DEL I. Matematiska Institutionen KTH

Transkript

1 1 Matematsa Insttutonen KTH Lösnngar tll tentamenssrvnng på ursen Dsret Matemat, moment A, för D och F, SF1631 och SF1630, den 4 jun 009 l Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tllåtna på tentamenssrvnngen. Betygsgränser: (Totalsumma poäng är 36p.) 1 poäng totalt eller mer ger mnst omdömet Fx 15 poäng totalt eller mer ger mnst betyget E 18 poäng totalt eller mer ger mnst betyget D poäng totalt eller mer ger mnst betyget C 8 poäng totalt eller mer ger mnst betyget B 3 poäng totalt eller mer ger mnst betyget A Bonuspoäng: Bonuspoäng erhållna från lappsrvnngar tll ursen under vt10 adderas tll srvnngspoängen. Generellt gäller att för full poäng rävs orreta och väl presenterade resonemang. DEL I 1. (3p) Lös reursonsevatonen a n = a n 1 + 8a n n =, 3,..., med a 0 = 3 och a 1 = 0. Lösnng: Reursonsevatonens araterstsa evaton r = r + 8 har rötterna r = och r = 4 och därmed blr reursonsevatonens allmänna lösnng a n = A( ) n + B4 n. När v söer en anpassnng av A och B tll begynnelsevärdesvlloren får v systemet { A + B = 3 A + 4B = 0 som ju enelt ses ha lösnngen A = och B = 1 så SVAR: a n = ( ) n + 4 n.. Låt A = {a, b, c, d} och B = {1,, 3, 4, 5, 6, 7}. (a) (1p) Bestäm antalet funtoner från A tll B. Lösnng: Tll varje element A fnns sju ola möjlgheter att tllordna ett funtonsv rde B så totalt, enlgt multplatonsprncpen, fnns SVAR: 7 4 ola funtoner från A tll B.

2 (b) (1p) Bestäm antalet njetva funtoner från A tll B. Lösnng: Om v succesvt väljer funtonsvärden åt a, b, c och d har v först sju möjlgheter för f(a), sen sex möjlgheter tll f(b) etc så SVAR: = 840 ola njectva funtoner. (c) (1p) Bestäm antalet surjetva funtoner från A tll B. Lösnng: Eftersom antalet element B är större än antalet element A så fnns ngen surjeton från A tll B, så SVAR: Graferna du sall rta denna uppgft sall sana multpla anter, dvs mellan varje par av noder fnns högst en ant, och sana loopar, dvs varje ant sall gå mellan två ola noder. (a) (1p) Rta en sammanhängande graf, enlgt ovan, med 1 anter och 9 noder, som har en Hamltoncyel men sanar Eulerrets. Lösnng: Rta först en cyelgraf med noderna a 1, för = 0, 1,,..., 8 och anter mellan noderna a och a +1 för = 0, 1,..., 7 samt mellan noderna a 8 och a 0. Rta sedan anter mellan a 0 och a, a 1 och a 3 och a 4 och a 6 tll exempel. Cyeln cyelgrafen är en Hamltonstg, och eftersom det fnns noder med udda valens sanas en Eulerrets. (b) (p) Rta en sammanhängande graf, enlgt ovan, med 1 anter och 9 noder, som har en Eulerrets men sanar Hamltoncyel. Lösnng: Rta en trangel med hörnen a, b och c, samt med dubblerade anter. Rta ut en nod mtt på varje ant. Nu har v no noder och tolv anter, alla noder har jämn valens så en Eulerrets fnns, men det är ju lätt att se att ngen Hamltoncyel fnns. 4. För att få poäng på uppgfterna nedan måste svaren motveras. (a) (1p) Är ψ = (1 )( 3)(3 4) nvers tll sg själv, dvs ψ = ψ 1. Lösnng: Enlast är anse att först srva ψ som en produt av dsjunta cyler Om ψ 1 = ψ sulle ψψ = d., men SVAR: Nej. ψ = (1 3 4). ψ = (1 3)( 4) d., (b) (1p) Är permutatonerna (1 3 4)(4 5) och ( ) onjugerade permutatoner. Lösnng: V srver den först gvna permutatonen som en produt av dsjunta cyler (1 3 4)(4 5) = ( ), så permutatonerna är nte bara onjugerade utan tll och med la. (c) (1p) Är permutatonen ϕ = (1 5 4 )( 3 5 1)(3 4) av elementen mängden {1,, 3, 4, 5} en jämn permutaton. Lösnng: En cyel med jämn längd är en udda permutaton och en med udda längd är en jämn permutaton. Vdare är udda gånger udda jämnt, udda gånger jämnt är udda och jämnt gånger jämnt är jämnt, så SVAR: En jämn permutaton.

3 3 5. (3p) Beräna (mod 35). Lösnng: V använder oss av Eulers sats som säger att sgd(a, n) = 1 = a ϕ(n) 1 (mod n) där ϕ(n) är Eulers ϕ-funton. Då 35 = 5 7 och då varen 7 eller 5 delar talet 138 och då ϕ(35) = 35(1 1 5 )(1 1 7 ) = 4 så får v alltså (4 35 ) ( ) (( ) 4 ) 10 ( ) SVAR: 33. DEL II 6. (3p) Rta en sammanhängande ceplanär graf med v 7 noder och e 10 anter. Lösnng: Tag den ompletta bpartta grafen K 3,3 och rta tll en ant från valfr nod denna graf tll en ny nod. 7. (4p) Ge en formel för antalet bnära ord av längd n med a stycen nollor och b stycen ettor, och som har egensapen att nga ettor ommer dret efter varandra. Lösnng: Antalet nollor måste vara mnst la med b 1, eftersom vart och ett av de b 1 mellanrummen mellan ettorna måste fnnas mnst en nolla. Betrata nu ett ord med a stycen nollor, och placera ut ettor för att få ett ord med b stycen ettor. Ettor an placeras framför, efter eller mellan nollorna, och som mest en etta varje möjlg poston. Totalt fnns a + 1 möjlga postoner för ettorna, (a 1 mellanrum mellan nollorna, framför alla nollor, eller efter alla nollor), så SVAR: ( ) a + 1 b 8. (4p) Femton barn sall ställa sg tre led, men barnet A sall stå först ett av leden, och B sst samma led som A, men mellan A och B sall stå mnst två barn. På hur många sätt an detta se?. Lösnng: Betrata ledet mellan A och B som ett led. Mellan A och B sall stå stycen barn för =, 3,..., 11 barn, eftersom av de tretton övrga barnen sall mnst två blda de två övrga leden. Välj barn tll ledet med A och B samt ställ dem ett led mellan A och B. Antalet möjlgeher blr!. Välj sedan de två som sall stå först de andra bägge leden, vlet går på

4 4 ola sätt. De som står först benämner v L 1 och L. Ställ de övrga ett led, vlet går på (13 )! ola sätt. Klpp sedan av detta led två btar, de som står främst placeras efter L 1 de andra efter L. Eftersom det fnns totalt ola ställen att sära ledet på, så för varje, och enlgt multplatonsprncpen fnns total ( 13 (13 1)[(13 )!] )! ola möjlgheter. Summerar v nu över de ola möjlga värdena på får v SVAR: 11 ( 13 (13 1)! = )! DEL III Om du denna del använder eller hänvsar tll satser från läroboen sall dessa cteras, ej nödvändgvs ordagrant, där de används lösnngen. 9. (4p) Låt χ(g) betecna det romatsa talet för en graf G, och låt Ḡ betecna grafen G:s omplement. Vsa att χ(g)χ(ḡ) n, där n betecnar antalet noder grafen G. Lösnng: Betrata färgläggnngar av noderna G resp Ḡ med ett mnmalt antal färger s 1, s,..., s a resp t 1, t,..., t b, där alltså χ(g) = a och χ(ḡ) = b. V sall vsa att det alltd gäller att n ab. Tll varje nod assoceras ett par (s, t j ) av färger, färgen s G och färgen t j Ḡ. Nu, tll två ola noder an nte samma färgpar assoceras, de är grannar antngen G eller Ḡ, så antngen måste de ha ola färger G eller Ḡ. Antalet ola färgpar måste då enlgt pgeonhole prncpen vara mnst la med n. Men antalet möjlga färgpar är precs ab. 10. (a) (1p) Bestäm ett tal n sådant att evatonen x = 1 har precs två lösnngar rngen Z n. Lösnng: I rngen Z 3 gäller 0 = 0, 1 = 1, = 1, så SVAR: T ex Z 3. (b) (1p) Bestäm ett tal n sådant att evatonen x = 1 har precs 16 ola lösnngar rngen Z n. Lösnng: Vs av erfarenheten från föregående uppgft ser v att rngar Z p, där p är ett prmtal, gäller x 1 = 0 (x 1)(x + 1) 0 (mod p), vlet ger att p, eftersom p är ett prmtal, delar antngen x + 1 eller x 1 eller både x 1 och x + 1. Men om prmtalet p delar både x 1 och x + 1 sulle p dela (x + 1) (x 1) och därmed sulle p dela talet. Således alla rngar Z p, där p > är ett prmtal har evatonen x

5 5 precs två lösnngar, (x + 1) 0 (mod p), dvs x = 1 Z p, resp (x 1) 0 (mod p), dvs x = 1 Z p Nu utnyttjar v Knessa restsatsen och låter n = = 1155 och ser att rngen Z 1155 är somorf med den dreta produten av rngarna Z 3, Z 5, Z 7 och Z 11. Om nu x Z 1155 (x 1, x, x 3, x 4 ) Z 3 Z 5 Z 7 Z 11, så har v att en lösnng tll x = 1 Z 1155 svarar mot en ombnaton av lösnngar tll evatonerna x = 1, för = 1,, 3, 4, respetve rng. Det fnns precs 4 = 16 ola sådana ombnatoner, och därmed har v httat en rng, rngen Z 1155, som svarar mot raven uppgften. (c) (p) Fnns det något tal n sådant att evatonen x = 1 har ett udda antal lösnngar rngen Z n. Lösnng: V observerar att om x = a är en lösnng tll evatonen x = 1 så ommer även x = a att vara en lösnng. Lösnngarna tll x = 1 uppträder alltså par, utom de fall v httar en lösnng där a = a. Men då är a = 0 och a = 1, vlet sulle ge att 0 = (a) = 4a = 4 1, vlet endast nträffar rngarna Z och Z 4. Men n var förutsatt och rngen Z 4 har v 0 = 0, 1 = 1, = 0 och 3 = 1, dvs ett jämnt antal lösnngar tll x = 1. Så SVAR: Nej det fnns ngen sådan rng Z n. (d) (p) Fnns det något tal n sådant att evatonen x = 1 har precs 0 ola lösnngar rngen Z n. Lösnng: Vet enlgt nessa restsatsen att varje rng Z n zär somorf med en dret produt av rngar Z n p, där talen p, för = 1,,...,, är prmtal. I var och en av dessa rngar är antalet lösnngar tll evatonen x = 1 ett jämnt tal, och som uppgft (b) sulle v se, eftersom 0 = 5, att det funnes en rng Z n p med antngen 10 eller 0 lösnngar tll x = 1. V undersöer nu om såär fallet. V studerar nu antalet ola lösnngar rngen Z n p, där v an, med lösnngen (b), förutsätta att n > 1. Om nu p n delar x 1 sulle det fnnas ett tal d sådant att d p n = (x 1)(x + 1) Om p n delar antngen x 1 eller x + 1 sulle x = 1 eller x = 1. Alltså ommer en potens av p att dela x + 1 och en annan potens av p att dela x 1. Detta medför att p delar både x 1 och x + 1, varav enda möjlgheten är att p =, och dessutom specellt x + 1 och n 1 x 1, eller tvärtom. Detta ger precs fyra lösnngar en rng Z t där t 3, nämlgen x = ±1, x = ±( t 1 + 1). Så någon rng med 0 rötter tll evatonen x = 1 fnns nte.