SF1626 Flervariabelanalys

Transkript

1 1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4

2 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt Funktioner från R till R n (vektorvärda funktioner) Partikelrörelse: Hastighet, fart, acceleration, Kurvor och parametrisering Båglängd Dagens minitenta

3 3 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Funktioner från R till R n Vi betraktar funktioner r : I R n, där I R är ett intervall. r(t) = (x 1 (t),, x n (t)). Speciellt i 3 dimensioner skriver man ofta r(t) = (x(t), y(t), z(t)).

4 4 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Tre Exempel Ex I r : [0, 2π] R 2, r(t) = (cos t, sin t). Ex II r : [0, 2π] R 3, r(t) = (cos t, sin t, t). Ex III r : (, ) R 3, r(t) = (t, 2t, 3t). Kan du beskriva dessa kurvor med ord? Vad säger din bänkkamrat?

5 5 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Funktioner från R till R n Gränsvärde: Att lim t t0 r(t) = r 0 betyder att för varje tal ɛ > 0 finns ett tal δ > 0 så att 0 < t t 0 < δ = r(t) r 0 < ɛ Kontinuitet: Att r är kontinuerlig i en punkt t 0 I betyder att lim r(t) = r(t 0 ). t t 0

6 6 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Funktioner från R till R n Derivata: v(t) = r r(t + t) r(t) (t) = lim t 0 t om detta gränsvärde existerar. Obs att derivatan är en vektor.

7 7 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Position och hastighetsvektor grafisk Bilden visar: Positionsvektor r(t), samt hastighetsvektor v(t) = r (t). v(t) är tangentvektor till kurvan i punkten r(t). Från Algebrakursen: Ekvationen för tangentlinjen i punkten P 0 = r(t 0 ) blir P 0 + sv(t 0 ) där s R.

8 Gränsvärden och derivator tas komponentvis - ett exempel Om r(t) = (cos t, sin t) är r 1 (t) = lim ((cos(t + t), sin(t + t)) (cos t, sin t)) t 0 t ( ) cos(t + t) cos t sin(t + t) sin t = lim, = t 0 t t ( ) cos(t + t) cos t sin(t + t) sin t = lim, lim t 0 t t 0 t = ( sin t, cos t) Derivering sker komponentvis Om r(t) = (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) fås på samma sätt att r (t) = ( x 1 (t), x 2 (t),..., x n(t) ). 8 / 28

9 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Tolkningar av vektorvärda funktioner Kurvor i R n : r : R R n, parametrisering av en kurva. Kinematik: En partikel rör sig längs kurvan och r(t) anger partikelns position vid tidpunkten t. Hastighet: v = r (en vektor tangentiell till kurvan) Fart: v = r (ett positivt reelt tal) Accelerationen: a = v = r (en vektor) Frågeställningar Hur ser kurvan/partikelns bana ut? Tangentvektorer och normalvektorer? Hur lång är kurvan/partikelns bana? 9 / 28

10 10 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Exempel En partikels rörelse i xy-planet ges av r(t) = (2 cos 3πt, 3 sin 2πt), t 0. Beräkna partikelns hastighet och fart vid tiden t.

11 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Exempel En partikels rörelse i xy-planet ges av r(t) = (2 cos 3πt, 3 sin 2πt), t 0. Beräkna partikelns hastighet och fart vid tiden t. Lösning Hastigheten ges av v(t) = r (t) = ( 6π sin 3πt, 6π cos 2πt). Farten ges av v = ( 6π sin 3πt) 2 + (6π cos 2πt) / 28

12 11 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Uppgift: En kurva i xyz-rymden parametriseras av r(t) = (t, t 2, 2), t R Visa att punkten ( 1, 1, 2) ligger på kurvan och ange en ekvation för tangentlinjen till kurvan i denna punkt.

13 12 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Deriveringsregler d dt (λ(t)u(t)) = λ (t)u(t) + λ(t)u (t) d dt (u(t) v(t)) = u (t) v(t) + u(t) v (t) d dt (u(t) v(t)) = u (t) v(t) + u(t) v (t) d dt (u(λ(t))) = λ (t)u (λ(t))

14 13 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Exempel Låt r vara en positionsvektor och v dess hastighet (vektor). Vi har dessutom farten v(t) = v(t) och accelerationen a. Efter derivering har vi d dt v 2 = d dt (v v) = 2v v = 2v a. Om nu farten är konstant får vi d dt v 2 = 0 och från ekvationen ovan att v a = 0. Dvs farten är konstant om och endast om accelerationen är ortogonal mot hastigheten.

15 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Parametrisering av kurvor Det är ytterst viktig att ni kan behärska konsten att parametrisera en kurva i planet eller rymden. Gör flera övningar på detta. I boken finns en del exempel, och här ska vi göra några till. Exempel: Parametrisering av funktionsgraf i planet Grafen till funktionen y = f (x), där a x b, är en kurva i planet och kan parametriseras genom valet x = t och vi får kurvan C : (t, f (t)), a t b. Det går lika väl att skriva detta som C : (x, f (x)), a x b. 14 / 28

16 15 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Exempel En kurva C ges i parameterform av Rita kurvan i planet. Om vi sätter x = 2t, så får vi dvs C : (2t, t 2 1), 0 t 1. 0 x 2, t = x/2, y = t 2 1 = (x/2) 2 1, y = x 2 4 1, 0 x 2 som representerar en parabel i planet.

17 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Uppgift: En kurva C ges i parameterform av C : (x(t), y(t)) = (t 1, t 2 + 2t), 0 t 2. Skissera kurvan i xy-planet. 16 / 28

18 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Uppgift: En kurva C ges i parameterform av C : (x(t), y(t)) = (t 1, t 2 + 2t), 0 t 2. Skissera kurvan i xy-planet. Tips: Sätt x = t 1 och kvadratkomplettera andra komponenten. 16 / 28

19 17 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Exempel: Kurva i rymden En kurva C som går från (0, 0, 0) till (1, 1, 2) ges genom skärningen x = y, z = x 2 + y 2. Skriv kurvan på parameterform.

20 17 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Exempel: Kurva i rymden En kurva C som går från (0, 0, 0) till (1, 1, 2) ges genom skärningen x = y, z = x 2 + y 2. Skriv kurvan på parameterform. Valet x = t ger y = t och z = 2t 2. Vidare är 0 t 1 (varför?). Dvs vi har C : (t, t, 2t 2 ), 0 t 1.

21 Exempel: Kurva i rymden: C : (t, t, 2t 2 ), 0 t / 28

22 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Båglängd Om r(t) = (x(t), y(t), z(t)), där a t b, är en parametrisering av en kurva i R 3, så ges längden L av kurvan genom L = b a r (t) dt = b (motsvarande i andra dimensioner) Varför denna formel? a (dx ) 2 + dt ( ) dy 2 + dt ( ) dz 2 dt 19 / 28

23 20 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Varje kurvstycke C j approximeras med motsvarande segment som har längden r j r j 1 C j Figur: Approximation av en kurva med styckvis raka segment

24 21 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Båglängd n n Kurvans Längd = C j r j r j 1 = där n ( ) rj r j 1 (t j t j 1 ) t j t j 1 j=1 j=1 j=1 n r (t j ) t j j=1 t j = t j t j 1. b a r (t) dt,

25 22 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Båglängdselement Om vi definierar kurvans längd från r(t) till r(t) genom s(t) = t a v(τ)dτ = t a r (τ) dτ, så får vi enligt 1-variabelanalys att s (t) = v(t). Därför kan vi formellt sätta b ds = v(t)dt och s = ds = r (t) dt. C a

26 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Båglängdselement funktionskurva Om kurvan ges av y = f (x) (i planet), så får vi enligt tidigare med parametriseringen att C : r(x) = (x, f (x)), där x är parametern nu, dvs t = x. Vi får att ds = r (x) dx = 1 + (f (x)) 2 dx. Båglängdselement för polära koordinater i planet Motsvarande båglängdselement i planet för polära koordinater ges av ds = (g(θ)) 2 + (g (θ)) 2 dθ då r(θ) = g(θ)(cos θ, sin θ). 23 / 28

27 24 / 28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Exempel Beräkna längden av spiralkurvan r(t) = (cos t, sin t, t), 0 t 2π.

28 Vektorvärda funktioner av en reell variabel Exempel Beräkna längden av spiralkurvan r(t) = (cos t, sin t, t), 0 t 2π. Lösning: Vi har r (t) = ( sin t, cos t, 1), dvs ds = r dt = och längden blir 2π 0 ( sin t) 2 + (cos t) 2 + 1dt = 2dt ds = 2π 2 dt = 2 2π / 28

29 spiralkurvan 25 / 28

30 Dagens minitenta Låt r(t) beskriva en partikels position i xy-planet där den rör sig med en konstant vinkelhastighet ω radianer per sekund i en cirkel med radie R kring origo. a) Skriv upp uttrycket för r(t) om partikeln vid tiden t = 0 sekunder befinner sig i punkten (R, 0). b) Beräkna hastigheten r (t) och accelerationen r (t) för partikeln med hjälp av uttrycket från del a). c) Rita en figur av partikelns bana och rita i figuren hastigheten och accelerationen i en valfri tidpunkt. d) Arbetet som utförs av en kraft F(t) under rörelsen ges av F(t) dr. Newtons andra lag säger att den kraft som C verkar på partikeln är F(t) = mr (t), där m är partikelns massa. Vilket arbete utför denna kraft medan partikeln färdas ett halvt varv kring origo? 26 / 28

31 27 / 28 a) Om vi använder polära koordinater har vi r = R och θ = ωt och när vi skriver det i rektangulära koordinater får vi r(t) = (R cos(ωt), R sin(ωt)). b) Vi deriverar r(t) med avseende på t och får d) Arbetet ges av C F(t) dr = r (t) = ( Rω sin(ωt), Rω cos(ωt)) r (t) = ( Rω 2 cos(ωt), Rω 2 sin(ωt) ). t1 t 0 F(r(t)) r (t) dt = t1 eftersom r (t) är vinkelrät mot r (t) för alla t. t 0 mr (t) r (t) dt = 0

32 28 / 28 Läxa till nästa gång Gör detta: Läs avsnitten (se läsanvisningen) Räkna de rekommednderade uppgifterna Lös uppgift 1, 2 och 3 till Seminarium 1 Förbered föreläsning 3 genom att orientera dig om kapitel 12.1 och 12.2 samt titta på den förberedande filmen.