Mätfelsbehandling. Medelvärde och standardavvikelse

Transkript

1 Mätfelsbehandlng I alla fskalska försök har de värden an erhåller er eller ndre hög noggrannhet. Ibland är osäkerheten en ätnng fullständgt försubar förhållande tll den precson an vll ha. Andra gånger kan ätosäkerheten vara så stort att resultatet blr helt ontressant. Det gäller alltså att veta vlken osäkerhet an har hos sna ätdata sat vlken noggrannhet an behöver hos resultatet. I stället för ätosäkerhet talar an ofta o ätfel. I detta saanhang betder alltså ätfel nte att an gjort något drekt fel utan att det alltd fnns en osäkerhet, ett fel alla ätnngar. Mätfel brukar delas n två grupper: tllfällga fel och ssteatska fel. Låt oss förklara skllnaden ed ett eepel. Ett brev läggs 3 gånger på en ekansk brevvåg. Varje gång avläses vkten och v får följande resultat: 8, 9, 8, 7, 0, 8, 9, 8, 8, 8, 9, 7 och 8 gra. Den sprdnng av ätvärdena so an får kan bl.a. bero på brevets placerng på vågskålen, tröghet det ekanska ssteet, dålg avläsnng av skalan, osv. Sådana tllfällga fel uppträder slupässgt och kan därför behandlas statstskt. Geno att beräkna ett edelvärde får an en bättre uppskattnng av brevets vkt än o an använder ett ensklt ätvärde. För att få en uppfattnng o hur ätvärdena sprder sg kan an ange standardavvkelsen. Standardavvkelsen blr alltså en uppskattnng av osäkerheten/felet en enskld ätnng. u kan det tvärr hända att brevet nte alls väger runt 8 gra. Försltnng kan ha gjort att utslaget nte stäer ed skalstrecken. Vågen kanske nte var nollställd eller an gjorde avläsnngarna snett förhållande tll skalan. Denna tp av ssteatska fel är förödande efterso de nte försvnner då an bldar edelvärden. aturlgtvs skall an första hand försöka elnera de ssteatska felen en försöksuppställnng. Att göra en uppskattnng av ssteatska fel kräver ofta både erfarenhet och stora fskkunskaper och kan ånga gånger vara er tdskrävande än den aktuella ätnngen! Medelvärde och standardavvkelse O,, 3,..., n är de ensklda ätvärdena, beräknar an det artetska edelvärdet av ätseren <> på följande sätt: n n Standardavvkelsen, s, för ätseren defneras so n s n otera att både <> och s får saa enhet so. Låt oss beräkna edelvärdet och standardavvkelsen för vår ätsere ovan. V får <> = 8, g och s = 0,83 g.

2 oralfördelnngen Antag att v upprepade vägnngen av brevet ett cket stort antal gånger. Ett dagra där antalet gånger v får en vss assa eller hanar no ett ltet ntervall krng en vss assa avsätts ot assan blr den välkända noralfördelnngen, so vsas Fgur, och so ateatskt beskrvs av funktonen där f e f d tolkas so sannolkheten att få ett värde ntervallet d krng och f d. Fgur. Två noralfördelnngskurvor 4, och 0,. Det streckade orådet ellan otsvarar 68 % av fördelnngen. oralfördelnngen är setrsk krng det est sannolka värdet väntevärdet och har en bredd so beskrvs av standardavvkelsen. oralfördelnngen betecknas ofta,. I de flesta eperentella stuatoner beskrver an eellertd lnjebredder geno att ange FWHM Full Wdth at Half Mau eller hela bredden på halva höjden För noralfördelnngen blr sabandet: FWHM ln. Från eperentella ätnngar,, 3,..., n kan v uppskatta ed <> och ed s. Här gäller det att ha begreppen klara för sg, efterso v använder orden edelvärde och standardavvkelse betdelser ed olka betecknngar! Vår eperentella storhet har en statstsk fördelnng, t.e. noralfördelnngen, ed ett okänt "sant" edelvärde och en lkaledes okänd "sann" standardavvkelse. Det enda v kan göra är att va ätnngar uppskatta dessa storheter geno att beräkna edelvärden och

3 standardavvkelse från vår ätsere, <> och s. På engelska är an ofta tdlgare geno att, det senare fallet, tala o "saple ean" respektve "saple standard devaton". I vårt eepel ed brevet kan v alltså uppskatta sannolkheten att en vägnng ger ett vsst resultat från en noralfördelnng ed väntevärdet 8, g och standardavvkelsen 0,83 g. Det nnebär bl.a. att sannolkheten är 68 % att få ett resultat ellan 8, - 0,83 och 8, + 0,83 dvs ellan 7,4 och 9,0 g. Feluppskattnng på laboratoner Geno att göra långa ätserer kan an få en bra skattnng av väntevärden och standardavvkelser. På laboratonerna har Du dock ofta nte td att äta er än en gång. I andra saanhang kan eperenten vara så tdskrävande och drbara att an bara kan äta en eller högst ett fåtal gånger. Vad gör an då? Jo, Du får försöka uppskatta osäkerheten dn enda ätnng. Använder Du lnjal för att äta en sträcka är osäkerheten säkert 0, - 0,5. Vågar kan vara ärkta från ± kg ner tll ± 0,0005 g. Elektrska ultetrar kan ha osäkerheten angvet so ett vsst antal procent av fullt utslag, osv. Det går alltd att åstadkoa någon for av feluppskattnng även hos ett enstaka ätvärde. Därefter får Du använda feluppskattnngen stället för standardavvkelsen. För att sklja feluppskattnngar från standardavvkelser använder v betecknngar av tpen stället för s eller. Felfortplantnng Httlls har v bara dskuterat statstken krng en varabel t.e. assan av ett brev en den vanlgaste stuatonen är att den ntressanta storheten är en funkton av flera ätbara varabler f,,...,. V kan t.e. vlja ha en feluppskattnng av densteten av vårt brev från uppätta värden på assan och volen V, /V, eller bestäa osäkerheten spaltvdden b från en ätnng av dffraktonsvnkeln och våglängden, b = /sn. V dskuterar fall, dels en lnjärkobnaton av noralfördelade varabler och dels fallet ovan ed en godtcklg funkton f. Lnjärkobnaton av noralfördelade varabler O a där är oberoende noralfördelade varabler,,, och a konstant så gäller att också är noralfördelad och, där a och a Eepel : Sua O, och, så skattar v osäkerheten ed.

4 Eepel : Artetskt edelvärde I vår tdgare dskusson såg v att osäkerheten en ätnng av vkten av brevet kunde uppskattas ed den eperentella standardavvkelsen s = 0,83 g. Vad blr osäkerheten edelvärdet av vkterna? 3 3 där 8,, 0, ,83 0,83 3 0,3 Därför anger v brevets assa so = 8, ± 0, g Detta är det vanlgaste sättet att ange ätvärdena på. otera dock att sannolkheten för att assan lgger utanför de angvna gränserna är hela 3%! Det är alltså vktgt att koa håg att en standardavvkelses feluppskattnng verklgen nte betder att det rktga värdet åste lgga no de angvna felgränserna. O an stället anger gränserna so standardavvkelser så är sannolkheten ca. 95% att ntervallet nnehåller det rätta värdet. otera det vktga resultatet att osäkerheten edelvärdet nskar so / n när antalet ätnngar öka. Att osäkerheten bör nska ed fler ätnngar är väl ganska ntutvt en v ser också att det är drbart, en förbättrng ed en faktor 0 kostar 00 na ätnngar. Godtcklg funkton f Det vanlgaste fallet fsk är att den sökta storheten kan skrvas so en allän funkton av ett antal ätbara storheter: f,,..., O f är en ckelnjär funkton är det cket svårt att eakt bestäa en uppskattnng av felet från gva feluppskattnngar. V ska stället alltd använda en approatonsforel so härrör från Gauss. Geno att Talorutveckla funktonen runt kan an vsa att o varablerna är oberoende så gäller approatvt:... Detta är ett cket användbart resultat, so Du säkert koer att ha ntta av ånga stuatoner. Observera att det är en approaton, vars noggrannhet är bättre ju er lnjär f är no de oråden där lgger, dvs för [, ]. O f är eakt lnjär ger foreln saa resultat so för lnjärkobnatonen ovan. V llustrerar resultatet ed ett antal eepel.

5 Eepel 3: Arean av en crkel Arean av en crkel är A 4 och ange en feluppskattnng. Lösnng d. Du äter daetern d tll 0, c. Beräkna arean Först uppskattar v felet ätnngen av daetern. Antag att v äter ed en vanlg lnjal, då bör v säkert kunna äta no 0,5. O v nu avser att feluppskattnngen arean ska tolkas so standardavvkelse, dvs det tradtonella sättet att ange fel, åste v också använda standardavvkelse ätnngen av d so d. Efterso v säkert kan äta no 0,5 är d = 0,5 trolgen nte utan snarare standardavvkelser, enlgt dskussonen eepel. V väljer alltså d = 0,5. Observera att detta resoneang nog behövs de flesta fall o an ska vara noga, efterso det är lättare och naturlgare att uppskatta de aala felen en ätnng än att drekt gssa på ett värde där an har 3% sannolkhet att gssa fel. Felfortplantnngsforeln ger nu A d d A d d 0,48 c 0,5 c, där feluppskattnngen avser standard- Svar: Arean av crkeln är 8,7 avvkelse. I detta fallet har alltså en ätnng av d ed ca 3% fel gett en area ed ca 6% osäkerhet, vlket naturlgtvs koer sg av att v åste kvadrera den uppätta daetern. Eepel 4: Denstet V vll bestäa densteten hos en etallegerng. V äter och uppskattar V felen standardavvkelse assan och volen: = 33 ± g och V = 6, ± 0,6 c 3. Bestä densteten och ange en feluppskattnng. Lösnng Densteten beräknas tll = 5,47 g/c 3. Felfortplantnngsforeln ger nu V V 0, ,0083 V 0,003 0,056 Svar: Densteten är 5,4 0,06 g/c 3, där feluppskattnngen avser standardavvkelse. Här ser v att ett relatvt fel på 0,3 % kobnerat ed ett fel V på 0,99 % ger ett totalt uppskattat fel på, %. är an använder felfortplantnngsforeln är det alltd ntressant att beräkna och skrva ut varje ter för sg nnan an suerar efterso det då tdlgt fragår vlken/vlka av de ngående varablerna so bdrar est tll totalfelet. I detta eepel är det uppenbart att o an vll ha bättre noggrannhet densteten så ska an först och fräst förbättra ätnngen av volen.

6 Eepel 5: Spaltvdd Man vll bestäa en spaltvdd b geno att studera dffraktonsönstret so bldas då spalten belses ed ljus från en He-e laser. En skär placeras på avståndet L från spalten och an äter upp en sträcka ellan det fete nat på öse sdor o centralaat. Resultat: L = 7,00 ± 0,0 och = 438 ± Våglängden är bestäd tll = 63,8 ± 0,0 n. Bestä spaltvdden och ange en feluppskattnng. Lösnng Enlgt teorn för Fraunhoferdffrakton en enkelspalt gäller att vllkoret för nu en vnkel från spaltnoralen ges av b sn där = 5 är ordnngen och sn / L. L 5 7 6,38 0 b Felfortplantnngsforeln ger nu b,087,3 L 0 Svar: Spaltvdden är 0 0 4,554 b L, 0 L Geno att studera bdraget från de olka tererna ser v att osäkerheten spaltvdden nästan helt bestäs av osäkerheten ätnngen av avståndet ellan npunkterna. Observera att vår felberäknng bara avser de slupässga ätfelen. I foreln ovan har v ju också gjort approatonen sn tan / L, vlket kan leda tll ett ssteatskt fel, so v får studera separat. Eepel 6: Produkt - relatva fel Låt = där och är eperentella varabler ed feluppskattnngarna och. Bestä en feluppskattnng av. Lösnng Felfortplantnngsforeln ger: O v nu tar roten på bägge sdor och dvderar ed = får v

7 Eepel 7: Kvot - relatva fel Låt = / där och är eperentella varabler ed feluppskattnngarna och. Bestä en feluppskattnng av. Lösnng Felfortplantnngsforeln ger: O v nu tar roten på bägge sdor och dvderar ed = / får v även detta fallet De allänna resultaten eepel 6 och 7 kan v tolka och nnas ord so att det relatva felet en produkt eller en kvot beräknas so roten ur suan av de relatva felen varablerna kvadrat. Eepel 8: Logartsk transforaton V avslutar ed tterlgar en cket vanlg stuaton. Låt = ln där är en eperentell varabel ed feluppskattnngen. Bestä en feluppskattnng av. Lösnng Felfortplantnngsforeln ger: dvs