skattas från ett stickprov enligt: Multipel Regressionsmodell med k förklarande variabler: Skattad (predicerad) Värde på y y ˆ = b + b
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merTENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1 2012-10-03 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merTentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle
Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Lärare: Mikael Elenius, 2006-08-25, kl:9-14 Betygsgränser: 65 poäng Väl Godkänt, 50 poäng
Läs merTENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-20 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:
Läs merTentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp
Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.
Läs merF18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT 1.1, 13.1-13.6, 13.8-13.9) Modell för multipel linjär regression Modellantaganden: 1) x-värdena är fixa. ) Varje y i (i = 1,, n) är
Läs merF14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.2, , 11.5) Hypotesprövning för en proportion. Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva
Stat. teori gk, ht 006, JW F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10., 10.4-10.5, 11.5) Hypotesprövning för en proportion Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva H 0 : P = P 0 mot någon av H 1 : P P 0 ; H
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merStockholms Universitet Statistiska institutionen Patrik Zetterberg
Stockholms Universitet Statistiska institutionen Patrik Zetterberg Skriftlig Tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5 hp, VT2012 2012-05-31 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan
Läs merTENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Ellinor Fackle-Fornius TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2009-10-29 Skrivtid: 15.00-20.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Tentamen består
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merTentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 16 augusti, 2017 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen 6.5 hp AT1MS1 DTEIN16h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 1 juni 2017 Tid: 14-18 Hjälpmedel: Miniräknare Totalt antal
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merGRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER
Statistiska institutionen Annika Tillander TENTAMEN GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2015-04-23 Skrivtid: 16.00-21.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller text, samt bifogade
Läs merExempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor
Kontinuerliga stokastiska variabler Exempel En stokastisk variabel är kontinuerlig om den kan anta vilka värden som helst i ett intervall, men sannolikheten för varje enskilt utfall är noll: P(X = x) =.
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 augusti 2008 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus
Läs merTENTAMEN I REGRESSIONSANALYS OCH TIDSSERIEANALYS
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Marcus Berg VT2014 TENTAMEN I REGRESSIONSANALYS OCH TIDSSERIEANALYS Fredag 23 maj 2014 kl. 12-17 Skrivtid: 5 timmar Godkända hjälpmedel: Kalkylator utan
Läs merTENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-01 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:
Läs merStatistisk försöksplanering
Statistisk försöksplanering Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Skriftlig tentamen 3 hp 51SF01 Textilingenjörsutbildningen Tentamensdatum: 2 November Tid: 09:00-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merTentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder.
Tentamen 2014-12-05 i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling med tabeller. C1. (6 poäng) Ange för
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs merTentamen på Statistik och kvantitativa undersökningar STA001, 15 hp. Exempeltenta 4
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för hållbar samhälls- och teknikutveckling Statistik Tentamen på Statistik och kvantitativa undersökningar STA001, 15 hp Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare (Formelsamling bifogas
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 14
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merStat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT
Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT Jointly distributed Joint probability function Marginal probability function Conditional probability function Independence
Läs merLösningsförslag till tentamen på. Statistik och kvantitativa undersökningar STA100, 15 hp. Fredagen den 13 e mars 2015
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för ekonomi, samhälle och teknik Statistik Lösningsförslag till tentamen på Statistik och kvantitativa undersökningar STA100, 15 hp Fredagen den 13 e mars 015 1 a 13 och 14
Läs merUppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 205 KL 4.00 9.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merUppgift a b c d e Vet inte Poäng
TENTAMEN: Dataanalys och statistik för I2, TMS135 Fredagen den 12 mars kl. 8:45-11:45 på V. Jour: Jenny Andersson, ankn 8294 (mobil:070 3597858) Hjälpmedel: Utdelad formelsamling med tabeller, BETA, på
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merPreliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet
Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merfaderns blodgrupp sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 2015 KL 14.00 19.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merBestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel-
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 TILLÄMPAD STATISTIK, ONSDAGEN DEN 7:E APRIL 09 KL 8.00 3.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 8649 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merTMS136: Dataanalys och statistik Tentamen
TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 013-08-7 Examinator och jour: Mattias Sunden, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkänd räknare och formelsamling (formelsamling delas ut med tentan). Betygsgränser:
Läs merTMS136. Föreläsning 13
TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1913 MATEMATISK STATISTIK FÖR IT OCH ME ONSDAGEN DEN 12 JANUARI 2011 KL 14.00 19.00. Examinator: Camilla Landén, tel. 7908466. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merKorrelation kausalitet. ˆ Y =bx +a KAPITEL 6: LINEAR REGRESSION: PREDICTION
KAPITEL 6: LINEAR REGRESSION: PREDICTION Prediktion att estimera "poäng" på en variabel (Y), kriteriet, på basis av kunskap om "poäng" på en annan variabel (X), prediktorn. Prediktion heter med ett annat
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 13 januari
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 13 januari 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merDel I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson,
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson, 5--9 Lösningförslag skriftlig hemtentamen i Fortsättningskurs i statistik, moment, Statistisk Teori, poäng. Deltentamen : Sannolikhetsteori
Läs merTentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 22 december, 2016 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman.
Läs merMatematisk statistik, Föreläsning 5
Matematisk statistik, Föreläsning 5 Ove Edlund LTU 2011-12-09 Ove Edlund (LTU) Matematisk statistik, Föreläsning 5 2011-12-09 1 / 25 Laboration 4 Jobba i grupper med storlek 2 Ove Edlund (LTU) Matematisk
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 februari
STOCKHOLMS UIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 februari 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida
Läs merTT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng
Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-08-31 Tid:
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 15:E AUGUSTI 201 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 849. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merMatematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS64/TMS63 Tentamen 29-8-2 Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs merFöreläsning 3. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 3 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Inferens om två populationer (kap 8.1 8.) o Parvisa observationer (kap 9.1 9.) o p-värde (kap 6.3) o Feltyper, styrka, stickprovsstorlek
Läs merLufttorkat trä Ugnstorkat trä
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 och SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 18:E OKTOBER 2012 KL 14.00 19.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig
Läs merTENTAMEN I SF2950 (F D 5B1550) TILLÄMPAD MATEMATISK STATISTIK, TORSDAGEN DEN 3 JUNI 2010 KL
TENTAMEN I SF950 (F D 5B1550) TILLÄMPAD MATEMATISK STATISTIK, TORSDAGEN DEN 3 JUNI 010 KL 14.00 19.00 Examinator : Gunnar Englund, tel. 790 7416, epost: gunnare@math.kth.se Tillåtna hjälpmedel: Formel-
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F1
Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Kap 3: Enkel linjär regression Linda Wänström Linköpings universitet November 4, 2013 Wänström (Linköpings universitet) F1 November 4, 2013 1 / 25 Statistik B, 8 hp
Läs merFöreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F1
Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Kap 3: Enkel linjär regression Linda Wänström Linköpings universitet May 4, 2015 Wänström (Linköpings universitet) F1 May 4, 2015 1 / 25 Regressions- och tidsserieanalys,
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs merTenta i Statistisk analys, 15 december 2004
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 27 oktober
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 27 oktober 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida
Läs merFöreläsning G60 Statistiska metoder
Föreläsning 7 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Hypotesprövning för två populationer Populationsandelar Populationsmedelvärden Parvisa observationer Relation mellan hypotesprövning och konfidensintervall
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merTentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl
Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema och tabellsamling (dessa skall returneras). Egen
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.
Läs merTentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 2: Statistik 7.5 hp
Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 2: Statistik 7.5 hp 15 januari, 2014 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Typgodkänd miniräknare
Läs merHypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University
Hypotesprövning Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Liksom konfidensintervall ett hjälpmedel för att
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B508 MATEMATISK STATISTIK FÖR S TISDAGEN DEN 20 DECEMBER 2005 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 746. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merF3 Introduktion Stickprov
Utrotningshotad tandnoting i arktiska vatten Inferens om väntevärde baserat på medelvärde och standardavvikelse Matematik och statistik för biologer, 10 hp Tandnoting är en torskliknande fisk som lever
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2015-10-23 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Jesper Martinsson,
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 216 FACIT: Matematik 3 för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik 3 för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 216-1-21 kl. 8.3-12.3
Läs mer7,5 högskolepoäng. Statistisk försöksplanering och kvalitetsstyrning. TentamensKod: Tentamensdatum: 28 oktober 2016 Tid: 9.
Statistisk försöksplanering och kvalitetsstyrning Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Tentamen 4I2B KINAF4, KINAR4, KINLO4, KMASK4 7,5 högskolepoäng Tentamensdatum: 28 oktober 206 Tid:
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 17 februari
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 17 februari 2010 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312,
Läs merFöreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 4 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Icke-parametriska test Mann-Whitneys test (kap 8.10 8.11) Wilcoxons test (kap 9.5) o Transformationer (kap 13) o Ev. Andelar
Läs merFöreläsning 12: Linjär regression
Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera
Läs merFöreläsning 8. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 8 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Enkel linjär regression (kap 17.1 17.5) o Skatta regressionslinje (kap 17.2) o Signifikant lutning? (kap 17.3, 17.5a) o Förklaringsgrad
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs merStatistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1
Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning Kurskod: 732G7, 8 hp Lärare och examinator: Ann-Charlotte (Lotta) Hallberg Lärare och lektionsledare: Isak Hietala Labassistenter Kap 3,-3,6. Läs
Läs merTentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset.
Statistiska institutionen Nicklas Pettersson Skriftlig tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5hp, HT2013 2014-02-07 Skrivtid: 13.00-18.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad
Läs merBild 1. Bild 2 Sammanfattning Statistik I. Bild 3 Hypotesprövning. Medicinsk statistik II
Bild 1 Medicinsk statistik II Läkarprogrammet T5 HT 2014 Anna Jöud Arbets- och miljömedicin, Lunds universitet ERC Syd, Skånes Universitetssjukhus anna.joud@med.lu.se Bild 2 Sammanfattning Statistik I
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2017-08-22 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Jourhavande lärare: Mykola
Läs mer1/23 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet
1/23 REGRESSIONSANALYS F4 Linda Wänström Statistiska institutionen, Stockholms universitet 2/23 Multipel regressionsanalys Multipel regressionsanalys kan ses som en utvidgning av enkel linjär regressionsanalys.
Läs merb) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.
Läs merTentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 29 oktober, 2016 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:
Läs mer