Tolkningen av normalfördelningsfunktionen. Felfortplantningsformeln Felet i medelvärdet Acceptans av data Felpropagering Relativa fel

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Tolkningen av normalfördelningsfunktionen. Felfortplantningsformeln Felet i medelvärdet Acceptans av data Felpropagering Relativa fel"

Transkript

1 Tolknngen av normalördelnngsunktonen Felortplantnngsormeln Felet medelvärdet cceptans av data Felpropagerng Relatva el Fskeperment, 7.5 hp

2 ormalördelnngsunktonen (; µ, ) ( µ ) ep π sgma 0. sgma 0.5 Medelvärdet µ 0 med : (;0, ) ep π Om v även sätter : (;0,) (0,) ep π sgma Fskeperment, 7.5 hp Denna unkton är den vktgaste teoretska sannolkhetsördelnngen statstken och är välkänd nom matematken. Kallas även Gaussunktonen. Mätvärdenas normalördelnng vd slumpmässga el utgör en ramgångsrk modell nom statstken.

3 Sannolkheten ör en mätnng Fördelnngen ovan beskrver den relatva sannolkheten ör ett utall då utallsrummet är normalördelat med medelvärdet µ och standardavvkelsen. Funktonen ( ; µ, ) ( µ ) ep π ' d d ' ' P( (, d); µ, ) ( ; µ, ) d ep mätvärde ntervallet (, d). π anger sannolkhetstätheten och uttrcket: ( µ ) d anger sannolkheten ör ett Med hjälp av tabellen ppend läroboken kan man enkelt nna sannolkheten ör ett utall godtcklga ntervall Fskeperment, 7.5 hp 3 Våra mätnngar under laboratonerna antar v är tagna ur en normalördelnng, dvs en mätnng är behätad med ett slumpmässgt el som gör att v år ett mätvärde som avvker rån det sanna medelvärdet enlgt sannolkhetsunktonen ovan. Genom att mäta samma storhet lera gånger kan v å en god uppattnng om sprdnngen mätnngarna och sannolkhetsunktonens två parametrar medelvärde och standardavvkelse. 3

4 Felunktonen er(t) 0,687 otera att ComsolScrpt (MatLab) er(t) är denerad ör ep(- ) motsats tll bokens ep(- /). Dvs sannolkheten att vd en mätnng nna ett värde mellan -ts < < ts beräknas som: er (t/ ) 68,7% (nte som er (t)) Fskeperment, 7.5 hp 4 Varabeln t anger ntervallet andelar av s. Observera skllnader nomenklaturen mellan ComsolScrpt (MatLab) och kursboken (sdan 36). Fguren ovan kan ses som en grask ramställnng av tabellen ppend läroboken (s. 87). 4

5 cceptans av värden Under rmlga antaganden om ördelnngen hos mätdata kan v säga något om hur pass bra ett mätresultat är. V vet att det är 68% chans att hamna nom en standardavvkelse rån medelvärdet, och v kan jämöra vårt mätta värde med ett känt värde eller ett teoretskt värde genom att beräkna: mätt teor t, där teor det örväntade värdet och mätnngens antagna standardavvkelse. Med kännedom om t kan v uttala oss om rmlgheten hos vårt resultat. Eempel: Om sgnkansnvån 5% är ett kvaltetskrav så är en avvkelse större än,96 nte en acceptabel avvkelse rån det nomnella värdet Fskeperment, 7.5 hp 5 Parametern t anger absolutbeloppet av den relatva avvkelsen antal sgma (). Kontrollera med hjälp av ppend att P(mätvärde ±,96 ) 95%. Sgnkansnvån är sannolkheten ör utall det krtska området trots att nollhpotesen är sann. Vanlga värden på sgnkansnvån är 5%, % och 0,%. 5

6 Sannolkheten ör en mätsere (eempel på ett dskret utallsrum) Sngla slant: Vad är sannolkheten att erhålla utallet krona-krona-klave eter tre slantsnglngar? Sannolkhetsunktonen är en konstant ½: P ( krona) /, P( klave) / och P(krona,krona,klave) ½ ½ ½ /8. Dra kort: Vad är sannolkheten att dra ra Ess ur en kortlek? Svar: 4/5 3/5 /50 /49 / Fskeperment, 7.5 hp 6 V antar att sannolkheten att å krona örsta kastet är ½. Sannolkheten att å krona andra kastet är ½ och sannolkheten att å klave tredje kastet är ½. Den totala sannolkheten är ½ ½ ½ /8 ör just denna öljd, dvs produkterna av de ndvduella sannolkheterna. otera eempelvs att det är lka sannolkt att rött,svart,rött,svart kommer upp vd roulettspel som vlken annan kombnaton av rött och svart som helst (det nns 6 lka sannolka kombnatoner vd 4 spel). 6

7 Sannolkheten ör en mätsere (eempel på ett kontnuerlgt utallsrum) Om v gör stcken mätnngar av en normalördelad varabel (som har medelvärdet µ och sprdnngsmåttet ), så ges den totala sannolkheten ör dessa mätnngar av produkten av de ndvduella sannolkheterna ( analog med öregående eempel): π ( µ ) ep ( µ ) ep π... ( ep π µ ) Denna totala sannolkhetsunkton kan skrvas på ett mer kompakt vs: (,,..., ( µ ) ) ep π V antar nu att sannolkheten att erhålla mätvärdena,,, är just denna unkton och v anpassar µ ochså att denna unkton (sannolkhet) blr så stor som möjlgt Fskeperment, 7.5 hp 7 En mätnng av en storhet, t.e. tden ör en kropp att alla en vss sträcka, anses vara slumpvs den menngen att alltden har ett väl denerat medelvärde (alla epermentella betngelser är appromatvt konstanta) och en konstant sprdnng runt detta medelvärde (som är karaktärstskt ör epermentuppställnngen). Utallen anges då av normalördelnngsunktonen och analog med öregående resonemang med slantsnglng antar v att det totala utallet anges av produkten av varje enskld sannolkhet. 7

8 Mamum Lkelhood Grundprncpen ör denna uppskattnng kallas på engelska Mamum Lkelhood vlket skall uttdas så att våra mätresultat härrör ur just den asmptotska ördelnng som har störst sannolkhet att ge just de värden v mätt upp. För att lösa detta problem skall v: Betrakta våra mätvärden som a. Beräkna ett uttrck ör att erhålla just denna mätsere (,,, ) som en unkton av parametrarna m och. Mamera sannolkheten ör att erhålla vår mätsere genom att varera m och Fskeperment, 7.5 hp 8 Mamum Lkelhood uppskattnng börjar med att man skrver ner ett uttrck ör Lkelhood -unktonen ör en datamängd. Enkelt uttrck är Lkelhood unktonen ett uttrck ör sannolkheten att erhålla just den datamängd som man har ått (mätt) gvet den specka sannolkhetsmodellen som antagts ör data (t.e. att mätnngarna är normalördelade). Detta uttrck kommer att nnehålla de parametrar som beskrver just den antagna modellen ( detta all m och s). Värdet på dessa parametrar som mamerar Lkelhood unktonen kallas Mamum Lkelhood Estmates eller MLE (se kap. 5.5 läroboken och jämör med vad som sägs kap. 7.). 8

9 Härlednng av μ och Mamum Lkelhood hänseende! Det gäller att bestämma µ och genom att mamera sannolkheten ör unktonen: (,,..., Vlket nnebär att v örst beräknar dervatan: ( µ ) ) ep π ( ). µ ep µ π 0 µ µ ( µ ) Fskeperment, 7.5 hp 9 ( µ ) Parametern µ erhålles genom att sätta dervatan / µ tll 0: På lknande sätt bestämmer v varansen s. Kom håg att dervatan av e är e, eller om eponenten är en unkton (): D[e () ] e () ÿd[()]. I detta all antar v att alla mätvärden har erhållts ur en och samma ördelnng, dvs µ och s är samma ör alla mätvärden. tt mamera ovanstående unkton är detsamma som att mnmera argumentet ör eponentalunktonen (bortsett rån mnustecknet). Etersom detta argument är en kvadratsk unkton av derenserna kallas metoden detta all även ör Mnsta kvadratmetoden. 9

10 Bestämnng av parametern V gör nu samma optmerng ör parameterns: ( µ ) ( µ ) ep ( µ ) ep / / 3 ( π ) (π ) Dervatan sätts tll 0 och v nner ett utrck ör varansen: 0 ( µ ) 0 µ ( 3 ) I detta uttrck betecknar m det sanna värdet på medelvärdet. Etersom detta värde otast är okänt så år v appromera det med vårt bästa estmat medelvärdet av. Man kan vsa att detta medör att v år ett något moderat uttrck ör varansen: ( ) Fskeperment, 7.5 hp 0 Ett enkelt argument ör att v skall använda aktorn - stället ör nämnaren är det örhållandet att v egentlgen endast har - oberoende termer summan. och medelvärdet <> är korrelerade genom S - <> -. 0

11 Problem 4. Talor. Standardavvkelsen blr: ( q q) 0, ellerekvvalent: s 0, ( q ) ( ) q 0, Svar: Hon bör välja 0, Fskeperment, 7.5 hp Problem 4.: En student mäter laddnngarna,,4,6,6,. Hur uppskattar hon stt mätel? V vsar här eplct att de två ormlerna ör standardavvkelsen (se problem 4.5 Talor) ger samma resultat. I praktken används den örsta metoden mest då v ändå önskar beräkna medelvärdet av data på samma gång.

12 Etrapolaton av unktonsvärde (D) () (som en nlednng tll elortplantnng) () Tangenten punkten (,) ( ) ( ) dvs ( ) ( ) ( ) ( ) k D Om vårt bästa värde på unktonen () är () mätpunkten blr rågan: hur stor är avvkelsen om osäkerheten är D? Den lnjära etrapolatonen ger oss svaret: avvkelsen är proportonell mot örstadervatan ( punkten ) ä osäkerheten. d d Fskeperment, 7.5 hp En lten upprsknng av era mattekunskaper. I ett tllräcklgt ltet ntervall kan man allmänhet appromera en godtcklg unkton, (), med en lnjär unkton. V ser att den vertkala avvkelsen mellan den svarta räta lnjen och den röda unktonskurvan är mcket mndre än D själv och således örsumbar sammanhanget.

13 Fskeperment, 7.5 hp 3 Etrapolaton två varabler! ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( (,) För varabler erhålles:... V gör en rask utlkt högre dmensoner. För en unkton av två oberoende varabler kan v beräkna dervatan av unktonen de två planen - och - oberoende av varandra. Den vertkala örlttnngen - planet och - planet adderas tll en total örlttnng D -led.

14 Fskeperment, 7.5 hp 4 Felortplantnngsormeln I två dmensoner nner v att den kvadratska osäkerheten blr Om och är okorrelerade år v elortplantnngsormeln ör två varabler: 0 bsolutbeloppet av D år v genom att addera komponenterna kvadratskt (jm Pthagoras sats). För många mätnngar blr genomsnttet av den tredje termen ovan noll (om och är okorrelerade). För en mer matematsk härlednng hänvsas tll kaptel 5.6 läroboken.

15 Felet medelvärdet Tllämpnng på unktonen: de partella dervatorerna är: så v år det enkla resultatet: dvs (,,..., och ) ( ) ( ) Fskeperment, 7.5 hp 5 u kommer v tll den örsta vktga tllämpnngen av elortplantnngsormeln uppskattnngen av medelvärdets el! otera skllnaden mellan betecknngarna s (standardavvkelsen) och s <> (medelvärdets standardavvkelse eller kortare medelvärdeselet eller elet ). En annan vktg punkt är att medelvärdet är också normalördelat, så medelvärdeselet kan ses som standardavvkelsen ör medelvärdena. Dvs gör v om örsöket lera gånger och beräknar ett ntt medelvärde ör varje örsöksomgång är medelvärdena normalördelade med medelvärdeselet (ör den ensklda mätomgången) som ett mått på medelvärdenas sprdnng, dvs standardavvkelse. I det allmänna allet kommer naturlgtvs nte alla dessa medelvärden och medelvärdesel att vara lka. Hur man behandlar denna stuaton beskrvs på sdorna 5-9 ramöver. 5

16 Problem 4.0 Talor Följande mätsere har gjorts på svängnngstden ör en jäder: Mass m (kg) Perod T (s) Bestäm jäderkonstanten med standardavvkelse och medelvärdesel. Försök Mass Perod Sprng # m T k k - <k> (k - <k>)^ kg s kg/s^ 0,5,4 3,7 0,06 0,00 0,58,33,97-0,88 0,04 3 0,63,36 3,53 0,377 0,4 4 0,69,44 3,6 0,00 0,00 5 0,75,50 3,9 0,039 0,00 6 0,83,59 3,0-0,3 0,0 7 0,90,65 3,07-0,090 0,0 8 0,95,69 3,3-0,04 0,00 Sum 05,4 0,000 0, Mean <k> 3,6 Standard devaton 0,7 Standard error 0, Fskeperment, 7.5 hp 6 Fjäderkonstanten k beräknas som k 4p m/t (se sdan 05 läroboken). Fjäderkonstantens medelvärde blr 3,55-0,06 (eller med en värdesra elet: 3,6-0,06). Epermentets precson är 0,7 (osäkerheten den ensklda mätnngen). otera alltså att elet medelvärdet är mndre än den enstaka mätnngens el (med en aktor / ). 6

17 Eempel på konvergens av mätsere Resultat eter örsök Slumpvärden mellan och 6 (otera att medelvärdet och standardavvkelsen är konstant medan elet går mot noll!) ntal örsök Medelvärde Standardavvkelsen Felet medelvärdet Fskeperment, 7.5 hp 7 Medelvärdet bör bl (6)/ 3,5. Breddmåttet kan v gssa bör lgga på etersom ntervallet,5 tll 5,5 nneattar 4/667% av alla utall (jämör ntervallet -s tll s ör en normalördelnng som nneattar 68%). V ser att eter ca 5 örsök har v en god uppattnng om sprdnngen (sgma) och elet medelvärdet är < ½ enhet. 7

18 En tllämpnng på elortplantnngsormeln: Osäkerheten en summa (derens) Vad blr osäkerheten summan? ± och ± nsättes Osäkerheten blr: Eempel: (8 ± ) (0 ± 4), Fskeperment, 7.5 hp 8 otera att elet en summa (som nnehåller negatva termer) kan bl mcket större än summan själv! Vad blr elet en summa av termer dragna ur samma ördelnng med std s? 8

19 Relatv osäkerhet ntag att v har en mätnng med resultatet ± mätnng Det relatva elet (osäkerheten) deneras mätnng Eempel: Längden L(50 ± ) cm det relatva elet är /500,0% Uppgt.3 och.4 läroboken Fskeperment, 7.5 hp 9 Om v mäter en längd L 0 cm och en annan längd L 000 cm med samma absoluta precson cm år v en känsla av att den senare mätnngen har en högre grad av noggrannhet. Den relatva osäkerheten D/ är en dmensonslös storhet som ger en appromatv ndkaton på mätnngens kvaltet. 9

20 Fskeperment, 7.5 hp 0 Betrakta produkten där osäkerheten och är och u är och Tllämpnngar av elortplantnngsormeln med relatva el vlket med elortplantnngsormelns hjälp ger oss: Det relatva elet produkten är alltså lka med kvadratroten av summan av de relatva elens kvadrater. Mer generellt gäller: n m n m Dessa relatoner är mcket vktga! Man kan här drekt se nverkan av de olka parametrarnas el. Små relatva el kan otast bortses rån om andra är ett par aktorer större vlket enkelt nses genom några numerska eempel. Observera att m och n kan vara både postva och negatva bråktal (T.e. / -/ ).

21 Felpropagerng ( ) Mätnng av g med enkel pendel (s. 68 boken) Tngdacceleratonen L g 4π där L 9,95 ± 0,cm, T,936 ± 0,004 s. T Relatva osäkerheten bestämnngen blr g g L L g 979,0 cm/s T T och g g beräknas ett eperment med. Genom nsättnng nner v 4, cm/s, dvs g 979 ± 4 cm/s Fskeperment, 7.5 hp Relatva elet L är /99,5 0,00 Relatva elet T är 4/936 0,00 och kommer med aktorn att domnera elet g!

22 Quck Check 3.9 Här skall v bestämma ett värde på unktonen: q med 00 ±, 50 ±, 40 ± Fskeperment, 7.5 hp Vsa att svaret skall vara q 0-6 (5,7). Den relatva osäkerheten denna kvot är alltså mcket större än osäkerheten de ensklda mätvärdena.

23 Relatv noggrannhet V känner nu tll betdelsen av ett mätvärde och dess el. Låt oss se tllbaks på Fgur. läroboken: Denst ρ (gram/cm 3 ) George Martha gold allo Fskeperment, 7.5 hp 3 Martha kan dentvs säga att legerngen nte är av guld med hög sannolkhet (kan v beräkna denna sannolkhet?). Georges mätnng lgger närmare värdet på guld men kan nte utesluta att legerngen nte är guld. Med hänsn tll avvkelsen örhållande tll Georges mätel kan v nte utesluta någondera av mätnngarna. Hur skall v utnttja bägge mätnngarna på ett bra sätt? 3

24 vvkelse Vad menas med avvkelse? Låt oss se tllbaks på Fgur. läroboken: B D 0 avvkelse 0 0 avvkelse 0 C Fskeperment, 7.5 hp 4 Den vänstra mätseren är gjord med högre precson än den högra och v ser att avvkelsen är stor örhållande tll de små elen. Dessa två mätnngar kan nte jämöras då där trolgen örelgger ett sstematskt el den ena eller andra mätnngen (eller bägge). Dessa data kan nte kombneras. I det högra allet är elen mcket större, men avvkelsen är lten örhållande tll elen och de två mätnngarna kan (om man är övertgad om att där nte nns några sstematska el) kombneras. 4

25 Vktade medelvärden Hur kombnerar man oberoende resultat med olka precson? ntag att studenterna och B mäter samma kvanttet lera gånger och kommer ram tll resultaten (med olka sprdnng): B ± ± Om skllnaden mellan de båda resultaten är väsentlgt större än respektve sprdnng så är detta sgnkant och en mätnng är trolgen el ( nconsstent ). B ntag att så nte är allet, hur kombnerar man då tll ett resultat? Fskeperment, 7.5 hp 5 Spännande ortsättnng på nästa sda. 5

26 Vktade medelvärden Ett enkelt medelvärde skulle ge halva vkten tll vardera värdet, trots att sprdnngen (dvs osäkerheterna) är olka. Istället använder v Mamum Lkelhood -prncpen v använde tdgare. Sannolkheterna ör resp. värde är Prob( ) e ( ) X / och Prob( B ) e ( ) X / Sannolkheten ör båda värdena samtdgt är produkten av resp. sannolkhet: χ / Prob(, B ) Prob( ) Prob( ) e, där X B X χ B Fskeperment, 7.5 hp 6 B B B 6

27 Vktade medelvärden 3 Mamum Lkelhood-prncpen säger nu att det bästa värdet v kan å på det sanna värdet X är det som ges när den kombnerade sannolkheten är som störst, dvs när eponenten χ har mnmum. Som tdgare så derverar v med avseende på X och sätter tll noll, vlket ger X 0, så att B X X B / B B B Om v nu denerar vkterna w, w Så kan ormeln ör vktat medelvärde skrvas: Fskeperment, 7.5 hp 7 ( w X w X ) ( w w ) X / wav B B B B B otera att de relatva vkterna ger de två mätnngarna olka tngd. Det vktade medelvärdet kommer att lgga närmare det värde som har det mndre elet. 7

28 Generalserng Data guren vsar mätnngar med olka stora el. Hur skall v ta hänsn tll att vssa mätnngar har utörts med högre precson än andra? otera att ngen avvkelse är sgnkant. Som tdgare antar v att sannolkheten att en mätnng erhålla mätvärdet ± är: P( ) ep ( µ) Fskeperment, 7.5 hp Den totala sannolkheten ör hela mätseren är: P,,, ) P( ) P( ) P( ) P( ( ) Metoden kan naturlgtvs generalseras tll lera mätnngar. Den övre blå lnjen anger ett vanlgt (ovktat) medelvärde, den undre blå lnjen anger det vktade medelvärdet. V ser att den örsta mätnngen nte nämnvärt påverkar det vktade medelvärdet. 8

29 Fskeperment, 7.5 hp 9 Generalserng där. Låt oss även nöra µ χ w 0 ) ( / e w P χ µ µ j j j j j j w w µ Felortplantnngsormeln ger oss även det na elet: ( ) j j j j w w w w w µ µ Lkelhood unktonen kan skrvas: / ) ( χ µ e e P Om du tcker det är svårt med alla summor och produkter så örenkla beräknngarna genom att räkna eplct på ett eempel med.

30 Fskeperment, 7.5 hp 30 Ett eempel på statstk på tabelldata med klassndelnng (värnplktga 98). V antar att längdördelnngen är representatv ör pojkar landet och nutd och vll uppskatta det teoretska antalet möjlga basketbollag på Stockholms unverstet. I ppend nner v värdet 86,38% ör t,49. Det betder att (00 86,38) / 6,8% av 6800 pojkar mellan 8 och 5 år är presumtva basketbollspelare (585 st). Om v vdare gör antagandet att endast hälten är ntresserade och ett lag består av 5 ndvder år v uppskattnngsvs 0 lag. 30

Centrala Gränsvärdessatsen:

Centrala Gränsvärdessatsen: Föreläsnng V såg föreläsnng ett, att om v känner den förväntade asymptotska fördelnngen en gven stuaton så kan v med utgångspunkt från våra mätdata med hjälp av mnsta kvadrat-metoden fnna vlka parametrar

Läs mer

Mätfelsbehandling. Lars Engström

Mätfelsbehandling. Lars Engström Mätfelsbehandlng Lars Engström I alla fyskalska försök har de värden man erhåller mer eller mndre hög noggrannhet. Ibland är osäkerheten en mätnng fullständgt försumbar förhållande tll den precson man

Läs mer

FK2002,FK2004. Föreläsning 5

FK2002,FK2004. Föreläsning 5 FK00,FK004 Föreläsnng 5 Föreläsnng 5 Labbrapporter Korrelatoner Dmensonsanalys Denna föreläsnng svarar mot kap. 9 (Taylor) Labbrapporter Feedback+betyg skckas morgon. Några tps ett dagram hjälper alltd

Läs mer

Komplettering av felfortplantningsformeln

Komplettering av felfortplantningsformeln Kompletterng av felfortplantnngsformeln Varansen och kovaransen Quck Check Eempel med abs. nollpkt. Kompletterng av lnftw funktonen Possonfördelnngen 00-0-0 Fskeperment, 7.5 hp 00-0-0 Fskeperment, 7.5

Läs mer

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 5

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 5 Expermentella metoder 04, Räkneövnng 5 Problem : Två stokastska varabler, x och y, är defnerade som x = u + z y = v + z, där u, v och z är tre oberoende stokastska varabler med varanserna σ u, σ v och

Läs mer

Tentamen i Dataanalys och statistik för I den 5 jan 2016

Tentamen i Dataanalys och statistik för I den 5 jan 2016 Tentamen Dataanalys och statstk för I den 5 jan 06 Tentamen består av åtta uppgfter om totalt 50 poäng. Det krävs mnst 0 poäng för betyg, mnst 0 poäng för och mnst 0 för 5. Eamnator: Ulla Blomqvst Hjälpmedel:

Läs mer

Flode. I figuren har vi också lagt in en rät linje som någorlunda väl bör spegla den nedåtgående tendensen i medelhastighet för ökande flöden.

Flode. I figuren har vi också lagt in en rät linje som någorlunda väl bör spegla den nedåtgående tendensen i medelhastighet för ökande flöden. Hast Något om enkel lnjär regressonsanalys 1. Inlednng V har tdgare pratat om hur man anpassar en rät lnje tll observerade talpar med hjälp av den s.k. mnsta kvadratmetoden. V har också berört hur man

Läs mer

Beräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer

Beräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer Handbok materalstyrnng - Del B Parametrar och varabler B 41 Beräkna standardavvkelser för efterfrågevaratoner och prognosfel En standardavvkelse är ett sprdnngsmått som anger hur mycket en storhet varerar.

Läs mer

Del A Begrepp och grundläggande förståelse.

Del A Begrepp och grundläggande förståelse. STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrvnng Expermentella metoder, 12 hp, för kanddatprogrammet, år 1 Onsdagen den 17 jun 2009 kl 9-1. S.H./K.H./K.J.-A./B.S. Införda betecknngar bör förklaras och uppställda

Läs mer

2 Jämvikt. snitt. R f. R n. Yttre krafter. Inre krafter. F =mg. F =mg

2 Jämvikt. snitt. R f. R n. Yttre krafter. Inre krafter. F =mg. F =mg Jämvkt Jämvkt. Inlednng I detta kaptel skall v studera jämvkten för s.k. materella sstem. I ett materellt sstem kan varje del, partkel eller materalpunkt beskrvas med hjälp av dess koordnater. Koordnatsstemet

Läs mer

Mätfelsbehandling. Medelvärde och standardavvikelse

Mätfelsbehandling. Medelvärde och standardavvikelse Mätfelsbehandlng I alla fskalska försök har de värden an erhåller er eller ndre hög noggrannhet. Ibland är osäkerheten en ätnng fullständgt försubar förhållande tll den precson an vll ha. Andra gånger

Läs mer

Slumpvariabler (Stokastiska variabler)

Slumpvariabler (Stokastiska variabler) Slumpvarabler Väntevärden F0 Slutsatser från urval tll populaton Slumpvarabler (Stokastska varabler) En slumpvarabel är en funkton från utfallsrummet tll tallnjen Ex kast med ett mynt ggr =antalet krona

Läs mer

2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004 Omtentamen Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00

2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004 Omtentamen Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00 (4) B Ingenjörsmetodk för IT och ME, HT 004 Omtentamen Måndagen den :e aug, 00, kl. 9:00-4:00 Namn: Personnummer: Skrv tydlgt! Skrv namn och personnummer på alla nlämnade papper! Ma ett tal per papper.

Läs mer

Test av anpassning, homogenitet och oberoende med χ 2 - metod

Test av anpassning, homogenitet och oberoende med χ 2 - metod Matematsk statstk för STS vt 00 00-05 - Bengt Rosén Test av anpassnng, homogentet och oberoende med χ - metod Det stoff som behandlas det fölande återfnns Blom Avsntt 7 b sdorna 6-9 och Avsntt 85 sdorna

Läs mer

Primär- och sekundärdata. Undersökningsmetodik. Olika slag av undersökningar. Beskrivande forts. Beskrivande forts. 2012-11-08

Primär- och sekundärdata. Undersökningsmetodik. Olika slag av undersökningar. Beskrivande forts. Beskrivande forts. 2012-11-08 Prmär- och sekundärdata Undersöknngsmetodk Prmärdataundersöknng: användnng av data som samlas n för första gången Sekundärdata: användnng av redan nsamlad data Termeh Shafe ht01 F1-F KD kap 1-3 Olka slag

Läs mer

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff FÖRDJUPNINGS-PM Nr 6. 2010 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Av Jenny von Greff Dnr 13-15-10 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Inlednng Utförsäljnng

Läs mer

Utbildningsavkastning i Sverige

Utbildningsavkastning i Sverige NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Unverstet Examensarbete D Författare: Markus Barth Handledare: Bertl Holmlund Vårtermnen 2006 Utbldnngsavkastnng Sverge Sammandrag I denna uppsats kommer två olka

Läs mer

Vinst (k) 1 1.5 2 4 10 Sannolikhet 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 ( )

Vinst (k) 1 1.5 2 4 10 Sannolikhet 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 ( ) Tentamen Matematsk statstk Ämneskod-lnje S1M Poäng totalt för del 1 5 (8 uppgfter) Poäng totalt för del 3 (3 uppgfter) Tentamensdatum 9-3-5 Kerstn Vännman Lärare: Robert Lundqvst Mkael Stenlund Skrvtd

Läs mer

Dödlighetsundersökningar på KPA:s

Dödlighetsundersökningar på KPA:s Matematsk statstk Stockholms unverstet Dödlghetsundersöknngar på KPA:s bestånd av förmånsbestämda pensoner Sven-Erk Larsson Eamensarbete 6: Postal address: Matematsk statstk Dept. of Mathematcs Stockholms

Läs mer

6.2 Transitionselement

6.2 Transitionselement -- FEM för Ingenjörstllämpnngar, SE5 rshen@kth.se 6. Transtonselement Den här tpen av element används för förbnda ett lnjärt och ett kvadratskt element. Gvet: Sökt: Bestäm formfunktonen för nod. Vsa att

Läs mer

Projekt i transformetoder. Rikke Apelfröjd Signaler och System rikke.apelfrojd@signal.uu.se Rum 72126

Projekt i transformetoder. Rikke Apelfröjd Signaler och System rikke.apelfrojd@signal.uu.se Rum 72126 Projekt transformetoder Rkke Apelfröjd Sgnaler och System rkke.apelfrojd@sgnal.uu.se Rum 72126 Målsättnng Ur kursplanen: För godkänt betyg på kursen skall studenten kunna använda transformmetoder nom något

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsnng -2 732G70 Statstk A Kaptel 2 Populatoner, stckprov och varabler Sd -46 2 Populaton Den samlng enheter (exempelvs ndvder) som v vll dra slutsatser om. Populatonen defneras på logsk väg med utgångspunkt

Läs mer

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff FÖRDJUPNINGS-PM Nr 6. 20 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Av Jenny von Greff Dnr 13-15- Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Inlednng Utförsäljnng

Läs mer

a) B är oberoende av A. (1p) b) P (A B) = 1 2. (1p) c) P (A B) = 1 och P (A B) = 1 6. (1p) Lösningar: = P (A) P (A B) = 1

a) B är oberoende av A. (1p) b) P (A B) = 1 2. (1p) c) P (A B) = 1 och P (A B) = 1 6. (1p) Lösningar: = P (A) P (A B) = 1 Lösnngar tll tentamen: Matematsk statstk och sgnalbehandlng (ESS0), 4.00-8.00 den 4/-009 Examnator: Serk Sagtov (Kursansvarg: Ottmar Crone) Tllåtna hjälpmedel: Tabell "Beta", utdelad formelsamlng, valfr

Läs mer

Förklaring:

Förklaring: rmn Hallovc: EXTR ÖVNINR ETIND SNNOLIKHET TOTL SNNOLIKHET OEROENDE HÄNDELSER ETIND SNNOLIKHET Defnton ntag att 0 Sannolkheten för om har nträffat betecknas, kallas den betngade sannolkheten och beräknas

Läs mer

ENKEL LINJÄR REGRESSION

ENKEL LINJÄR REGRESSION Fnansell statstk, vt 0 ENKEL LINJÄR REGRESSION Ordlsta tll NCT Scatter plot Dependent/ndependent Least squares Sum of squares Resdual Ft Predct Random error Analyss of varance Sprdnngsdagram Beroende/oberoende

Läs mer

Blixtkurs i komplex integration

Blixtkurs i komplex integration Blxtkurs komplex ntegraton Sven Spanne 7 oktober 998 Komplex ntegraton Vad är en komplex kurvntegral? Antag att f z är en komplex funkton och att är en kurva det komplexa talplanet. Man kan då beräkna

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 6. Regression & Korrelation. (LLL Kap 13-14) Inledning till Regressionsanalys

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 6. Regression & Korrelation. (LLL Kap 13-14) Inledning till Regressionsanalys Fnansell Statstk (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsnng 6 Regresson & Korrelaton (LLL Kap 3-4) Department of Statstcs (Gebrenegus Ghlagaber, PhD, Assocate Professor) Fnancal Statstcs (Basc-level course, 7,5 ECTS,

Läs mer

i = 1. (1.2) (1.3) eller som z = x + yi

i = 1. (1.2) (1.3) eller som z = x + yi Särttrck ur "Dfferentalekvatoner och komplea tal" av Tore Gustafsson, 9.8.03 KOMPLEXA TAL Uppfattnngen om komplea tal uppstod samband med upptäckten av enkla ekvatoner som nte har reella lösnngar, t.e.

Läs mer

Beställningsintervall i periodbeställningssystem

Beställningsintervall i periodbeställningssystem Handbok materalstyrnng - Del D Bestämnng av orderkvantteter D 41 Beställnngsntervall perodbeställnngssystem Ett perodbeställnngssystem är ett med beställnngspunktssystem besläktat system för materalstyrnng.

Läs mer

Mos. Statens väg- ochtrafi V" NationalRoad&Traffic Research Institute- $-58101Li: Lä & t # % p. i E d $ åv 3 %. ISSN

Mos. Statens väg- ochtrafi V NationalRoad&Traffic Research Institute- $-58101Li: Lä & t # % p. i E d $ åv 3 %. ISSN f y ä M f ; * I) > t ; + Mos -2'2 2 42/9 halkat :4 11980) S l a,th 4. VD /-/ N =0O0U% 2 ISSN 0347-6049 S 3 ä at HP 3 TP Fa e s % Statens väg- ochtraf V" NatonalRoad&Traffc Research Insttute- $-58101L:

Läs mer

Faradays lag. ger. Låt oss nu bestämma den magnetiska energin för N st kopplade kretsar. Arbetet som kretsarnas batterier utför är

Faradays lag. ger. Låt oss nu bestämma den magnetiska energin för N st kopplade kretsar. Arbetet som kretsarnas batterier utför är 9. Magnetsk energ Faradays lag [RM] ger E dφ dt (9.5) dw k IdΦ + RI dt (9.6) Batterets arbete går alltså tll att bygga upp ett magnetskt flöde Φ och därmed motverka den bromsande nducerade spännngen, och

Läs mer

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann 732G70 Statstk A Föreläsnngsunderlag skapad av Karl Wahln Föreläsnngssldes uppdaterade av Bertl Wegmann Insttutonen för datavetenskap (IDA) Lnköpngs unverstet vt 2016 Kaptel 2 Populatoner, stckprov och

Läs mer

Något om beskrivande statistik

Något om beskrivande statistik Något om beskrvade statstk. Iledg I de flesta sammahag krävs fakta som uderlag för att komma tll rmlga slutsatser eller fatta vettga beslut. Exempelvs ka det på ett företag ha uppstått dskussoer om att

Läs mer

saknar reella lösningar. Om vi försöker formellt lösa ekvationen x 1 skriver vi x 1

saknar reella lösningar. Om vi försöker formellt lösa ekvationen x 1 skriver vi x 1 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL Inlednng Ekvatonen x 1 har två reella lösnngar, x 1, dvs x 1, medan ekvatonen x 1 saknar reella lösnngar Om v försöker formellt lösa ekvatonen x 1 skrver v x 1

Läs mer

Dokumentation kring beräkningsmetoder använda för prisindex för elförsörjning (SPIN 35.1) inom hemmamarknadsprisindex (HMPI)

Dokumentation kring beräkningsmetoder använda för prisindex för elförsörjning (SPIN 35.1) inom hemmamarknadsprisindex (HMPI) STATISTISKA CENTRALBYRÅN Dokumentaton (6) ES/PR-S 0-- artn Kullendorff arcus rdén Dokumentaton krng beräknngsmetoder använda för prsndex för elförsörjnng (SPIN 35.) nom hemmamarknadsprsndex (HPI) Indextalen

Läs mer

Sammanfattning. Härledning av LM - kurvan. Efterfrågan, Z. Produktion, Y. M s. M d inkomst = Y >Y. M d inkomst = Y

Sammanfattning. Härledning av LM - kurvan. Efterfrågan, Z. Produktion, Y. M s. M d inkomst = Y >Y. M d inkomst = Y F12: sd. 1 Föreläsnng 12 Sammanfattnng V har studerat ekonomn påp olka skt, eller mer exakt, under olka antaganden om vad som kan ändra sg. 1. IS-LM, Mundell Flemmng. Prser är r konstanta, växelkurs v

Läs mer

Ringanalys VTI notat VTI notat Analys av bindemedel

Ringanalys VTI notat VTI notat Analys av bindemedel VTI notat 4 004 Rnganalys 00 Analys av bndemedel Författare Lef Vman FoU-enhet Väg- och banteknk Projektnummer 601 Projektnamn Rnganalyser Uppdragsgvare FAS Metodgrupp Förord Rnganalysen har utförts av

Läs mer

Konsoliderad version av

Konsoliderad version av Konsolderad verson av Styrelsens för ackredterng och teknsk kontroll föreskrfter (STAFS 1993:16) om EEG-märknng av flaskor som tjänar som mätbehållare (STAFS 2011:7). Ändrng nförd t.o.m. STAFS 2011:7 Föreskrfternas

Läs mer

N A T U R V Å R D S V E R K E T

N A T U R V Å R D S V E R K E T 5 Kselalger B e d ö m n n g s g r u vattendrag n d e r f ö r s j ö a r o c h v a t t e n d r a g Parameter Vsar sta hand effekter Hur ofta behöver man mäta? N på året ska man mäta? IPS organsk Nngspåver

Läs mer

Arbetslivsinriktad rehabilitering för sjukskrivna arbetslösa funkar det?

Arbetslivsinriktad rehabilitering för sjukskrivna arbetslösa funkar det? NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Unverstet Uppsats fortsättnngskurs C Författare: Johan Bjerkesjö och Martn Nlsson Handledare: Patrk Hesselus Termn och år: HT 2005 Arbetslvsnrktad rehablterng för

Läs mer

1. a Vad menas med medianen för en kontinuerligt fördelad stokastisk variabel?

1. a Vad menas med medianen för en kontinuerligt fördelad stokastisk variabel? Tentamenskrvnng: TMS45 - Grundkurs matematsk statstk och bonformatk, 7,5 hp. Td: Onsdag den 9 august 2009, kl 08:30-2:30 Väg och vatten Tesen korrgerad enlgt anvsngar under tentamenstllfället. Examnator:

Läs mer

Gymnasial yrkesutbildning 2015

Gymnasial yrkesutbildning 2015 Statstska centralbyrån STATISTIKENS FRAMTAGNING UF0548 Avdelnngen för befolknng och välfärd SCBDOK 1(22) Enheten för statstk om utbldnng och arbete 2016-03-11 Mattas Frtz Gymnasal yrkesutbldnng 2015 UF0548

Läs mer

TNK049 Optimeringslära

TNK049 Optimeringslära TNK049 Optmerngslära Clas Rydergren, ITN Föreläsnng 10 Optmaltetsvllkor för cke-lnjära problem Icke-lnjär optmerng med bvllkor Frank Wolfe-metoden Agenda Optmaltetsvllkor för cke-lnjära problem Grafsk

Läs mer

Förstärkare Ingångsresistans Utgångsresistans Spänningsförstärkare, v v Transadmittansförstärkare, i v Transimpedansförstärkare, v i

Förstärkare Ingångsresistans Utgångsresistans Spänningsförstärkare, v v Transadmittansförstärkare, i v Transimpedansförstärkare, v i Elektronk för D Bertl Larsson 2013-04-23 Sammanfattnng föreläsnng 15 Mål Få en förståelse för förstärkare på ett generellt plan. Kunna beskrva olka typer av förstärkare och krav på dessa. Kunna förstå

Läs mer

VALUE AT RISK. En komparativ studie av beräkningsmetoder. VALUE AT RISK A comparative study of calculation methods. Fredrik Andersson, Petter Finn

VALUE AT RISK. En komparativ studie av beräkningsmetoder. VALUE AT RISK A comparative study of calculation methods. Fredrik Andersson, Petter Finn ISRN-nr: VALUE AT RISK En komparatv stude av beräknngsmetoder VALUE AT RISK A comparatve study of calculaton methods Fredrk Andersson, Petter Fnn & Wlhelm Johansson Handledare: Göran Hägg Magsteruppsats

Läs mer

Veckoblad 2. Kapitel 2 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Veckoblad 2. Kapitel 2 i Matematisk statistik, Blomqvist U. Vecoblad 2 Kaptel 2 Matemats statst, Blomqvst U. ya begrepp: oberoende händelser, betngad sannolhet, Bayes formel.. är man sall lösa problem, där sntt mellan händelser ngår, an det ofta vara tll hjälp

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

Partikeldynamik. Dynamik är läran om rörelsers orsak.

Partikeldynamik. Dynamik är läran om rörelsers orsak. Partkeldynamk Dynamk är läran om rörelsers orsak. Tung och trög massa Massa kan defneras på två sätt. Den ena baserar sg på att olka massor attraheras olka starkt av jordens gravtaton. Att två massor är

Läs mer

En studiecirkel om Stockholms katolska stifts församlingsordning

En studiecirkel om Stockholms katolska stifts församlingsordning En studecrkel om Stockholms katolska stfts församlngsordnng Studeplan STO CK HOLM S K AT O L S K A S T I F T 1234 D I OECE S I S HOL M I ENS IS En studecrkel om Stockholm katolska stfts församlngsordnng

Läs mer

Exempel: En boll med massa m studsar mot ett golv. Alldeles innan studsen vet man att hastigheten är riktad

Exempel: En boll med massa m studsar mot ett golv. Alldeles innan studsen vet man att hastigheten är riktad 1 KOMIHÅG 6: --------------------------------- Momentlag Tröghetsmoment ---------------------------------- Föreläsnng 7: Impulslag Rörelsemängden defneras som en vektor: p = mv Newtons 2:a lag kan då skrvas

Läs mer

på två sätt och därför resultat måste vara lika: ) eller ekvivalent

på två sätt och därför resultat måste vara lika: ) eller ekvivalent Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR SYMMERISKA MARISER Defnton (Smmetrsk matrs) En kadratsk matrs kallas smmetrsk om A A V upprepar defntonen a en ortogonal matrs Defnton ( Ortogonal matrs ) En kadratsk matrs kallas

Läs mer

Skolbelysning. Ecophon, fotograf: Hans Georg Esch

Skolbelysning. Ecophon, fotograf: Hans Georg Esch Skolbelysnng Ecophon, fotograf: Hans Georg Esch Skolan är Sverges vanlgaste arbetsplats. En arbetsplats för barn, ungdomar och vuxna. Skolmljön ska skapa förutsättnngar för kreatvtet och stmulera nlärnng.

Läs mer

Y=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

Y=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN. Tangentplan Linjära approimationer TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z LINEARISERING NORMALVEKTOR NORMALRIKTNING TILL YTAN Låt z vara en dierentierbar unktion i punkten a b Då är N a b a b en normalvektor

Läs mer

F13. Förra gången (F12) Konfidensintervall och hypotesprövning Chi-tvåtest. Stratifierat urval

F13. Förra gången (F12) Konfidensintervall och hypotesprövning Chi-tvåtest. Stratifierat urval Konfdensntervall och hypotesprövnng Ch-tvåtest F3 Förra gången (F) Stratferat urval Dela n populatonen homogena ata med avseende på atferngsvarabeln Välj atferngsvarabel som har ett samband med undersöknngsvarabeln

Läs mer

Lektion 8 Specialfall, del I (SFI) Rev 20151006 HL

Lektion 8 Specialfall, del I (SFI) Rev 20151006 HL Lekton 8 Specalfall, del I (SFI) Rev 0151006 HL Produktvalsproblem och cyklsk planerng Innehåll Nvå 1: Produktval (LP-problem) (SFI1.1) Cyklsk planerng, produkter (SFI1.) Nvå : Maxmera täcknngsbdrag (produktval)

Läs mer

Karlstads Universitet Maskinteknik /HJo

Karlstads Universitet Maskinteknik /HJo Karlstads Unverstet asnten 9-4-7/Ho orsonssvängnngar I roterande masner nns rs ör torsonnvängnngar, dvs vrdsvängnngar som överlagras på rotatonen. Perodsa störnngar som excterar dessa svängnngar an t.ex.

Läs mer

Riktlinjer för avgifter och ersättningar till kommunen vid insatser enligt LSS

Riktlinjer för avgifter och ersättningar till kommunen vid insatser enligt LSS Rktlnjer för avgfter och ersättnngar tll kommunen vd nsatser enlgt LSS Beslutad av kommunfullmäktge 2013-03-27, 74 Rktlnjer för avgfter och ersättnngar tll kommunen vd nsatser enlgt LSS Fnspångs kommun

Läs mer

Beräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer

Beräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer Handbok materalstyrnng - Del B Parametrar och varabler B 41 Beräkna standardavvkelser för efterfrågevaratoner och prognosfel En standardavvkelse är ett sprdnngsmått som anger hur mycket en storhet varerar.

Läs mer

Modellering av antal resor och destinationsval

Modellering av antal resor och destinationsval UMEÅ UNIVERSITET Statstska nsttutonen C-uppsats, vt- 2005 Handledare: Erlng Lundevaller Modellerng av antal resor och destnatonsval Aron Arvdsson Salh Vošanovć Sammanfattnng V har denna uppsats analyserat

Läs mer

Introduktionsersättning eller socialbidraghar ersättningsregim betydelse för integrationen av flyktingar? 1

Introduktionsersättning eller socialbidraghar ersättningsregim betydelse för integrationen av flyktingar? 1 UPPSALA UNIVERSITET Natonalekonomska Insttutonen Examensarbete D-uppsats, Ht-2005 Introduktonsersättnng eller socalbdraghar ersättnngsregm betydelse för ntegratonen av flyktngar? 1 Författare: Henrk Nlsson

Läs mer

Tentamen i MATEMATISK STATISTIK Datum: 8 Juni 07

Tentamen i MATEMATISK STATISTIK Datum: 8 Juni 07 Tentamen MATEMATISK STATISTIK Datum: 8 Jun 0 Kurser: MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK 6H3000 (TEN2), 6L3000 (TEN2), MATEMATIK2 MED MATEMATISK STATISTIK 6H2208 (TEN2) MATEMATISK STATISTIK 6A2111 (TEN1);

Läs mer

Tillämpningar av dekomposition: Flervaruflödesproblemet. Flervaruflödesproblemet: Lagrangeheuristik

Tillämpningar av dekomposition: Flervaruflödesproblemet. Flervaruflödesproblemet: Lagrangeheuristik Tllämpnngar av dekomposton: Flervaruflödesproblemet v = mn j: x k c k x k xj k = r k för alla N, k C (1) x k b för alla (, j) A (2) j:(j,) A x k 0 för alla (, j) A, k (3) Struktur: Om man relaxerar kapactetsbvllkoren

Läs mer

Stela kroppars rörelse i ett plan Ulf Torkelsson

Stela kroppars rörelse i ett plan Ulf Torkelsson Föreläsnng /10 Stela kroppars rörelse ett plan Ulf Torkelsson 1 Allmän stelkroppsrörelse ett plan Den allmänna stelkroppsrörelsen ett plan kan delas upp den stela kroppens rotaton krng en axel och axelns

Läs mer

Stokastisk reservsättning med Tweedie-modeller och bootstrap-simulering

Stokastisk reservsättning med Tweedie-modeller och bootstrap-simulering Matematsk statstk Stockholms unverstet Stokastsk reservsättnng med Tweede-modeller och bootstrap-smulerng Totte Pkanen Examensarbete 2005:4 Postadress: Matematsk statstk Matematska nsttutonen Stockholms

Läs mer

Växelström = kapitel 1.4 Sinusformade växelstorheter

Växelström = kapitel 1.4 Sinusformade växelstorheter Växelström = kaptel 1.4 Snusformade växelstorheter Toppvärde, effektvvärde, frekvens, perodtd. Kretsens mpedans och kretsens fasvnkel. Vsardagram. Effekt och effektfaktor. Effektvvärde och effekt vd fasvnkeln

Läs mer

Innehåll: har missbrukat jämfört med om man inte har. missbrukat. Risk 1 Odds Risk. Odds 1 Risk. Odds

Innehåll: har missbrukat jämfört med om man inte har. missbrukat. Risk 1 Odds Risk. Odds 1 Risk. Odds 22 5 Innehåll:. Rsk & Odds. Rsk Rato.2 Odds Rato 2. Logstsk Regresson 2. Ln Odds 2.2 SPSS Output 2.3 Estmerng (ML) 2.4 Multpel 3. Survval Analys 3. vs. Logstsk 3.2 Censurerade data 3.3 Data, SPSS 3.4 Parametrskt

Läs mer

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata Sesorer, effektorer och fysk Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Noggrahet och precso Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätgar är

Läs mer

En undersökning av minneskapaciteten i ett glest kopplat Bayesiskt nätverk

En undersökning av minneskapaciteten i ett glest kopplat Bayesiskt nätverk En undersöknng av mnneskapacteten ett glest kopplat Bayesskt nätverk KRISTER SANDH Eamensarbete Stockholm, Sverge 2005 TRITA-NA-E05113 Numersk analys och datalog Department of Numercal Analyss KTH and

Läs mer

KVALITETSDEKLARATION

KVALITETSDEKLARATION 2019-06-17 1 (8) KVALITETSDEKLARATION Statstk om kommunal famlerådgvnng 2018 Ämnesområde Socaltänst Statstkområde Famlerådgvnng Produktkod SO0206 Referenstd År 2018 2019-06-17 2 (8) Statstkens kvaltet...

Läs mer

Kompenserande löneskillnader för pendlingstid

Kompenserande löneskillnader för pendlingstid VTI särtryck 361 2004 Kompenserande löneskllnader för pendlngstd En emprsk undersöknng med Svenska data Konferensbdrag från Transportforum 8 9 januar 2003 Lnköpng Gunnar Isacsson VTI särtryck 361 2004

Läs mer

Tentamen i Tillämpad matematisk statistik för MI3 och EPI2 den 15 december 2010

Tentamen i Tillämpad matematisk statistik för MI3 och EPI2 den 15 december 2010 Tentamen Tllämpad matematsk statstk för MI och EPI den december Uppgft : Ett företag som tllverkar batterer av en vss typ har tllverknng förlagd tll två olka fabrker. Fabrk A står för 7% av tllverknngen

Läs mer

Stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom skadeförsäkring

Stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom skadeförsäkring PROMEMORIA Datum 01-06-5 Fnansnspektonen Författare Bengt von Bahr, Younes Elonq och Erk Elvers Box 6750 SE-113 85 Stockholm [Sveavägen 167] Tel +46 8 787 80 00 Fax +46 8 4 13 35 fnansnspektonen@f.se www.f.se

Läs mer

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige "!# " $ % &('*),+.-0/0%'&%3)5476 8 &(' 9;: +@),>BA % &C6D% &E>>):D4 F GIHJGLKMONQPRKTSVUXW Y[Z]\8 &4^>_\0%"à&b+ & c

Läs mer

Tentamen i mekanik TFYA16

Tentamen i mekanik TFYA16 TEKNSKA HÖGSKOLAN LNKÖPNG nsttutonen ör Fysk, Kem och Bolog Gala Pozna Tentamen mekank TFYA6 Tllåtna Hjälpmedel: Physcs Handbook utan egna antecknngar, aprogrammerad räknedosa enlgt F:s regler. Formelsamlngen

Läs mer

När vi räknade ut regressionsekvationen sa vi att denna beskriver förhållandet mellan flera variabler. Man försöker hitta det bästa möjliga sättet

När vi räknade ut regressionsekvationen sa vi att denna beskriver förhållandet mellan flera variabler. Man försöker hitta det bästa möjliga sättet Korrelaton När v räknade ut regressonsekvatonen sa v att denna beskrver förhållandet mellan flera varabler. Man försöker htta det bästa möjlga sättet att med en formel beskrva hur x och y förhåller sg

Läs mer

Granskning av grundskolans effektivitet, kvalitet och kostnader

Granskning av grundskolans effektivitet, kvalitet och kostnader Gransknng av grundskolans effektvtet, kvaltet och kostnader Fnspångs kommun Revsonsrapport 2010-12-10 Fredrk Alm, Certferad kommunal revsor Innehållsförtecknng REVISIONSRAPPORT...1 2010-12-10...1 INNEHÅLLSFÖRTECKNING...2

Läs mer

Fördelning av kvarlåtenskap vid arvsskifte

Fördelning av kvarlåtenskap vid arvsskifte NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala unverstet Magsteruppsats Författare: Lars Björn Handledare: Henry Ohlsson HT 2008 Fördelnng av kvarlåtenskap vd arvsskfte En analys av ntergeneratonella fnansella

Läs mer

Att identifiera systemviktiga banker i Sverige vad kan kvantitativa indikatorer visa oss?

Att identifiera systemviktiga banker i Sverige vad kan kvantitativa indikatorer visa oss? Att dentfera systemvktga banker Sverge vad kan kvanttatva ndkatorer vsa oss? Elas Bengtsson, Ulf Holmberg och Krstan Jönsson* Författarna är verksamma vd Rksbankens avdelnng för fnansell stabltet. Elas

Läs mer

Partikeldynamik. Fjädervåg. Balansvåg. Dynamik är läran om rörelsers orsak.

Partikeldynamik. Fjädervåg. Balansvåg. Dynamik är läran om rörelsers orsak. Dynamk är läran om rörelsers orsak. Partkeldynamk En partkel är en kropp där utsträcknngen saknar betydelse för dess rörelse. Den kan betraktas som en punktmassa utan rotaton. Massa kan defneras på två

Läs mer

Företagsrådgivning i form av Konsultcheckar. Working paper/pm

Företagsrådgivning i form av Konsultcheckar. Working paper/pm Workng paper/pm 2012:02 Företagsrådgvnng form av Konsultcheckar En effektutvärderng av konsultcheckar nom ramen för regonalt bdrag för företgsutvecklng Tllväxtanalys har uppdrag att utvärdera effekterna

Läs mer

Förbättrad KPI-konstruktion från januari 2005: Teknisk beskrivning

Förbättrad KPI-konstruktion från januari 2005: Teknisk beskrivning STATSTSKA CENTRALBYRÅN -05-05 (9) Ekonomsk statstk, rser M Rbe Förbättrad K-konstrukton från januar : Teknsk beskrvnng Från januar kommer konsumentprsndex (K) att beräknas med förbättrad metodk Samtdgt

Läs mer

Kvalitetsjustering av ICT-produkter

Kvalitetsjustering av ICT-produkter Kvaltetsjusterng av ICT-produkter - Metoder och tllämpnngar svenska Prsndex Producent- och Importled - Enheten för prsstatstk, Makroekonom och prser, SCB December 2006 STATISTISKA CENTRALBYRÅN 2(55) Kontaktnformaton

Läs mer

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata Sesorer och elektrok Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätresultat är behäftade med e vss osäkerhet

Läs mer

Sjukvårdsförsäkringar på en privat marknad

Sjukvårdsförsäkringar på en privat marknad NFT 1/1995 Sjukvårdöräkrngar på en prvat marknad en teoretk analy av normatonaymmetr av cv.ek. Per-Johan Horgby Per-Johan Horgby I Skandnaven nn det en poäng med att betrakta jukvårdöräkrngar ur en ren

Läs mer

Ekonomihögskolan Lunds Universitet Vårterminen 2006. Priset på Poker. En studie av efterfrågeelasticiteten på Internetpoker.

Ekonomihögskolan Lunds Universitet Vårterminen 2006. Priset på Poker. En studie av efterfrågeelasticiteten på Internetpoker. Natonalekonomska Insttutonen Kanddatuppsats Ekonomhögskolan Lunds Unverstet Vårtermnen 006 Prset på Poker En stude av efterfrågeelastcteten på Internetpoker Författare Tony Krstensson Dag Larsson Handledare

Läs mer

Stelkroppsdynamik i tre dimensioner Ulf Torkelsson. 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och kinetisk energi

Stelkroppsdynamik i tre dimensioner Ulf Torkelsson. 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och kinetisk energi Föreläsnng 4/10 Stelkroppsdynamk tre dmensoner Ulf Torkelsson 1 Tröghetsmoment, rörelsemängdsmoment och knetsk energ Låt oss beräkna tröghetsmomentet för en goycklg axel som går genom en fx punkt O en

Läs mer

DAGLIGVARUPRISERNA PÅ ÅLAND

DAGLIGVARUPRISERNA PÅ ÅLAND Rapport 2000:1 DAGLIGVARUPRISERNA PÅ ÅLAND - EN KOMPARATIV ANALYS I pdf-versonen av denna rapport saknas enkätblanketterna (blaga 2). En fullständg rapport pappersformat kan beställas från ÅSUB, tel. 018-25490,

Läs mer

Fond-i-fonder. med global placeringsinriktning. Ett konkurrenskraftigt alternativ till globalfonder? En jämförelse med fokus på risk och avkastning.

Fond-i-fonder. med global placeringsinriktning. Ett konkurrenskraftigt alternativ till globalfonder? En jämförelse med fokus på risk och avkastning. Uppsala Unverstet Företagsekonomska nsttutonen Magsteruppsats HT 2009 Fond--fonder med global placerngsnrktnng Ett konkurrenskraftgt alternatv tll globalfonder? En jämförelse med fokus på rsk och avkastnng.

Läs mer

Sammanfattning, Dag 1

Sammanfattning, Dag 1 Sammanfattnng, Dag 1 V började med en sammanfattnng om vad v redan hade lärt oss från Matematk I Sedan fortsatte v (nästan punkt för punkt) resonera vad v skulle kunna göra mer och vsade vart v kunde komma

Läs mer

Klarar hedgefonder att skapa positiv avkastning oavsett börsutveckling? En empirisk studie av ett urval svenska hedgefonder

Klarar hedgefonder att skapa positiv avkastning oavsett börsutveckling? En empirisk studie av ett urval svenska hedgefonder NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala unverstet Examensarbete C Författare: Sara Engvall och Matylda Hussn Handledare: Martn Holmén Hösttermnen 2006 Klarar hedgefonder att skapa postv avkastnng oavsett

Läs mer

Lektion 9. Teori. Bilinjär transformation. Byggblock Integratorer. Parasitkapacitanser. SC-filter Leapfrogfilter. LDI-transformation ----

Lektion 9. Teori. Bilinjär transformation. Byggblock Integratorer. Parasitkapacitanser. SC-filter Leapfrogfilter. LDI-transformation ---- Uppgfter (Lekton):.7 Uppgfter (ek.): Teoretka moment: S-flter Teor Byggblock Integratorer De vktgate byggblocken om använd S-flter är amma typ av kretar om för de tdkontnuerlga fltren, dv ummerande ntegratorer.

Läs mer

1. Inledning s Teori bakom reversionspendeln s. 3

1. Inledning s Teori bakom reversionspendeln s. 3 Abstract In ths master's thess the problem of determnn the uncertanty for an estmator of an unknown parameter s consdered. The case we study s the estmaton of ravty usn a reversble pendulum. Ths nvolves

Läs mer

En kort introduktion till principalkomponenttransformation och kanonisk diskriminantanalys av multispektrala data

En kort introduktion till principalkomponenttransformation och kanonisk diskriminantanalys av multispektrala data Januar 22 ISSN 65-942 Metodrapport Tomas Hallberg En kort ntrodukton tll prncpalkomponenttransformaton och kanonsk dskrmnantanalys av multspektrala data x 2 σ A σ W σ W2 x Sensorteknk Box 65 58 Lnköpng

Läs mer

Performansanalys LHS/Tvåspråkighet och andraspråksinlärning Madeleine Midenstrand 2004-04-17

Performansanalys LHS/Tvåspråkighet och andraspråksinlärning Madeleine Midenstrand 2004-04-17 1 Inlednng Jag undervsar tyskar på folkhögskolan Nürnberg med omgvnngar. Inför uppgften att utföra en perforsanalys av en elevtext lät mna mest avancerade elever skrva en uppsats om vad de tyckte var svårt

Läs mer

Biomekanik, 5 poäng Masscentrum

Biomekanik, 5 poäng Masscentrum Boekank, 5 poäng Masscentru Masscentru Tyngdpunkt Spelar en central roll no såväl statk so dynak. Masscentru tllhör de storheter an använder för att sna beräknngar beskrva en kropp sn helhet. Istället

Läs mer

Variansanalys ANOVA. Idé. Experiment med flera populationer. Beteckningar. Beteckningar. ANOVA - ANalysis

Variansanalys ANOVA. Idé. Experiment med flera populationer. Beteckningar. Beteckningar. ANOVA - ANalysis Varansanalys ANOVA ANOVA - ANalyss Of VArance Stcprov från flera populatoner ( ) analyserar varansen (sprdnngen) varje stcprov för att dra slutsatser om medelvärden Har alla populatoner samma medelvärden?

Läs mer

Stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom skadeförsäkring

Stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom skadeförsäkring PROMEMORIA Datum 007-1-18 FI Dnr 07-1171-30 Fnansnspektonen Författare Bengt von Bahr, Younes Elonq och Erk Elvers P.O. Box 6750 SE-113 85 Stockholm [Sveavägen 167] Tel +46 8 787 80 00 Fax +46 8 4 13 35

Läs mer

Balansering av vindkraft och vattenkraft i norra Sverige. Elforsk rapport 09:88

Balansering av vindkraft och vattenkraft i norra Sverige. Elforsk rapport 09:88 Balanserng av vndkraft och vattenkraft norra Sverge Elforsk rapport 09:88 Mkael Ameln, Calle Englund, Andreas Fagerberg September 2009 Balanserng av vndkraft och vattenkraft norra Sverge Elforsk rapport

Läs mer

Forskningsmetodik 2006 lektion 2

Forskningsmetodik 2006 lektion 2 Forskningsmetodik 6 lektion Per Olof Hulth hulth@physto.se Slumpmässiga och systematiska mätfel Man skiljer på två typer av fel (osäkerheter) vid mätningar:.slumpmässiga fel Positiva fel lika vanliga som

Läs mer