Något om beskrivande statistik

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Något om beskrivande statistik"

Transkript

1 Något om beskrvade statstk. Iledg I de flesta sammahag krävs fakta som uderlag för att komma tll rmlga slutsatser eller fatta vettga beslut. Exempelvs ka det på ett företag ha uppstått dskussoer om att det förekommer kösdskrmerg, som yttrar sg att kvor har lägre löer ä mä. Det ka då vara rmlgt att för ett urval av kvor respektve mä ta reda på fakta. Fakta avser då te bara deras löer, uta också potetellt vktga faktorer som ålder, utbldg, atal aställgsår etc. Om det fortfarade fs löeskllader mella kvor och mä, fast ma tar häsy tll e mägd bakgrudsfaktorer, så står ma på betydlgt fastare mark är ma hävdar att det fs osaklga löeskllader på företaget. De stuato v beskrvt ova är typsk för e statstsk udersökg. Ma behöver få ett objektvt faktauderlag och samlar därför på sg e mägd data. Dessa data ka erhållas geom e observatosudersökg som exemplet ova, me äve expermetella udersökgar är valga. Exempelvs ka v täka oss e butk som vll studera hur olka expoerg av e vara påverkar varas försäljg. Ma bestämmer sg för att testa tre olka typer av expoerg och geomför dessa uder var sa tremåadersperoder. Seda ka ma jämföra försäljgssffror (tllsammas med aa vktg formato) för att komma fram tll e väl uderbyggd slutsats. Syftet med e statstsk udersökg är måga gåger ret beskrvade, vlket ebär att ma vll se verklghete som de är. Me ofta har ma också ett aalytskt syfte, som att göra e sambadsaalys eller pröva e uttalad hypotes ( löeexemplet vll ma studera sambadet mella lö och kö och testa om skllade är statstskt sgfkat ). Äve om syftet för e udersökg är aalytskt, har de ofta stora slag av beskrvade momet. Slutsatser frå e aalytsk udersökg dras alltd tll ågo populato. Populatoe ka vara ädlg och lätt att förstå (som t.ex. de aställda vd ett företag). Lka valgt är det med e oädlg populato, som är ett betydlgt mera vagt begrepp och ofta aväds då ma har oberoede mätgar vd t.ex. ett expermet. Ma vll då studera e mera allmä företeelse, som t.ex. hållfasthete hos e stållegerg, effekte av e reklamkampaj på försäljge av e vara, sambadet mella försäljge av e vara och dess prs etc.

2 . Olka typer av data Vad är u data? E defto ka vara att data är mått på varabler, som ka vara rmlga att studera med häsy tll udersökgsproblemet. I löeexemplet ka v bl.a. se följade varabler och mått: Lö rmlgt mått är måadslö kroor Ålder ka vara faktsk ålder atal år (kaske äve måader) me äve e klassdelg t.ex. femårsklasser Kö ka beteckas som K resp. M, me valgare är t.ex. resp. (fortfarade bara e beteckg fast det är sffror). Uppebarlge fs det två typer av varabler, ämlge de som kallas kvaltatva respektve kvattatva. E kvaltatv varabel är e varabel som deferar olka kategorer som t.ex. kö, yrke, födelselad etc. Varabel har get aturlgt sffermått me sffror aväds ofta som beteckg. E kvattatv varabel har som aturlgt mått sffror och sffrora har s självklara betydelse. Som exempel ka ämas atal bar e famlj, ålder och komst. Däremot är det te alltd självklart hur varabel skall mätas uta ma ka aväda olka sorters skalor. T.ex. ka ålder mätas atal år eller olka ålderskategorer. Ma brukar prata om fyra olka skalor på vlka varabler ka mätas. Nomalskala: är v bara ka betrakta data som olka grupper. Tll dea skala hör edast kvaltatva varabler. Ordalskala: är v betraktar data som grupper, me ka ragorda dem. Gruppera har alltså e bördes storleksordg, me avståde ka ädå vara olka mella dem. Tll dea skala hör både kvaltatva och kvattatva varabler. Ett exempel är åldersklassera (uder ), (mella och 4) samt 3 (över 4). E dvd klass är då ygre ä e klass etc. Itervall- och kvotskala är de exakta skalora för kvattatva varabler. Ur statstsk syvkel behadlas data mätta på dessa skalor på ett lkvärdgt sätt. Det som skljer varablera är att vssa varabler te har ågo gve ollpukt (som t.ex. temperatur). De mäts då på tervallskala där det är megsfullt att tala om dffereser (Vettgt uttalade: I dag är det grader, dvs grader varmare ä går då det var grader. Däremot fugerar det te

3 med: I dag är det % varmare ä går). E varabel på kvotskala har e väldeferad ollpukt och det är megsfullt att blda kvoter och uttrycka relatva mått (Lsa och Kar är resp. 4 år gamla. Alltså är Kar år äldre ä Lsa. Me det är också korrekt att säga att Kar är dubbelt så gammal som Lsa). Det blev ltet lågradgt detta med skalor och v skall te fördjupa oss mer, uta kostatera att skalora leder tll två typer av data. Kvaltatva varabler och kvattatva varabler på ordalskala ger båda frekvesdata, dvs för varje klass får ma atalet dvder (frekvese) som går klasse. Kvattatva varabler på tervall- eller kvotskala ger data form av esklda umerska värde. 3. Tabeller och dagram I meda, kursböcker och aat matas v daglge med formato form av tabeller och dagram. Iformatoe ser vederhäftg ut och det är lätt att ta tll sg de helt okrtskt, te mst för att måga tycker att det bara är tråkga sffror, som ma te orkar fördjupa sg ärmare. Me här rskerar ma att gå på ordetlga tar! Statstska uppgfter ka preseteras på måga olka sätt, och ma måste förstå hur de aktuella tabelle eller dagrammet är kostruerat, för att rätt tolka formatoe. Valge är formatoe formellt sett korrekt, me ka framställas på sådat sätt, att det är lätt att feltolka de om ma te graskar de krtskt. Särsklt tydlgt blr detta vd poltska debatter, då det är valgt att represetater för olka parter vsar dagram över ågo företeelse. Trots att ma llustrerar samma företeelse ger dagramme helt olka tryck (kaske för att ma aväder olka skalor, delvs olka tdsperoder etc). 3. Frekvesdata V studerar u e varabel som är delad olka klasser, och vll med hjälp av tabeller och dagram llustrera hur data fördelar sg över de olka klassera. Exempel I e medaudersökg rktad tll allmähete vll ma ta reda på sveska folkets ställg tll olka tdgar. För varje tdg får de svarade uttrycka s åskt på e femgradg skala. Frågora och svarsalteratve är av följade typ. Tdge XX är trovärdg Istämmer: te alls O O O O O helt och hållet 3

4 Sum of Atal Förutom svare på dessa frågor har ma också frågat om de svarades kö. 8 persoer har besvarat ekäte och v vll redovsa svarsfördelgara över kö, över trovärdghet me äve över kombatoe av kö och trovärdghet. Det seare gör v för att se om kvor och mä uppfattar trovärdghete på olka sätt. 3.. Kö Tabell. Svarsfördelg efter kö Kö Atal Adel ( procet) Kvor Mä Totalt 8 Dea fördelg ka llustreras ett stapeldagram, som har kostruerats de statstska programvara Mtab: Fgur Stapeldagram över kösfördelg 4 Mä Kvor Kö Fgurtexte är te de syggaste, me detta bortser v frå u. Det v ka kostatera är att dagrammet och för sg är korrekt, me ger ett tryck av att kvora är väldgt få förhållade tll mäe. Detta beror på Y-axels skala, som te alls börjar. Det är lätt att styra om detta Mtab och v erhåller då stället följade: 4

5 Sum of Atal Fgur Stapeldagram över kösfördelg 4 Mä Kvor 3 Kö Nu får v ett helt aat och mera korrekt tryck av stapeldagrammet, eller hur? V ka dra lärdome att ma bör udvka stympade skalor, eftersom det omedelbara sytrycket av dagrammet lätt blr vlseledade. Ett alteratvt sätt att llustrera kösfördelge är med crkeldagram, vlket kostrueras så att crkelsektoreras areor är proportoella mot frekvesera: Fgur 3 Crkeldagram över kösfördelg Pe Chart of Kö (4; 5,5%) (38; 47,5%) Crkeldagram blr lätt rörga om varabel ka ata måga värde, och då lämpar sg stapeldagram allmähet bättre. Ma bör också täka på att crkeldagrammet är som tydlgast färg, och att dagramtype därför kaske te lämpar sg e svartvt rapport. 5

6 Sum of at 3.. Trovärdghet Vad gäller trovärdghete har följade resultat erhållts: Tabell Fördelg efter trovärdghet Trovärdghet Atal Procetuell adel Totalt 8 Fgur 4 Stapeldagram över trovärdghetsfördelge Trov 4 5 Fgur 5 Crkeldagram över trovärdghetsfördelge Pe Chart of Trov (; 5,%) 3 (4; 3,%) (; 5,%) 5 (6;,%) 4 (6;,%) 6

7 Sum of At 3..3 Kombatoe kö och trovärdghet För att studera kombatoe av kö och trovärdghet behöver v ta fram e korstabell, dvs e frekvestabell där båda varablera redovsas tllsammas. V kostruerar tabelle så att radera är kö, meda kolumera är trovärdghete. För att förekla redovsge så ges trovärdghete bara 3 klasser; egatva (urspruglg kod och ), obestämda (kod 3) och postva (kod 4 och 5): Tabell 3 Fördelg efter trovärdghet för mä och kvor. Atal Kö Trovärdghet Neg Obest Pos Totalt Kvor Mä Totalt V ka kostatera att margalera har v de fördelgar som tdgare redovsats (trovärdghetsfördelge var dock då mera ffördelad). V ka också kostatera att mäe är betydlgt mer egatva ä kvora (6/4 = 38. % jämfört med 8/38 =.4 %). För att llustrera detta tar v fram ett stapeldagram uppdelat på kö: Fgur 6 Stapeldagram över trovärdghetsfördelge uppdelat på mä och kvor. Atal Neg Pos Pos Obest Obest Neg Ko 7

8 Percet Sum of At Eftersom atalet mä och kvor är olka, ka det vara ltet besvärlgt att drekt se skllade fördelg, är de som här ges atal. Det blr eklare om ma stället går över tll procetuella adelar om varje grupp (kö detta fall): Fgur 7 Stapeldagram över trovärdghetsfördelge uppdelat på mä och kvor. Procetuell adel Neg Obest Pos Neg Obest Pos Ko Ma ser omedelbart frå de två fördelgara, att kvora har e klart mer postv ställg ä mäe tll tdges trovärdghet. Det ssta dagrammet ka ret formellt också kostrueras geom att låta trovärdghetsklassera utgöra x-axel : 8

9 Percet Sum of At Mä Kvor MäKvor Mä Kvor Trov 3 Om v tttar på grupp så är mäes stapel dubbelt så hög som kvoras, dvs mäe är två gåger så egatva som kvora? Detta är dock fel sätt att tolka det hela, uta det v ka säga är, att av de egatva så utgör mäe två tredjedelar. Eftersom mäe är ågot fler stude, så är detta e del av förklarge tll mäes höga adel. V såg ju ova att av mäe är 38. % egatva, meda motsvarade adel blad kvora är.4 %. Adele egatva mä är alltså te dubbelt så stor som adele egatva kvor, uta bara 78 % större (38./.4 =.78). V drar lärdome, att de grupper ma vll jämföra bör utgöra dagrammets delgsgrud ( xaxel ), så att ma te rskerar att av msstag dra felaktga slutsatser. 3. Data form av esklda umerska värde (frå kvattatva varabler) De kvattatva varablera ka klassfceras dskreta respektve kotuerlga varabler. E dskret varabel ka bara ata vssa dskreta värde, och stället för att age alla esklda värde, så preseteras sådaa data form av frekvestabeller, precs som avstt 3.. E kotuerlg varabel atar alla värde ett tervall, vlket ebär att ett observatosmateral ehåller värde som stort sett alla är olka. Sådaa data ka te drekt preseteras tabeller och dagram, uta måste först delas klasser. Exempel (Dskret varabel) V studerar uder ett år atal trafkolyckor per dag som träffar e tätort. De = 365 observatoera är,,,,, 4,.,,,. Data ka sammafattas följade frekvestabell: 9

10 f Tabell 4 Atal och procetuell adel trafkolyckor per dag Atal olyckor (x) Atal dagar, frekves (f) Procetuell relatv frekves Summa = Dea fördelg llustreras lämplge med ett s.k. stolpdagram (stapeldagram för dskret varabel), där ma på y-axel har frekvesera eller relatva frekvesera för varje x-värde: Fgur 8 Fördelg över atal trafkolyckor per dag 5 3 x Exempel 3 (Kotuerlg varabel) E föreg med 5 medlemmar har följade åldersfördelg

11 Tabell 5 Föreges åldersfördelg Ålder Frekves Relatv frekves ( %) Alla 5 Fördelge för e kotuerlg varabel brukar llustreras med ett hstogram. På x-axel markeras klassgräsera och ovaför varje klass avsätts e rektagelarea som är proportoell mot frekvese (eller relatva frekvese). Om klassera är lka breda (vlket de helst bör vara), så är rektagels höjd proportoell mot frekvese. För att kostruera hstogram Mtab måste ma ha alla esklda data lagda. Här hade v te data på de forme och därför får v lov att själva rta ett hstogram. Detta görs förmodlge eklast för had. Pröva! (Observera att e perso som fyllt 9 år me äu te 3 ages med ålder 9). 4. Sammafattade mått på datamateral I föregåede kaptel har v studerat olka sätt att llustrera hela fördelge hos ett datamateral. Ofta vll ma sammafatta dea formato ågra ekla mått som är smdgare att hatera. Främst gäller detta om ma har data på e kvattatv varabel. De typer av mått som ma valge aväder är dels mått på observatoeras geomstt och dels mått på observatoeras sprdg krg geomsttet. 4. Geomsttsmått (lägesmått, cetralmått) Det särklass valgaste geomsttsmåttet är (artmetska) medelvärdet, me ma ser att äve medae aväds praktke. Typvärdet fugerar främst för kvaltatva data och för klassdelade kvattatva. Typvärdet är det valgaste värdet, dvs det x-värde som har de största frekvese. Medae (md) är det storleksordg mttersta värdet (om atalet observatoer är jämt, så deferas medae som medelvärdet av de två mttersta värdea). Medae delar alltså datamateralet mtt tu.

12 Medelvärdet ( x med statstskt språkbruk) för ett datamateral med observatoer beteckade x, x,... x deferas som x x x... x sum( x ) x Exempel 4 (baseras på exempel ) De första vecka är det observerade atalet olyckor,,,,, 4,. (med beteckgara ova är t.ex. x = och x 7 = ). V ser att typvärdet är, meda medae är md =. Medelvärdet av atalet olyckor är 4 x Säg u att ssta dage var e extrem halkdag och det blev te alls olyckor uta stället! Fortfarade är typvärdet och medae. Medelvärdet blr dvs väsetlgt mycket större ä ova. 9 x 7 Detta är e geerell lärdom: Medelvärde är käslga för extremvärde, meda medavärde te påverkas ämvärd grad. Medae ka därför vara ett lämplgare geomsttsmått ä medelvärdet vssa sammahag. T.ex. aväds valge medalö stället för geomsttslö sambad med löeförhadlgar mella företag och fack. Exempel 5 V tar u och studerar alla olycksdata exempel. Typvärdet är olycka per dag. Atalet dagar är 365, varför värde r 83 ( storleksordg) är meda. V har st. :or och 5 st. :or, dvs värde r 3 upp tll och med r 7 är alla lka med, vlket ebär att md =. Medelvärdet är.7

13 x 365 x Med formelspråk ka medelvärdet för dskreta data skrvas f x x V skall u studera e ltet besvärlgare me praktke valg stuato, är ma har medelvärdea beräkade för ett atal grupper och vll beräka medelvärdet för totala atalet observatoer. Atag för ekelhetes skull att v har två grupper med atalet observatoer resp.. Atag vdare att medelvärdea är x grupp x resp. x grupp x Det totala medelvärdet ka u skrvas som x x x grupp x grupp x x x x dvs det totala medelvärdet är ett vägt medelvärde av gruppmedelvärdea och vktera är grupperas relatva frekveser. Exempel 6 Ett företag är bekymrat över sjukfråvaros utvecklg och följer därför upp fråvaro det seaste året. I tabelle eda ges medelvärdet av atalet fråvarodagar uppdelat på företagets två avdelgar och på kö. Tabell 6 Medelatal fråvarodagar per år (atal persoer om paretes) 3

14 Kvor Mä Avd 5.8 (5) 6. (5) Avd 8.5 () 9. (7) Totalt? (5)? (75) V börjar med att beräka medelfråvaro för kvor resp. mä. För kvor blr de , meda motsvarade beräkg för mä ger medelvärdet 8.89 = 8.9. Mäe har alltså stt fråvarodagar fler ä kvora. Hajar du te tll? V ser att på de två avdelgara har mäe ågot högre sjukfråvaro stt, me te alls så mycket som dagar. Då har v väl räkat fel!? Nej, faktskt te. Skälet tll de stora skllade är att mäe huvudsaklge fs på avdelg, och de avdelge har stort sett 3 sjukdagar flera ä avdelg (avdelgaras medelvärde ka med vägda medelvärde beräkas tll 5.9 resp. 9.). Om ma vll se skllade fråvaro beroede på kö (oavsett avdelg), måste medelvärdea vägas hop med e gemesam fördelg för köe. Det valgaste sättet att göra detta är med s.k. stadardvägg, där ma som gemesam fördelg aväder margalfrekvesera, dvs detta fall på avdelg och 8 på avdelg. Det stadardvägda medelvärdet för kvor blr då , meda mäes medelvärde blr 8.5. Mäe har alltså geomstt bara e halv dag mera sjukfråvaro ä kvora. Det är helt korrekt att säga att mäe på företaget har geomstt fråvarodagar fler ä kvora. Här räkas både med ev. skllader beroede på kö, me också skllader beroede på vlka arbetsuppgfter ma har. Är ma ute efter att ebart spegla skllade mella köe, måste ma göra e stadardserad jämförelse, dvs ta bort ev. skllader arbetsuppgfter. Ett ekelt sätt att göra detta är att jämföra stadardvägda medelvärde. 4. Sprdgsmått Det är vktgt att som sammafattade mått på ett datamateral te bara beräka ett geomstt uta att också ge ett mått på sprdge data. Så t.ex. är medelvärdet för sffrora -, och, me samma medelvärde har v också för -, och. Dock har det seare datamateralet betydlgt mycket större sprdg ä det första. Det absolut valgaste sprdgsmåttet är datamateralets stadardavvkelse. Iblad aväds också kvartlavståd och varatosbredd som ekla mått på sprdg. Varatosbredde är dfferese mella största och msta värdet datamateralet. 4

15 Kvartlavstådet är dfferese mella de tredje och första kvartle. Första, adra och tredje kvartle delar upp det storleksordade datamateralet 4 lka stora delar, så att varje del fs e fjärdedel av totala atalet observatoer. Adra kvartle kallas valge för meda. Stadardavvkelse deferas som s ( x x) Kvadreras uttrycket erhålls varase s ( x x) som stort sett är medelvärdet av observatoeras kvadratska avvkelser frå stt geomstt. Geom e algebrask omskrvg ka formel för varase skrvas som s ( x ) x och dea formel är ofta eklare för umerska beräkgar. Exempel 7 Betrakta följade datamateral där observatoera skrvts storleksordg:,, 3, 3, 4, 6, 7, 8, 8, 9,, 3 Varatosbredde är 3 = 3 Datamateralet delas följade fyra grupper,, 3 3, 4, 6 7, 8, 8 9,, 3 De tre kvartlera blr därför rmlge 3, 6.5 och 8.5, varför kvartlavstådet är = Medelvärdet av de observatoera är x 6, varför varase är s Stadardavvkelse är då 5

16 C s Slutlge bör v äma att det fs ett atal olka sätt att beskrva datamateral för att llustrera materalets geomstt och sprdg. I lådagram (eg. boxplot) begräsas låda av första och tredje kvartle och dessutom rtas medae. Vdare går vgara ut tll m.- och max.- värdea. Neda fs ett lådagram för vårt ekla exempel: Fgur 9 Exempel på lådagram 5 Am.: I ett datamateral för e dskret varabel förekommer varje värde med e vss frekves, och då ka formel för varase skrvas s f ( x x) f x ( ) f x 5. Övgsuppgfter 5. I e partsympatudersökg tervjuades 8 persoer och ma fck följade sympatfördelg (atal som sympatserar med): (s) 36, (v) 6, (mp) 39, (m), (fp) 4, (c) 4, (kd) 3. Uta ställgstagade 49 a) Sätt upp e frekvestabell över datamateralet och rta ett stapeldagram. b) Illustrera datamateralet med ett crkeldagram. (Täk geom hur du vll behadla de osäkra) (Vlke typ av data har v detta fall?) 6

17 5. På e teta på tekska fakultete deltar 86 studeter varav 4 är kvor. På teta ka ma få betyge U, 3, 4 och 5. I tabelle eda redovsas resultatet U Kvor 4 7 Mä Ma vll jämföra tetaresultate för kvor och mä. Kostruera ett lämplgt stapeldagram för jämförelse och kommetera vad du ser. (Vlke typ av data har v detta fall?) 5.3 På teta ova ka ma maxmalt erhålla 4 poäg. I tabelle eda redovsas resultate för olka poägtervall: Itervall Atal Illustrera datamateralet med ett lämplgt hstogram (Vlke typ av data har v detta fall?) 5.4 Vd e avdelg för kvaltetskotroll gör ma stckprov på de artklar som produceras. Artklara paketeras lådor om st. och vd kotrolle plockas lådora ut slumpvs och alla artklara e utvald låda kotrolleras. Ma oterar atalet defekta artklar och för 5 kotrollerade lådor erhålls Atal defekta 3 6 Atal lådor a) Illustrera datamateralet med ett stolpdagram 7

18 b) Beräka medelvärdet för atalet defekta artklar e låda c) Beräka medae för atalet defekta artklar e låda d) Vlket är typvärdet för atalet defekta artklar e låda 5.5 I e drottsföreg hör 6 % av medlemmara tll sekto och reste tll sekto. I tabelle eda redovsas medelålder uppdelad på sekto och på kö. I tabelle ages te atalet mä och kvor om varje sekto, uta stället de procetuella fördelge. Sekto Sekto Adel (%) Medelålder Adel (%) Medelålder Kvor Mä a) Beräka medelålder sekto resp. sekto b) Beräka medelålder hela förege c) Beräka medelålder för föreges kvor 5.6 V fortsätter på uppgft 5.5. a) Beräka skllade medelålder mella sekto och sekto b) Hur stämmer resultatet a) med de åldersskllader ma ser mella sektoera för mä resp. kvor? Varför får ma olka resultat? c) V vll ha åldersskllade mella de två sektoera är ma stadardserar kösfördelge. Beräka de stadardserade medelvärdea för de två sektoera och otera att ma får de förvätade skllade medelålder. 5.7 I e telefoväxel oterar ma atalet kommade samtal uder varje arbetsdag. Uder e arbetsvecka har ma erhållt följade data: 55, 67, 53, 56, 34 8

19 Beräka medelvärde och stadardavvkelse för atalet kommade samtal per dag. 5.8 Se uppgft 5.4. Beräka stadardavvkelse för atalet defekta artklar e låda. 5.9 I e hushållsudersökg studerade ma bl.a. hushålles blehav. Hushåll som te hade bl oterades med värdet, meda hushåll med mst e bl fck värdet. I stude deltog 56 hushåll och följade resultat erhölls: Tllgåg tll bl (x) Frekves (f) 64 9 a) Beräka medelvärdet för x. Tolka värdet b) Beräka varase för x. c) Beräka x( x) och otera att det blr samma resultat som b) x( x) d) Försök vsa matematskt att s är ma har observatoer som bara består av :or och :or. Svar tll övgsuppgfter 5. a) Frekvestabell Row Part Atal s 36 v 6 3 mp 39 4 m 5 fp 4 6 c 4 7 kd 3 8 osäkra 49 9

20 Sum of Atal Stapeldagram c fp kd m mp osäkra Part s v b) Crkeldagram Pe Chart of Part m (; 5,%) kd ( 3; 3,8%) mp ( 39; 4,9%) fp ( 4; 5,3%) c ( 4; 5,%) osäkra (49; 8,6%) v ( 6; 7,8%) s (36; 9,5%) Data är kvaltatva/kategorska 5. Här är data på ordalskala och form av frekveser. Jämförade stapeldagram för betyge uppdelade på kö (procetuell fördelg):

21 Frekves Percet Sum of Atal U 4 5 U k Kö m 5.3 Itervallgräsera sätts lämplge vd 4.5, 9.5, 4.5 och 9.5. För att få lka breda klasser sätts också första gräse vd -.5 och ssta vd 4.5 (praktskt lte kostgt!). Rta seda sammahägade staplar med höjde proportoell mot frekvese. (Här har v kvattatva, klassdelade data) 5.4 a) Stolpdagrammet Defekta b).5 c) d) 5.5 a) 3.59 resp b) 4.95 c) a) 3.39 b) Skllad 3.9 för K resp. M. P.g.a. olka kösfördelg sektoera erhålls te dea åldersskllad totalt, då köe har olka åldrar.

22 c) Stadardserad kösfördelg: 4 % kvor och 58 % mä. Medlålder för sektoera blr då resp. 7.86, dvs skllad 3.9 förstås. 5.7 Medelvärde 53, stadardavvkelse a).87 b).36

Lösningsförslag till tentamen i 732G71 Statistik B, 2009-12-04

Lösningsförslag till tentamen i 732G71 Statistik B, 2009-12-04 Prs Lösgsförslag tll tetame 73G7 Statstk B, 009--04. a) 340 30 300 80 60 40 0 0.5.0.5.0 Avståd.5 3.0 3.5 b) r y y y y 4985.75 7.7 830 0 39.335 7.7 0 80300-830 0 3.35 0.085 74.475 c) b y y 4985.75 7.7 830

Läs mer

Primär- och sekundärdata. Undersökningsmetodik. Olika slag av undersökningar. Beskrivande forts. Beskrivande forts. 2012-11-08

Primär- och sekundärdata. Undersökningsmetodik. Olika slag av undersökningar. Beskrivande forts. Beskrivande forts. 2012-11-08 Prmär- och sekundärdata Undersöknngsmetodk Prmärdataundersöknng: användnng av data som samlas n för första gången Sekundärdata: användnng av redan nsamlad data Termeh Shafe ht01 F1-F KD kap 1-3 Olka slag

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK. Statistik för lärare, 5 poäng

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK. Statistik för lärare, 5 poäng UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematsk statstk Statstk för lärare, MSTA38 Lef Nlsso TENTAMEN 04--6 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för lärare, 5 poäg Skrvtd: 9.00-15.00 Tllåta hjälpmedel: Utdelad

Läs mer

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 45 Orderkvatteter kabasystem grupp av materalstyrgsmetoder karakterseras av att behov av materal som uppstår hos e förbrukade ehet mer eller mdre

Läs mer

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser Korrelatoes betydelse vd GUM-aalyser Hela koceptet GUM geomsyras av atagadet att gåede mätgar är okorrelerade. Gude betoar och för sg att ev. korrelato spelar, me ger te mycket vägledg för hur ma då ska

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4..3 Normalfördelge Bomal- och Possofördelge är två exempel på fördelgar för slumpvarabler som ka ata ädlgt eller uppräkelgt måga olka värde. Sådaa fördelgar sägs vara dskreta. Ofta är ett resultat X frå

Läs mer

Orderkvantiteter vid begränsningar av antal order per år

Orderkvantiteter vid begränsningar av antal order per år Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 64 Orderkvatteter vd begräsgar av atal order per år Olka så kallade partformgsmetoder aväds som uderlag för beslut rörade val av lämplg orderkvattet

Läs mer

SAMMANFATTNING AV KURS 602 STATISTIK (Newbold kapitel [7], 8, 9, 10, 13, 14)

SAMMANFATTNING AV KURS 602 STATISTIK (Newbold kapitel [7], 8, 9, 10, 13, 14) AMMANFATTNING AV KUR 6 TATITIK (Newbold katel [7], 8, 9,, 3, 4) INLEDNING 3 Proortoer 3 Proortoer 4 Poulatosvaras 5 KONFIDENINTERVALL 6 Itutv förklarg 6 Arbetsgåg vd beräkg av kofdestervall 7 Tfall. ök

Läs mer

Flexibel konkursriskestimering med logistisk spline-regression

Flexibel konkursriskestimering med logistisk spline-regression Matematsk statstk Stockholms uverstet Flexbel kokursrskestmerg med logstsk sple-regresso Erk vo Schedv Examesarbete 8: Postadress: Matematsk statstk Matematska sttutoe Stockholms uverstet 6 9 Stockholm

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

Variansberäkningar KPI

Variansberäkningar KPI STATISTISKA CENTRALBYRÅN Slutrapport (9) Varasberäkgar KPI Varasberäkgar KPI Iledg Grov varasskattg Detaljerade varasskattgar av tuga produktgrupper 5 Rätekostader 5 Charter 6 Böcker 8 Utrkesflyg 0 Iträdesbljetter

Läs mer

Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s.

Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s. Vätevärde, stadardavvkelse och varas Ett statstskt materal ka sammafattas med medelvärde och stadardavvkelse (varas, och s. På lkade sätt ka e saolkhetsfördelg med käda förutsättgar sammafattas med vätevärde,,

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata Sesorer, effektorer och fysk Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Noggrahet och precso Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätgar är

Läs mer

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata Sesorer och elektrok Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätresultat är behäftade med e vss osäkerhet

Läs mer

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff FÖRDJUPNINGS-PM Nr 6. 2010 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Av Jenny von Greff Dnr 13-15-10 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Inlednng Utförsäljnng

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Vinst (k) 1 1.5 2 4 10 Sannolikhet 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 ( )

Vinst (k) 1 1.5 2 4 10 Sannolikhet 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 ( ) Tentamen Matematsk statstk Ämneskod-lnje S1M Poäng totalt för del 1 5 (8 uppgfter) Poäng totalt för del 3 (3 uppgfter) Tentamensdatum 9-3-5 Kerstn Vännman Lärare: Robert Lundqvst Mkael Stenlund Skrvtd

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL x + y, där x, y R (rektagulär form r(cosθ + sθ (polär form r (cos θ + s θ De Movres formel y O x + x y re θ (potesform eller expoetell form θ e cosθ + sθ Eulers

Läs mer

Centrala gränsvärdessatsen

Centrala gränsvärdessatsen Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Cetrala gräsvärdessatse Cetrala gräsvärdessatse Vätevärdet och varase för e ljär kombato av stokastska varabler beräkas elgt följade: S Låt c, c,, c vara kostater,,,, stokastska

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Applikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering.

Applikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering. Aktiverig mobil app 1 Aktiverig mobil app Aktiverig mobil app aväds för att koppla e eskild avädare till Visma Agdas mobilapplikatio. Applikatioe ka edast avädas av eskilda avädare med förtroederapporterig.

Läs mer

Strukturell utveckling av arbetskostnad och priser i den svenska ekonomin

Strukturell utveckling av arbetskostnad och priser i den svenska ekonomin Strukturell utvecklg av arbetskostad och prser de sveska ekoom Alek Markowsk Krsta Nlsso Marcus Wdé WORKING PAPER NR 06, MAJ 0 UTGIVEN AV KONJUNKTURINSTITUTET KONJUNKTURINSTITUTET gör aalyser och progoser

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23 1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter? Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt

Läs mer

Sammanfattning. Härledning av LM - kurvan. Efterfrågan, Z. Produktion, Y. M s. M d inkomst = Y >Y. M d inkomst = Y

Sammanfattning. Härledning av LM - kurvan. Efterfrågan, Z. Produktion, Y. M s. M d inkomst = Y >Y. M d inkomst = Y F12: sd. 1 Föreläsnng 12 Sammanfattnng V har studerat ekonomn påp olka skt, eller mer exakt, under olka antaganden om vad som kan ändra sg. 1. IS-LM, Mundell Flemmng. Prser är r konstanta, växelkurs v

Läs mer

Beräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer

Beräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer Handbok materalstyrnng - Del B Parametrar och varabler B 41 Beräkna standardavvkelser för efterfrågevaratoner och prognosfel En standardavvkelse är ett sprdnngsmått som anger hur mycket en storhet varerar.

Läs mer

Gymnasial yrkesutbildning 2015

Gymnasial yrkesutbildning 2015 Statstska centralbyrån STATISTIKENS FRAMTAGNING UF0548 Avdelnngen för befolknng och välfärd SCBDOK 1(22) Enheten för statstk om utbldnng och arbete 2016-03-11 Mattas Frtz Gymnasal yrkesutbldnng 2015 UF0548

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsnng -2 732G70 Statstk A Kaptel 2 Populatoner, stckprov och varabler Sd -46 2 Populaton Den samlng enheter (exempelvs ndvder) som v vll dra slutsatser om. Populatonen defneras på logsk väg med utgångspunkt

Läs mer

Mätfelsbehandling. Lars Engström

Mätfelsbehandling. Lars Engström Mätfelsbehandlng Lars Engström I alla fyskalska försök har de värden man erhåller mer eller mndre hög noggrannhet. Ibland är osäkerheten en mätnng fullständgt försumbar förhållande tll den precson man

Läs mer

Utbildningsavkastning i Sverige

Utbildningsavkastning i Sverige NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Unverstet Examensarbete D Författare: Markus Barth Handledare: Bertl Holmlund Vårtermnen 2006 Utbldnngsavkastnng Sverge Sammandrag I denna uppsats kommer två olka

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Lektion 8 Specialfall, del I (SFI) Rev 20151006 HL

Lektion 8 Specialfall, del I (SFI) Rev 20151006 HL Lekton 8 Specalfall, del I (SFI) Rev 0151006 HL Produktvalsproblem och cyklsk planerng Innehåll Nvå 1: Produktval (LP-problem) (SFI1.1) Cyklsk planerng, produkter (SFI1.) Nvå : Maxmera täcknngsbdrag (produktval)

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider... Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................

Läs mer

2 Jämvikt. snitt. R f. R n. Yttre krafter. Inre krafter. F =mg. F =mg

2 Jämvikt. snitt. R f. R n. Yttre krafter. Inre krafter. F =mg. F =mg Jämvkt Jämvkt. Inlednng I detta kaptel skall v studera jämvkten för s.k. materella sstem. I ett materellt sstem kan varje del, partkel eller materalpunkt beskrvas med hjälp av dess koordnater. Koordnatsstemet

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Arbetslivsinriktad rehabilitering för sjukskrivna arbetslösa funkar det?

Arbetslivsinriktad rehabilitering för sjukskrivna arbetslösa funkar det? NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Unverstet Uppsats fortsättnngskurs C Författare: Johan Bjerkesjö och Martn Nlsson Handledare: Patrk Hesselus Termn och år: HT 2005 Arbetslvsnrktad rehablterng för

Läs mer

Funktionsteori Datorlaboration 1

Funktionsteori Datorlaboration 1 Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa

Läs mer

2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004 Omtentamen Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00

2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004 Omtentamen Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00 (4) B Ingenjörsmetodk för IT och ME, HT 004 Omtentamen Måndagen den :e aug, 00, kl. 9:00-4:00 Namn: Personnummer: Skrv tydlgt! Skrv namn och personnummer på alla nlämnade papper! Ma ett tal per papper.

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst

Läs mer

Välkommen in i konfirmandens egen bibel!

Välkommen in i konfirmandens egen bibel! L Välkoe kofrades ege bbel! Upptäck Bbel tllsaas ed kofrade! Lbrs ya kofradutgåva av Bbel har två huvudpersoer: Jesus so är Bbels kära och stjära och de uga äska so ärar sg Bbel och tro. Ordet kofrad äs

Läs mer

Allmänna avtalsvillkor för konsument

Allmänna avtalsvillkor för konsument Godkäare 7.2 Kudakuta Godkät Kommuikatio Distributio Kudservice Kommuikatio, deltagade och samråd Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras av fjärrvärme Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras

Läs mer

Tentamen i Tillämpad matematisk statistik för MI3 och EPI2 den 15 december 2010

Tentamen i Tillämpad matematisk statistik för MI3 och EPI2 den 15 december 2010 Tentamen Tllämpad matematsk statstk för MI och EPI den december Uppgft : Ett företag som tllverkar batterer av en vss typ har tllverknng förlagd tll två olka fabrker. Fabrk A står för 7% av tllverknngen

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 6. 2010. Kommunalt finansierad sysselsättning och arbetade timmar i privat sektor. Av Jenny von Greiff FÖRDJUPNINGS-PM Nr 6. 20 Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Av Jenny von Greff Dnr 13-15- Kommunalt fnanserad sysselsättnng och arbetade tmmar prvat sektor Inlednng Utförsäljnng

Läs mer

Lösning till TENTAMEN

Lösning till TENTAMEN Isttutoe för Sjöfart oh Mar Tekk ös tll TENTAMEN 0706 KURSNAMN Termodyamk oh strömslära ROGRAM: am Sjöejörsrorammet åk / läserod KURSBETECKNING //auusterode SJO050 005 el A Strömslära EXAMINATOR Mats Jarlros

Läs mer

Lösningsförslag 081106

Lösningsförslag 081106 Lösigsförslag 86 Uppgift Trädslag: kvalitativ, omialskala (diskret) Diameter: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Höjd: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Ålder: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Trädslag:

Läs mer

FÖRSÖKSPLANERING. och utvärdering av försöksresultat med den matematiska statistikens metoder. av Jarl Ahlbeck

FÖRSÖKSPLANERING. och utvärdering av försöksresultat med den matematiska statistikens metoder. av Jarl Ahlbeck FÖRSÖKSPLNERING och utvärderg av försöksresultat med de matematska statstkes metoder av Jarl hlbeck Åbo kadem Laboratoret för alägggstekk I a sstem whch varable quattes chage, t s of terest to eame the

Läs mer

Lycka till och trevlig sommar!

Lycka till och trevlig sommar! UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematsk statstk Statstk för lärare, MSTA38 Lef Nlsso TENTAMEN 07-05-3 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för lärare, 5 poäg Skrvtd: 09.00-5.00 Tllåta hjälpmedel: Tabellsamlg,

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

Partikeldynamik. Fjädervåg. Balansvåg. Dynamik är läran om rörelsers orsak.

Partikeldynamik. Fjädervåg. Balansvåg. Dynamik är läran om rörelsers orsak. Dynamk är läran om rörelsers orsak. Partkeldynamk En partkel är en kropp där utsträcknngen saknar betydelse för dess rörelse. Den kan betraktas som en punktmassa utan rotaton. Massa kan defneras på två

Läs mer

Optimering av underhållsplaner leder till strategier för utvecklingsprojekt

Optimering av underhållsplaner leder till strategier för utvecklingsprojekt Opterng av underhållsplaner leder tll strateger för utvecklngsprojekt Ann-Brh Ströberg 1 och Torgny Algren 1. Mateatska vetenskaper Chalers teknska högskola och Göteborgs unverset 41 96 Göteborg 31-77

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

Hur har Grön Flagg-rådet/elevrådet arbetat och varit organiserat? Hur har rådet nått ut till resten av skolan?

Hur har Grön Flagg-rådet/elevrådet arbetat och varit organiserat? Hur har rådet nått ut till resten av skolan? I er rapport dokumenterar n kontnuerlgt och laddar upp blder. N beskrver vad n har gjort, hur n har gått tllväga arbetsprocessen och hur eleverna fått nflytande. Här fnns utrymme för reflektoner från elever

Läs mer

b) Om du nu hade oturen att du köpt en trasig dator, vad är sannolikheten att den skulle ha tillverkats i Litauen?

b) Om du nu hade oturen att du köpt en trasig dator, vad är sannolikheten att den skulle ha tillverkats i Litauen? UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematk och matematsk statstk MSTA, Statstk för tekska fysker A Peter Ato TENTAMEN 005-0-03 ÖSNINGSFÖRSAGTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för tekska fysker, 4 oäg.

Läs mer

En studiecirkel om Stockholms katolska stifts församlingsordning

En studiecirkel om Stockholms katolska stifts församlingsordning En studecrkel om Stockholms katolska stfts församlngsordnng Studeplan STO CK HOLM S K AT O L S K A S T I F T 1234 D I OECE S I S HOL M I ENS IS En studecrkel om Stockholm katolska stfts församlngsordnng

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell

Läs mer

Handlingsplan. Grön Flagg. I Ur och Skur Pinneman

Handlingsplan. Grön Flagg. I Ur och Skur Pinneman Handlngsplan Grön Flagg I Ur och Skur Pnneman Kommentar från Håll Sverge Rent 2013-09-23 12:55: N har fna och ntressanta utvecklngsområden med aktvteter som anpassas efter barnens förmågor. Se er själva

Läs mer

Kontingenstabell (Korstabell) 2. Oberoende-test. Stickprov beror av slumpen. Vad vi förvf. är r oberoende: kriterier är r oberoende: kriterier

Kontingenstabell (Korstabell) 2. Oberoende-test. Stickprov beror av slumpen. Vad vi förvf. är r oberoende: kriterier är r oberoende: kriterier . Oberoede-test Kotgestabell (Korstabell) Oberoedet av två rterer för lassfato udersöes xempel: V vll veta om röadet är beroede av ö V tar ett stcprov ur befolge (=50) och lassfcera persoera elgt dessa

Läs mer

En jämförande studie av GLM, Jungs metod och Tweedie-modell för premiesättning av multiplikativ tariff.

En jämförande studie av GLM, Jungs metod och Tweedie-modell för premiesättning av multiplikativ tariff. atematk tattk Stockholm uvertet E ämförade tude av GL, Jug metod och Teede-modell för premeättg av multplkatv tarff. El Laro Eamearete 4: Potal addre: atematk tattk Dept. of athematc Stockholm uvertet

Läs mer

a utsöndring b upptagning c matspjälkning d cirkulation

a utsöndring b upptagning c matspjälkning d cirkulation I levade varelser bryts stora och sammasatta molekyler ed till små och ekla molekyler. Vad kallas dea process? S02_01 a utsödrig b upptagig c matspjälkig d cirkulatio S042009 Kalle hade ifluesa. Ha spelade

Läs mer

Om ja, hur har ni lagt upp och arbetat i Grön Flagg-rådet/samlingarna med barnen och hur har det upplevts?

Om ja, hur har ni lagt upp och arbetat i Grön Flagg-rådet/samlingarna med barnen och hur har det upplevts? I er rapport dokumenterar n kontnuerlgt och laddar upp blder. N beskrver vad n har gjort, hur n har gått tllväga arbetsprocessen och hur barnen fått nflytande. Här fnns utrymme för reflektoner från barn

Läs mer

Grön Flagg-rapport Förskolan Fjäderkobben 17 apr 2014

Grön Flagg-rapport Förskolan Fjäderkobben 17 apr 2014 Illustratoner: Anders Worm Grön Flagg-rapport Förskolan Fjäderkobben 17 apr 2014 Kommentar från Håll Sverge Rent 2014-02-25 11:44: Inskckad av msstag. 2014-04-17 09:52: Bra jobbat, Förskolan Fjäderkobben!

Läs mer

Handlingsplan. Grön Flagg. Bosgårdens förskolor

Handlingsplan. Grön Flagg. Bosgårdens förskolor Handlngsplan Grön Flagg Bosgårdens förskolor Kommentar från Håll Sverge Rent 2015-08-11 14:16: Det är nsprerande att läsa hur n genom röstnng tagt tllvara barnens ntressen när n tagt fram er handlngsplan.

Läs mer

Översikt av ouppklarade fall av dödligt våld i Skåne under tiden 1985-07-01 och framåt i tiden.

Översikt av ouppklarade fall av dödligt våld i Skåne under tiden 1985-07-01 och framåt i tiden. Översikt av ouppklarade fall av dödligt våld i Skåe uder tide 1985-07-01 och framåt i tide. OBSERVERA att översikte grudar sig på e iveterig, som ite är klar! Atalet ärede och urval av ärede ka komma att

Läs mer

Specialfall inom produktionsplanering: Avslutning Planerings- Le 8-9: Specialfall (produktval, kopplade lager, cyklisk planering, mm) system

Specialfall inom produktionsplanering: Avslutning Planerings- Le 8-9: Specialfall (produktval, kopplade lager, cyklisk planering, mm) system Föreläsg Specalfall om produktosplaerg: Produktvalsplaerg, cyklsk plaerg, alteratva partformgsmetoder Avslutg Plaergssystem Fast posto Fö 6a: Projektplaerg (CPM, PERT, mm) Le 3: Projektplaerg (CPM/ PERT,

Läs mer

Doktorandernas uppfattningar om sin forskarutbildning vid Uppsala universitet

Doktorandernas uppfattningar om sin forskarutbildning vid Uppsala universitet Doktoraderas uppfattigar om si forskarutbildig vid Uppsala uiversitet Resultat frå e uiversitetsövergripade ekätudersökig: Språkveteskapliga fakultete Ehete för kvalitet och utvärderig Maria Wolters Maj

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Grön Flagg-rapport Förskolan Kalven 20 jan 2016

Grön Flagg-rapport Förskolan Kalven 20 jan 2016 Illustratoner: Anders Worm Grön Flagg-rapport Förskolan Kalven 20 jan 2016 Kommentar från Håll Sverge Rent 2016-01-20 09:07: Förskolan Kalven, n har lämnat n en toppenrapport även denna gång! Bra områden

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

Medelvärde. Repetition. Median. Standardavvikelse. Frekvens. Normerat värde. z = x x

Medelvärde. Repetition. Median. Standardavvikelse. Frekvens. Normerat värde. z = x x Medelvärde Reetto mb9 Medelvärdet är summa av alla observatoer dvderat med deras atal. x 873+85+8385+83+8+83+8087+808+80 = 70 70 = 89 9 Meda Medae är de mttersta observatoe. = 8 Eller medelvärdet av de

Läs mer

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter

Läs mer

ESBILAC. mjölkersättning för hundvalpar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com

ESBILAC. mjölkersättning för hundvalpar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com ESBILAC mjölkersättig för hudvalpar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd valp är självklart att dia tike och få i sig mammas mjölk. Modersmjölke iehåller allt som de små behöver i form av ärigsäme,

Läs mer

Bo Andersson, IF Metall, Sven Bergström, LO, Jörgen Eriksson, Byggnads, Björn Hammar, Teknikföretagen, Björn Samuelson, Sveriges Byggindustrier

Bo Andersson, IF Metall, Sven Bergström, LO, Jörgen Eriksson, Byggnads, Björn Hammar, Teknikföretagen, Björn Samuelson, Sveriges Byggindustrier Säkra persolyft 1 Prevet är e ideell föreig iom arbetsmiljöområdet med Sveskt Närigsliv, LO och PTK som huvudmä. Vår uppgift är att tillsammas med huvudmäe förmedla kuskap krig arbetsmiljöfrågor och utveckla

Läs mer

KMR. mjölkersättning för kattungar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com

KMR. mjölkersättning för kattungar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com KMR mjölkersättig för kattugar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd kattuge är självklart att dia mammas mjölk. För e yfödd kattuge är det framför allt viktigt att få i sig mammas mjölk de två första

Läs mer

= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2

= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2 Ljär regresso aolkhet och statstk Regressosaalys VT 2009 Uwe.Mezel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Fgur: Mätpukter: x, y Ljär regresso - kalbrerg av e våg Modell för ljär regresso Modell: y α +

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe Databasdesig Förstudie, behovsaalys ER-modellerig Kravspecifikatio För att formulera e kravspecifikatio: Idetifiera avädare Studera existerade system Vad

Läs mer

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()

Läs mer

Attitudes Toward Caring for Patients Feeling Meaninglessness Scale

Attitudes Toward Caring for Patients Feeling Meaninglessness Scale Atttudes Toward Carng for Patents Feelng Meannglessness Scale Detta frågeformulär handlar om olka exstentella känslor, tankar, förståelse samt stress som kan uppstå vården av patenter lvets slutskede.

Läs mer

Beställningsintervall i periodbeställningssystem

Beställningsintervall i periodbeställningssystem Handbok materalstyrnng - Del D Bestämnng av orderkvantteter D 41 Beställnngsntervall perodbeställnngssystem Ett perodbeställnngssystem är ett med beställnngspunktssystem besläktat system för materalstyrnng.

Läs mer

Introduktionsersättning eller socialbidraghar ersättningsregim betydelse för integrationen av flyktingar? 1

Introduktionsersättning eller socialbidraghar ersättningsregim betydelse för integrationen av flyktingar? 1 UPPSALA UNIVERSITET Natonalekonomska Insttutonen Examensarbete D-uppsats, Ht-2005 Introduktonsersättnng eller socalbdraghar ersättnngsregm betydelse för ntegratonen av flyktngar? 1 Författare: Henrk Nlsson

Läs mer

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 5

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 5 Expermentella metoder 04, Räkneövnng 5 Problem : Två stokastska varabler, x och y, är defnerade som x = u + z y = v + z, där u, v och z är tre oberoende stokastska varabler med varanserna σ u, σ v och

Läs mer

KONFIDENSINTERVALL FÖR MEDIANEN (=TECKENINTERVALL )

KONFIDENSINTERVALL FÖR MEDIANEN (=TECKENINTERVALL ) Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tecetervall KONFIDENSINTERVALL FÖR MEDIANEN (TECKENINTERVALL ) För att bestämma ett ofdestervall för medae tll e otuerlg s.v. ξ aväder v ett stcprov ξ ξ ξ3 ξ av storlee som

Läs mer

1. a Vad menas med medianen för en kontinuerligt fördelad stokastisk variabel?

1. a Vad menas med medianen för en kontinuerligt fördelad stokastisk variabel? Tentamenskrvnng: TMS45 - Grundkurs matematsk statstk och bonformatk, 7,5 hp. Td: Onsdag den 9 august 2009, kl 08:30-2:30 Väg och vatten Tesen korrgerad enlgt anvsngar under tentamenstllfället. Examnator:

Läs mer

Projekt i transformetoder. Rikke Apelfröjd Signaler och System rikke.apelfrojd@signal.uu.se Rum 72126

Projekt i transformetoder. Rikke Apelfröjd Signaler och System rikke.apelfrojd@signal.uu.se Rum 72126 Projekt transformetoder Rkke Apelfröjd Sgnaler och System rkke.apelfrojd@sgnal.uu.se Rum 72126 Målsättnng Ur kursplanen: För godkänt betyg på kursen skall studenten kunna använda transformmetoder nom något

Läs mer

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta. KOD: Kurskod: PC106/PC145 Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 4/5 014 Hel- och halvfart VT14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare: Niklas Frasso

Läs mer

Dödlighetsundersökningar på KPA:s

Dödlighetsundersökningar på KPA:s Matematsk statstk Stockholms unverstet Dödlghetsundersöknngar på KPA:s bestånd av förmånsbestämda pensoner Sven-Erk Larsson Eamensarbete 6: Postal address: Matematsk statstk Dept. of Mathematcs Stockholms

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

Har du sett till att du:

Har du sett till att du: jua b r t t u a lr r l a r r a å l g P rä t r g u s p u m h a c tt val? t bo s F Rock w S Du har tt stort asvar! Som fastghtsägar m hyra gästr llr campg trägår är u otrolgt vktg aktör! Självklart för att

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

Återanvändning. Två mekanismer. Nedärvning av egenskaper (inheritance) Objekt komposition

Återanvändning. Två mekanismer. Nedärvning av egenskaper (inheritance) Objekt komposition Iheritace Återavädig Två mekaismer Nedärvig av egeskaper (iheritace) Objekt kompositio A A +a +b B B Iheritace Återavädig geom att skapa subklasser kallas ofta white box reuse Ekelt att aväda Relatioe

Läs mer

En ideal op-förstärkare har oändlig inimedans, noll utimpedans och oändlig förstärkning.

En ideal op-förstärkare har oändlig inimedans, noll utimpedans och oändlig förstärkning. F5 LE1460 Analog elektronik 2005-11-23 kl 08.15 12.00 Alfa En ideal op-förstärkare har oändlig inimedans, noll utimpedans och oändlig förstärkning. ( Impedans är inte samma sak som resistans. Impedans

Läs mer

Skoldemokratiplan Principer och guide till elevinflytande

Skoldemokratiplan Principer och guide till elevinflytande Skoldemokratplan Prncper och gude tll elevnflytande I Skoldemokratplan Antagen av kommunfullmäktge 2012-02-29, 49 Fnspångs kommun 612 80 Fnspång Telefon 0122-85 000 Fax 0122-850 33 E-post: kommun@fnspang.se

Läs mer