Sammanfattning, Dag 1

Transkript

1 Sammanfattnng, Dag 1 V började med en sammanfattnng om vad v redan hade lärt oss från Matematk I Sedan fortsatte v (nästan punkt för punkt) resonera vad v skulle kunna göra mer och vsade vart v kunde komma fram Här en en sammanfattnng på föreläsnngar Dagens teman är Matrser allmänhet och hur matrser användas Gauss-elmnaton som leder fram tll LU-faktorserng (uppdelnng) av matrser Recap En matrs är en tabell av reella tal a j R, ( = 1,, m,j = 1,, n) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn En kort notaton är A = (a j ) V vet om följande räknesätt: en matrs kan multplceras med en skalär c (dvs c är ett tal) två matrser av samma format kan adderas (assocatv och kommutatv) två matrser A och B av lämplga format kan multplceras: antalet kolonner av A är lka med antalet rader av B (assocatv men nte kommutatv) Det fnns en entydg nollmatrs och en entydg enhetsmatrs I sn storleks klass V kan dela en kvadratsk matrs om den fnns: A 1 är defnerad som matrsen uppfyller A 1 A = I V har även operatonen transponat A T = (a j ) (A + B) T = A T + B T (AB) T = B T A T V kan lösa lnjära ekvatonssystem AX = B med Gauss-elmnaton, dvs, radoperatoner på den utvdgad matrsen (A B) (1) Att byta två rader (2) att lägga en rad på en annan rad (3) att multplcera en rad multplcerad med en nollsklld skalär tlls A har en trappform t ex en typsk sådan form kan se ut så här Kan v göra mer? a j matrsen behöver nte vara reella tal a j kan vara komplexa tal eller heltal Mängden av alla m n-matrser över kroppen K betecknas M mn (K), V kommer att fokucera på K = R eller C Räkneregler följer den underlggande kroppen a j kan också vara matrser av rätt format Sådana matrser kallas blockmatrser V har redan ett exempel från tdgare t ex (A B) (en 1 2-blockmatrs men en m (n + 1)- matrs) Gauss-elmnaton ( ) för att lösa ett ekvatonssystem En 2 2-blockmatrs ser X Y ut så här: där X, Y, V, W är matrser av m n, m r, k n respektve k V W r ( Räknereglerna ) följer de för matrser T ex, v kan multplcerar två blockmatrser X Y där X V W, Y, V, W är matrser av m n, m r, k n respektve k r, = 1, 2 ( ) ( ) ( ) X1 Y 1 X2 Y 2 X1 X = 2 + Y 1 V 2 X 1 Y 2 + Y 1 W 2 V 1 W 1 V 2 W 2 V 1 X 2 + W 1 V 2 V 1 Y 2 + W 1 W 2

2 V ser att att multplkatonen ska fundera måste n 1 = m 2 och r 1 = k 2 V kan också skrva matrsen A början av föreläsnngen kolonn- respektve rad-blockmatrser A 1 A = ( ) A 2 A 1 A 2 A n, A = A n där A första blockmatrsen är kolonnerna av A medan den andra raderna A För transponatoperatonen har v ( ) T ( ) X Y X T V = T V W Y T W T Se upp här: rader blr kolonner men varje delmatrser måste transponeras! a j kan även vara andra objekt t ex, funktoner, dfferentaloperatorer eller spelregler etc Men v arbetar huvudsaklgen denna kursen de två första nämnda Ett sätt att skrva en matrs M m,n (K) med hjälp av standardbasvektorer : (1) A = m =1 j=1 n a j E j där matrserna E j (standardbasvektorerna som v senare kan se varför så kallas) nnehåller alla element utom postonen (, j) där det är 1 V kan vsa att { 1 om j = k (2) E j E kl = δjke l, δjk = även kallas Kronecker delta om j k En fördel med denna representaton är att matrsberäknngar kan bl mycket enklare Ex Låt A = (a j ) och B = (b j ) vara matrser av m n respektve n r Hur ser elementen c l ut där AB = (c j )? ( ) AB = a j E j b kl E kl = a j b kl E j E kl jkl j Använd (2) = kl jkl a j b kl δ jk E l = kl a k b kl E l = l ( ) a k b kl k } {{ } c l Så c l = k a kb kl Det är mycket enklare att räkna ut nu eftersom matrsmultplkatonen reduceras tll multplkaton av enklare matrser E j E kl Ex En permutatonsmatrs (kvadratsk) P )är en representaton för permutatonsavbldngen σ : {1,, n} {1,, n} Ett enkel exempel: V byter plats på rad och rad j ( j) n n- enhetsmatrsen, Den här permutatonsavgldnngen är defnerad på följande sätt: σ() = j, σ(j) = 1 för de övrga k, σ(k) = k (detta motsvarar radoperaton nummer (2)) t ex P 14 = är en permutatonsmatrs då σ(1) = 4, σ(4) = 1, σ(2) = 2, σ(3) = 3 V kan även bevsa att P14 1 = P 14 T = P 14 Den första lkheten gäller för alla permutatonsmatrser dvs (3) P 1 = P T medan den andra gäller bara för de som byter två platser 2 E l

3 Med hjälp av E j kan v skrva P = E σ, där σ = σ()v räknar nu P P T : ( ) P P T = E σ E σjj = Enlgt (2) E σ E σjj = δ σσ j E j = j j j vlket är (3) E = I Multplkaton med E j och dagonalmatrser E j A = E j A = E j A = A j, där E j har alla element utom 1 poston den j-te kolonnen Uträknngen säger att E j plockar ut rad j A j från Aoch lägger tll rad och sätter de övrga raderna tll Multplkaton av E j från höger opererar kolonner matrsen A som följs av: AE j = ( AE ) A 1 A 1 (I + ce j )A = A + c A j = A + ca j Motsvarar radoperatoner nummer (2) och A +1 A m nummer (3) På samma sätt A(I + ce j ) motsvarar kolonoperatonen: Lägg kolonn j multplcerad med c tll kolonn Låt D vara en dagonalmatrs av n n och dagonalelementen d 1,, d n En kortnotaton d 1 E1 T d 2 E T 2 ör D = dag(d 1, d 2,, d n ) Skrv den på blockmatrsformen radvs D = eller d n En T kolonnvs D = ( ) d 1 E 1 d n E n, där E kolonnvektorn med 1 på te kolonn och på övrga postoner V har d 1 E1 T de d 2 E2 T 1 T A d 1 A 1 DA = A = d 2 E2 T A = d 2 A 2 d n En T d n En T A d n A n Det motsvarar radoperaton nummer (3) om d Elementära matrser och radoperatoner De pernutatonsmatrserna P, I c E j, och nverterbara dagonalmatrser D är så-kallade elementära matrser: n Relatonen tll radoperatonerna Byte av rad ochrad j P j Rad multplcerad med c D = dag(1, 1, c, 1,, 1) Rad j multplcerad med c läggs på rad I + ce j Med andra ord kan de elementära matrserna fås av enhetsmatrsen 3 j

4 Alla elementära matrser är nverterbara: P 1 = P T (I + ce j ) 1 = I ce j D = dag(1,, 1/c, 1,, 1) Samverkan mellan P = E σ och I + ce j : (4) (I + ce j )P = P (I + ce σσ j ), j Det följs av (återgen) användnng av (2) upprepade gånger : P 1 (I + ce j )P = I + cp 1 E j P = I + cp T E j P ( ) =I + c E σ E j E jσj = I + c E σe j E jσj j j (2) =I + c j δ jj=1 = I + c j δ E σje jσj E σσ j δ =1 = I + c j Multplc era båda leden med P ger den önskade lkheten E σje jσj = I + c δ jj E σσ j j Ex V undersöker 4 4-matrser () (I 3E 21 )P 23 = P 23 (I 3E σ2σ 1 ) = P 23 (I 3E 31 ), ty σ(2) = 3, σ(1) = 1 (v btyerrad 2 och 3) () (I 2E 31 )P 23 = P 23 (I 2E σ3σ 1 ) = P 23 (I 2E 21 ) () (I E 41 )P 23 = P 23 (I E 41 ) (v) (I 3E 31 )P 34 = P 34 (I 3E 41 ) (v) (I 2E 21 )P 34 = P 34 (I 2E 21 ) (v) (I E 41 )P 34 = P 34 (I E 31 ) (v) (I 4E 42 ) = P 34 (I 4E 32 ) Observera att vssa fall kommuterar matrserna (t ex () och (v)) och de övrga fall ändras bara radndex Lägg det mnnet Lägg även märke tll att alla dessa matrser på formen I ce j ovan har en specell struktur, nämlgen alla elementen ovanför dagonalen är Sådana matrser kallas undertrangulär matrser Gauss-elmnaton och LU-faktorserng av matrser V försöker jobba genom ett exempel för att komma tll en abstrakton Betrakta matrsen A = Använd Gauss-elmnaton för att få en trappform för A Det första element rad 1 är nollskld (kallas för pvot-element) Beteckna raderna A 1, A 2, A 3 respektve A 4 A 1 ( 3) + A 2, A 1 ( 2) + A 3, A 1 ( 1) + A 4 ger Med matrsräknngen får v (I E 41 )(I 2E 31 )(I 3E 21 )A = Nu måste v byta rader för att fortsätta Byt nu rad 2 och 3, Dvs P 23 (I E 41 )(I 2E 31 )(I 3E 21 )A =

5 På samma sätt som föregående steg har v (I 4E 42 )P 23 (I E 41 )(I 2E 31 )(I 3E 21 )A = Det är dags att byta rader gen så P 34 (I 4E 42 )P 23 (I E 41 )(I 2E 31 )(I 3E 21 )A = =: U 1 OBS: U är på trappformen I nästa steg frågar v oss om v kan skrva matrsen A på formen LU där L är en undertrangulär matrs (dvs elementen l j = för alla j > ) och U är på trappform Enlgt föregående exempel och akttagelser som v gjorde nser v att detta är möjlgt om v modfera frågan lte för att kunna få matrsmultplkaton av rad undertrangulära matrser I ce j utan nblandnng av permutatonsmatrserna Så den rätta frågeställnngen är: Htta en permutatonsmatrs P så att P A = LU Om v kan flytta P 23 och P 34 brevd A så har v den önskade formen eftersom multplkaton av trangulära matrser är trangulär och nversen av en trangulär matrs är trangulär Lycklgtvs vsar exempletatt de är möjlgt Eftersom P23 1 = P 23 så kan v arbeta från höhger tll vänster med först med P 23 och sedan P 34 : P 34 (I 4E 42 )P 23 (I E 41 )(I 2E 31 )(I 3E 21 )A =P 34 (I 4E 42 )P 23 (I E 41 )(I 2E 31 )(I 3E 21 )P23 1 P 23A =P 34 (I 4E 42 )P 23 (I E 41 )(I 2E 31 ) (I 3E 21 )P 23 P 23 A () Ex =P 34 (I 4E 42 )P 23 (I E 41 ) (I 2E 31 )P 23 (I 3E 31 )P 23 A () Ex =P 34 (I 4E 42 )P 23 (I E 41 )P 23 (I 2E 21 )(I 3E 31 )P 23 A () Ex =P 34 (I 4E 42 ) (P 23 P 23 )(I E 41 )(I 2E 21 )(I 3E 31 )P 23 A I =P 34 (I 4E 42 )(I E 41 )(I 2E 21 )(I 3E 31 )P 23 A =P 34 (I 4E 42 )(I E 41 )(I 2E 21 )(I 3E 31 )P34 1 P 34P 23 A =P 34 (I 4E 42 )(I E 41 )(I 2E 21 ) (I 3E 31 )P 34 P 34 P 23 A (v) Ex =P 34 (I 4E 42 )(I E 41 ) (I 2E 21 )P 34 (I 3E 41 )P 34 P 23 A (v) Ex =P 34 (I 4E 42 ) (I E 41 )P 34 (I 2E 21 )(I 3E 41 )P 34 P 23 A (v) Ex =P 34 (I 4E 42 )P 34 (I E 31 )(I 2E 21 )(I 3E 41 )P 34 P 23 A (v) Ex = P 34 P }{{ 34 (I 4E } 32 )(I E 31 )(I 2E 21 )(I 3E 41 )P 34 P 23 A I =(I 4E 32 )(I E 31 )(I 2E 21 )(I 3E 41 )P 34 P 23 A 5

6 Detta ger (I 4E 32 )(I E 31 )(I 2E 21 )(I 3E 41 )P 34 P 23 A = eller ekvvalent, P 34 P }{{ 23 A = ((I 4E } 32 )(I E 31 )(I 2E 21 )(I 3E 41 )) P L P = P 34 P 23 = = L =((I 4E 32 )(I E 31 )(I 2E 21 )(I 3E 41 )) 1 =(I 3E 41 ) 1 (I 2E 21 ) 1 (I E 31 ) 1 (I 4E 32 ) 1 =(I + 3E 41 )(I + 2E 21 )((I + E 31 )(I + 4E 32 ) =(I + 2E E 41 )(I + 4E 32 + E 31 ) 1 =I + 4E 32 + E E E 41 = I almänhet kan v bevsa följande satsen Sats Tll varje matrs A kan v htta en permutatonsmatrs P sådan att P A = LU där L är en undertrangulär matrs och U en trappmatrs Bevset av satsen är precs görs på samma sätt som exemplet Det enda bekymmer kan vara bevarng av den undertrangulära strukturen på I ce j när v flyttar P j tll matrsen A genom lkheten P j (I + ce km ) = (I + ce σk σ l )P j Men detta kan nte hända på grund av att m nte ändras av P j ty v nte permuterar raderna som v redan har använt så måste, j > m medan k ändras men ända upp tll j > m, vlka v redan har sett från exemplet Några tll begrepp A kallas nlpotent om A k = för något postvt tal k Om A är nlpotent sä är I A nverterbar och (I A) 1 = I + A + A A k 1 (som geometrskseren) V kan defnera vänster- och högernvers tll matrsen A (kan vara cke-kvadratsk) A har en vänsternvers om det fnns en matrs V sådan att V A = I och en högernvers om det fnns en matrs H sådan att AH = I Om A har både en vänsternvers och en högernvers så är de lka Rang av en matrs Rangen r(a) är lka med antalet rader som nte bara nnehåller nollor den trappmatrs som erhålles ur A genom systematsk Gauss-elmnaton Sats AX = B är lösbart om och endast om r(a B) = r(a) Yshao Zhou//