Veckoblad 2. Kapitel 2 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Transkript

1 Vecoblad 2 Kaptel 2 Matemats statst, Blomqvst U. ya begrepp: oberoende händelser, betngad sannolhet, Bayes formel.. är man sall lösa problem, där sntt mellan händelser ngår, an det ofta vara tll hjälp att använda en orstabell. ntag att v har 2 händelser och B. B P( B) P( B) P(B) B P( B ) P( B ) P(B ) P() P( ).00 är man fyller ovanstående fyrfältstabell så använder man sg av sambanden att margnalsannolheterna P(B) och P(B ) är summan av sannolheterna respetve rad, d.v.s. P(B)=P( B)+P( B) och P(B )=P( B )+P( B ). 2. Slj på stuatoner med oberoende och beroende: Man väljer ut 5 element slumpmässgt från en låda med 20 stycen. För varje element avgörs om det är defet eller helt. Hur många bland de fem är defeta? - Om man väljer ut elementen utan återläggnng så har man beroende. - Om man väljer ut elementen med återläggnng så har man oberoende. Om man väljer ut 5 element slumpmässgt från en stor produton så antar man att man har oberoende. P( B) = P() P(B) vd oberoende P( B) = P( B) P(B) vd beroende 3. Om man har oberoende så används alltså formeln P( B) = P() P(B) Övnngar att räna: , 2.30, Om man har beroende så används betngade sannolheter. Följande formler används P( B) = P( B) P(B) P( B) P(B ) P() Bayes sats: P( B) = = P(B) P(B) Övnngar att räna: 2.38, 2.40, 2.44, 2.46

2 5. Sannolheter an åsådlggöras med träddagram.. B D. D 2 B P(B) = P(B D ) P(D ) + P(B D ) P( D ) + P(B D ) P( ) D 3. B D3 Gammalt tentamenstal (Data/Eletro 07037) En man astar 2 symmetrsa tärnngar, en vt och en svart. Betrata följande händelser: : Den svarta tärnngen ommer upp med 6 ögon. B: Den vta tärnngen ommer upp med 6 ögon. : Summan av antal ögon på den svarta och den vta tärnngen är udda. a) Är händelserna och B oberoende eller beroende? b) Är händelserna och oberoende eller beroende? c) Är de tre händelserna, B och oberoende eller beroende av varandra? För att få poäng på ovanstående deluppgfter måste du motvera dtt svar med hjälp av beränngar. Gammalt tentamenstal (Bygg 99022): nta att v har 00 stycen en-ronor. Ett av mynten är felatgt på så sätt att båda sdorna är lavar. nta att v slumpmässgt väljer ut en en-rona ur högen. V astar upp myntet luften tre gånger. Varje gång ommer en lave upp. a) Vad är sannolheten att v erhållt det felatga myntet? b) nta att man fortsätter att asta myntet och att lave ommer upp varje gång. Hur många ast måste man göra för att sannolheten att man har fått det felatga myntet sall bl större än Kaptel 3 Matemats statst, Blomqvst U. ya begrepp: Dsret stoasts varabel. Sannolhetsfördelnngen besrvs av sannolhetsfuntonen P(ξ=x) eller fördelnngsfuntonen P(ξ x) väntevärde [ E(ξ) eller µ ], varans [ Var(ξ) eller σ 2 ] eller standardavvelse [ S(ξ), Var( ξ ) eller σ ]. lformg fördelnng, hypergeometers fördelnng, Hyp(, n, p), bnomalfördelnngen, Bn(n, p), och Possonfördelnngen, Po(λ).

3 Snabbrepetton:. En sannolhetsfördelnng besrver hur totala sannolhetsmassan har fördelats ut över ett antal punter (ändlgt eller uppränelgt oändlgt antal det dsreta fallet) 2. För en allmän dsret fördelnng gäller att Sannolhet: P(ξ = x ) Fördelnngsfunton: F( x ) = P(ξ x ) = P ( ξ = x ) 3. Väntevärdet är det samma som tyngdpunten fördelnngen. Och beränas med hjälp av formeln n E(ξ) = x P( ξ = x ) Om fördelnngen är symmetrs lgger den mtten. Ex. vs är vd ast med tärnng väntevärdet Varansen (eller standardavvelsen) är ett mått på sannolhetsmassans sprdnng. En s.v. som bara an anta ett värde har varansen noll. Ju större del av sannolhetsmassan som fördelnngen har förlagd långt bort från väntevärdet, desto större varans. 5. Enl. sats 3.2 på sd 73 gäller att varansberänas enlgt [ ] = E [( ξ µ ) ] = E[ ξ ] Var ξ µ = n x 2 2 P( ξ = x) [E( ξ)] (Steners sats). 6. Om ξ är en dsret stoasts varabel med sannolhetsfuntonen p(ξ = x) på utfallsrummet Ω, då gäller för varje reellvärd funton g att E[g(ξ)] = Ω Övnngar att räna: 3., 3.2, 3.7, 3.0, 3. g (x) p(x) Gammalt tentamenstal (Masn ): Ett flygbolag vet att 0.5% av deras passagerare blr av med stt bagage. Detta ostar flygbolaget genomsntt 600 dollar per förlorat bagage. a) Hur mycet bör man höja flygavgften (per passagerare) för att täca denna ostnad? b) Vlen sannolhetsfördelnng har du använt?

4 Standardfördelnngarna för en dsret stoasts varabel är Lformg fördelnng: ξ är Lf() = antal möjlga utfall med la sannolheter. Sannolhet: P(ξ = x) = Exempel: ntal ögon vd ett tärnngsast. Hypergeometrs fördelnng: ξ är Hyp(, n, p) = begränsad mängd. p = antal element av ett vsst slag. p = andel element av ett vsst slag. n = antal slumpmässgt utvalda element ur mängden. p p Sannolhet: P(ξ = x) = x n x n Väntevärde: E(ξ) = n p n Varans: Var(ξ) = n p ( p) Exempel: Ploca ulor ur en urna utan återläggnng. Övnngar att räna: 3.3, 3.5, 3.7 Bnomalfördelnngen: ξ är Bn(n, p) n = antal oberoende upprepnngar av ett försö. p = sannolheten att händelsen (eller ) nträffar ett sådant försö. n x n x Sannolhet: P(ξ = x) = p ( p) x Väntevärde: E(ξ) = n p Varans: Var(ξ) = n p ( p) Exempel: ntal lavar vd 20 oberoende ast av ett mynt. Övnngar att räna: 3.4, 3.23 Gammalt tentamenstal (Bygg 99022): I Monte arlo:s casno an man spela ola tärnngsspel. Ett spel går tll så att en spelare,, satsar pengar och väljer en sffra mellan och 6. En crouper, som söter banen, astar tre tärnngar. Om en, två eller tre av tärnngarna vsar den valda sffran så får två, tre respetve fyra gånger nsatsen av banen. Om ngen av tärnngarna vsar det valda numret förlorar. nta att satsar 50 franc. a) Beräna förväntad vnst för. b) Beräna standardavvelsen för :s förväntade vnst.

5 Possonfördelnngen: ξ är Po(λ) λ = genomsnttlgt antal händelser ett ntervall. Sannolhet: P(ξ = x) = e λ x λ x! Väntevärde: E(ξ) = λ Varans: Var(ξ) = λ Exempel: ntal båtar som anlägger en hamn under ett dygn. Övnngar att räna: 3.24, 3.27 Gammalt tentamenstal (Masn ): I en vägorsnng an antal blar som passerar antas vara Possonfördelat med en genomsnttlg passerngsfrevens av 5 blar på 5 mnuter. Vad är sannolheten att det ommer mnst 2 blar tll orsnngen under en 5-mnuters perod? (3 poäng) 7. I en s.. Possonprocess med ntensteten c är antalet blar som ommer ett ntervall av längden t Po(ct) och antalet blar dsjunta ntervall oberoende. Intervallen mellan anomsterna är exponentalfördelade. (V ommer tll denna fördelnng ap.4) 8. Summan av två varabler som är oberoende och Possonfördelade med parametrarna λ resp. λ 2 är Po(λ +λ 2 ) 9. Lägg märe tll vlloren vd approxmatonerna mellan de ola fördelnngarna sd 89. Väntevärdet bbehålls doc alltd. Övnngar att räna: 3.25, 3.26 Hyp(, n, p) n>0 n n < p+ 0. <0. n>0 p<0. Bn(n, p) Po( λ )