Biomekanik, 5 poäng Masscentrum

Transkript

1 Boekank, 5 poäng Masscentru Masscentru Tyngdpunkt Spelar en central roll no såväl statk so dynak. Masscentru tllhör de storheter an använder för att sna beräknngar beskrva en kropp sn helhet. Istället för att undersöka hur varje enskld lte del kropp uppför sg räcker det alltså att använda sg av: assa asscentru G asströghetsoent I etc. Man skljer på begreppen tyngdpunkt och asscentru. Det första begreppet förutsätter exstensen av ett tyngdkraftsfält, det andra begreppet kan även hänföras tll en stel kropp yttre ryden. Tyngdpunkt och asscentru saanfaller dock o den kropp an studerar fnns ett hoogent tyngdkraftsfält! Bestänng av tyngdpunkt Praktsk bestänng En kropp ed godtycklgt utseende och assa hängs tur och ordnng upp fästpunkterna A, B och C. Kroppens tyngdpunkt koer att lgga någonstans på förlängnngslnjen från lnan tll upphängnngspunkten. Geno att göra detta för tre punkter får an fra en skärnngspunkt so ed god precson ger tyngdpunktens läge. P. Carlsson

2 Boekank, 5 poäng Masscentru Mateatsk bestänng använder det v tdgare lärt oss o resultanter för kraftsyste sat hur an bestäer läge för resultanten. Saa teknk är även användbar för att bestäa tyngdpunktens läge! För fguren tll vänster gäller att Fy g Då tyngdacceleratonen g är lka stor på satlga sådelar kan v skrva Fy g g Resulterande kraft är alltså g (nte helt oväntat). För att veta var den resulterande kraften angrper, alltså tyngdpunktens läge, kan v utnyttja följande saband. Mnnesregel: Det helas oent är lka ed delarnas oent! Eller, ateatsk for: r g gr O g förkortas bort får v r r r r P. Carlsson 2

3 Boekank, 5 poäng Masscentru Detta är ett vektorsaband, delar v upp x- och y-rktnngar på sedvanlgt sätt får v sabanden x y z y x z Forlerna ovan gäller även för saansatta kroppar där v vet tyngdpunktsläget för varje enskld del. För fguren tll höger gäller alltså x x x + 2 x2 + 3 x där (totala assan). P. Carlsson 3

4 Boekank, 5 poäng Masscentru Ex. En rät kon ed höjden H och basraden R vlar på ett halvklot ed raden R. Bestä z-koordnaten för den saansatta kroppens geensaa asscentru. Bestä z G specellt för fallet H R. P. Carlsson 4

5 Boekank, 5 poäng Masscentru Kontnuerlg assfördelnng, asscentru för areor, lnjer För kroppar ed kontnuerlg assfördelnng, när suorna består av en oändlg assa terer, övergår an läplgen tll ntegraler. x y x y xd yd osv. I de fall där v har konstant täthet ρ kroppen kan v skrva ρ, d ρd Sätter v n detta forlerna ovan får v t.ex. x x x xd ρ ρ x ρ x xρd xd osv. för övrga koordnater. P. Carlsson 5

6 Boekank, 5 poäng Masscentru Ytterlgare förenklngar kan göras för kroppar av två- eller endensonell karaktär. Areor So rena areor kan behandlas kroppar so har en lten en konstant tjocklek (plåtar etc.). Densteten förutsätts konstant! I detta fall gäller At där t är tjockleken. Införs detta t.ex. foreln för x-koordnaten får v x x x A t x A x A t A xd xtda xda A t A och otsvarande saband för y-koordnaten. njer Böjda trådar, lnjen ett stansverktyg arbetar utefter etc. kan behandlas so endensonella lnjer. gäller nu att A, d A d där A är trådens tvärsnttsarea och är dess totala längd. Detta ger t.ex. x x x xd A A A x x A d x xd P. Carlsson 6

7 Boekank, 5 poäng Masscentru Ex 2. Bestä y-koordnaten för asscentrus läge för trangeln fguren. Ex 3. Bestä tyngdpunktsläget för vdstående fgur! P. Carlsson 7

8 Boekank, 5 poäng Masscentru Mer o tyngdpunkter, asscentru En höjdhoppares tyngdpunkt behöver nte passera över rbban! Tyngdpunktslägen för en person frtt fall (Ingen yttre kraft: Ingen rörelse av tyngdpunkten) P. Carlsson 8

9 Boekank, 5 poäng Masscentru Inga yttre krafter, tyngdpunkten rör sg ej! P. Carlsson 9

10 Boekank, 5 poäng Masscentru Ex 4. En 60 kg:s kvnna A, en 90 kg:s kapten B och en 80 kg:s sjöän C stter en stllastående båt so väger 50 kg. O de tre personerna skftar postoner tll de lägen so vsas den undre fguren, beräkna hur stor sträcka x båten rör sg från den tdgare postonen. Bortse från vattnets otstånd. Spelar det någon roll vlken ordnng personerna ntar sna nya lägen? Svar: x 0,095 P. Carlsson 0

11 Boekank, 5 poäng Masscentru arför når ålvakten bollen den undre fguren? Så kallat häng basket P. Carlsson