VALUE AT RISK. En komparativ studie av beräkningsmetoder. VALUE AT RISK A comparative study of calculation methods. Fredrik Andersson, Petter Finn

Transkript

1 ISRN-nr: VALUE AT RISK En komparatv stude av beräknngsmetoder VALUE AT RISK A comparatve study of calculaton methods Fredrk Andersson, Petter Fnn & Wlhelm Johansson Handledare: Göran Hägg Magsteruppsats - Vårtermnen 008 Ekonomprogrammet Insttutonen för ekonomsk och ndustrell utvecklng

2 Sammanfattnng Ttel: Value at Rsk en komparatv stude av beräknngsmetoder Författare: Fredrk Andersson, Petter Fnn & Wlhelm Johansson Handledare: Göran Hägg Bakgrund Det senaste decennet har utmärkt sg med en stark volatltet på de fnansella marknaderna vlket ställer allt högre krav på de rskhanterngsmodeller som används. Ett opassande rskhanterngsmått kan därför leda tll enorma förluster. Value at Rsk är ett rskmått som används av banker och nsttutoner. Krtska röster har väckts mot måttets utgångspunkt normalfördelnngen vlket kan sägas vara en förenklng av verklgheten. Specellt volatla tder med extrema händelser på marknaden kan normalfördelnngen vara en begränsnng för Value at Rsk varför det kan vara ntressant att utvärdera huruvda en annan beräknngsteknsk metod kan ge ett bättre resultat. Detta nsprerade oss att försöka mplementera en beräknngsteknsk metod baserad på en GARCH-Posson modell för att smulera oväntade händelser. Syfte Syftet med vår stude är att undersöka om normalfördelat VaR, hstorskt smulerat VaR eller VaR beräknat med en GARCH-Posson-process är mer träffsäkert än de övrga under vssa marknadsförhållanden och/eller för olka nstrument. Genomförande V har estmerat VaR-belopp och jämfört dessa belopp med de verklga utfallen för varje modell och perod. Utvärderng har skett genom att mäta antalet överskrdnngar per testperod. Resultat Vd 95 % konfdensnvå verkar alla modeller fungera tllfredställande. Däremot vd 99 % så uppvsar normalfördelat VaR många överskrdnngar. GARCH-Posson modellen uppvsar gott resultat de flesta stuatoner. Hstorsk smulerng hade nte så många överskrdnngar men uppvsade ett statskt beteende, vlket nte är helt önskvärt. Nyckelord Value at Rsk, GARCH, GARCH-Posson, hstorsk smulerng, backtestng

3 Abstract Ttle: Value at Rsk a comparatve study of calculaton methods Authors: Fredrk Andersson, Petter Fnn & Wlhelm Johansson Supervsor: Göran Hägg Background The hgh market volatlty over the last decade hghlghts the mportance of rsk management and rsk-modellng for fnancal nsttutons. Many large market losses can be blamed on non-functonng rsk management polces and models. A wdespread measurement of fnancal rsk s Value at Rsk whch s wdely used by professonals. Crtcs of Value at Rsk clam that the assumpton of normally dstrbuted returns often used n the calculatons of the measurement can be lmtng factory n perods of hgh volatlty. We wanted to examne whether another method would gve better results. One of these methods to be examned was the GARCH-Posson varant of Value at Rsk whch smulates unexpected events n the market. Purpose of the study The purpose of our study s to compare the normally dstrbuted, hstorcal smulated and custom GARCH-Posson model of Value at Rsk. The study aspres to evaluate the models based on accuracy durng dfferent market condtons and fnancal nstruments. Implementaton We estmate Value at Rsk and compare our fndngs to the actual values for each perod and model. The models are evaluated by measurng the number of days for whch measured Value at Rsk exceed the actual amount for each perod. Results At 95% confdence nterval all the tested models seem to gve good results. At 99% the normally dstrbuted VaR model shows ts lmtatons and exceeds the threshold on more occasons than the other models. The GARCH-Posson model show good results n most test condtons. The statc behavour of the hstorcal smulaton made t an unsutable choce even though t dd not cause an excessve amount of exceedng days. Keywords Value at Rsk, GARCH, GARCH-Posson, hstorcal smulaton, backtestng

4 Förord Rsk är ett komplext ämne och något man kan stöta på både det vardaglga lvet såväl som på de fnansella marknaderna. Att ha en sund nställnng tll rsktagande är en form av rskhanterng och detta känner v nog alla gen från olka stuatoner lvet. V har dock valt att fokusera på fnansell rskhanterng, ett ämne som av många uppfattas som svårt. Vår förhoppnng är att n som läsare kommer att kunna se vår uppsats som en ntrodukton tll beräknngsmetoder för Value at Rsk. V hoppas även att alla läsare, oavsett tdgare kunskaper nom fnansell matematsk, kommer att lära sg något och uppskatta studen. Tanken är att uppsatsen ska kunna läsas på ett flertal olka nvåer, beroende på tdgare kunskaper och ntresse. Ett stort tack tll oraklet från MAI, Jörgen Blomvall, som är fader tll GARCH-Posson modellen vlken har vart central vår stude. Utan honom hade denna stude nte vart möjlg. V vll också passa på att tacka honom för hjälp med programmerngen och möjlgheten att agera som bollplank vd problematska tder. Vår handledare Göran Hägg tackas för god väglednng arbetet och motverande ord när arbetet har känts tungt. Ett ssta tack tll Inger Asp och våra opponenter som bdragt tll en bättre uppsats. Lnköpng, jun 008 Fredrk, Petter & Wlhelm

5 Innehåll. INLEDNING.... Bakgrund.... Problemformulerng....3 Syfte Problemfrågor Avgränsnngar INTRODUKTION TILL VAR OCH TEORIER BAKOM MODELLERNA Value at Rsk - VaR Fördelar och nackdelar med VaR Tdgare studer....3 Modellerna Normalfördelnng Hstorsk smulerng GARCH-Posson Monte Carlo smulerng Maxmum lkelhood....6 Optmerng BFGS-metoden....7 Greker VaR för dervatnstrument VaR portföljer Backtestng METOD Val av modeller Val av tdsperod Framtagnng av data Valet av tllgångar tll portföljerna Bearbetnng av data Användande av data Val av tdshorsont Val av konfdensnvå Val av optmerngsmetod Valdtet Relabltet STUDIENS UTFALL Vanlga peroden , konfdensnvå 99 % Vanlga peroden , konfdensnvå 95 % Bearperoden , 99 % Bearperoden , 95 % Bullperoden , 99 % Bullperoden , 95 % Testperoden , Optoner 99 % Testperoden , Optoner 95 % ANALYS SAMMANFATTNING AV SLUTSATSER Rekommendatoner tll fortsatta studer KÄLLOR BILAGA Sannolkhetsfunktonen för GARCH-Posson Maxmum Lkelhood Gradenten tll Maxmum Lkelhood funktonen... 73

6 Fgurförtecknng Fgur..: Normalfördelnng... 3 Fgur..: Hstorskt smulerade avkastnngar för Electrolux B Fgur.6.: Exempel på funkton med gropar... Fgur 3..: Illustrerng av tdsperoderna... 9 Fgur 4..: VaR vanlga peroden 99 %, medelvärden Fgur 4. : VaR vanlga peroden 99 %, korrelaton Fgur 4..: VaR vanlga peroden 95 %, medelvärden Fgur 4..: VaR vanlga peroden 95 %, korrelaton... 4 Fgur 4.3.: VaR bearperoden 99 %, medelvärden Fgur 4.3 : VaR bearperoden 99 %, korrelaton Fgur 4.4.: VaR bearperoden 95 %, medelvärden Fgur 4.4.: VaR bearperoden 95 %, korrelaton Fgur 4.5.: VaR bullperoden 99 %, medelvärden Fgur 4.5 : VaR bullperoden 99 %, korrelaton Fgur 4.6.: VaR bullperoden 95 %, medelvärden... 5 Fgur 4.6.: VaR bullperoden 95 %, korrelaton Fgur 4.7.: VaR för optoner 99 %, medelvärden Fgur 4.8.: VaR för optoner 95 %, medelvärden Fgur 5. : Illustraton tll tjocka svansar Tabellförtecknng Tabell.9.: Baselkommtténs trezonsmodell... 6 Tabell 4..: Genomsnttlgt VaR, vanlga peroden 99 % Tabell 4..: Överskrdnngar vanlga peroden, 99 % Tabell 4..3: Trezonsmodell vanlga peroden, 99 % Tabell 4..: Genomsnttlgt VaR, vanlga peroden 95 %... 4 Tabell 4..: Överskrdnngar vanlga peroden, 95 %... 4 Tabell 4..3: Trezonsmodell vanlga peroden, 95 %... 4 Tabell 4.3.: Genomsnttlgt VaR, bearperoden 99 % Tabell 4.3.: Överskrdnngar bearperoden 99 % Tabell 4.3.3: Trezonsmodell bearperoden 99 % Tabell 4.4.: Genomsnttlgt VaR, bearperoden 95 % Tabell 4.4.: Överskrdnngar bearperoden 95 % Tabell 4.4.3: Trezonsmodell bearperoden 95 % Tabell 4.5.: Genomsnttlgt VaR, bullperoden 99 % Tabell 4.5.: Överskrdnngar bullperoden 99 %... 5 Tabell 4.5.3: Trezonsmodell bullperoden 99 %... 5 Tabell 4.6.: Genomsnttlgt VaR, bullperoden 95 % Tabell 4.6.: Överskrdnngar bullperoden 95 % Tabell 4.6.3: Trezonsmodell bullperoden 95 % Tabell 4.7.: Överskrdnngar optoner 99 % Tabell 4.7.: Genomsnttlgt VaR, optoner 99 % Tabell 4.8.: Överskrdnngar optoner 95 % Tabell 4.8.: Genomsnttlgt VaR, optoner 95 %... 58

7 . Inlednng. Bakgrund År 998 gck den stora hedgefonden Long Term Captal Management (LTCM) nästan konkurs. Räddnngen blev att Federal Reserve Bank of New York agerade av rädsla för att effekten av en konkurs skulle få svdande konsekvenser för världsmarknaden. Hur kunde det gå så snett för LTCM? En stor del av skulden har kastats på de Value at Rsk modeller som LTCM använde sg av. Anlednngen är att modellerna kom att undervärdera den rsk som fonden var utsatt för och därför nte hade tllräcklg mycket eget kaptal för att täcka upp de potentella förluster som sedan också blev reella. Det faktum att LTCM nästan gck konkurs vsar på vkten av att kunna mäta de rsker som aktörer utsätts för och att kunna hantera dessa. De senaste 0 åren har de fnansella marknaderna präglats av en stark volatltet 3, vlket ger större svängnngar aktörernas förmögenheter, det vll säga en ökad fnansell rsk. Sedan slutet på 960-talet har handeln på världens börser också ökat kraftgt. På New York Stock Exchange ökade tll exempel antalet omsatta akter per dag från 3.5 mljoner tll 40 mljoner mellan åren 970 och De här faktorerna ställer ytterlgare krav på de fnansella aktörernas rskhanterng och kvaltén på denna, eftersom en ökad handel ger en högre exponerng mot rsk. Tdgt rskhanterngens hstora studerades volatlteten mycket. Detta berodde tll stor del på de teorer som Markowtz lade fram om portföljhanterng början på 950-talet. En annan vktg mlstolpe rskhanterngens hstora kom på 970-talet då Black & Scholes presenterade sn teor om optonsprssättnng. 5 Problemet med teorn är dock att den kräver vss kunskap nom statstk för att kunna tllgodogöra sg det resultat som presenteras. En kunskap som det nte alls är säkert att de som är behov av nformatonen om rskerna har. I takt med att marknaderna har blvt mer och mer komplexa, samtdgt som det är osäkert huruvda den statstska kunskapen hos Joron P, European Fnancal Management, Vol. 6, no. 3, 000, s.77 Joron P, European Fnancal Management, Vol. 6, no. 3, 000, s Dowd K, s. 6 4 Dowd K, s. 7 5 Joron P, s.6

8 aktörerna har utvecklats, har ett behov uppkommt av ett rskmått som är lättkommuncerat även tll ej statstskt kunnga personer. En lämplg kanddat tll ett sådant rskmått är Value at Rsk (VaR). De främsta användarna av VaR är banker och andra stora fnansella aktörer. Kortfattat kan VaR beskrvas som den största möjlga förlusten som med en vss sannolkhet kan uppkomma nom en angven tdsperod. 6 Det sätter en konkret storhet på den fnansella rsken. Redan dag används VaR av många och sprdnngen är snabb. Det är egentlgen bara en tdsfråga nnan rskmåttet kommer att bl standard för de fnansella aktörerna. 7 Före den VaR rapport som Baselkommttén släppte 996, fanns det strkta reglerngar om hur VaR skulle räknas ut och tllämpas nom aktörernas system. Efter rapporten är det nu tllåtet för bankerna och de andra aktörerna att frångå den tdgare metoden där en vanlg normalfördelnng användes för att beräkna VaR och nföra en egen modell för beräknngar. 8 Kravet för att få mplementera den egna modellen är att den uppfyller Baselkommtténs krav på backtestng. 9. Problemformulerng Hur kan olka beräknngssätt påverka Value at Rsk och påverkas de belopp måttet återger av dessa? En förklarng tll detta kräver en ntrodukton tll de tre beräknngsmetoder denna stude kommer att ttta närmare på. Normalfördelat VaR beräknas på ett relatvt enkelt sätt. En kortfattad beskrvnng av vad som sker är att en portföljs eller en enskld tllgångs standardavvkelse fastställs. Denna multplceras sedan med en parameter för konfdensnvån och med värdet på tllgången om en enskld tllgångs VaR beräknas Dowd K, s. 7 Dowd K, s ICCMCS, del,pelare, punkt 44, Mer om vlka krav som fnns och hur backtestng går tll fnns referensramen kaptel.0 0 Dowd K, s. 63

9 Fgur..: Normalfördelnng I fguren ovan llustreras hur en vanlg normalfördelnng ser ut. I ändarna på kurvan fnns de så kallade svansarna. VaR läses av den negatva svansen, det vll säga den vänstra. Denna modells enkelhet att mplementera är också dess svaghet då den helt enkelt är en förenklng av verklgheten. Ett normalfördelat VaR gör antagandet att utfallen kommer att vara korrekt återgvna en normalfördelnng vlket nnebär att huvudparten av utfallen kommer att hamna mtten med endast ett fåtal utfall svansarna. Den tradtonella normalfördelade beräknngsmetoden förklarade det föregående stycket är alltså en förenklng av verklgheten och har konstruerats för att ge ett någorlunda tllförltlgt rskmått med snabb beräknngstd. Tdgare Basel-drektv har rekommenderat en form av säkerhetstllägg utöver det beräknade normalfördelade VaR:et vd användnng rskhanterngssystem för att öka säkerheten skattnngarna. Basel II-drektvet ger nu banker och fnansella nsttutoner en större frhet utformnngen av sna rskhanterngssystem vlket tllåter dem att gå från normalfördelat VaR och stället använda tll exempel egenutvecklade rsksystem. Rskhanterngen kan nu anpassas efter den typ av verksamhet som nsttutonen bedrver. En bank med tyngdpunkt på tll exempel dervathandel kanske behöver en modell som är drekt anpassad för detta och tar hänsyn tll de specfka egenskaperna hos nstrumenten. Då dagens fnansella marknader präglas av en stark volatltet ställs det allt högre krav på rskhanterngen. Det går även se en tendens tll att ett fåtal extrema händelser explosvt påverkar volatlteten. Klarar det tradtonella normalfördelade VaR-måttet av 3

10 att hantera denna typ av händelser? Om nte, fnns det något annat mått som är bättre anpassat för denna typ av stuatoner? Om man utöver detta även tar hänsyn tll dervatmarknaden upptäcker man en ännu större känslghet för volatlteten eftersom dervaten påverkas av händelserna de underlggande tllgångarna. Detta ger andra förutsättnngar för rskhanterngen. Normalfördelnngens begränsnng vad gäller sannolkheten för förluster svansarna blr alltså högre vlket då ej återspeglas ett tradtonellt normalfördelat VaR-mått. När chansen för stora förluster är större än vad normalfördelnngen vsar kallas det för att svansen är tjock. Alternatva beräknngssätt som tar hänsyn tll dessa tjocka svansar kan därför vara tänkbara kanddater för mplementerng rskhanterngssystem. Med hstorsk smulerng tas VaR fram med hjälp av, som namnet antyder, hstorska fördelnngar av avkastnngar. Data samlas n för det/de nstrument som VaR ska beräknas för och presenteras ett hstogram. De avkastnngsutfall som har uppkommt under den hstorska peroden antas då också vara en god approxmaton för avkastnngarna även framtden. Sedan väljs en konfdensnvå och med hjälp av fördelnngen kan VaR räknas fram. -0, -0,085-0,07-0,055-0,04-0,05-0,0 0,005 0,0 0,035 0,05 0,065 0,08 Fgur..: Hstorskt smulerade avkastnngar för Electrolux B I fgur.. ovan vsas avkastnngar för Electrolux B mellan storleksordnng. Precs som fgur.. läses VaR av den negatva svansen. Denna beräknngsmetod utgår från att hstorsk data återspeglar nstrumentets unka egenskaper Dowd K, s. 99 4

11 och volatltet vlket borde kunna ge ett mer verklghetsanpassat resultat än en generell normalfördelnng. Metoden har alltså potental att ta hänsyn tll tjocka svansar om dessa fnns med de hstorska data som fördelnngen baseras på. Den uppenbara svagheten med metoden är att hstorsk data kanske nte är korrekt för framtden och därför kan förändrngar volatltet eller andra påverkande faktorer orsaka att VaR ej blr tllförltlgt. Denna metods effektvtet scenaros med tjocka svansar är alltså beroende av den nput den får form av hstorsk data. Om man önskar att mer drekt ta hänsyn tll stora förluster ändarna på fördelnngen kan man stället använda sg av exempelvs en GARCH-Posson modell. GARCH-Posson smulerat VaR tas fram med hjälp av en Monte Carlo smulerng. 3 Utgångspunkten är en GARCH-Posson-process som har anpassats med hjälp hstorska data. I modellen smuleras nyheter som påverkar tllgångarna genom en Posson-process. Från processen smuleras därefter ett antal avkastnngar som sedan bldar en fördelnng utfrån vlken man kan läsa av VaR. Nackdelen med modellen är att den är relatvt tdskrävande beräknngsmässgt och även något svårare att mplementera. En vktg egenskap för samtlga VaR-modeller är därför hur bra de lyckas uppskatta potentella förluster, v kan kalla denna egenskap för modellernas träffsäkerhet. Gvet modellernas olka egenskaper så kan man tro att en annan sannolkhetsfördelnng än normalfördelnngen skulle ge ett mer träffsäkert resultat VaR-beräknngar om det bättre speglar verklgheten. Det fnns också studer som pekar på att så är fallet. 4 En varant vore att basera sannolkhetsfördelnngen på hstorsk fördelnng vlket skulle spegla marknadens tdgare utvecklng och volatltet. Att sedan jämföra de tänkbara sannolkhetsfördelnngarna och deras VaR-resultat med ett normalfördelat VaR för samma tdsperod skulle kunna tydlggöra skllnader träffsäkerhet och ge en nblck vlken metod som är att föredra. Skllnader mellan olka modeller och tllämpnngar av dessa på portföljer med varerande fnansella nstrument skulle även kunna ge ntressanta resultat och tydlggöra skllnaderna mellan modellerna och deras användbarhet olka stuatoner. Detta är en modell för smulerngar av akteavkastnngar som tagts fram av Jörgen Blomvall på MAI, modellen fnns närmare beskrven hans artkel GARCH-Posson. V tror oss vara de första som systematskt mplementerar modellen på Value at Rsk. 3 Mer om Monte Carlo smulerng fnns att läsa referensramens kaptel.4 4 Bland annat Shen och Ln, 006 5

12 En möjlghet som kan tänkas är att modellerna fungerar olka bra vd olka marknadsstuatoner. Exempelvs kan någon modell tänkas fungera bättre vd en bullmarknad 5 och någon annan vd en bearmarknad 6. Marknadsstuatonerna skljer sg dels från varandra men också från en stablare marknadsstuaton. Därför kan det vara av ntresse att undersöka hur modellerna presterar under olka marknadsförhållanden. Att undersöka VaR för en portfölj bestående av olka nstrument är också det ntressant. Den praktska användnngen av VaR sker ofta på portföljer, det är sällan en fnansell nsttuton stter med ett ensklt nstrument och vll mäta rskexponerngen på detta. En portfölj med ett antal olka nstrument har också en högre grad av komplextet vlket gör att VaR-måttet passar väl för att på ett enkelt sätt ge en rsköverblck på den totala exponerngen. Vlken modell är då att föredra, och är det någon beräknngsmetod som är överlägsen de andra? I ett försök att besvara frågan kommer v att jämföra resultat från normalfördelnngsberäknngar med resultat både från hstorsk smulerng och från en GARCH-Posson-modell..3 Syfte Syftet med vår stude är att undersöka träffsäkerheten för normalfördelat VaR, hstorskt smulerat VaR och VaR beräknat med en GARCH-Posson-process under vssa marknadsförhållanden och/eller för olka nstrument..4 Problemfrågor Vsar någon av de testade modellerna högre träffsäkerhet än de andra och hur kan detta så fall förklaras? Skljer sg modellernas träffsäkerhet åt portföljer med varerande nstrument? Fnns det någon skllnad hur väl de olka metoderna fungerar vd bull- och bearmarknader? 5 I vår uppsats defnerar v bullmarket som den perod där Stockholmsbörsen uppvsat högst genomsnttlg dagsavkastnng 6 I vår uppsats defnerar v bullmarket som den perod där Stockholmsbörsen uppvsat lägst genomsnttlg dagsavkastnng 6

13 .5 Avgränsnngar För att vår undersöknng nte ska bl alldeles för stor och omöjlg att genomföra nom tdsperoden måste v göra vssa avgränsnngar. Hade v exempelvs undersökt alla marknader skulle det bl praktskt ohanterlgt. Vår första avgränsnng blr därför att enbart hålla oss tll den svenska marknaden. Det hade nte heller vart genomförbart att undersöka VaR-beräknngar på samtlga sammansättnngar av akter och optoner. Därför kommer v att sätta hop två olka portföljer som kommer att ngå vår undersöknng. Portföljerna kommer att bestå endast av akter och plan vanlla optoner. Vår undersöknng kommer att omfatta åren En längre tdsperod hade nneburt att antalet värdepapper att placera portföljerna begränsats. En kortare perod hade å andra sdan nneburt att det blvt för lte statstskt underlag. Följden blr att v begränsar vårt urval av värdepapper då de måste ha funnts under hela tdsperoden. Enlgt vår menng är det här vktgt för att analysen ska bl tllförltlg. Det fnns många olka beräknngsmetoder för att ta fram VaR. 7 Tden medger nte möjlghet att undersöka träffsäkerheten hos alla dessa modeller. V har därför valt att begränsa oss tll två modeller byggda på olka sannolkhetsfördelnngar samt en modell baserad på hstorsk smulerng. De sammanlagt tre modellerna kommer att beskrvas närmare referensramen..6 Tllvägagångssätt Vår stude kommer att undersöka olka sätt att beräkna VaR och hur träffsäkra de olka sätten är. De tre modellerna är redan kortfattat presenterade och är normalfördelat VaR, hstorskt smulerat VaR och GARCH-Posson VaR. V kommer att sätta samman två olka portföljer bestående av olka akter och optoner. Urvalet av tllgångar tll portföljerna kommer att ske genom att de slumpas fram från de tllgångar på den svenska marknaden som funnts under den tdsperod som krävs. 7 Se kaptel om tdgare studer 7

14 Genom programmerng PowerPlus Pro kommer v att samla n hstorska aktekurser från Reuters. Optonsdata kommer att samlas n från Datastream. Alla beräknngar och smulerngar kommer sedan att göras MatLab. Anlednngen tll detta är helt enkelt att det går fortare att göra smulerngar MatLab samt att v anser det enklare att göra programmerngen detta språk framför exempelvs VBA och Excel. V kommer sedan att köra ett så kallat backtest av våra smulerngar för att testa hur väl de stämmer överens med faktska utfall. Detta kommer att göras genom att v undersöker hur många dagar under testperoden det verklga utfallet har överstgt det smulerade utfall, som v har fått fram genom våra olka modeller. V kommer även att använda oss av olka backtestngperoder för att undersöka huruvda modellerna fungerar olka väl under olka marknadsstuatoner. Resultaten för de olka modellerna kommer sedan att jämföras och dskuteras för att försöka nå en slutsats om någon modell eventuellt är bättre än de andra. 8

15 . Introdukton tll VaR och teorer bakom modellerna. Value at Rsk - VaR VaR är ett rskmått som vsar hur stor förlust som maxmalt kan göras under en vss perod och vd en gven konfdensnvå. 8 Från början var det tänkt att VaR skulle användas tll att mäta marknadsrsken för tllgångar och portföljer. 9 Men det kan också användas andra syften. Ett exempel på användnngsområde är att ett företag kan bestämma hur mycket kaptal som måste allokeras för att kunna täcka upp de eventuella förluster som kan uppkomma under en tdsperod. Ytterlgare ett område där VaR kan användas är för att bestämma hur stor rsk som får tas av både ensklda handlare och företag om helhet postoner. Gränser sätts då upp för hur stort VaR som maxmalt får tas dessa postoner. 0 Det fnns två olka typer av VaR, absolut VaR och relatvt VaR. Det som skljer de två typerna åt är vad som är referenspunkten att jämföra VaR med. Absolut VaR utgår från en nollpunkt och utan kopplng tll tllgångens värde. Relatvt VaR å andra sdan är förlusten relaterat tll medelavkastnngen för tllgången under den valda tdshorsonten. Vd en kort tdshorsont är det nte ovanlgt att medelavkastnngen för en tllgång är lten. Då vsar relatvt och absolut VaR på ungefär lkadana värden. Annars är relatvt VaR oftast mer rättvsande då det, genom hänsynen tll horsontens medelavkastnng, tar hänsyn tll tdsvärdet hos pengar. För att beräkna VaR krävs först att två faktorer bestäms. De är konfdensnvån och tdshorsonten för vlken förlusten eventuellt kan uppkomma. Faktorerna kommer att spela en stor roll hur det VaR som räknas fram kommer att se ut. Valet av tdshorsont varerar med vem som ska använda resultatet. Generellt kan det sägas att ju längre td det tar att omsätta tllgången/tllgångarna desto längre tdshorsont bör användas vd beräknngen av VaR. En längre tdshorsont medför per automatk ett högre VaR eftersom rsken ökar med tdshorsonten. 8 Dowd K, s. 9 Joron P, s Dowd K, s. Joron P, s. 08 Joron P, s.7-0 9

16 Valet av konfdensnvå är varerande beroende på vad resultatet kommer att användas tll, som tdgare nämnts så fnns det olka användnngsområden för VaR. Om man vll kunna utvärdera stt rskhanterngssystem på ett bra sätt, så är det bättre med en lägre konfdensnvå då det annars blr för ont om förluster som överstger VaR och därför kommer det att fnnas för lte data för att kunna ge ett tllförltlgt resultat av de tester som görs. Vd användnng av VaR för att beräkna hur mycket kaptal som ska allokeras för att kunna täcka upp eventuella förluster så beror konfdensnvån på hur aktörerna förhåller sg tll rsk. En högre konfdensnvå nnebär ett högre VaR och därmed också att en större mängd kaptal måste allokeras. I de fall aktören är rskavert bör därför en hög konfdensnvå sättas. 3.. Fördelar och nackdelar med VaR Vad är då fördelen med att använda sg av VaR som rskmått? Det fnns flera postva aspekter med måttet varav v nu kommer att beskrva ett par. En stor fördel med VaR är att måttet tar hänsyn tll korrelatoner mellan olka rskfaktorer. Om två olka rsker påverkar portföljen olka rktnngar kommer VaR justera så att den totala rsken för portföljen mnskar. Om rskerna stället påverkar portföljen åt samma håll så kommer den totala rsken att öka. VaR ger också en lättförståelg output. Resultatet som fås fram genom beräknngarna sätter en konkret storhet på den rsk som aktören fråga är utsatt för. 4 Men det fnns också nackdelar med VaR. Kevn Dowd nämner sn bok Beyond Value at Rsk tre stycken tydlga nackdelar. Den första är att VaR är ett mått som använder hstorsk data och som antar att samma förhållanden också kommer att gälla för framtden. Men det är nte alltd säkert att så är fallet. Det fnns en rsk för att nya oväntade händelser kommer att nträffa som stör marknaden så att denna kraschar. Sådana händelser kan göra att förlusterna blr betydlgt större än vad VaR har förutspått. VaR är alltså en fngervsnng om hur stora förlusterna kan bl framtden förutsatt att de hstorska nträffar på nytt. 5 3 Dowd K, s. 5 4 Dowd K, s. 0-5 Dowd K, s. -3 0

17 Den andra nackdelen är att många VaR-modeller bygger på antagandet att akteavkastnngar är normalfördelade. Detta antagande kan nte alltd antas stämma. Problemet som uppstår är att resultaten bland kan bl mssvsande då de är baserade på detta felaktga antagande. Det är vktgt att vara medveten om vlka antaganden som den använda modellen bygger på. Det är också då möjlgt att veta hur resultaten påverkas av just de antaganden som görs den modellen. 6 Den ssta nackdelen är baserad på den mänsklga faktorn. I fel händer kan vlken modell som helst bl dålg, och tvärtom kan en dålg modell bl mndre dålg om den används av rätt person. Oavsett hur bra eller dålg modellen är kommer effektvteten av den ändå att bero på hur den används. Ingen modell kan alltså elmnera den mänsklga faktorn som negatv påverkan. 7. Tdgare studer Det fnns ett antal studer som har undersökt Value at Rsk och dess tllämpnng på värdepapper. V presenterar här tre av de studer som fokuserat på att jämföra olka VaR-modeller och dess resultat praktken. Johansson & Johansson Tre Value at Rsk modeller för rskvärderng av köpoptoner, (Örebro Unverstet) använde sg av Monte Carlo smulerng, hstorsk smulerng samt en delta-normal metod för att undersöka vlken av modellerna som fungerade mest tllfredställande på köpoptoner noterade på Stockholmsbörsen. Denna stude fokuserade enbart på en opton taget, under en tdsperod på 0 dagar, och berörde ej den mer komplexa stuatonen där portföljer exsterar vlket kräver hänsyn tll korrelaton mellan tllgångarna. Resultatet av deras stude var att Monte Carlo smulerngen var den metod som statstskt gav det säkraste resultaten. De menar även att hstorsk smulerng det här fallet ger ett mndre bra resultat vad gäller träffsäkerhet. Med träffsäkerhet menas antalet gånger den verklga förlusten överstger det uppskattade Value at Rsk måttet. 8 6 Dowd K, s Ibd 8 Johansson & Johansson, 007

18 Ola Grönqvsts stude En komparatv stude av VaR-modeller (Lunds unverstet) vsade på ett lknande resultat en jämförande stude av tre olka VaR-modeller. Hstorsk smulerng vsade på resultat där den verklga förlusten översteg VaR måttet mer än tllåtet och metoden underkändes alltså. Övrga metoder som undersöktes var två stycken Movng-average modeller (Movng averages, MA, samt Exponentally weghted movng averages, EWMA) där man använder sg av ett så kallat movng wndow för att beräkna standardavvkelse och volatltet för tllgångarna, samt en GARCH-modell där den aktuella varansen antas bero på den senaste avkastnngen och den senaste varansen. Den ssta metoden som testades var den så kallade Rskmetrcs metoden som bygger på EWMA-metoden. GARCH-modellen underkändes denna studes statstska test vlket författarna själva ansåg vara förvånande då GARCHbaserat VaR generellt sett anses ge goda emprska resultat 9. De modeller som gav bäst resultat på det testade materalet (OMX-ndex) var MA samt Rskmetrcs. 30 Sarma et al, Selecton of value at rsk models, 3 är den ursprunglga ndska stude som de svenska studerna har haft som utgångspunkt. Sarma tllämpar modellerna på det ndska aktemarknadsndexet NSE-50 såväl som på det amerkanska ndexet S & P 500. Deras resultat vsade att Rskmetrcs-VAR gav det mest träffsäkra och användbara resultatet följt av en GARCH-baserad modell. Författarna betonar dock att modellernas olkheter gör att det är svårt att bestämma en modell som kan rekommenderas generellt. De poängterar även att vd hstorsk smulerng så tenderar peroder med hög respektve låg volatltet att klumpas samman kluster vlket gör att det uppskattade VaR:et från den här metoden kan vara mssvsande. Matthew Prtsker tar sn artkel från 00 upp några nackdelar med hstorsk smulerng och menar att lkt Sarma så fnns problemet med kluster vd användandet av hstorsk smulerng. Prtsker menar att hstorskt smulerade modeller kan underskatta den volatltetsförändrng som uppstår på marknaden vlket sn tur ger ett mssvsande VaR. 3 9 Dowd, s Grönqust, Ola, Sarma et al, Prtsker, 00

19 En mer praktskt tllämpad stude är Hur kan Investor AB mäta Value at Rsk på lämplgt sätt En jämförande stude av VaR-modeller där Investors rskhanterngssystem byggt på VaR studerades och förbättrngar förslogs av författarna. Investors egen nterna VaR-modell jämfördes med både parametrska såväl som smulerande beräknngsmodeller och författarna kom fram tll att Investor skulle kunna förbättra sn modell främst genom att anpassa den tll cke-lnjära nstrument såsom optoner och andra dervatnstrument. Då mycket av källmateralet är hemlgstämplat på Investors begäran så kan v sammanfatta resultaten som att många modeller överskattar VaR vd användnng av ckelnjära nstrument. Detta skapar då en sorts säkerhetsmargnal som ska kompensera den extra rsk som uppstår då dervatnstrument fnns portföljen. En vktg slutsats var även att en parametrsk metod skulle vara lämplg för Investor då dessa ofta är beräknngsmässgt snabbare än smulerande metoder och när modellerna ska användas av tll exempel en tradngavdelnng blr beräknngshastgheten avgörande för användbarheten. 33 Brooks och Persand utförde under 003 en stude på marknaden England där tre olka ndex (FTSE All share Total Return Index, FTA Brtsh Government Bond Index samt Reuters Commodtes Prce Index) samt en portfölj bestående av dessa. De testade tre olka GARCH-baserade modeller (GARCH(,), GJR-GARCH(,) samt EGARCH(,)) under en 9-års perod och med både 95 % och 99 % konfdensntervallsnvå. Deras resultat var att ngen av de tre modeller gav deras tycke goda resultat på 99 % nvån. På 95 % nvån vsade sg den vanlgaste GARCHmodellen GARCH(,) prestera bäst termer av tllförltlga resultat. De fann dock en vss tendens tll att modellen överskattade volatlteten hos nstrumenten. 34 So och Yu testade sju GARCH-modeller under 006 för att undersöka vlken av dessa som bäst kunde förutsäga framtda volatltet på fyra olka valutor samt tolv breda marknadsndex. Genom en Maxmum Lkelhood-funkton så tog de fram koeffcenter från sna data och använde sedan konfdensntervallen 95, 97,5 samt 99 %. De fann att GARCH-modellerna presterade väl på kortare skt men att deras skattnngar på längre skt var tveksamma. De menade att detta kunde bero på så kallad volatltetsassymmetr, vlket nnebär att postva avkastnngar ofta går hand hand med låg volatltet och vce 33 Aronsson & Åkerlund, Brooks & Persand, 003 3

20 versa. Vd en börskrasch ser man ofta stora nedgångar akteprserna med en stor öknng volatltet. Vd en kraftg uppgång så mnskar ofta volatlteten stället. 35 Shen och Ln under sökte sn stude "Can the student t-dstrbuton provde accurate Value at Rsk?" huruvda en annan fördelnng än normalfördelnngen skulle kunna ta hänsyn tll de tjockare svansar som anses fnnas den verklga fördelnngen hos många fnansella nstrument. De fokuserade sn stude huvudsak på den så kallade student-t fördelnngen som är en beräknngsteknskt mndre krävande metod än tll exempel GARCH metoder. De fann att student-t fördelnngen framförallt presterade bättre än normalfördelnngen vd höga konfdensntervall Modellerna V kommer nu att beskrva de modeller som ngår vår undersöknng lte mer noggrant. De tre modeller som v kommer att använda oss av studen är en normalfördelnngsmodell, en hstorskt smulerad modell och en GARCH-Possonmodell..3. Normalfördelnng När beräknng av VaR görs med normalfördelnngsmetoden så antas det att avkastnngen på en tllgång är normalfördelad över tden. Om v tänker oss en normalfördelnng och en konfdensnvå, på tll exempel 95 %, så vet v att sannolkheten för att förlusten på tllgången med 95 % sannolkhet nte kommer att överstga X. Konfdensnvån som väljs vsar var fördelnngen skärs av, vd 95 % så nnebär det att 5 % av fördelnngen blr avskuren och då befnner sg den så kallade svansen. Från denna utgångspunkt kan sedan VaR beräknas enlgt följande formel. 37 VaR ασv Där V är värdet på tllgången, α är en varabel som beror på konfdensnvån och σ är standardavvkelsen för tllgången. Mnustecknet framför α vsar på att v behandlar förlustsdan normalfördelnngen. En lte närmare förklarng tll α kanske kan behövas. 35 So & Yu, Shen & Ln, Dowd K, s

21 Denna parameter beror alltså på konfdensnvån, dock är det nte tll exempel 95 % som sätts n formeln. Istället sätts det värde n för den valda konfdensnvån som kan httas en helt vanlg normalfördelnngstabell. För en nvå på 95 % blr då värdet enlgt tabellen, Vd beräknngar av normalfördelat VaR måste skattnngar av volatlteten göras. Detta görs med hjälp av de hstorska avkastnngarna. Skattnngen kommer att ge en volatltet som har samma tdshorsont som avkastnngarna som skattnngen bygger på. Det fnns ett antal sätt att göra det här på. Ett sätt är att använda ett exponentellt gldande medelvärde. I metoden vägs gårdagens volatltet hop med den senaste avkastnngen, detta görs enlgt följande formel: 39 σ t ψσ t + ( ψ ) r t Där ψ är vkten för gårdagens volatlteten (oftast 0,94 vd användnng av dagsavkastnngar) σ t är gårdagens volatltet ( ψ ) är vkten för den senaste avkastnngen r t är den senaste avkastnngen En av fördelarna med att använda sg av en normalfördelnng vd beräknng av VaR är enkelheten beräknngarna, och att så få parametrar behövs. Andra fördelar med normalfördelat VaR är bland annat att det går att överföra mellan olka konfdensnvåer på ett enkelt sätt, samt att det även är lätt att överföra mellan olka tdshorsonter. 40 Nackdelen är att den antar att avkastnngarna på tllgångarna är normalfördelade vlket nte är säkert att de är. Tll exempel är nstrument som bygger på fasta nkomster eller dervat nte normalfördelade Ibd. 39 Dowd K, s Dowd K, s Dowd K, s. 63 5

22 .3. Hstorsk smulerng 4 Ett hstorskt smulerat VaR är ett alternatvt beräknngssätt av VaR. Vd hstorsk smulerng av VaR så används helt enkelt de hstorska avkastnngarna för en tllgång. Avkastnngarna ordnas efter storlek en fördelnng som sedan antas vara representatv för tllgången. De hstorska avkastnngarna antas vara en god approxmaton för hur avkastnngarna kommer att se ut även framtden. Efter detta väljs en lämplg konfdensnvå och med grund dessa data kan man sedan utläsa ett VaR för tllgången. Ett enkelt exempel skulle vara att man vktar dataseren med hstorska avkastnngar enlgt: r n p, t t,..., T w r, t Där r p, t är avkastnngen för portfölj p perod t w r, t är vkten för tllgången är avkastnngen peroden t för tllgången Denna varant kallas även bootstrappng och utgår från att man återskapar en fktv portfölj med dataserens fördelnng och avkastnngshstora. Varje ensklt scenaro tas sedan fram från antalet hstorska scenaron. Hstorsk smulerng har fördelen av att den är relatvt enkel att använda om man har tllgång tll de dataserer som krävs för beräknngarna. Man undvker även behovet av att skatta en kovaransmatrs vlket förenklar beräknngarna för portföljer med ett stort antal tllgångar. Den kanske vktgaste fördelen med metoden är dock att den tar hänsyn tll så kallade tjocka svansar den mån dessa fnns de hstorska data som används beräknngarna. 4 Dowd K, s Detta gäller hela stycket om hstorsk smulerng 6

23 Nackdelar med metoden är bland annat att den utgår från att hstorsk data är representatv för framtda utvecklng. Om man väljer en för kort mätperod så kan vktga händelser mssas vlket gör att svansarna ej blr representatva. Metoden antar även att fördelnngen är konstant över hela fönstret. I verklgheten kan det olka tdpunkter fnnas olka stor rsk som metoden ej tar hänsyn tll..3.3 GARCH-Posson GARCH-Posson är en sannolkhetsfördelnng som är uppbyggd av en normalfördelnng och en slumpvarabel form av normalfördelade possonhopp. 43 Ett exempel på en sådan slumpvarabel kan vara hur många blar som passerar på en landsväg under 0 mnuter. Det kan tll exempel vara 80 % chans att det nte kommer någon bl alls, 5 % chans att det kommer bl, 4 % chans att det kommer blar och % att det kommer fler än blar. I den ssta procentenheten ryms sannolkheten för alla större utfall än. Ju högre värdet på utfallet är desto lägre är dock sannolkheten för att det ska nträffa. I en GARCH-posson-process är det menngen att normalfördelnngen skall beskrva slumpmässga förändrngar avkastnngarna då det nte nträffar några stora och betydelsefulla nyheter. De normalfördelade possonhoppen skall beskrva de dagar då det kommer för akteprset betydelsefulla nyheter, vlka resulterar ett hopp aktekursen. Hur ofta dessa hopp sker skattas med hjälp av hstorska data. Denna parameter kommer här att kallas λ. Skattnngarna av denna och de övrga parametrarna processen kommer att göras med hjälp av en maxmum lkelhood metod. 44 För att veta hur hoppen påverkar aktekursen räcker det nte med att veta hur ofta de sker. Mnst lka vktgt är hur mycket de påverkar prset på akten när hoppet sker. Hur kraftg denna påverkan blr kommer att beskrvas av δσ, där σ är aktens standardavvkelse (alltså den parameter som även kommer att påverka normalfördelnngen) och δ är en parameter som får skattas från hstorska data. Dessa hopparametrar beskrver den ssta delen GARCH-posson-processen vlken smulerar hoppen. I ekvaton () nedan betecknas normalfördelnngen av σ ε t och beror på standardavvkelsen samt tdsperoden. Den ssta delen ekvatonen är vlken förväntad avkastnng v har, alltså var centrum för fördelnngen kommer att lgga. Även den ssta parametern kommer att 43 Ett Possonhopp kan bara anta heltal 44 Maxmum lkelhood beskrvs längre ner referensramen kaptel.4 7

24 skattas med hjälp av hstorsk data. Processen för förändrngen akteprs syns följande ekvaton: S v t t + σ ε δσ ξ S + + z t () 45 Där v t σ Förväntad avkastnng Tdssteg år Aktens volatltet ε, ξ oberoende ~N(0,) δ λ Parameter för att beskrva hur mycket hoppen slår genom Parameter som uppskattar antal nyheter som resulterar stora prsförändrngar per år z ~Po( t λ ), Possonprocessen med varabeln λ t 45 Blomvall J, 008 8

25 Skattnngen av standardavvkelsen σ kommer att ske med hjälp av en modferad GARCH(,) process, vlken fnns att beskåda ekvaton () ( r, t ) + β 0 + σ β + β g γ, σ () 46 Där g ( r, γ, γ t ), β, β Vkter β 0 ( r γ t ) t Vkt och långsktg volatltet σ + Volatlteten nästa tdssteg σ Nuvarande volatltet γ γ r t Parameter för att beskrva medelavkastnngen på årsbass Logartmska avkastnngar på dagsbass Tdssteget år Standardavvkelsen nästa tdssteg kommer alltså att bygga på en vägnng av standardavvkelsen förra tdssteget σ, den långssktga standardavvkelsen, samt en funkton som beror på hur mycket den senaste avkastnngen avvker från ett medelvärde. Att låta standardavvkelsen bero på dessa tre faktorer har vsat sg stämma överens med verklgheten ganska bra. 47 Den första delen () β 0 är en varabel som beskrver dels den långsktga volatlteten σ och dels en faktor som beskrver hur mycket den skall påverka den nya volatlteten β β. Sambandet mellan dessa faktorer och 0 β är β σ ( β ). I nästa 0 β del () σ β beskrver β hur mycket föregående tdsstegs volatltet skall påverka volatlteten v skall skatta. Precs som β 0 är β en parameter som kommer skattas från hstorska data. Ssta delen () består av en parameter, β, som skattas med hjälp av hstorska data och beskrver hur mycket nya avkastnngar skall komma att påverka 46 Blomvall J, Hull J, s 466 9

26 volatlteten och en funkton, g(, ) r,γ t, som beskrver på vlket sätt dessa avkastnngar skall påverka. Parameternγ funktonen är en medelavkastnng och är där för att fånga effekten av att en mnskad avkastnng påverkar volatlteten mer än en öknng avkastnngen. Även γ kommer att skattas med hjälp av hstorska avkastnngar. För att applcera GARCH-Posson på VaR måste v på något sätt få fram hur fördelnngen av avkastnngar ser ut, detta görs med en Monte Carlo smulerng. När fördelnngen av avkastnngarna har slumpats fram läses VaR av genom att mäta den negatva svansen. V har nu beskrvt modellerna lte närmare och kommer gå vdare med att förklara vssa delar som ngår modellerna. V är medvetna om att det bland kan bl lte tungt, men försök ha överseende med det. Många av delarna går nte att förklara på ett enkelt sätt..4 Monte Carlo smulerng Monte Carlo smulerng är enlgt Phlppe Joron fltgt använt av fnanshus. Det är en process som är skapad för att smulera framtda slumpmässga prser för olka tllgångar. Smulerngen utgår från en sannolkhetsfördelnng och sedan skapas en mängd tänkbara portföljvärden på en gven slutdag. De portföljvärden som fås fram skapar så att säga en vsualserng av sannolkhetsfördelnngen, ett hstogram, från vlken VaR enkelt kan läsas av. Monte Carlo smulerngens stora fördel är att det är en flexbel metod som kan ta hänsyn tll flera olka varabler på en och samma gång. Nackdelen är att metoden kan ta lång td att använda då många smulerngar ska göras samt att den tar ganska lång td att programmera. 48 Metoden tar alltså lång td att genomföra om det är många smulerngar som ska göras, samtdgt blr resultatet mer rättvsande ju fler smulerngar som görs. Det är då upp tll användaren att avgöra vad som är vktgast, träffsäkerheten modellen eller att det ska gå så snabbt som möjlgt. Dock ska det sägas att det jobbas mycket branschen med att leta efter genvägar smulerngen som kortar ner processen utan att förlora allt för mycket träffsäkerhet Joron P, s Joron P, s

27 .5 Maxmum lkelhood 50 Maxmum lkelhood metoden går ut på att skatta de parametrar som har den största sannolkheten att gälla gvet de aktuella utfallen ( vår stude är utfallen det samma som avkastnngen för tllgångarna portföljerna). Metoden utgår från en lkelhoodfunkton (L-funkton) som beror på parametrarna och som nnehåller utfallen. Utfallen är alltd kända och är därför konstanta, parametrarna är okända och blr därmed varabler. L- funktonen blr produktsumman av täthetsfunktonerna f ( x ; θ ) f ( x ; θ ) K f ( x ; θ ) gvet utfallen. n L ( θ ) f ( x ; θ ) f ( x ; θ ) K f ( x ; θ ) n Funktonen optmeras sedan med avseende på parametrarna för att maxmera sannolkheten att fördelnngen överensstämmer med verklgheten. Optmerngsproblemet presenteras ekvatonen nedan..6 Optmerng θ ( L( θ )) max( f ( x ; θ ) f ( x ; θ ) K f ( x ; θ )) max θ n För att kunna göra GARCH-Posson-modellen måste v använda oss av optmerng. Optmerngen används tll att skatta parametrarna modellen och är ett område nom matematk där målet är att htta det största eller mnsta värdet för en funkton. Optmerng kan göras med eller utan bvllkor. Ett exempel på bvllkor kan vara att räntan nte kan vara negatv utan bara postv. 5 I de fall då bvllkoren kan sägas vara naturlga, exempelvs att volatlteten måste vara postv, så är de möjlgt att bortse från dessa och stället göra en optmerng utan bvllkor. 5 Fördelen med att göra på det sättet är att optmerngen utan bvllkor är enklare att genomföra. 53 Ett problem som kan uppstå vd optmerng är om funktonen vars lösnng söks nnehåller gropar. Ett sådant problem kallas för ett cke konvext problem och 50 Blom G, s. 6-64, detta gäller hela stycket om Maxmum Lkelhood 5 Nocedal & Wrght s. 5 Nocedal & Wrght s.6 53 Heath s. 98

28 llustreras fguren nedan. Funktonen har alltså både lokala och globala maxmum och mnmum värden. 54 Det går snabbare att htta de lokala extremvärdena än de globala och de snabbaste optmerngarna är därför av förklarlga skäl de som endast söker lokala värden. I vssa fall räcker det dock nte att htta lokala extremvärden utan för att en acceptabel lösnng ska kunna presenteras så måste globala värden httas. 55 På blden nedan kan en funkton som har många lokala extremvärden ses, blden llustrerar tydlgt problemen med det här fenomenet. Vd sådana här fall är det svårt att htta globala maxmum då det fnns en mängd lokala maxmum, det medför att startpunkten för optmerngen är av stor betydelse för en lyckosam optmerng. Fgur.6 : Exempel på funkton med "gropar" BFGS-metoden BFGS (Broyden-Fletcher-Goldard-Shanno) är en teratv, newton-baserad optmerngsmetod för att lösa ckelnjära obegränsade optmerngsproblem. Den utgår från att en beräknng av målfunktonens gradent 57 (avseende de parametrar som ska skattas) görs och att hessanen 58 för denna funkton approxmeras med den skllnad som fnns mellan utgångspunkten och efterföljande punkt stegberäknngen. För att kunna lösa optmerngsproblemet så behöver metoden en startlösnng som lgger närheten av optmum. För att kontrollera om en lösnng är optmal så analyseras de senaste stegen och en optmal lösnng anses vara nådd när skllnaden målfunktonsvärdet är ltet mellan de senaste stegen Heath s Nocedal & Wrght s Nocedal & Wrght s Gradenten är en vektor nnehållandes alla partella dervator som hör tll en funkton, d.v.s. lutnngen 58 Hessanen är en vektor nnehållandes alla partella andradervator som hör tll en funkton, d.v.s. lutnngen på gradenten 59 Nocedal & Wrght s.99ff

29 .7 Greker 60 Eftersom v kommer att använda oss av optoner den ena av våra portföljer så kommer v att behöva grekerna. Grekerna är en allmän benämnng på de storheter nom fnansell matematk som representerar olka känslghetsmått för fnansella nstrument. Var och en av grekerna mäter en typ av rsk för en optonsposton. Varje storhet står för en parameter som värdet på ett fnansellt nstrument är beroende. Ett huvudsaklgt användnngsområde för dessa storheter är nom rskhanterngen där man genom olka postoner kan bestämma graden av exponerng gentemot vssa typer av rsker. Nedan presenteras två av de vanlgaste grekerna och deras användnngsområden. Delta mäter nstrumentets känslghet avseende prsförändrngar underlggande tllgång. Matematskt så är delta dervatan av värdefunkton med avseende på underlggande tllgångs prs: V S Gamma mäter hastgheten på förändrngen delta och används ofta som komplement tll delta rskhanterng då gamma beskrver hur en portfölj reagerar på större prsförändrngar. Matematskt står gamma för andradervatan av värdefunktonen med avseende på underlggande tllgångs prs: V Γ S.8 VaR för dervatnstrument 6 När VaR ska beräknas för optoner går det nte att använda sg av samma metoder som för VaR-beräknngar av vanlga akter. Anlednngen tll detta är optoners ckelnjärtet. Ett sätt att komma runt det här problemet är att använda lnjära approxmerngar. Denna metod kallas delta-normal. V antar helt enkelt att den ckelnjärtet som fnns har så pass lten betydelse att den går att bortse från. 60 Hull s , detta gäller hela stycket om grekerna 6 Dowd, K s , detta gäller hela stycket VaR för dervat nstrument 3

30 Prset på en opton beror på flera faktorer, exempelvs lösenprs på optonen, prset på den underlggande akten och volatlteten. Vd användnng av en delta-normal metod bortses från alla faktorer förutom prset på den underlggande akten. Dessa faktorer tas sedan stället upp av deltat formeln för VaR. Beräknng av VaR för optoner sker då enlgt följande formel: VaR opton VaR S ασs Där ασs är VaR för en poston den underlggande akten är optonens delta I de fall en Delta-normal nte anses tllförltlg nog så fnns det en alternatv metod för att ta hänsyn tll de ckelnjära nstrumenten och gammarsk. Denna metod kallas Delta- Gamma approxmaton och kan se ut enlgt följande för en typsk europesk köpopton: Där r Opton är optonens avkastnng r akte är aktens avkastnng r Opton r akte γ ( r + akte ) γ är optons delta är optons gamma.9 VaR portföljer Httlls har v enbart behandlat VaR för ensklda tllgångar, för vår stude är det dock nödvändgt att ta upp VaR även för en hel portfölj som består av flera olka tllgångar. När VaR beräknas för hela portföljer så används vkter för de olka tllgångarna portföljen. Vkterna beräknas fram genom att värdet på en enskld tllgång dvderas med portföljens totala värde, resultatet blr en procentsats som sedan används som den ensklda tllgångens vkt. 6 6 Joron P, s