Blixtkurs i komplex integration

Transkript

1 Blxtkurs komplex ntegraton Sven Spanne 7 oktober 998 Komplex ntegraton Vad är en komplex kurvntegral? Antag att f z är en komplex funkton och att är en kurva det komplexa talplanet. Man kan då beräkna den komplexa kurvntegralen av f över så här; gå genom kurvan under ett ntervall a t b, dvs z z t genomlöper kurvan. Sampla ntervallet som a t 0 t t n b. Det ger punkterna z k z t k på kurvan. Då är f z dz k k f z k z k f z k z k t k t k b a f z dz dt dt z z 2 z 0 z 3 z n z n Vad gör man om man kan reella kurvntegraler? Dela upp f och z real- och magnärdel, f u v, z x y, dz dx dy. Då är och alltså f z dz u v dx dy udx vdy vdx udy f z dz udx vdy vdx udy Kan man sn Analys B så kan man kanske räkna ut de två reella kurvntegralerna tll höger. Det enda exemplet äknar man ut komplexa ntegraler med defntonen? Nej, det slpper man nästan alltd göra. Här nedan fnns det enda (nästan) nödvändga exemplet. Exempel Beräkna ntegralen av f z ett varv postv led. z a över crkeln : z a r genomlöpt

2 KOMPLEX INTEGATION 2 Kurvan ges av z a re t, 0 t 2π. Detta ger dz dt z a dz ret och alltså är 2π 0 re t ret dt 2π 0 dt 2π r a Lägg märke framför allt tll att värdet nte beror av hur stor crkelns rade är. Alla ntegraler blr noll! Använder man Greens formel på uttrycken ovan fnner man att f z dz 0 om är en sluten kurva f z är analytsk överallt nnanför (och på) kurvan. (Detta kallas för auchys ntegralsats, sats 3.3). Alla ntegraler blr lka! Antag nu att två kurvor och 2 har samma begynnelsepunkt och samma slutpunkt. Om f z är analytsk överallt mellan kurvorna, så är 2 f z dz 2 f z dz Detta följer av att kurvan 2 (först, sedan 2 baklänges) är sluten och f z är analytsk överallt nnanför den. Alltså är 2 0 enlgt auchys ntegralsats. (Om de båda kurvorna skär varandra fler punkter än början och slut får man tänka några ögonblck tll.) Anm. I sats 3.6 fnns beskrvet ett antal relatoner mellan olka egenskaper hos f som har med analytctet och ntegraton att göra.

3 2 ESIDYKALKYL 3 Att återblda funktoner Om så är är en sluten postvt orenterad kurva (som nte skär över sg själv) f z är analytsk nnanför (och på) a är en punkt nnanför f a 2π f z z a dz Man kan alltså rekonstruera f nnanför kurvan med hjälp endast av dess värden på kurvan. Formeln kallas för auchys ntegralformel (sats 3.8). Härlednngen går mycket förkortat tll ungefär så här (med r : z a r): f z z a dz f a f z r z a dz r z a dz f a 2π r a Först flyttar v ntegratonsvägen tll en lten crkel krng a, sedan använder v att f z f a om z a. 2 esdykalkyl Inte alla ntegraler är noll! Integraler över en sluten kurva är som synes ovan nte alltd noll och kan därför vara användbara. Anlednngen är då att f z nte är analytsk överallt nnanför kurvan. Det enklaste fallet, och det enda v skall se på här, är att f z är analytsk utom ett antal enstaka punkter. I allmänhet svarar dessa punkter mot nollställen en nämnare, och de kallas då för funktonens poler. I fguren är polerna markerade med kryss. I fall där funktonen är analytsk utom ett antal poler fnns effektva metoder att beräkna ntegralens värde utan att man behöver leta efter prmtva funktoner etc. Detta är en favortmetod bland teknker för att beräkna ntegraler.

4 3 ANVÄNDNINGA AV ESIDYSATSEN 4 2. esdysatsen Idén för metoden är samma som bevset av auchys ntegralformel. Man flyttar ntegratonskurvan utan att gå över sngularteter (punkter där f ej är analytsk). Då ändras nte ntegralens värde. Som framgår av fguren kan man ersätta det ursprunglga -et med små crklar, en krng varje pol. z z n z Detta kan skrvas 2 Nu nför man en specell betecknng. Med resdyn av funktonen f punkten z a menas talet Förutsättnngarna är es z f z a 2π a r n f z dz a r är en (lten) crkel med rade r och medelpunkt a, genomlöpt ett varv postv led funktonen f z är analytsk överallt nnanför a r men ej (nödvändgtvs) z a. Då beror värdet av ntegralen nte på r. (Faktorn 2π gör det lättare att beräkna resdyerna.) esultatet är esdysatsen: Beräknng av resdyer f z dz 2π n k es f z z z k För beräknng av resdyer fnns ett antal regler, som kan återfnnas på formelbladet. Ännu enklare är att använda Maple, som har en funkton resdue som tar fram resdyerna drekt. 3 Användnngar av resdysatsen esdysatsen har många användnngar, men v skall här bara se på några beräknngar av ntegraler över ett reellt ntervall. Här måste man på något sätt fxa tll en sluten kurva från det reella ntervallet. Det fnns två varanter:

5 3 ANVÄNDNINGA AV ESIDYSATSEN 5 2π, tolkas om som en ntegral över enhetscrkel (baklänges parametrserng) som sedan beräknas med resdysatsen. En reell ntegral, t ex över ntervallet 0 t En reell ntegral över hela reella axeln (generalserad från tll ) är gränsvärde av en ntegral från tll då. Integralen över utökas tll en sluten kurva genom tllägg av en stor halvcrkel, vars bdrag sedan försvnner då. I det senare fallet gäller det att verklgen verfera att bdraget från den tllagda halvcrkeln försvnner, annars får man fel värde eller tror sg ha funnt ett värde på en dvergent ntegral. I K atonella funktoner Se även avsntt 3.6. V vsar nedan hur man med Maple och resdysatsen kan beräkna en relatvt komplcerade ntegraler. Exempel 2 Beräkna ntegralen "! x 2 4 x 2 2 dx Lösnng: Integranden har enkelpoler $ och dubbelpoler $ 2. V väljer att sluta ntegratonsvägen med en stor halvcrkel övre halvplanet. 2 2 I K Integralen kan alltså beräknas med formlerna g z! g x dx z 2 z π es g z es z z g z 2 V låter Maple beräkna den dels med sn egen metod (som här bygger på prmtva funktoner), dels med resdykalkyl: % readlb(resdue); proc(f,a)... end

6 3 ANVÄNDNINGA AV ESIDYSATSEN 6 % g:=z->/(+z^2)/(4+z^2)^2; g : z z 2 4 z 2 2 % Int(g(x),x=-nfnty..nfnty)=nt(g(x),x=-nfnty..nfnty); x 2 4 x 2 2 dx 5 44 π % 2*P*I*(resdue(g(z),z=I)+resdue(g(z),z=2*I)); Det blr lycklgtvs samma svar π Fourertransformer Integraler av typen ovan går att klara med partalbråksuppdelnng, även om det är jobbgare än med resdymetoden. Nu kommer v tll en typ där det nte fnns någon elementär prmtv funkton alls. En ntegral av typen! e tx f x dx kallas för en Fourerntegral. (Parametern t svarar mot lärobokens ξ men är lättare att skrva för teknologer.) Den påmnner om Fourerkoeffcenterna, men är utsträckt över hela reella axeln stället för över ett perodntervall. Om f t ex är en ratonell funkton så beräknas Fourerntegralen med fördel med resdymetoden, men här uppstår ett nytt problem. Antag att v lägger tll en halvcrkel K övre halvplanet. Kan verklgen ntegralen över den tllagda halvcrkeln försummas, dvs är e tz f z ltet på halvcrkeln? Det vsar sg (se läroboken) att detta hänger mest på exponentalfaktorn. Om z x y så är tz tx ty och v får e tz & e etz e # ty Om t ' 0 så är allt gott och väl, även y är postvt övre halvplanet och e # ty är ltet där. V kan då använda resdyformeln! e xt f x dx 2π Imz( 0 ese tz f z z Om t ) 0 så fungerar det däremot nte. Man måste då stället lägga tll en halvcrkel nedre halvplanet. Detta nnebär att ntegratonskurvan går runt negatv led, vlket måste kompenseras med ett mnustecken resdyformeln, som detta fall alltså får utseendet! t ' 0 K e xt f x dx * 2π ese tz f z t ) 0 z Imz+ 0

7 3 ANVÄNDNINGA AV ESIDYSATSEN 7 Exempel 3 V beräknar Fourerntegralen! e tx x 2 dx K Lösnng: Integranden är f z z 2 med poler z $. I övre halvplanet lgger polen och undre halvplanet polen. Maplekommandot I 2*P*I*resdue(exp(I*t*z)/(z^2+),z=I); ger svaret πe # t, vlket alltså är svaret då t ' 0. Maplekommandot I -2*P*I*resdue(exp(I*t*z)/(z^2+),z=- I); ger svaret πe t, vlket är svaret då t ) 0. Integralens värde har alltså olka utseenden för t ' 0 och t ) 0. Med hjälp av absolutbelopp kan här de båda fallen sammanföras en enda formel. Svar: Integralens värde är πe #-, t,. Observera att Maple ofta ger fel svar om man försöker räkna ut sådana ntegraler drekt! Kommandot nt(exp(i*x)/(+x^2),x=-nfnty..nfnty) (alltså t ) ger svaret 0 som är helt fel! Trgonometrska ntegraler Idén är att en trgonometrsk ntegral av formen 2π 0 cost snt dt kan överföras på en komplex ntegral över enhetscrkeln z. sedan lätt med resdykalkyl. Parametrserngen är ju z re t, 0 t 2π. Detta ger dz e t dt zdt snt e 2 / t e # t0 2 z z# cost K, och denna beräknas e 2 / t e # t0 2 z z# Exempel 4 Beräkna ntegralen I 2π Substtutonerna ovan ger efter förenklng I 4 2 z z # 0 4 snt dt dz * 2 z z 2 8z dz

8 3 ANVÄNDNINGA AV ESIDYSATSEN 8 där är enhetscrkeln. V vll använda resdysatsen och behöver därför nämnarens poler. Lösnng av ekvatonen ger z 2 8z 0 32 z 2 4 $ $ 4 5 oten z lgger utanför enhetscrkeln lgger nut. esdysatsen ger medan z 2 alltså 6 4 : I * 2 ; 2πes z z 2 z 2 8z < = 4π es z z 2 z 2 8z Detta uttryck kan mycket lätt beräknas med resdyregel 4 på formelbladet, om man vll träna komplex räknng för hand. Annars ger Maple svaret med kommandot -4*P*I*resdue(/(z^2-8*I*z-),z=I*(4-sqrt(5))); I 2 π4 5 5