TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004, TEN

Transkript

1 TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004, TEN Hjälpmedel: Formler och tabeller i statistik, räknedosa Fullständiga lösningar erfordras till samtliga uppgifter. Lösningarna skall vara väl motiverade och så utförliga att räkningarna och de bakomliggande tankarna är lätta att följa. Lösningarna skall renskrivas och avslutas med ett tydligt svar som skall vara så förenklat som möjligt. Examinator: Stefan Eriksson Betygsgränser: Betyget Fx: 8p, betyget E: 9 poäng, betyget D: 1 poäng, betyget : 15p, betyget B: 17 poäng, betyget A: 19poäng 1 I en låda ligger 15 kulor av vilka endast 5 är röda. Man tar på måfå 5 kulor utan återläggning. Beräkna sannolikheten att man får a) ingen röd kula b) minst röda kulor (p) Låt P ( 0,3; 0,4 och B 0, 5. (p) a) Bestäm A b) Bestäm P ( A B ) 3 En tid, t, mäts 10 gånger Mätning Tid (s) 14,8 14, ,6 14,8 14,8 14,8 14,9 14,6 14,7 Bestäm ett 99 % konfidensintervall för t. (p) 4 Inför ett husbygge måste man spränga bort en bit ur ett berg med höjden h. Den bestäms genom att man står vid punkten P och mäter vinkeln α och sträckan x, se figur. Sträckan får då väntevärdet 46,8 m och standardavvikelsen 0,006 m. Vinkeln får väntevärdet 0,318 radianer och standardavvikelsen 0,005 radianer. Bestäm höjdens standardavvikelse med hjälp av Gaussapproximation. (p) Var god vänd!

2 5 I ett samhälle gäller att sannolikheten att en person har mer än kr/mån är 0,45. De som tjänar mer än kr bor i villa med sannolikheten 0,85. De som tjänar mindre än kr/mån bor i villa med sannolikheten 0,35. Bestäm sannolikheten för att en person som bor i villa tjänar mer än kr/mån. (p) 6 Låt ξ och η vara oberoende stokastiska variabler med ξ Po( 3) och h Bin(,0.5). Bestäm P ( ξ +η 1). (p) 7 Byggare Bob skall bygga bostadsrätter och funderar över hur många rum det skall vara i lägenheterna. Produktionskostnaden är för en etta är 1, miljoner kr och sedan ökar kostnaden med 0,5 miljoner kr för varje rum, se tabell. Priset på lägenheterna ses också i tabellen. På sista raden ges efterfrågan på olika lägenheter, dvs sannolikheten att en kund köper lägenheten inom rimlig tid. Vidare får Bob en extrakostnad på kr för de lägenheter som inte blir sålda i tid. Dessa osålda lägenheter kan dock säljas vidare till ett annat bolag så man får tillbaka produktionskostnaden. Hur många rum skall lägenheterna ha om byggföretagets förväntade vinst skall bli så stor som möjligt? Antal rum Byggkostnad 1, 1,7,8,7 3, Försäljningspris,9 3,4 3,9 4, 4,8 Efterfrågan (%) Felsannolikheten för en vara är 4 %. Vad är sannolikheten att man får minst 40 och högst 60 felaktiga varor om man köper ett parti om 100? 9 En viss hållfastighet antas vara ξ N(µ,0,9) Enhet MN. Vid 5 bestämningar erhölls medelvärdet 8,71. Bestäm ett konfidensintervall för µ med konfidensgrad 99 % som är ensidigt uppåt begränsat dvs. av typen ],a ] (p)

3 FAIT: 1 I en låda ligger 15 kulor av vilka endast 5 är röda. Man tar på måfå 5 kulor utan återläggning. Beräkna sannolikheten att man får a) ingen röd kula b) minst röda kulor a) ( 0,0839) b) minst röda) 1 0 röda) 1röd) där 1 röd) minst röda) ( 0,566) Låt P ( 0,3; 0,4 och B 0, 5. (p) a) Bestäm A b) Bestäm P ( A B ) B P ( B 0,5 0,5 B 0,3 0,5 0, 15 a ) A + 0,3 + 0,4 0,15 0,55 b) Figuren ger att A B ) 0,3 0,15 0,15 A B ) 0,3 0,15 A B ) 0,5 B ) 0,6 0,6 3 En tid, t, mäts 10 gånger Mätning Tid (s) 14,8 14, ,6 14,8 14,8 14,8 14,9 14,6 14,7 Bestäm ett 99 % konfidensintervall för t. (p)

4 3 α n 10 n % α 1-0,99 0,01 14, , ,8 + 14,9 x 14,74 10 (14,6-14,74) + 3(14,7-14,74) + 4(14,8-14,74) s 9 s 0, ,0966 intervallet blir : 0, ,74-3,50 10 [ 14.64, 14,84] är ett 99% konfidensintervall, 0,005 0, ,74 + 3, (14,9-14,74) t 0,005 (9) 3,50 0, Inför ett husbygge måste man spränga bort en bit ur ett berg med höjden h. Den bestäms genom att man står vid punkten P och mäter vinkeln α och sträckan x, se figur. Sträckan får då väntevärdet 46,8 m och standardavvikelsen 0,006 m. Vinkeln får väntevärdet 0,318 radianer och standardavvikelsen 0,005 radianer. Bestäm höjdens standardavvikelse med hjälp av Gaussapproximation. (p) 4 h x h h V(h(x,α) σx + σ x α h h sinα xcosα x α V(h) s sinα ( sin0,318) 0,006 + ( 46,8cos0,318) 0,0483 0,m h xsinα α 0,005 0,0483m 5 I ett samhälle gäller att sannolikheten att en person har mer än kr/mån är 0,45. De som tjänar mer än kr bor i villa med sannolikheten 0,85. De som tjänar mindre än kr/mån bor i villa med sannolikheten 0,35. Bestäm sannolikheten för att en person som bor i villa tjänar mer än kr/mån. (p)

5 5 A Tjänar mer än 30000, B : Bori villa p( 0,45 0,85 p( A 0,665 p( 0,45 0,85 + 0,55 0,35 6 Låt ξ och η vara oberoende stokastiska variabler med ξ Po( 3) och h Bin(,0.5). Bestäm P ( ξ +η 1). (p) 6 ξ + η 1) ξ 1 η 0) + ξ 0 η 1) 3 1 e 3 0 ξ 1) η 0) + ξ 0) η 1) 0,5 0,5 1! 0 [ Oberoende] 3 0 e ,5 0,5 0,06 0! 1 7 Byggare Bob skall bygga bostadsrätter och funderar över hur många rum det skall vara i lägenheterna. Produktionskostnaden är för en etta är 1, miljoner kr och sedan ökar kostnaden med 0,5 miljoner kr för varje rum, se tabell. Priset på lägenheterna ses också i tabellen. På sista raden ges efterfrågan på olika lägenheter, dvs sannolikheten att en kund köper lägenheten inom rimlig tid. Vidare får Bob en extrakostnad på kr för de lägenheter som inte blir sålda i tid. Dessa osålda lägenheter kan dock säljas vidare till ett annat bolag så man får tillbaka produktionskostnaden. Hur många rum skall lägenheterna ha om byggföretagets förväntade vinst skall bli så stor som möjligt? Antal rum Byggkostnad 1, 1,7,8,7 3, Försäljningspris,9 3,4 3,9 4, 4,8 Efterfrågan (%) Enhet: miljoner kronor: Ett rum: Förtjänst vi försäljning:,9-1, 1,7 E(vinsten) 1,7 0, - 0,1 0,8 0,6 Två rum: Förtjänst vi försäljning: 3,4-1,7 1,7 E(vinsten) 1,7 0,4-0,1 0,6 0,6 Tre rum: Förtjänst vi försäljning: 3,9-, 1,7 E(vinsten) 1,7 0,3-0,1 0,7 0,44 Fyra rum: Förtjänst vi försäljning: 4,,7 1,5 E(vinsten) 1,5 0,1-0,1 0,6 0,06 Fem rum: Förtjänst vi försäljning: 4,8 3, 1,6 E(vinsten) 1,6 0-0,1 0,8 0,08 Den förväntade vinsten är högst på en tvårummare, kr, allstå skall det vara tvårumslägenheter. 8 Felsannolikheten för en vara är 4 %. Vad är sannolikheten att man får minst 40 och högst 60 felaktiga varor om man köper ett parti om 100?

6 8 ξ Bin(100,0.04) antal felaktiga np(1 p) 100 0,04 0,96 46,08 > 10 GS ξ N( , 46,08) N(48,6,79) ξ 60) Φ(60) Φ(40) Φ( ) Φ( ) 6,79 6,79 Φ(1,77) Φ( 1,18) 0,846 9 En viss hållfastighet antas vara ξ N(µ,0,9) Enhet MN. Vid 5 bestämningar erhölls medelvärdet 8,71. Bestäm ett konfidensintervall för µ med konfidensgrad 99 % som är ensidigt uppåt begränsat dvs. av typen ],a ] (p) 9 (, a], σ är känt, x 8,71 σ 0,9 n 5 σ (, x + la ] Φ( x) 0,99 l a,363 n 0,9 Intervall : (, 8,71 +,363 ] 5 S var : (, 9.187]