FK2002,FK2004. Föreläsning 5

Transkript

1 FK00,FK004 Föreläsnng 5

2 Föreläsnng 5 Labbrapporter Korrelatoner Dmensonsanalys Denna föreläsnng svarar mot kap. 9 (Taylor)

3 Labbrapporter Feedback+betyg skckas morgon. Några tps ett dagram hjälper alltd defnera varje term när du härledar en ekvaton (läsaren bör nte gssa) Vsa number crunchng om det är möjlgt. Ibland är det svårt att följa ett argument. Det är bra att se hur ett fel beräknas. Var tydlg och entydg t.ex. när du beräknar ett medelvärde, menar du ett vktat medelvärde?

4 Laboratoner Labb Glöm ej att boka en td N kan jobba grupper av två (kanske tre) studenter Labb 1 Om du mssade denna laboraton :00 FB43. A1+B1 ska utföras. Om du nte redan har fyllt pollen eller kontaktat mg för att säga att du ska göra denna labb måste du göra detta nu.

5 Påmnnelse Betrakta N mätnngar (t.ex. längd hos en person) N 1 1 Medelvärde: µ = x = ( x1 + x + x xn ) = x (1.1) N N Avvkelse: d = x x (1.) 1 1 N N Standardavvkelse σ = d = ( x x ) (1.3) N 1 = 1 N 1 = 1 Standardavvkelse kan betraktas som felet en ndvduell mätnng. 1 σ = σ (1.4) N σ är standardavveklsen medelvärdets fördelnng och kan betraktas som fel medelvärdet. Det vktade medelvärdet (om varje mätnng har ett vsst fel σ ) w x 1 1 Vkt: w = ; Medelvärdet: X = (3.18) ; Fel medelvärdet : σ = (3.0) σ w w = 1 Relevant för slumpmässga fel

6 Fråga En laborant mäter två kvantteter a och b som kombneras för att ge en mätnng av en kvanttet y. Betrakta felfortplantnngsekvaton: σ y y y a b a σ b σ = + Denna ekvaton kan användas om σ, σ a b = felen a och b. Kan denna ekvaton användas om σ, σ = standardavvkelse dvs för att räkna ut standardavvkelsen av y-fördelnngen? a b

7 Att hantera en mätsere En kula faller ner under en td t över en dstans d. Tden mäts 6 gånger av en laborant med en tdtagarur. Dstansen d = 96 ± cm har redan mäts nnan laboratonen. Apparatens nstruktoner anger ett systematskt fel td: σ = t 0.1s. 1 d = ut + at Den ntala hastgheten u = 0. Vad är den bästa uppskattnngen av a? d = a = 1 at d t Td /s

8 Vad vet v och vad vet v nte? V vet att det fnns ett fel tden som anges av tllverkaren. V vet nte om det är slumpmässgt eller påverkar varje mätnng (s.k. Korrelerade fel) på samma sätt dvs precsonen eller noggrannheten försämras. Felet medelvärdet beror på bredden och antalet mätnngar. Om precsonen försämras pga tllverkarens fel kommer detta fel att nkluderas på något sätt felet medelvärdet. 1 σ = σ (1.4) N t true t t true t

9 Våra mätnngar Antalet mätnngar t/s Det ovktade medelvärdet t t = = s Standardavvkelse= 1 5 ( t t ) 1 N 1 =0.7 s ( t t ) Fel medelvärdet σ t = = = 0.1s N 6 Felet medelvärdet ges av bredden och antalet mätnngar.

10 (1) Beräkna det ovktade medelvärdet t t = = 4.48 s 6 () Beräkna felet medelvärdet 1 Standardavvkelse= ( t ) t =0.7 s 5 Metod Fel medelvärdet σ t = = 0.1s 6 (3) Anta att tllverkarens fel nkluderas detta fel. Det totala felet tden =0.1s (man kan summera andra fel här om det behövs). (4) Beräkna acceleratonen med felet d a = = 9.57ms t a a 4d σ a = σ d + σ t = = 3 d t t t a = ± ms = 0.5ms

11 (1) Beräkna det ovktade medelvärdet t t = = 4.48 s 6 () Beräkna felet medelvärdet 1 Standardavvkelse= ( t ) t =0.7 s 5 Metod 0.7 Fel medelvärdet σ t = = 0.1s 6 (3) Anta att felet tden är samma för medelvärdet som för varje mätnng σ = σ + σ = + = Det totala felet tden t tot t t s Man kan också kvadratskt summera olka fel som v tror påverkar varje mätnng här. (4) Beräkna acceleratonen med felet d a = = 9.57ms t ms. a a 4d 4 96 σ a = σ d + σ t = = = 0.63ms 3 3 d t t t a = ±

12 (1) Beräkna det vktade medelvärdet Metod 3 ( ) ( ) Felet en tdsmätnng: = Fabrkantens fel + t.ex. felet pga mänsklga reaktonstden σ Anta v kan försumma alla fel förutom fabrkantens fel. Vkten för varje tdsmätnng w t w t + w t + w t + w t + w t + w t w + w + w + w + w + w = = () Beräkna felet medelvärdet = = = σ σ 0.1 t 4.48 s =100 s 1 1 Fel medelvärdet σ t = = = 0.04s w + w + w + w + w + w 600 (3) Beräkna acceleratonen och felet acceleratonen d a = = 9.57ms t ms. a a 4d 4 96 σ a = σ d + σ t = = = 0.6ms 3 3 d t t t a = ±

13 Några olka sätt att hantera felen. Metod Antagande Nackdelar 1 Felet tdär bara felet medelvärdet som nkluderar tllverkarens fel på något sätt. Felet td ären kombnaton av tllverkarensfel och felet medelvärdet. Tllverkarensfel betraktas som ett ckeslumpmässgt fel som påverkar varje mätnng på samma sätt (dvs varje mätnng är för hög eller för låg). 3 Det total felet tden för varje mätnng ges av olka bdrag (t.ex. tllverkarensfel, mänsklga reaktonstden osv) och felet varje mätnng är slumpmässgt dvs en mätnng är för hög och en annan mätnng är för låg. (1) Tllverkarensfel är kanske nte helt slumpmässgt. Det skulle nte vsa sg felet medelvärdet. () V vet nte hur mycket av tllverkarensfel nkluderas felet medelvärdet. (1) Det är möjlgt att v dubbelräknar felet dvs felet som ges av tllverkarensär kanske också en del av fel medelvärdet. () Det är möjlgt att tllverkarens fel är helt slumpmässgt. (1) Det är möjlgt att varje fel nte är helt slumpmässgt.

14 Dscusson Metod 1: a = 9.6 ± 0.5ms ;Metod : a = 9.6 ± 0.6ms ;Metod : a = 9.6 ± 0.3ms Tre vktga punkter: (1) Det fnns ngen "korrekt" metod. V har nte tllräcklg nformaton för att bestämma hur v bör hantera felen. Detta händer ofta/alltd när man utför ett experment. () Icke-slumpmässga systematska fel dvs de som påverkar alla mätnngar på samma sätt kan vara vktga. Dessa fel kallas för korrelerade fel (denna föreläsnng). (3) Vad måste du göra när du utför ett experment? Du måste alltd förklara varför du behandlar ett fel på ett vsst sätt. Du har många möjlgheter att kombnera fel - huvudsaken är att dtt val är välmotverat. (4) Skllnaderna det total felet mellan de olka metoderna är ofta nte så stora. Kom håg att ett fel är en uppskattnng som är baserad på ett (eller många) antagande. Att anta nnebär att nte veta!

15 Korrelatoner V dskuterade hur korrelatoner kan påverka mätnngar en enkel mätsere Nu dskuterar v hur korrelatoner kan uppstå mellan två olka kvantteter. I en typsk laboraton har du nte tllfället att undersöka korrelatoner detalj. Däremot är det vktgt att du förstår vad korrelatoner är och hur man behandlar dem. Om man ska försumma eller anta någontng måste man förstå den!

16 Korrelatoner Betrakta en cylnder med höjd h och dameter D. Ett lasersystem används för att mäta h och D. Man mäter h och D och starta om lasersystemet för att upprepa processen. Felet dstansmätnngar σ =konstant (anges av tllverkaren). Mätnngar används för att bestämma volymen V. π D h V = (5.1) 4 Felet volymen: V V σv = σ D + σ h D h π Dh π D = σ D σ h (5.) + 4 Denna formel antar att σ och σ är nte korrelerade D h D h

17 Okorrelerade mätnngar h/cm V/cm 3 h/cm D/cm D/cm T.ex. mätnngar av h och D ger: h = 19 ± 1 cm, D = 9 ± 1cm π 19 V = 9 = 108 cm 4 σ V 3 3 =75cm (5.3) π 9 19 π 9 = + 4 Om v skulle göra fler mätnngar... D och h är okorrelerade dvs v får: h h h true true true osv cm, D cm true 0.4cm, D cm true 0.01cm, D true 1.5cm

18 Korrelerade mätnngar Anta att efter att ha startat om lasersystemet ska varje dstansmätnng systemet som görs ska ha samma fel. h/cm h/cm D/cm D och h är korrelerade T.ex. h = cm, D = cm, h = cm, D = cm osv V/cm 3 D/cm

19 De sanna fördelnngarna av V (om v hade många upprepade mätnngar) Okorrelerade Korrelerade V/cm 3 Om man har korrelerade kvantteter kommer man att räkna fel osäkerheten om felpropagerngsformeln används.

20 Korrelatoner Betrakta två kvantteter: x och y. x En kvanttet F beräknas från x och y. (t.ex. F =, F = x + y...) y En allmän formel för felfortplantnng om korrelatoner kan användas: σ F F F x y x σ = + y σ F F + σ xy (5.4) x y σ σ 1 1 = ( x x ), σ = ( x x ) (1.3) N 1 N 1 x y 1 = kovarans = ( x x )( y y ) (5.5) N xy

21 Noll kovarans Det fnns lka många negatva som postva värden av de annullerar varandra när de summeras h/cm h-h/cm D/cm D D /cm 1 σ hd = ( h h )( D D) = 0 (om N ) (5.6) N dvs h och D är okorrelerade. (h-h)(d-d) /cm ( h h ) ( D D)

22 Icke-noll kovarans h/cm h-h/cm D/cm D D /cm (h-h)(d-d) /cm ( h h )( D D) Alla värden av är postva. de annullera nte varandra när de summeras 1 σ hd = ( h h )( D D) 0 (5.7) dvs h och D är korrelerade. N V har valt ett extremt fall där σ = σ σ (5.8). hd h D

23 Fråga Beräkna felet volymen för en mätnng för fallet när hoch Där 100%-korrellerade. V V V V σ = σ + σ + σ σ = σ σ =1cm h D h D σ V h D hd hd h D V 3 33cm (5.9) π 9 19 π 9 π 9 19 π 9 = + + = Om de nte korrelerade är V = 75cm (5.3) Detta är konsekvent med fördelnngarna av V. σ Okorrellerade V/cm 3 Korrellerade

24 Att hanterar korrelatoner F F F F σ F = σ x σ y σ xy (5.4) x + + y x y Den fullständga formeln men bland är det svårt att veta vad σ är. F F σ F = σ x σ y (3.17) x + y Den "snabba" formeln som v nästan alltd använder - v antar att det nte fnns några korrelatoner dvs σ = 0 F F σ F = σ x + σ y (5.10) x y xy F F F F F F Obs σ x + σ y σ x + σ y x y x + xy (5.11) y x y σ En formel som v kan använda om v vll vara superförsktga dvs v msstänker att korrelatoner påverkar vår mätnng men v vet nte vad σ är. V använder (5.11) nte så ofta eftersom det kan överskatta felet. xy xy

25 När man väljer en felfortplantnngsekvaton måste man använda stt omdöme. T.ex. mätnngar av en ström och en dstans är förmodlgen nte korrelerade mätnngar av två dstanser av samma utrustnng kan vara korrelerade. Huvudsaken är att man förklarar varför en vss ekvaton har valts - There s no "rght" way to do ths!! Konventonen är att använda ekv. (3.17) om man nte har någon nformaton om korrelatoner och nga anlednngar tll att tro att korrelatonerna spelar en stor roll.

26 Korrelatoner 1. Olka mätnngar en mätsere kan ha korrelerade fel. Två olka kvantter (eller mätserer av olka kvantteter) kan ha korrelerade fel

27 Mer om korrelatoner Glöm allt om fel, osäkerheter osv. Föreställ dg att v har mätnngar av kvantteter x och y och v vll kolla om det fnns ett samband mellan dem. V vet ngentng om felet x och y!

28 Exempel En professor vll betona vkten av att göra läxor. Han/hon plottar läxbetyg vs tentabetyg för ndvduella studenter. Student Läxa x Tenta y Fnns det ett samband?

29 Korrelatonskoefffcent Hur kan v mäta korrelatonen mellan varablerna? r σ xy = = σ σ x ( )( ) ( ) ( ) σ = kovarans ; σ, σ = standardavvkelser Obs! -1 r 1 y xy x y x x y y x x y y Det kallas ofta Pearsons korrelatonskoeffcent. Det används för att bestämma om det fnns ett lnjärt samband mellan två kvantteter.

30 Några exempel på korrelerade varabler y r x Om r=0 fnns det ngen korrelaton Om r=-1,1 fnns det ett 100% lnjärt samband

31 Student Läxa x Tenta y x r = 57.4, y = 77.1 = ( x x )( y y ) ( x x ) ( y y ) 3674 = = Hur kan v tolka detta resultat? Betyder r = 0.8 att det fnns en stor sannolkhet att det fnns ett samband mellan läx- och tenta-betygen?

32 Tolknngen av r Anta att två varabler x och y är okorrelerade Om v har ett oändlgt antal mätnngar : r = 0. Efter ett ändlgt antal mätnngar: r 0 ( 0 ) Defnera : P=Prob r r = sannolkheten att N mätnngar av två okorrelerade mätnngar ger r r. 10 N ( r ) P=Prob 0.8 = sannolkheten att 10 mätnngar av två okorrelerade mätnngar ger r 0.8. En referenstabell används för att ge P. 0

33 10 ( r ) P=Prob 0.8 = sannolkheten att 10 mätnngar av två okorrelerade mätnngar ger r 0.8. =0.5% = Professorn har förmodlgen rätt. Det fnns en stark relaton mellan läxor och tentan.

34 Dmensonsanalys Mycket ofta fnner v fysken samband av typen y = a α b β c γ... (5.1) där α, β, γ... kan vara antngen postva eller negatva. Erfarenhetsmässgt är naturen "snäll" den bemärkelsen att exponanterna är hel eller halvtal. T.ex. : tden för en pendelrörelse - v antar att den beror på pendelns längd, massa och tyngdacceleratonen: α β γ t = Al m g (5.13) där A är en dmensonslös konstant. Fyskalsk storhet Symbol Dmenson Enhet Td t T s Längd l L m Massa m M kg Tyngdacceleratonen g L/T m/s

35 V får sambanden: γ 1 α β L α + γ β γ 1 α + γ β γ = = = T } 0 α γ 1 1 = β γ = α = = 1 = -γ T L M L M T eller s m kg s (5.14) = + l 0 t A (5.15) g Ett lätt sätt att "härleda" ekvatonen som relaterer peroden tll längden och tyngdacceleratonen.

36 007 Gammal tentafråga

37 008 Gammal tentafråga

38 Sammanfattnng Labtpps Vsa dn number crunchng Förklara varför du behandlar fel på ett vsst sätt Korrelatoner Två kvantteter kan vara korrelerade För att uppskatta standardavvkelsen av en fördelnng som beror på dessa varabler måste uppskatta kovaransen r-kvantteten används med en statstsk tolknng för att bestämma om två kvantteter är korrelerade Dmensonsanalys Ett vktgt verktyg en fyskers vertygslåda Ett snabbt sätt att härleda några ekvatoner.