Dödlighetsundersökningar på KPA:s

Transkript

1 Matematsk statstk Stockholms unverstet Dödlghetsundersöknngar på KPA:s bestånd av förmånsbestämda pensoner Sven-Erk Larsson Eamensarbete 6:

2 Postal address: Matematsk statstk Dept. of Mathematcs Stockholms unverstet SE-6 9 Stockholm Sweden Internet:

3 Matematsk statstk Stockholms unverstet Eamensarbete 6:, Dödlghetsundersöknngar på KPA:s bestånd av förmånsbestämda pensoner Sven-Erk Larsson February 6 Abstract KPA:s kunder har betydlgt lägre dödlghet än vad deras grundantaganden anger. Kunder med låga försäkrngsbelopp avlder större omfattnng än övrga. Skllnaden är rentav större än mellan könen. Kunderna har almänhet också färre efterlevande än antagandena ager. Resultaten kommer att nnebära att KPA sänker dna dödlghetsantaganden. Postal address: Matematsk statstk, Stockholms unverstet, SE-6 9, Sweden. E-mal: svenerkevaldlarsson@hotmal.com. Supervsor: Joanna Tyrcha.

4 ABSTRACT The mortalty of the customers of KPA s lower than epected. The numbers of relatves s also lower. Customers wth lower level of nsurance have hgher mortalty rate. Ths dfference s even greater than the dfference between the sees. The results wll be used for decreasng the epectance of future mortalty rates.

5 FÖRORD Denna stude om dödlghet utgör mtt eamensarbete för magstereamen matematsk statstk vd Stockholms unverstet. Jag utförde arbetet vd KPA Penson, aktuareavdelnngen under hösten 5. Jag skulle vlja tacka mna handledare Tommy Kndberg vd KPA Penson och Lars Thuresson som hjälpte mg med utsöknngarna, samt även aktuarerna Brgtta Alpe, Mats Bergsten, Mats Erksson, Anna Jablonska, Tuomo Vrolanen för den hjälp jag även haft av dem och för de dskussoner v haft om försäkrngar, matematk och allt annat möjlgt och omöjlgt under hösten. Slutlgen vll jag naturlgtvs tacka mn handledare vd Stockholms unverstet, Joanna Tyrcha.

6 INNEHÅLL. INLEDNING..... Frågeställnngar..... Kort om KPA Ingående varabler Försäkrngsbeståndet Materalet...3. TEORI Återstående lvslängd och överlevelsefunktonen Dödlghetsntenstet och ettårg dödrsk Antalsdödlghet Duraton Grunder Åldersförskjutnng Ekonomsk dödlghet Rsksumma och rskpreme Relatv ekonomsk dödlghet..... Generatonsdödlghet..... Logstsk regresson..... Skadeprocessen RESULTAT Makehamskattnngar Grafer över dödlghetsntensteter Dödlghetsntenstet, antalsdödlghet Dödlghetsntenstet, ekonomsk Relatv ekonomsk dödlghet, dödsfallsförsäkrng Utfall hela beståndet Åldersförskjutnng Resultat logstsk regresson...48 Referenslsta...5 3

7 . INLEDNING... Frågeställnngar. Syftet med detta arbete är dödlghetsundersöknng på det försäkrade beståndet av förmånsbestämda pensoner under åren Frågor särsklt ntressanta att belysa: Vad är varansen utfall mellan åren? Är det skllnad dödlghet mellan generatonerna? Är det skllnad dödlghet beroende på pensonsnvå? Kan något sägas om trenden? Det är möjlgt att beståndet är för ltet för att dra säkra slutsatser, specellt de första åren, men om metod- och teknkfrågorna är lösta kan allt säkrare slutsatser dras allteftersom nya år kan läggas tll... Kort om KPA. KPA Penson, ursprunglgen Kommunernas Pensonsanstalt, bldades 9 för att hantera kommunernas pensonsåtaganden och var länge helägt av Kommunförbundet och Landstngsförbundet. Numera ägs KPA Penson tll 6 % av Folksam och tll 4 % av Sverges Kommuner och Landstng. Sedan 994 är KPA ett vanlgt bolag som hanterar alla typer av lvförsäkrngar. Vem som helst, både arbetsgvare och prvatpersoner, kan teckna försäkrng, men fortfarande är kommuner och landstng de största kunderna. KPA hanterar pensoner åt drygt en mljon männskor som är eller har vart anställda nom kommun eller landstng. KPA är mljöcertferat enlgt ISO4 998 som första europeska bolag nom fnanssektorn. Förutom försäkrngar erbjuder KPA pensonsadmnstraton, konsulttjänster, utbldnng, pensonsvalsadmnstraton och kaptalförvaltnng. 354 personer arbetar på KPA. KPA blev utsett tll Årets Lvbolag 3, 4 och 5 av tdnngen Affärsvärlden..3. Ingående varabler. De ngående varablerna för analysen är Varabel Värde Födelseår Kön Man Kvnna 4

8 Status Försäkrngstyp Ekonomsk klass Årsrsksumma Frgjord rsksumma År Antal Duraton Kvadratrsksumma 3 Överlevde kalenderåret Överlevde nte kalenderåret Lvsfallsförsäkrng Dödsfallsförsäkrng Rsksumma överstgande % över medel för födelseår och försäkrngstyp. Rsksumma överstgande % under medel, men nte % över medel för födelseår och försäkrngstyp. Rsksumma ej överstgande % under medel för födelseår och försäkrngstyp. total årsrsksumma för alla ndvder cellen, d.v.s. de med lkadana värden för alla ngående varabler. För dödsfallsförsäkrng: tabellerad efter schablon. För dödsfallsförsäkrng: Beräknad på verklgt antal efterlevande. Kalenderår Antal personer cellen Duraton år över hela cellen avrundat tll närmaste tolftedel. Kvadraten på rsksummorna summerat över varje cell..4. Försäkrngsbeståndet. Jag har analyserat beståndet av förmånsbestämda pensoner under åren enlgt de tre kollektvavtalen, KFS, KPA-plan och PFA, beskrvna nedan. Försäkrngarna startade 994 och beståndet har vut hela tden. För 994 fanns det 659 poster och poster fanns för år 4. KFS Avtal för fast anställda nom kommunala bolag nnehållande penson från 65 år eller lägre enl. avtal, efterlevandepenson tll vuen, barnpenson. KPA-plan Pensonsavtal tecknade av arbetsgvare ej anslutna tll arbetsgvarorgansaton, pensonsålder 65 år för alla. 5

9 PFA Avtal för anställda nom kommun och landstng, Lvsfallsförsäkrngar A Lvsvarg penson fr.o.m. 65 års ålder A3 Tdsbegränsad penson fr.o.m. någon ålder olka för olka delar av populatonen, ofta 6 eller 6 t.o.m. 65 års ålder Alla försäkrngstagare som har A3 har även A. Dödsfallsförsäkrngar B Barnpenson E Efterlevandepenson, betalas ut under fem år, dock längst tll 65 års ålder E3 Efterlevandepenson, lvsvarg.5. Materalet. Antalet poster med ekonomsk klass LÅG Kvnnor Män Antalet poster med ekonomsk klass MEDEL Kvnnor Män

10 Antalet poster med ekonomsk klass HÖG Kvnnor Män Antalet poster med lvsfallsförsäkrng Kvnnor Män Antalet poster med dödsfallsförsäkrng Kvnnor Män

11 . TEORI... Återstående lvslängd och överlevelsefunktonen Låt den återstående lvslängden, T, för en försäkrad ndvd med åldern vara en kontnuerlg stokastsk varabel med fördelnngsfunktonen F t P T t, t med täthetsfunkton f t F t, t. Specellt: Om skrver v F t P T t, t respektve f t F t, t. Sannolkheten att en -årg ndvd blr högst t år tll är sålunda t F t f + u du Sannolkheten att en nyfödd blr högst t år är F t t f u du Ofta studerar v överlevelsefunktonen, l t. Med den menas sannolkheten att en -årg ndvd lever mer än ytterlgare t år. l t F t Om skrver v l t l t Vdare gäller: l t F t P T > t P T > + t T > P T > + t l + t. P T > l Av detta följer: 8

12 9 l t l t l t F + och. ' l t l t t F + Då täthetsfunktonen har formen l t l t t F t f + där fall. ' ' t l l t l t t F t f Vad v fått fram är täthetsfunktonen för återstående lvslängd. Den förväntade återstående lvslängden ET e är då: + + ' dt l t l l t l t e T E Specellt: dt t l e T E.. Dödlghetsntenstet och ettårg dödsrsk Låt F f µ. Sannolkheten att avlda nom ett åldersntervall,+d, gvet att man lever vd ålder och att d är kort, är appromatvt lka med µ d. Storheten µ kallas dödlghetsntensteten. Vdare gäller l l µ Högerledet är lka med mnus dervatan av lnl. Alltså: l ln µ Vdare: [ ] + s l l l s l ds s s l ds ln ln ln ln ln µ Alltså:

13 ln l l e e µ s ds.3. Antalsdödlghet Den ettårga dödsrsken defneras som sannolkheten att en ndvd som överlevt förra kalenderåret och då uppnått - års ålder nte överlever detta kalenderår. Den ettårga dödrsken betecknas som q. Indvdernas dödsålder, T, skattas sålunda tll kalenderåret för döden mnus kalenderåret för födseln. Ett appromatvt samband mellan q och µ är q µ. q Den ettårga dödsrsken q skattas enlgt D q, N där D är antalet avldna -årngar och N antalet -årngar ö.h.t. försäkrngsbeståndet. Dödlghetsntensteten µ skattas sålunda med µ ˆ D D N N D D N Ett alternatvt sätt att skatta µ är ML-skattnngen D µ, d där d är den totala duratonen för cellen. Se kap..4. för defnton. De skattade värdena mnsta-kvadrat-anpassas tll Makehams formel: γ µ α + β e, β >, α + β >, γ > Bvllkoren är för att alla värden skall vara postva och ökande med. Den trppel α,β,γ som mnmerar Q w ˆ e γ µ α β, gvet att bvllkoren uppfylls, väljs, där w är en vald vktnng.

14 För att mnska varansen väljs allmänhet N w µˆ. I materalet är dock många skattnngar av µ lka med noll, och därför väljs stället N w. Om γ betraktas som ft skattas α och β genom följande formler: ˆ ˆ ˆ e w e w w w e w e w w γ γ γ γ µ µ β w e w w γ β µ α ˆ ˆ ˆ Med datorns hjälp beräknas β α ˆ, ˆ och Q för ett större antal γ. Det lägsta Q-värdet där bvllkoren uppfylls levererar parameterskattnngarna..4. Duraton Begreppet duraton används på två olka sätt: Tden som gått sedan försäkrngen tecknades. Kan alltså vara åtskllga år för en enskld kund. Under hur långt tdsntervall försäkrngen vart kraft under studerat kalenderår uttryckt enheten år. En kund som var med hela året får värdet år och kunder som vart med del av året, d.v.s. nträtt beståndet och/eller utträtt/dött under året bdrar får ett värde på duratonen mellan och år. Duratonen anges ofta som en summa över alla ndvder en vss cell. Det här är det sätt på vlket begreppet huvudsaklgen används den här rapporten..5. Grunder. Vd beräknngen av premer använder KPA följande värden för parametrarna dödlghetsntensteten, e + γ β α µ :

15 α β γ Lvsfallsförsäkrng Män,54,3 Kvnnor,89,3 Dödsfallsförsäkrng Män,,4,54,3 Kvnnor,,4,89,3.6. Åldersförskjutnng. Ett sätt att avgöra skllnad dödlghet mellan två delpopulatoner är att studera åldersförskjutnng mellan två Makeham-kurvor, d.v.s. ett vktat medelvärde för skllnaden ålder för samma dödsntenstet. Låt j e e, γ γ β α µ β α µ + + vara Makehamskattnngar för två delpopulatoner, för olka åldrar, och j,. För ett gvet -värde är det värde på j som ger samma µ-värde lka med ln γ β β α α γ + j e. Dfferensen mellan -värdena är e ln + γ β β α α γ. Om man vktar dfferenserna med rskpremen vd åldern, e r γ α + β blr medelvärdet lka med ln r e e r e f γ γ γ β α γ β β α α β α. Utgår man stället från j blr det vktade medelvärdet ln j j j j j r e e r e f j j j γ γ γ β α γ β β α α β α. Mnustecknet här är tll för att tecknet för åldersförskjutnngen skall bl detsamma båda fallen. Åldersförskjutnngen f defneras här som f f f +.

16 .7. Ekonomsk dödlghet. För att analysera hur dödlgheten påverkar ett försäkrngsbestånd ekonomskt är man nte ntresserad av att antalsdödlgheten utan vktar varje ndvds påverkan på µ med ndvdens rsksumma. Om en person med stor försäkrng avlder eller ej påverkar värdet på µ mer är om en person med lten försäkrng avlder eller ej. Då jag beräknar dödlgheten använder jag alltså qˆ alla avldna R t R t dt där täljaren är summan av de avldna -årngarnas frgjorda rsksumma d.v.s. den rsksumma som gällde vd, eller snarare precs före, dödsfallet och nämnaren är summan av -årngarnas årsrsksumma..8. Rsksumma och rskpreme. Låt At kaptalvärdet av försäkrngsgvarens framtda förplktelser vd tdpunkten t. Med kaptalvärdet menas de förväntade förplktelserna dskonterade tllbaka tll tdpunkt t. Låt vdare Btkaptalvärdet av försäkrngstagarens framtda förplktelser vd tdpunkten t. Låt VtAt-Bt. Vt kallas värdefunktonen. Vt då duratonen t >, d.v.s. efter tecknandet. Låt nu St vara det belopp som betalas ut vd dödsfall. Sätt Rt St Vt Rt kallas försäkrngens rsksumma och är ett mått på försäkrngsavtalets storlek. Om Rt > kallas försäkrngen dödsfallsförsäkrng, annars lvsfallsförsäkrng. Dödsfallsförsäkrngar ger utbetalnng under förutsättnng att någon ndvd är avlden vd någon tdpunkt eller några tdpunkter. Lvsfallsförsäkrngar ger utbetalnng under förutsättnng att någon ndvd lever vd någon tdpunkt eller några tdpunkter. Med årsrsksumma menas Rt/ uträknad för varje månad och sedan hopsummerad. Årsrsksumman kan alltså ses som ett genomsntt av rsksumman över året. För en ndvd som träder n försäkrngsbeståndet under kalenderåret är Rt/ nnan avtalet sluts. Med frgjord rsksumma avses vanlgen den rsksumma som förelåg vd tdpunkten för dödsfallet, eller snarare stra före. Med rskpreme tdsntervallet t,t+dt menas P r S t V t dt µ R t dt + t + t µ, där är åldern då t, d.v.s. då avtalet ngås och t duratonen. dt förutsätts här vara tämlgen ltet vanlgtvs ett år eller en månad. I alla tllämpnngar denna rapport är dt år..9. Relatv ekonomsk dödlghet. Antalsdödlghetens dödlghetsntenstet µ skattas som v tdgare sagt med ML-skattnngen 3

17 D µ, d där d är den totala duratonen för cellen och D antalet döda. Rsksumman nnan dödsfall för efterlevandeförsäkrng dödsfallsförsäkrng beräknar företaget nte efter ndvdernas faktska famljeomständgheter utan efter schablon. En 39- årg man kanske antas ha,6 fru och,5 barn o.s.v. Den frgjorda rsksumman däremot beräknas efter den avldnas faktska förhållanden och ger vss utbetalnng per efterlevande. En person med många efterlevande får mycket utbetalnng och en person utan efterlevande får ngen utbetalnng. Den frgjorda rsksumman kan då varera och vara både postv och negatv och nte som läroböckerna lka med rsksumman stra nnan dödsfallet och alltd postv för dödsfallsförsäkrng. En ML-skattnng av antalsdödlgheten är att man tar antalet döda delat med duratonen för en vss åldersgrupp. Om man vkter denna med rsksumman får man ekonomsk dödlghet lka med total de facto frgjord rsksumma delat med total tabellerad årsrsksumma. Tar man denna dödlghetsntenstet och delar med bolagets Makehamantaganden för dödlghetsförsäkrngar så får man en kvot. Är den större än är utfallet ekonomskt värre för företaget än väntat. Mndre än bättre än väntat... Generatonsdödlghet. Generatonsdödlgheten beskrver dödlgheten för en generaton personer födda under samma 5- eller -årsntervall. För att kunna fullfölja en sådan analys krävs att man studerar värden från ca kalenderår. Mtt materel består av männskor födda 94 och senare och vad som hände dem Av uppenbara skäl kan jag endast studera ett begränsat åldersntervall för varje generaton. För 9-talsterna t.e. ntervallet 75 år 94 år. Urvalet är som störst mtt åldersntervallet och mnskar storlek mot ändpunkterna. Generatonerna överlappar nte varandra åldersmässgt under den här peroden, så en generatonsanalys är nte relevant. När flera år läggs tll materalet kan varabeln generaton behandlas en analys på samma sätt som varabeln trend görs... Logstsk regresson. Multpel logstsk regresson defneras av n, Kk oberoende stokastska varabler n Bn, p och N p ln p â + â + â â r r där, L, är de ngående r-dmensonella oberoende varablerna. Detta är ekvvalent med p, k e β + β + β + + β r... r β + β + β β + e r r 4

18 β j är logoddskvoten för att ndvderna skall avlda om varablerna hålls oförändrade. j ökar från tll och de övrga - Vektorn β av β j -parametrar skattas medelst Newton-Raphsons metod. Ett teratonssteg ser ut som β [t+] β [t] + [Iβ [t] ] - X n - µ n Här står X för desgnmatrsen, n för vektorn av antalet döda och µ är väntevärdesvektorn enlgt modellen. µ N p, där N är vektorn av antalet personer cellerna. V sätter β []. Matrsen I är nformatonsmatrsen mnus andradervatorna av lkelhood-funktonen med avseende på β j -varablerna som det här fallet är I X DX -, där D är en dagonalmatrs med N p -p Beräknngarna utförs Mathcad. Skattnngarna är appromatvt normalfördelade enlgt, X DX β N β Se Ohlsson Modellval V analyserar tre grupper av modeller, en där åldrarna delas n ettårsntervall, ett med femårsntervall och en med toårsntervall. I alla modeller nför v en egen dummy-varabel för varje representerat åldersntervall,, där för en ndvder åldersntervall och för övrga. Eftersom varje ndvd tllhör eakt ett åldersntervall, varken mer eller mndre, kan man utesluta β -parametern. Detta för att undvka överparametrserng. Förutom åldersvarablerna fnns ngår en varabel för försäkrngstyp, en för kön, en för trend d.v.s. v jämför åren med 4, samt två dummy-varabler för de tre nvåerna på rsksumman. I modellerna kan -värdena alltså bara anta värdena eller. När ytterlgare kalenderår läggs tll och generatonerna mera överlappar varandra åldersmässgt kan man ersätta trend med generaton födelseårtonde. Dskrepans Dskrepansen vd logstsk regresson defneras som p D p n + ln N n ln, p I p I där p och p är ML-skattnngar hypotesmodellen resp. grundmodellen. Om antalet observatoner är stort är så fäller vanlgen D χ fg, där fg är lka med dfferensen mellan antalet parametrar de olka modellerna. Vdare: I bnomalfördelnngen gäller att P Y N n Γ N + Γ n + Γ N n + n N n n N n n p p p p, 5

19 där Γ är Eulers gammafunkton. För att få modellen att passa våra behov generalserar v ovanstående tll att gälla även då N ej är heltal. För små värden på p, vlket v har här, är Y appromatvt PoNp-fördelat se Gut och vdare kan dödsfallen ses som en possonprocess, med tdshorsont mamalt lka med år. Alltså är modellen logstsk regresson även tllämplg för N som ej är heltal. N den logstska modellen blr alltså vektorn av duratoner och n vektorn av antalet döda. Modeller För alla tre grupper av modeller testas följande hypoteser. Observera att ålder och kön ngår alla modeller. Ålder Kön Försäkrngstyp Ekonomsk Trend klass H Ja Ja Nej Nej Nej H Ja Ja Ja Nej Nej H3 Ja Ja Nej Ja Nej H4 Ja Ja Nej Nej Ja H5 Ja Ja Ja Nej Ja H6 Ja Ja Ja Ja Nej H7 Ja Ja Nej Ja Ja H8 Ja Ja Ja Ja Ja.. Skadeprocessen Låt antalet dödsfall, N, under ett år vara en Posson-fördelad stokastsk varabel med väntevärde och varans n. Låt vdare varje frgjord rsksumma, Z, tllhöra samma fördelnng, och vara snsemellan oberoende. Sätt vdare EZ m och VarZ s. Totala frgjorda rsksumman X har då väntevärdet EX nm och varans VarX E Var X N + Var EX N ENs + Var Nm ns + nm ns + m. Då gäller F N nm, n s + m N nm, ne X n Se Blom och Bowers X Låt varje ensklt dödsfall, Z, nträffa med sannolkheten λ µ d, där µ är dödlghetsntensteten och d duratonen under kalenderåret. Eftersom varje µ d är så ltet och v bara studerar ett kalenderår taget, kan man skatta varje skada som vore det en Possonprocess med ntensteten µ d. Väntevärdet n kan då skattas enlgt n µ d. Vdare skattas m med m µ d µ d R, där R är rsksummorna. d R blr då ndvdens årsrsksumma. Väntevärdet EX nm skattas då E X µ d varansen för totalt skadebelopp skattas enlgt R Vdare kan 6

20 a µ j d R d j Var X µ d µ d R µ j R k, där a j är antalet µ d j a j k personer cell j och d j hela cellens sammanlagda duraton. 3. RESULTAT. 3.. Makehamskattnngar Ekonomsk dödlghet α β γ -,55e-5,85e-5,86 -,6e-5 5,548e-5, -7,69e-7 5,483e-6,8 7.75e-6,689e-5,3 8,479e-5,6e-5,5,53,64,796,66 5,67e-6,7 -,498e-5,66e-5,77 Antalsdödlghet Män Lvsfallsförsäkrng Hög rsksumma Medelrsksumma Låg rsksumma Alla rsksummor Kvnnor Lvsfallsförsäkrng Hög rsksumma Medelrsksumma Låg rsksumma Alla rsksummor Män Lvsfallsförsäkrng Hög rsksumma Medelrsksumma Låg rsksumma Alla rsksummor Dödsfallsförsäkrng Hög rsksumma Medelrsksumma Låg rsksumma α β γ,6977 9,79e-7,6,457,e-6,64 3,73e-6 3,9e-6,35 5,44e-6 6,83e-6,5,9e-5,56e-8,9,348 3,33e-7,469-6,3e-5 6,7e-5,884 7

21 rsksumma Alla rsksummor Kvnnor Lvsfallsförsäkrng Hög rsksumma Medelrsksumma Låg rsksumma Alla rsksummor Dödsfallsförsäkrng Hög rsksumma Medelrsksumma Låg rsksumma Alla rsksummor -8,939e-7 4,59e-6,93 9,586e-8 5,3e-8,4 -,748e-5,786e-5,9,496 6,44e-7,447 5,48e-5,474e-6,6,393 3,775e-,75,344e-5 9,84e-8,473 6,848e-5,88e-5,7,5e-5,343e-6, Grafer över dödlghetsntensteter Dödlghetsntenstet, antalsdödlghet. Kvnnor, lvsfallsförsäkrng, hög ekonomsk nvå 8

22 ,5,45,4,35,3,5,,5,, ,4,35,3,5,,5,, ,4,,8,6,4,

23 Kvnnor, lvsfallsförsäkrng, ekonomsk medelnvå Alekta dödsfallbeståndetbeståndet döldsfall,5,,5,, Alekta dödsfallbeståndetbeståndet döldsfall,4,35,3,5,,5,, Alekta dödsfallbeståndetbeståndet döldsfall,3,5,,5,,

24 Kvnnor, lvsfallsförsäkrng, låg ekonomsk nvå.,,8,6,4,,,8,6,4,

25 ,,8,6,4,,,8,6,4, ,5,45,4,35,3,5,,5,, ,4,,8,6,4,

26 Kvnnor, lvsfallsförsäkrng, alla 3

27 ,,8,6,4,,,8,6,4, ,3,5,,5,, ,4,,8,6,4,

28 Kvnnor, dödsfallsförsäkrng, hög ekonomsk nvå.,,8,6,4,,,8,6,4, ,3,5,,5,, ,4,,8,6,4,

29 Kvnnor, dödsfallsförsäkrng, ekonomsk medelnvå. 6

30 ,,8,6,4,,,8,6,4, ,4,35,3,5,,5,, ,,8,6,4,,,8,6,4, Kvnnor, dödsfallsförsäkrng, låg ekonomsk nvå. 7

31 ,4,35,3,5,,5,, ,7,6,5,4,3,, ,4,,8,6,4,

32 Kvnnor, dödsfallsförsäkrng, alla,,8,6,4,,,8,6,4, ,3,5,,5,, ,4,,8,6,4,

33 Män, lvsfallsförsäkrng, hög ekonomsk nvå.,3,5,,5,, ,,9,8,7,6,5,4,3,, Män, lvsfallsförsäkrng, ekonomsk medelnvå. 3

34 ,5,45,4,35,3,5,,5,, ,6,5,4,3,, Män, lvsfallsförsäkrng, låg ekonomsk nvå. 3

35 Alekta dödsfallbeståndetbetsåndet Makeham,3,5,,5,, Alekta dödsfallbeståndetbetsåndet Makeham,8,7,6,5,4,3,, Alekta dödsfallbeståndetbetsåndet Makeham,8,6,4,,8,6,4,

36 Män, lvsfallsförsäkrng, alla,5,45,4,35,3,5,,5,, ,7,6,5,4,3,, ,7,6,5,4,3,,

37 Män, dödsfallsförsäkrng, hög,3,5,,5,, ,5,45,4,35,3,5,,5,, ,5,5,

38 Män, dödsfallsförsäkrng, ekonomsk medelnvå.,4,35,3,5,,5,, ,7,6,5,4,3,, ,9,8,7,6,5,4,3,,

39 Män, dödsfallsförsäkrng, låg ekonomsk nvå.,,9,8,7,6,5,4,3,, ,,9,8,7,6,5,4,3,, ,7,6,5,4,3,,

40 Män, dödsfallsförsäkrng, alla,3,5,,5,, ,7,6,5,4,3,, ,8,7,6,5,4,3,,

41 Kvnnor, alla Alekta dödsfallbeståndetbetsåndet Makeham,,8,6,4,,,8,6,4, Alekta dödsfallbeståndetbetsåndet Makeham,3,5,,5,, Alekta dödsfallbeståndetbetsåndet Makeham,4,,8,6,4,

42 Män, alla,3,5,,5,, ,5,45,4,35,3,5,,5,, ,7,6,5,4,3,,

43 3... Dödlghetsntenstet, ekonomsk. Kvnnor, lvsfallsförsäkrng, hög ekonomsk nvå.,,9,8,7,6,5,4,3,, ,6,5,4,3,, ,4,,8,6,4,

44 Kvnnor, lvsfallsförsäkrng, låg ekonomsk nvå.,4,,,8,6,4, ,,,8,6,4, ,4,,8,6,4,

45 Kvnnor, lvsfallsförsäkrng, alla.,,9,8,7,6,5,4,3,, ,,9,8,7,6,5,4,3,, ,4,,8,6,4,

46 Män, lvsfallsförsäkrng, hög ekonomsk nvå.,35,3,5,,5,, ,8,7,6,5,4,3,, ,8,7,6,5,4,3,,

47 Män, lvsfallsförsäkrng, ekonomsk medelnvå.,7,6,5,4,3,, ,3,5,,5,, ,4,,8,6,4,

48 Män, lvsfallsförsäkrng, låg ekonomsk nvå.,,9,8,7,6,5,4,3,, ,,,8,6,4, ,8,6,4,,8,6,4,

49 Män, lvsfallsförsäkrng, alla.,3,5,,5,, ,7,6,5,4,3, Alekta dödsfall Beståndet Beståndet Makeham, ,9,8,7,6,5,4,3,,

50 3.3. Relatv ekonomsk dödlghet, dödsfallsförsäkrng. Kvnnor, uppdelat på ekonomsk nvå låg medel hög Kvnnor, alla

51 Män, uppdelat på ekonomsk nvå. LågHög Medel

52 Män, alla Män, alla, beskuret dagram

53 3.4. Utfall hela beståndet. lvsfallsförsäkrng dödsfallsförsäkrng rskpreme frgjord kvot rskpreme frgjord kvot rsksumma rsksumma , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,34 Standardavvkelse lvsfallsförsäkrng Åldersförskjutnng. Män lvsfall hög kvnnor lvsfall hög 3,6 år Män lvsfall medel kvnnor lvsfall medel 6,3 år Män lvsfall låg kvnnor lvsfall låg 4, år Män dödsfall hög kvnnor dödsfall hög 3,4 år Män dödsfall medel kvnnor dödsfall medel,8 år 5

54 Män dödsfall låg kvnnor dödsfall låg 8,4 år Män dödsfall hög man lvsfall hög 3,4 år Man dödsfall medel man lvsfall medel -4,6 år Man dödsfall låg man lvsfall låg,6 år Kvnnor dödsfall hög kvnnor lvsfall hög -,4 år Kvnnor dödsfall medel kvnnor lvsfall medel, år Kvnnor dödsfall låg kvnnor lvsfall låg -7, år 3.6. Resultat logstsk regresson. Modellen logstsk regresson nnebär att dödlghetsntensteten kan skrvas som β + β + + β r r e µ..., där β β + β + + β r r + e... j -parametrarna beskrver hur parametern j påverkar µ. 95% konfdensntervall för parametervärdena lksom dskrepanser, gvet de olka modellerna, ges av följande tabeller: Observera att åldersparametrarna nte redovsas. Åldersntervaller med bredd ett år Kön Försäkrngstyp Ekonomsk klass Trend Dskrepans Hög Låg H,58,7 47 H,58,69,3,4 37 H3,7,8 -,35 -,,9,4 45, H4,57,68 -,8 -, 5 H5,56,68,3,4 -,8 -, 5 H6,7,8 -,3 -, -,3 -,7,4,45 8,7 H7,69,8 -,35 -,,9,4 -, -,4 36,9 H8,69,8 -,3 -, -,3 -,7,4,45 -, -,5 Åldersntervaller med bredd fem år Kön Försäkrngstyp Ekonomsk klass Trend Dskrepans Hög Låg H,59 -,7 53 H,59,7,4,5 4 H3,7,83 -,35 -,,9,4 4,4 H4,57,69 -,8 -, 3 H5,57,68,4,5 -,8 -, 8 H6,7,83 -, -, -,3 -,8,4,45 8,7 H7,7,8 -,35 -,,9,4 -, -,4 34, H8,7,8 -, -, -, -,,4,45 -, -,4 5

55 Åldersntervaller med bredd to år Kön Försäkrngstyp Ekonomsk klass Trend Dskrepans Hög Låg H,64,75 98 H,6,74,6,7 8 H3,76,87 -,38 -,4,8,39 44,9 H4,6,74 -,7 -, 75 H5,6,73,5,7 -,8 -, 59 H6,77,88 -,3 -, -,36 -,,4,45 7,5 H7,75,86 -,38 -,4,7,38 -,9 -,3 37,8 H8,75,87 -,3 -, -,35 -,,4,45 -,9 -,3 Här vll jag påmnna om att värdena tabellen är skattad förändrng logoddskvot då man går från kvnna tll man, från dödsfallsförsäkrng tll lvsfallsförsäkrng, från ekonomsk klass Medel tll Hög, från ekonomsk klass Medel tll Låg, respektve från år tll - 4. För att dskrepanserna skall vara appromatvt χ fördelade krävs att antalet döda åtmnstone 8% av antalet celler skall vara mnst fem st. Så är långt från fallet. V kan alltså nte använda någon färdg metod som ger statstskt sgnfkanta resultat, utan måste använda mer skönsmässga metoder för hypotesprövnng. Även konfdensntervallen är osäkra. V ser dock att vssa effekter tydlgt fångas upp. I alla 8 modeller är parametervärdet för kön ca,6,9. Konfdensntervallen för försäkrngstyp är alla modeller nära och dessutom på olka sdor. Alltså kan man dra slutsatsen att försäkrngstypens nverkan är det närmaste ngen alls. Vdare är dskrepansskllnaderna mellan olka närlggande modeller med respektve utan försäkrngstyp lten, vlket styrker påståendet. Detta är nte så underlgt eftersom de materalet ngående personerna ofta är både lvsfalls- och dödsfallsförsäkrade. I ett bestånd med ndvduellt försäkrade skulle man kunna förvänta sg att dödsfallsförsäkrade dör mer än lvsfallsförsäkrade, p.g.a. moturval. Ekonomsk klass påverkar dödlgheten tydlgt. Går man från en modell med ekonomsk klass tll en annan modell med samma ngående parametrar utom just ekonomsk klass ökar dskrepansen väsentlgt. Vdare är parametervärdet för ekonomsk klass Låg högre än för kön. Modellerna ger alltså att kvnnor med låg ekonomsk klass har högre dödlghetsntenstet än lka gamla män med medelhög ekonomsk klass. Personer med hög ekonomsk klass har något lägre dödlghetsntenstet än personer med medelhög ekonomsk klass. Värdena för Trend har konfdensntervallsgränser nära noll. Dskrepansskllnaderna mellan modeller med och utan Trend är måttlga. V törs alltså nte dra någon säker slutsats om eventuell trend. Trenden skulle möjlgen vara svagt nedåtgående. Jag har nte använt något färdgt programpaket som t.e. SAS, utan programmerat från början Mathcad. 5

56 Referenslsta Andersson, Gunnar; Lvförsäkrngsmatematk, Svenska Försäkrngsförenngen, 5 Bowers, N.L. ; Actuaral Mathematcs, The Socety of Actuares, Schaumburg, Illnos. s Blom, Rchard, Lvförsäkrngsmatematk, Ifu förlag, Gut, Allan; An ntermedate course n Probablty Theory, Sprnger Verlag, 995 KPA; PFA Penson för dg född 938 eller senare. Broschyr PFA. Ohlsson, Esbjörn; Log-lnjära modeller och Logstsk regresson, Stockholms unverstet,. Ettårga dödsrsker 53