Vektoranalys, snabbrepetition. Vektorfält

Transkript

1 Vektorfält Ett vektorfält F är en funktion F : R 2 R 2. (Eller mer allmänt en funktion R n R n.) Observera att F(x, y) har två komponenter, som båda beror av x och y. Låt oss kalla dessa komponenter för P resp Q. Dvs, F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) Vanligen antar vi att F är C 1, dvs funktionerna P och Q är båda C 1 -funktioner.

2 Kurvintegraler Om F = (P, Q) är ett vektorfält och en kurva, så kan vi definiera kurvintegralen av F längs. För att göra detta måste vi först välja en parametrisering av kurvan, dvs Därefter definierar vi F dr = : r(t) = (x(t), y(t)), a t b. b a F(r(t)) r (t) dt. Alternativt beteckningssätt: P dx + Q dy. Fysikalisk tolkning: Arbete. Obs att definitionen ofta räcker för att beräkna en viss kurvintegral.

3 Greens formel Om kurvan är sluten, dvs har samma start- och ändpunkt, kan Greens formel ge en enklare metod att beräkna kurvintegraler. Sats (Greens formel) Om är en sluten (styckvis C 1 -kurva) som omsluter området D och F = (P, Q) är ett vektorfält (som är C 1 på en omgivning av D), så F dr = P dx + Q dy = D ( Q x P ) dx dy y Greens formel kan ibland användas för att förenkla beräkningen av F dr även om inte är sluten. (Genom att på ett smart sätt sluta till.)

4 Konservativa vektorfält Definition Låt F = (P, Q) vara ett vektorfält, definierat på området D. Vi säger att F är konservativt (på D) om det existerar en funktion U(x, y), definierad på D som uppfyller att grad U = F. (Funktionen U kallas i så fall en potentialfunktion till F.) Funktionen U hittas lämpligen genom att lösa systemet U x = P, U y = Q. Om detta ekvationssystem saknar lösning är fältet inte konservativt.

5 Konservativa vektorfält och kurvintegraler Observera att om F är konservativt, så finns det en enkel metod att beräkna kurvintegralen av F längs en kurva: F dr = U(B) U(A), där U är en potentialfunktion till F och A och B är kurvans startrespektive ändpunkt. I synnerhet gäller att F dr = 0 om F är konservativt, och är sluten. Slutsats: Om man måste beräkna F dr, kan det vara en god idé att undersöka om F är konservativt! Fysikalisk tolkning: Kopplingen potentiell energi/arbete.

6 Ett nödvändigt villkor för konservativitet Anta att F = (P, Q) är ett C 1 -vektorfält. Om F är konservativt, så finns en potentialfunktion U (som är C 2 ). Eftersom grad U = (P, Q), så följer att 2 U y x = P y och 2 U x y = Q x. Eftersom U är C 2, så är de blandade andraderivatorna lika. Ett konservativt vektorfält måste alltså uppfylla att P y = Q x. Observera att omvändingen inte är sann (utan extra villkor)!

7 Ett viktigt exempel Låt B(x, y) = ( ) y x 2 + y 2, x x 2 + y 2. En enkel beräkning visar att B uppfyller villkoret P y = Q x, men B är ändå inte konservativt, eftersom B dr = = 2π om är (den positivt orienterade) enhetscirkeln.

8 Greens formel och konservativa vektorfält Anta att F = (P, Q) uppfyller att P y = Q x, och att är en sluten kurva som omsluter ett område D, där ovanstående villkor är uppfyllt. Greens formel ger att ( Q F dr = x P ) dx dy = 0 dx dy = 0. y D Däremot får vi problem om området D innehåller någon singularitet for F. Tänk på exemplet med B! D

9 Greens formel och konservativa vektorfält, forts Anta att F = (P, Q) uppfyller att P y = Q x, på ett enkelt sammanhängande område D. Varje sluten kurva i omsluter då ett område på vilket ovanstående villkor är uppfyllt, dvs F dr = 0 för varje sluten kurva i D. Detta medför i sin tur att F har en potentialfunktion på D, dvs att F är konservativt. Slutsats: Om F uppfyller det nödvändiga villkoret för konservativitet och definitionsmängden för F är enkelt sammanhängande, så är F konservativt.

10 Det viktiga exemplet, en gång till Låt B(x, y) = ( ) y x 2 + y 2, x x 2 + y 2. Om är en sluten kurva som inte omsluter origo, så blir B dr = 0 (enligt Greens formel). Om är en sluten kurva som snurrar ett varv kring origo i positiv riktning, så blir B dr = 2π.

11