18 Kurvintegraler Greens formel och potential
|
|
- Carl-Johan Forsberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Nr 8, 6 april -5, Amelia 8 Kurvintegraler Greens formel och potential 8. Greens formel Vi studerar i detta avsnitt kurvor i planet, i R. En kurvintegral är som vi sett en integral på en kurva i planet. Det generaliserar enkelintegralbegreppet, som kan ses som en kurvintegral på ett intervall på -aeln av en funktion som är oberoende av. Vi ska härnäst konstruera ett sätt att beräkna en kurvintegral över ett vektorfält (P (, ), Q(, )) som en dubbelintegral Greens formel. Vi har sett att man vid itererad integration av en dubbelintegral vid den första integrationen går från en dubbelintegral till en enkelintegral. Med Greens formel går man från en enkelintegral till en dubbelintegral. Greens formel är en sorts "baklänges itererad integration". Beviset av Greens formel består just av detta. Endast vissa kurvor definierar ett integrationsområde för en dubbelintegral i planet. Vi specificerar härnäst sådana kurvor. 8.. Kurvor i planet En orienterad kurva {((t),(t),z(t)),t [a, b],t a är startpunkt} är en sluten kurva om startpunkt och slutpunkt är samma punkt, dvs r(a) r(b). En sluten kurva kan mcket väl bestå av flera delkurvor En sluten kurva. En kurva som inte är sluten. En orienterad kurva {((t),(t),z(t)),t [a, b],t a är startpunkt} är en enkel kurva om den inte skär sig själv, dvs r(t ) 6 r(t ) för alla t och t i integrationsintervallet [a, b]. Alla parametervärden ger olika punkter. En åtta "8" är tdligen inte enkel, t den skär sig själv i en punkt. -
2 nte enkel men sluten. nte enkel, inte sluten. En kurva somärbådeenkelochslutenärrandtillettväldefinierat område D i planet som fungerar som integrationsområde för en dubbelintegral. Vi kräver också att längden av är ändlig. En kurvintegral av ett vektorfält (P (, ),Q(, )) där kurvan är sluten beteckas med smbolen, alltså P (, )d + Q(, )d. Eftersom F dr F dr måste vi också specificera vilken genomloppsriktning vi har. Positiv led defineras som moturs, dvs motsvarande väande vinklar till positiva -aeln. 8.. Greens formel Sats (Greens formel) Om vektorfältet har kontinuerliga partiella derivator P och Q överallt i D innanför den enkla slutna orienterade kurvan som genomlöps i positiv led och är rand till området D, så kan kurvintegralen beräknas som följande dubbelintegral: P (, )d + Q(, )d (Q P )dd. nte sällan är dubbelintegralen betdligt enklare att lösa. Greens formel spelar också en viktig roll för potentialbegreppet, som stra kommer att definieras. Observera att P och Q måste vara kontinuerliga överallt i D,detfårintefinnas någon diskontinuitetspunkt. Eempel (7) Beräkna R (4 )d +( 4 + )d längs från (, ) till (, ) och linjen från (, ) till (, ). D
3 Lösning: Denna kurvintegral beräknades i förra avsnittet, men beräknas här med Greens formel. Kurvan är sluten, enkel och genomlöps i positiv led. Vi får då enligt Greens formel ( 4 )d +( 4 + )d D D ( (4 + ) (4 ))dd (4 3 +)dd Nivåkurvor till funktionen ntegrationsområdet D. Vi kan integrera i -led först, dvs från till. Då går från till. Det ger (4 3 +))dd [4 3 + ] d ( )d [ ] ( 5 )8 5. Svar: ( 4 )d +( 4 + )d 8 5. Eempel 3 Beräkna positiv led. + d + + d längs cirkelbågen + i 3
4 Lösning: Här har vi en sluten kurva, men ändå kan Greens formel inte användas. Det beror på att vektorfältet F(, ) ( +, + ) inte är kontinuerligt i origo, som är en punkt innanför den slutna kurvan (cirkeln). Så vi måste parameterisera. Här är polära kooridinater enklast. Kurvan är sin t då (cos t, sin t) med t från till t π, och vektorfältet är ( cos t+sin t, cos t cos t+sin t ) ( sin t, cos t). En tangent är ( sin t, cos t), så vi får ntegralen blir således Svar: F r ( sin t, cos t) ( sin t, cos t) cos t +sin t. + d + + d + d + + d π. π dt π. Eempel 4 (8) Beräkna R (, ) till (, ). d d ( ) längs cirkelbågen + från Lösning: Här är inte någon sluten kurva, men vi kompletterar den med kurvan γ som är en rät linje mellan (, ) och (, ) (i denna ordning) så att + γ är en sluten kurva. Då håller vi oss också borta från linjen, där vektorfältet ( ( ), ( ) ) inte är definierat (noll i nämnaren) Vektorfältet ( ( ), ( ) ). -.5 ntegrationsområdet D. Vi lägger till och drar ifrån integralen över γ, så får vi en sluten kurva där vektorfältet är definierat överallt innanför kurvan. Då kan Greens formel 4
5 användas.vi får: d d ( ) Greens formel på +γ +γ d d ( ) + d d ( ) d d ( ) γ d d d d ( ) γ ( ) d d ( ). γ ger integranden ( ) ( ) {derivering av kvot} ( ) ( ) ( ) 4 + ( ) +( ) ( ) 4 Så +γ d d ( ) γ D + ( ) 3 + ( ) 3. dd. Den andra integralen löses lätt med parameterframställningen (t, t ), t [, ]. Vi får r (t) (, ), och d d tdt (t )dt ( ) (t (t )) Svar: R γ d d ( ). 8. Konservativa vektorfält dt. det senaste eemplet såg vi att P Q ledde till att F dr +γ Om vi igen delar upp integralen enligt F dr alltså +γ F dr + F dr 5 γ γ F dr, F dr
6 där och γ ärtvåolikakurvorfrån(, ) till (, ). Man säger då att kurvintegralen är oberoende av vägen, vilket är kännetecknande för ett konservativt vektorfält. Detta gäller generellt, som vi ska se härnäst. 8.. Områden i planet Vi behöver för fortsättningen två begrepp för områden D R. Definition 5 Ett område D R är sammanhängande om det för alla punkter (, ) och (, ) i D finns en kurva mellan punkterna som helt ligger i området. Ett område är alltså sammanhängande om det inte består av två eller flera "öar", utan det finns en väg mellan vilket par av punkter som helst Området innanför de båda cirklarna är inte sammanhängande. Definition 6 Ett område D R är enkelt sammanhängande om varje sluten kurva som ligger helt i D kan kontinuerligt krmpas till en punkt så att kurvan hela tiden under denna process ligger helt i D, inklusive punkten. Ett område är enkelt sammanhängande om det inte har några hål som inte ligger i D. Om D har ett hål så kan en sluten kurva runt detta hål inte krmpas till en punkt utan att någon del av kurvan någon gång passerar detta hål. så fall finns en del av kurvan inte i D någon gång under krmpningsprocessen. 6
7 Området mellan de båda cirklarna är inte enkelt sammanhängande. Notera att detta område är sammanhängande, tvarje par av punkter kan förbindas med en kurva helt i området. Området i de två disjunkta cirklarna är enkelt sammanhängande, t det saknas hål. Området { +, (, ) 6 (, )} är inte enkelt sammanhängande eftersom origo inte finns med. Det räcker att en punkt i det inre inte tillhör mängden för att området inte ska vara enkelt sammanhängande. Definition 7 Om F är ett vektorfält från R till R som är definierad i ett öppet och sammanhängande område D. Om F dr F dr för alla kurvor och γ med samma start- och slutpunkt, så är vektorfältet konservativt. Kurvintegralenärdåoberoendeavvägen. 8.3 Potential Om vektorfältet är konservativt i ett område D kanviskrivaenkurvintegral som (, ) F dr (, ) där (, ) är startpunkt och (, ) är slutpunkt, eftersom integralen har samma värde oberoende av vilken väg man går från (, ) till (, ). Detta betder att om vi fierar en punkt p iettområdetd så definieras en funktion på D av integralen (,) (, ) F dr. p Detta är en potential U(, ) till det konservativa vektorfältet F(, ). Det gäller då att (, ) (, ) γ F dr U(, ) U(, ), 7
8 t (, ) F dr p F dr+ (, ) (, ) p (, ) U(, ) U(, ). F dr Då gäller att dvs gradu F, t då får vi (, ) (, ) F dr {kedjeregeln} U(, ) P (, ) och U(, ) Q(, ), a a a a a a (Q((t),(t)) (t)+q((t),(t)) (t))dt (U ((t),(t)) (t)+u ((t),(t)) (t))dt ( d dt U((t),(t))dt U((b),(b)) U((a),(a)). En potential till ett konservativt vektorfält är en motsvarighet till en primtiv funktion för en funktion av en variabel. Observera att bara konservativa fält har potential. Däremot har alla kontinuerliga funktioner en primitiv funktion. 8.4 Eakta vektorfält Definition 8 Ett vektorfält (P (, ),Q(, )) är ett eakt vektorfält om P Q. Sats 9 Om D är sammanhängande är följande villkor ekvivalenta:. F är ett konservativt vektorfält. R F dr oberoendeavvägen 3. F dr om D 4. F har en potential. Om vi lägger till kravet att D dessutom ska vara enkelt sammanhängande så kan vi lägga till villkoret att vektorfältet är eakt: 8
9 Sats Om D är enkelt sammanhängande är följande villkor ekvivalenta:. F är ett konservativt vektorfält. R F dr oberoendeavvägen 3. F dr om D 4. F har en potential 5. F är ett eakt vektorfält. Orsaken till att eakta vektorfält är speciella är att P Q är ett lokalt villkor R man behöver bara testa enstaka punkter i området. Att integralen är F dr oberoende av vägen är inte lokalt. Nästa eempel belser detta. Eempel Är vektorfältet F ( 9} eakt? Konservativt? Lösning: Det är eakt t +, + ) på cirkelringen { + P + + ( + ) ( + )( ) ( + ), medan Q ( + )( ) + ( + ). Så P Q. Men om är cirkeln + 4så har vi parameterframställningen ( cos t, sint). Då har vi tangent ( sint, cost) och F 4 ( sin t, cos t), så F r 4 ( sin t, cos t) ( sint, cost) sin t + cos t. Så π F dr dt π som inte är noll. Så vektorfältet är inte konservativt. Svar: Vektorfältet är eakt men inte konservativt. Problemet är här att vektorfältet F ( +, + ) är singulärt i origo. Det går inte att komma undan denna singularitet genom att omdefiniera området t integrationen sker i en cirkel runt denna punkt. nästa eempel med samma vektorfält går detta bättre. Eempel Beräkna R (, ) till (, ). F dr då F ( +, + ) och då är kurvan från 9
10 Här har vi samma vektorfält, vilket är konservativt på området D { }. Detta område är enkelt sammanhängande och F är deriverbar överallt i D. Vi beräknar kurvintegralen genom att beräkna en potential U(, ) till F. U Detta ger genom -integration att + ( ) +. U(, ) arctan + f(). Här är f() någon funktion av. Derivation m.a.p. bekräftar detta. Deriverar vi nu m.a.p. så fås U ( arctan + f()) ( ) ( ) + + f () + + f (). Med f () så får vi U Q(, ). Så vi har potentialen U(, ) arctan. Då är F dr U(, ) U(, ) arctan arctan( ) π 4 + π 4 π. Svar: R F dr π Beräkningsmetoder av kurvintegraler En metod finns alltid: att sätta in en parameterframställning av kurvan och beräkna enkelintegralen enligt definitionen av kurvintegral. Om kurvan är sluten och vektorfältet deriverbart överallt i det inre så kan Greens formel användas. Om kurvan inte är sluten kankurvankompletterassådenblirslutenochpå så sätt att vektorfältet är deriverbart överallt i det inre. Då blir resultatet två integraler, en dubbelintegral från Greens formel och en enkelintegral över det kurvstcke som lades till. Om fältet är konservativt kan man bta kurva mellan de två punkterna till vilken kurva helst inom det område där vektorfältet är definierat. Man kan då också beräkna en potential, som i det senaste eemplet.
23 Konservativa fält i R 3 och rotation
Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast
Läs merVisa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)
Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om
Läs mer20 Integralkalkyl i R 3
Nr,9maj-,Amelia Integralkalkl i R 3 VI kommer härnäst att studera integraler av tredimensionella vektorfält: F(,, ) = (P (,, ), Q(,, ), R(,, )). Vi generaliserar kurvintegraler och Greens formel från R
Läs merdx x2 y 2 x 2 y Q = 2 x 2 y dy, P dx + Qdy. Innan vi kan använda t.ex. Greens formel så måste vi beräkna de vanliga partiella derivatorna.
Uppgift Beräkna kurvintegralen + d där är kurvan = från (, ) till (4, ). Lösning Här har vi ett fält F =(P, Q), där d, () så integralen är på formen P = +, Q = d, P d + Qd. Innan vi kan använda t.e. Greens
Läs mer11 Dubbelintegraler: itererad integration och variabelsubstitution
Nr, april -5, Amelia ubbelintegraler: itererad integration och variabelsubstitution. Itererad integration tterligare eempel Eempel (97k) Beräkna ( ) och ( ). ( 8) dd om begränsas av, 5 3.75.5.5.5.5 3.75
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merAB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet
AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),
Läs merPrimitiva funktioner i flerdim
Analys 36 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Primitiva funktioner i flerdim Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Primitiva funktioner i flerdim 1 (11) 1 Introduktion Att bestämma
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merVektoranalys, snabbrepetition. Vektorfält
Vektorfält Ett vektorfält F är en funktion F : R 2 R 2. (Eller mer allmänt en funktion R n R n.) Observera att F(x, y) har två komponenter, som båda beror av x och y. Låt oss kalla dessa komponenter för
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merx f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.
SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 211, 8. - 13. 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanals Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 5 mars 207 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På
Läs merIntegranden blir. Flödet ges alltså av = 3
Lektion 7, Flervariabelanals den 23 februari 2 6.4.2 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av ut ur sfären med ekvationen där a >. Flödet ut ur sfären ges av F e e + 2 e e + e 2 + 2 + 2 a 2 F d, som
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merVi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2
Lektion 6, Flervariabelanals den februari 6.. Beräkna div F och rot F av F e + e. Divergensen och rotationen ges av div F F,,,, + + + +, rot F F,,,, e e e z, +,,,. rot F F,, e e e z z, z, z z z, + z, z
Läs merTavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén
Tavelpresentation Grupp 6A avid Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén 3 mars 2017 1 Potentialfält Vi har tidigare introducerat vektorfält i planet som funktioner
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merLektionsblad 9, tis 16/2 2010
Lektionsblad 9, tis 16/2 2010 Först en gång till optimering med bivillkor. Lös uppgifterna 4.25 (om du har problem med denna väldigt typiska uppgift, så studera även lösningen till 4.24), 4.26 (nästan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs mer201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.
Kap..5,.8.9. Lutning, tangent, normal, derivata, höger och vänsterderivata, differential, allmänna deriveringsregler, kedjeregel, derivator av högre ordning, implicit derivering. Gränsvärden. 0. (A) Beräkna
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna
Läs mer= 0 genom att införa de nya
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, IT, W Flervariabelanals 9 1 19 Skrivtid: 8 13. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet
Läs merTMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola Datum: -- kl 4 8 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel 3-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merDubbelintegraler och volymberäkning
ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),
Läs merLektion 1. Kurvor i planet och i rummet
Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation
Läs merx (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen -8-8, kl. 4.-8. TMV6 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 7-884 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna. För full
Läs merBlixtkurs i komplex integration
Blixtkurs i komplex integration Sven Spanne 8 oktober 996 Komplex integration Vad är en komplex kurvintegral? Antag att f z är en komplex funktion och att är en kurva i det komplexa talplanet. Man kan
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08
Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 15.1 Vektorfält och skalärfält 15.2 Konservativa vektorfält (t.o.m. exempel 5) 15.3 Kurvintegraler 15.4 Kurvintegral av vektorfält 15.5 Ytor
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS --3 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna dubbelintegralen y ddy, där är
Läs merLösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer
Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOCKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 4-5-7 Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer 7 maj 4, kl. 9:-4:. (a) Integralen
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merÖvningstenta: Lösningsförslag
Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2
TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det
Läs mer10 Beräkning av dubbelintegraler
Nr,7april-,Amelia Beräkning av dubbelintegraler. Bte av integrationsordning Eempel (96) Kasta om integrationsordningen i a) b) c) Z Z e Z 6 Z d d d Z ln Z f(, )d f(, )d f(, )d. Lösning: Med hjälp av figurer
Läs merEn normalvektor till g:s nivåyta i punkten ( 1, 1, f(1, 1) ) är gradienten. Lektion 6, Flervariabelanalys den 27 januari z x=y=1.
Lektion 6, Flervariabelanals den 27 januari 2000 1272 Givet funktionen och punkten p 1, 1, beräkna a gradienten till f i p, f, + b en ekvation för tangentplanet till f:s graf i punkten p, fp, c en ekvation
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merBERÄKNING AV KURVINTEGRALER (LINJEINTEGRALER)
BERÄKNING AV KURVINTEGRALER (LINJEINTEGRALER) Låt FF = (PP(xx, yy, z, QQ(xx, yy, z, RR(xx, yy, z) vara ett kontinuerligt vektorfält ( d v s en vektorfunktion) definierat i en öppen mängd Ω. Låt γ vara
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merKap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.
Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x
Läs merIntegraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill
Forelasning 6/9 ntegraler av vektorfalt Linjeintegraler Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). i vill da berakna arbetet som kraften utovar pa partikeln. Mellan
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det
Läs merTentamen MVE035 Flervariabelanalys F/TM
entamen MVE35 Flervariabelanals F/M 17-8- kl. 14. 18. Examinator: Peter Hegart, Matematiska vetenskaper, Chalmers elefonvakt: Peter Hegart, telefon: 766377873 alt. Ankn. 535, Anna Rehammar Hjälpmedel:
Läs mer3 Parameterframställningar
3 arameterframställningar Från och med nästa kapitel kommer mcket av vårt fokus ligga på olika integraluttrck med vektorvärda funktioner. Vi kommer eempelvis studera integreringen av vektorfält både längs
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merIntegration m.a.p. t av båda led ger. Lektion 13, Flervariabelanalys den 15 februari x(t) x(0) = log y(t) log y(0) = log.
Lektion 13, Flervariabelanals den 15 februari 2 15.1.2 Skissera vektorfältet och bestäm dess fältlinjer. F, = e + e I varje punkt, har vektorfältet en vektor med komponenter,, d.v.s. vektorn utgående från
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs merTMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C
MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola atum: 23-3-5 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Elin Solberg tel. 73-8834 TMV36/MVE35 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C Tentan rättas och
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs mer(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje
Läs mer1 Koordinattransformationer
Nr 1, 21 feb -5, Amelia 2 Obs: "m.a.p." betyder "med avseende på". 1 Koordinattransformationer 1.1 Bakgrund (inte på denna föreläsning) 1.1.1 Från R till R 2, och R till R 3 Vi har sett att en funktion
Läs merLäsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed.
Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed. Del 2 (funktioner av flera variabler). Omfattning: Kapitel 8.2, 8.3 t.o.m. s 497, 8.4, endast båglängd, 8.5 tom s. 506, 10.1, 10.5,
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Läs merKap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.
Kap. 2. 2.2. Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. 20. Skissera definitionsmängden till följande funktioner: A a. f(,) = ln ( 2 2 ) A b.
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs merLösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer
Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 5-- Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer aril 5, kl 9:-: (a) Vi använder
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Löningförlag Fredag 8 juni 8 8:-3: SF74 Flervariabelanaly Inga hjälpmedel är tillåtna Ma: 4 poäng (4 poäng Rita följande mängder i R : (a A {(, y R ma(, y } (b B {(, y R + y 4 4 4y y } (c C {(,
Läs mer2.5 Partiella derivator av högre ordning.
2.3 Kedjeregeln Pass 4 Antag att: 1. funktionen f( x) = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )) är dierentierbar i N R n ; 2. funktionen g( t) = (g 1 (t 1, t 2,..., t p ),..., g n (t 1,
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv
Flervariabelanalys I Vintern 11 Översikt föreläsningar vecka 6 tintegraler Givet en yta i rummet och en funktion f x, y,z f dsdär ds är det så kallade ytelementet. ( ) kommer vi att studera ytintegraler,
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet
Läs merEndast kommenterade svar!!! OBS: Inte alla delsteg är redovisade!
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Annemarie Luger Lösningsförslag Anals, problemlösning, 7.5 hp Matematik I den 5 februari 4 Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merTentamen MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs mer