Övningstentamen 1. c) Beräkna sannolikheten att exakt en av A eller B inträffar (6 poäng)

Transkript

1 Övningstentamen Uppgift : Vid ett experiment kan en händelse A, en händelse B eller både A och B inträffa. I en serie om 00 försök har man sammanställt följande statistik: i 90 fall har minst en av A eller B inträffat. A har inträffat i 50 fall och B i 76 fall. a) Beräkna P( A B) c c b) Beräkna P( A B ) c) Beräkna sannolikheten att exakt en av A eller B inträffar Uppgift : När en industriell process fungerar tillfredsställande är % av produkterna felaktiga. När processen inte fungerar tillfredsställande är 0% av produkterna felaktiga. Sannolikheten att processen är under kontroll är Man väljer ut en produkt slumpmässigt och denna produkt visar sig vara felaktig. Beräkna sannolikheten att processen var under kontroll då enheten producerades. Uppgift : En handlare får vid ett tillfälle ett stort antal bilbatterier från fabriken. Bland batterierna kan det finnas batterier som har allvarliga fel (vilket handlaren inte vet). Men handlaren kontrollerar ändå alltid leveranserna genom att slumpmässigt välja ut 0 st av batterierna och testa dem. Vid testet upptäcks alltid eventuella fel. Han accepterar leveransen om högst ett av de testade batterierna inte klarar kontrollen utan anmärkning. Vad är sannolikheten att ett levererat parti accepteras av handlaren om % av de levererade batterierna är felaktiga. Uppgift 4: Ett företag tillverkar och förpackar godis i askar. Antalet karameller i förpackningarna varierar enligt nedanstående tabell: Antal karameller Andel av förpackningarna a) Beräkna medelvärde och standardavvikelse för antalet karameller per ask. b) En ask att lägga godiset i kostar.60 kr att tillverka medan varje godisbit kostar öre. Försäljningspriset till grossisten för en förpackning oavsett hur många karameller den innehåller är 4 kr 50 öre. Beräkna företagets förväntade vinst per ask samt standardavvikelsen för vinsten per ask. Uppgift 5: Ett företag har två maskiner av samma märke och årgång. På båda maskinerna uppkommer med jämna mellanrum fel. Dessa fel, som uppkommer oberoende av varandra, kan antas vara Poisson-fördelade där genomsnittligt antal fel per maskin är. fel/månad. a) Vad är sannolikheten att det uppkommer åtminstone fel under en månad på minst en av maskinerna? b) Anta att reparatören just har lagat en maskin så att båda maskinerna fungerar. Vad är sannolikheten att det dröjer minst en halv månad innan det uppstår ett fel på någon av maskinerna. (8 poäng)

2 Uppgift 6: En maskin fyller burkar med soppa. Av erfarenhet vet man att vikten varierar från burk till burk. Antag att vikten kan betraktas som en normalfördelad variabel med standardavvikelsen 0 gram. a) Vilket medelvärde m bör man inrikta sig på om i det långa loppet 99% av burkarna skall väga minst 740 g. b) Påfyllningsprocessen kontrolleras genom att man tar stickprov om 0 burkar. Om stickprovsmedelvärdet är mindre än 740 gram avbryts processen för justering. Vilket medelvärde m bör man ha för att man bara i % av alla kontroller avbryter processen för justering då det inte skulle behövas? Uppgift 7: Man vet att vikten i gram av en annan sorts konserv har väntevärdet 50 och standardavvikelsen 5. Bestäm vikten, M, sådan att vikten av 00 sådana konserver är större än M med sannolikheten Uppgift 8: Under åren gjordes noteringar om medelpriset och efterfrågan på en speciell vara: ÅR Efterfrågan i ton (y) Medelpris i 000 kr (x) a) När man gör analys av efterfrågan används ofta en matematisk modell av typen y=a x b. Observera att detta inte är en exponentialfunktion, (som skulle ha skrivits y=ab x ). När konstanterna a och b beräknas med hjälp av minsta kvadratmetoden logaritmeras efterfrågemodellen på motsvarande sätt som exponentialfunktionen. Bestäm a och b i modellen y=a x b med hjälp av minsta kvadratmetoden. b) Hur mycket får varan i genomsnitt kosta om man (enligt modellen) skall kunna förvänta sig en efterfrågan på 75 ton?

3 Lösningar till övningstentamen Uppgift : P (A) P(B) = P(A B) = a) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A B) = 0.9 P(A B) = = 0.6 b) P(A c B c ) = (de Morgans formel) = P(A B) = 0.9 = 0. c ) P(exakt en av A och B) = P(A B) P(A B) = = 0.54 Uppgift : D = en tillverkad enhet är defekt D C = en tillverkad enhet är felfri OK = processen är OK OK C = processen är ej OK P(D OK ) = 0.0 P(D OK C ) = 0.0 P(OK) = 0.99 P(OK C ) = 0.0 P(D OK) = P(D OK) P(OK) = = OK OK C D D C P(D OK C ) = P(D OK C ) P(OK C ) = = 0.00 Resten av värdena I tabellen fylls i. OK OK C D D C P(OK D) P(OK D) = = P(D) Uppgift : ξ = antal defekta enheter i urvalet ξ = Bin(n, p) = Bin(0, 0.0) Partiet accepteras om det förekommer högst av batterierna är defekta P(ξ ) = P(ξ = 0) + P(ξ = ) =

4 Uppgift 4: ξ = antal karameller per ask a) E(ξ) = = 6. Var(ξ) = = S(ξ) b) η = vinsten vid försäljning av en ask = 50 ( ξ) E(η) = E[50 ( ξ)] = 50 ( E(ξ)) = = 50 ( ) = d.v.s. man förlorar c:a 86 öre/ask Var(η) = Var[50 ( ξ)] = ( 0.) Var(ξ)) = = = S(ξ) 0.0 Uppgift 5: ξ = antal fel på en maskin ξ = Po(λ =. fel/mån) A i = maskin i får minst ett fel på en månad P(A) = P(ξ = 0) = e.. 0! a) P(minst en av maskinerna har minst ett fel på en månad) = P(A A ) = = (de Morgans formel) = P(A C A C ) = 0.08 = b) η = antal fel på någon av maskinerna η = Po(λ + λ = 4 fel/mån) ζ = tiden mellan två fel ζ = Exp(λ + λ = 4 fel/mån) P(ζ > 0.5) = ( e ) = e Uppgift 6: ξ = N(m, 0) 740 a) P(ξ > 740) = P(ξ < 740) = P(Z < Tabellen ger P(Z <.) = % m 0 0 ) = 0.99 =. m = b) P( ξ > 740) = P( ξ < 740) = P(Z < ) = Tabellen ger P(Z <.) = 0.0 =. 0 m =

5 Uppgift 7: ξ = vikten av en konservburk E(ξ) = 50 Var(ξ) = 5 η = ξ + ξ + + ξ 00 E(η) = E(ξ ) + E(ξ ) +. + E(ξ 00 ) = = 5000 Var(η) = Var(ξ ) + Var(ξ ) +. + Var(ξ 00 ) = 00 5 S(η) = 50 η = N(5000, 50) M 5000 M 5000 P(η M) = P(η<M) = P(Z< ) = 0.00 P(Z< ) = M 5000 Tabellen ger P(Z <.09) = =.09 M = Eftersom tabellvärdet.09 kan ersättas med flera andra närliggande värden så kan givetvis svaret bli annorlunda beroende på vilket tabellvärde man har valt. Uppgift 8: y = ax b logaritmeras till lny = lna + b lnx a) lny lnx y x ( x)( y) ( x) ln =. 50 ln = 8 ln ln = ln = b = ( lnx)( lny) ( ) lnx lnxlny n lnx n = = lny lnx. 50 lna = b = = a = y = x b) x = y lnx = (ln lny) = (0.768-ln75) =.949 x=0 dvs genomsnittspriset är 400 kr/ton.