Svar till gamla tentamenstal på veckobladen

Transkript

1 Svar till gamla tentamenstal på veckobladen Data/Eletro 4 A Patienten är ett allvarligt fall B Patienten är under 4 år C Någon av patientens föräldrar har diabetes a) P(A).4 och P(C) d.v.s. P(A) P(C) medan P(A C).8 d.v.s. A och C är beroende b) ) P(A C B C + ) P(patienten är ett lindrigt fall över 4 år).3 ) P(A C B C ) P(patienten är inte ett allvarligt fall under 4 år) P(A B)..9 3) P(A C B C C ) P(patienten är ett lindrigt fall under 4 år vars föräldrar inte har diabetes). Data 989 herrar och n damer ) varje herre kysser n damer antal kyssar n ) antal handskakningar mellan herrar n antal handskakningar mellan damer Antal kyssar antal handskakningar n n + 4 n ( n ) n + 3n + (n - n) n - 3n + n 3 96 ± n 3 ± n och n OBS! Två svar 4

2 Data/Eletro 733 A: Den svarta tärningen kommer upp med 6 ögon. B: Den vita tärningen kommer upp med 6 ögon. C: Summan av antal ögon på den svarta och den vita tärningen är udda. a) Om A och B är oberoende så gäller att P(A B) P(A) P(B) Ovannämnda situation kan illustreras genom att man ritar in de olika tal-paren i ett spridningsdiagram. kast med tärning tärningarna visar vilka antal ögon som tärning och har. tärningarna visar 6 ögon på både tärning och kast med tärning P(A) P(B) 6 P(A B) (enligt ovanstående figur) 36 P(A) P(B) P(A B) A och B är oberoende b) Denna situation kan illustreras av nedanstående figur kast med tärning tärningarna visar vilka antal ögon som tärning och har. tärningarna visar när summan av antal ögon är udda kast med tärning Uppgiften fortsätter på nästa sida

3 fortsättning uppgift: P(A) 6 8 P(C) 36 P(A C) (fås mha den översta raden svarta prickar i ovanstående figur) 36 3 P(A) P(C) 6 P(A C) A och C är oberoende c) Är de tre händelserna A, B och C oberoende eller beroende av varandra? P(A B C) eftersom det inte finns någon situation där både tärning och har 6 ögon samtidigt som summan av antal ögon skall vara udda. P(A) P(B) P(C) P(A B C) A, B och C är beroende. Bygg 99 Låt F vara händelsen att vi erhållit det felaktiga myntet. P(F). P(F C ).99. a) Låt K vara händelsen att vi erhållit en klave i ett kast. Sannolikheten för K blir givetvis olika beroende på vilket mynt vi har valt. Vi får alltså en betingad sannolikhet. Vi antar att mynten är symmetriska. Alt : Myntet, som vi har valt är inte det felaktiga. P(K).. Men uppgiften bestod i att vi skulle studera tre kast. Variabeln antal klavar är binomialfördelad. Sannolikheten att få tre klavar i tre kast när vi använder ett felfritt mynt blir 3 P(K K K 3 )... 3 Alt : Vi har valt det felaktiga myntet. P(K).. Eftersom vi erhåller klave varje gång vi kastar så blir även sannolikheten för att erhålla tre klavar i tre kast P(K K K 3 ). Vi kombinerar båda dessa resultat för att få sannolikheten att med ett slumpmässigt valt mynt få tre klavar i tre kast. P(K K K 3 ) P(K K K 3 F C ) P(F C ) + P(K K K 3 F) P(F) Vi kan nu beräkna den efterfrågade sannolikheten genom att använda Bayes sats: P(F K K K 3 ) P(K K K3 F) P(F)...7 P(K K K ).337 3

4 P(K... Kn F) P(F) b) P(F n klavar i n kast) P(K... Kn).. C C P(K... K F) P(F) + P(K... K F ) P(F ) n n..... n > >.9(.. +. n.99)..9 >. n.89. >. n n ln. > ln.334 n ( ) > n > dvs minst tio kast Bygg 99 a) Beräkna sannolikhetsfördelningen för A:s vinst. Antal kast, η P(ηy) Banken betalar ut A:s vinst, ξ 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P(ηy) P(ξ) 7 Förväntad vinst: E(ξ)] i P( ξ i ) dvs en förlust på c:a 4 franc. b) Var(ξ) i P( ξ i ) [E(ξ)] ((-) ) ( ) S(ξ) c) spelaren vinst: ζ ξ + ξ +.+ ξ är ungefär N( (-3.93);.69) N(-96.7; ) P(bankens vinst >) P(ζ ) P(Z ( 96.7) ) Φ(.)

5 Maskin 987 ξ antal bilar ξ Po(λ bilar/ min) a) Räkna om λ till antal bilar/ minuter. λ.667 bilar/ min P(ξ ) P(ξ ) e (! ).4.496! Maskin e a) f ()d c d + c e d c + c 6 4 c + c ( ) c c. 6 6 b) : F() f (t)dt < < : t F() f(t)dt dt +. ( t )dt.. ( + ).7( + ) : F() 6t f (t)dt dt +. ( t)dt +. e dt 6t 6 t e e ( + ) +.( + ).e Fördelningsfunktionen: F().7(.e 6 + ) + för för < < för c) P(. < ξ) + P(ξ <.) P(ξ <.) + P(ξ <.).e + +.7( + ). e [ ]. [ ].

6 Bygg 99 ξ i är Ep(λ i ) F() - i e λ för i,, 3 där λ λ. och λ 3 del och : - F() e del 3: - F() e P(systemet fungerar) P(del fungerar del fungerar del 3 fungerar) (oberoende) Kemi 46 a) λ. samtal / min λ. samtal / 3 min P(ξ ) e -...3! b) λ. samtal / min λ. samtal / min P(ξ > ) P(ξ ) e -.. (! ) !! c) η tiden mellan två samtal η Ep(λ. samtal / min) P(ξ > ) P(ξ ) ( e -. ) e Bygg 99 ξ är N(µ, ). 99% 74 µ P(ξ>74).99 P(ξ>74) - P(ξ 74) P(Z 74 µ ).99 P(Z 74 µ 74 µ ) µ

7 Väg o vatten 3 a) ξ pris på brödet ξ P(ξ ).8 8. E(ξ) :6 E(Vinst/bröd) 7:6 :-- :6 kr b) ξ P(ξ ) E(ξ) :-- E(Vinst/bröd) 7:-- :-- :-- kr b) ξ P(ξ ) 8 p 8 p E(vinst/bröd) 8p + 8( p) Om man tolkar frågan så att man måste gå med plus dvs att E(ξ) > :-- så får man lösningen 8p + 8 8p p 7 > p >.7 dvs, det kan innebära att det räcker att efterfrågan första dagen är lite mer än 7%. Om man tolkar frågan så att man måste gå med få ett bättre resultat än vi d den ordinarie försäljningen dvs att E(ξ) > 7:6 så får man lösningen 8p + 8 8p p 7 :6 p.96 Efterfrågan första dagen måste öka till 96% av tillverkningen. Data 986 σ 49 P P ( µ < ) P( < µ < ) ( Z <.7) P( Z <.7) P Z < 7 8 P Z < 7 8

8 Data 99 A a b b b 4 9 A t A n A t b y y y () a + 98b + b 7 () 98a + 93b + 38b 44 (3) a + 38b + b 36 () (3) () 9 (3) 3a + 6b 3 6a + 8b 73 (4) () 3a + 6b 3 6a + 8b 73 () (4) 8b 3 b 3.7 a 3 (3 ) b y b) Tolkning av koefficienterna a är det antal studietimmar man skulle ha som nyfödd pojke. (nonsens) b 3.7 är den genomsnittliga skillnaden i antal studietimmar mellan två studenter med ett års åldersskillnad när båda studenterna är av samma kön. b.8 är den genomsnittliga skillnaden i antal studietimmar mellan män och kvinnor i samma åldersklass.

9 Kemi 986 a) Steg H : µ 4. H : µ > 4. Steg α. %.64 Steg 3 Välj test variabeln z µ σ n Steg 4 Urval gav z Steg H förkastas. Tillverkarens påstående är troligtvis inte korrekt. b) µ 4. µ 4. Kritiskt värde uttryckt i normalförde ln ingen med µ 4. och σ. * *.. β P( X < µ 4. ) P z< ( 4 ) 8. P z <.. 6 Styrkan β. 998