Begreppet rörelsemängd (eng. momentum) (YF kap. 8.1)

Transkript

1 Begreppet rörelsemägd (eg. mometum) (YF kap. 8.1) Defto (Newto!): E partkel med massa m och hastghet ഥv har rörelsemägd ഥp = m ഥv. Vektor med samma rktg som hastghete! Newto II: ሜF = m dvlj = d dt dt d lj mഥv = p = pሶlj dt Nettokraftera som påverkar e partkel är lka med tdsdervata av partkels rörelsemägd. Spec: (1) Fr partkel: ሜF = 0 ഥp = kostat: Newto I (2) Partkel med kostat massa m: ሜF = mഥa : Newto II Formulerge ሜF = pሶlj är de mest geerella!

2 Impuls (YF kap. 8.1) Defto: Om e kostat ettokraft ሜF verkar på e partkel uder ett tdstervall Δt = t 2 t 1, så deferas kraftes mpuls ሜJ som ሜJ = ሜFΔt Om krafte är beroede av tde: t ሜJ = 2 t1 ሜFdt (vektor!) Impuls ger förädrg av rörelsemägd! Bevs: Itegrera Newto II: t ሜJ = 2 t t1 ሜFdt = 2 dplj dt = plj t1 2 dt p1 lj dp lj = plj 2 plj 1

3 Impuls och arbete (YF kap. 8.1) Jämför arbete W och mpuls ሜJ : Arbetet beror på sträcka som krafte verkar: B W = න ሜF tot ds lj = ΔE k Ger ädrg ketsk eerg! Impulse beror på tde som krafte verkar: t ሜJ = න ሜF totdt = Δplj Ger ädrg rörelsemägd! A t

4 lj Rörelsemägdsbevarade (YF kap. 8.2) Betrakta två partklar A och B som ebart växelverkar med varadra: Newto III: ሜF A = ሜF B (Newto II) pሶlj A = pሶlj B (tegrera) d( plj A + plj B ) dt = ഥ0 plj A + plj B = kostat = ሜP I ord: När två partklar påverkar varadra utbyts rörelsemägd Totala rörelsemägde ሜP hos ett system av två partklar som ebart påverkar varadra förblr kostat. Gäller äve för måga partklar: ሜP = σ p = σ m vlj är kostat om ga extera krafter verkar på systemet! Ex.: Ett gevär med massa M = 1 kg avlossas. Kula med massa m = 1 g får hastghete v = 700 m/s. Beräka gevärets rekylhastghet V.

5 lj Kollsosproblem (YF kap ) Om två kroppar ebart växelverkar med varadra uder kort td och om ett begräsat område talar v om e kollso. Kollsosproblem ka hateras uta att v käer type av växelverka detalj. Istället utyttjar v de allmäa koservergsreglera. (V bortser frå rotato). lj lj lj 1) Rörelsemägde bevaras: p A + p B efter = p A + p B före (vektorrelato) 2) Totala eerg bevaras: E k,efter = E k,före + Q (skalärrelato) Q beskrver förädrg av de mekaska eerg t.e.x. p.g.a. att kroppara ädrar temperatur, blr deformerade, exploderar, m.m. Q = 0: Elastsk kollso, rörelseeerg bevaras (koservatva krafter! Jfr bljardklot) Q < 0: Ielastsk (edoterm) kollso, rörelseeerg mskar (Jfr blkrock) Q > 0: Ielastsk (exoterm) kollso, rörelseeerg ökar (Jfr geväret) Extremfall med Q < 0: Kroppara stter fast varadra efter kollsoe, fullstädgt elastsk kollso. Ex.: Beräka Q värdet då geväret på föregåede slde avlossas! 5

6 Partkelsystems dyamk Ett partkelsystem ka vara t.ex. e fast kropp med godtycklga dmesoer, eller e samlg partklar som rör sg bördes (täk er ett solsystem eller ett atal bljardbollar). V betraktar st. partklar: Massor: m 1, m 2... m, Lägesvektorer: rlj 1, rlj 2,, rlj Hastgheter: vlj 1, vlj 2,, vlj Alla koordater mätta relatvt ett ertalsystem (X L, Y L, Z L ) som kallas L-frame där L står för laboratore. 6

7 lj Partkelsystems dyamk: masscetrum Defera Masscetrum elgt: r CM = σ =1 m rlj σ = 1 =1 m M =1 m rlj Me: ሜP = =1 m rሶlj = d dt De Totala rörelsemägde för systemet är: ሜP = =1 Mass-vktat medelvärde för partklaras lägesvektorer =1 m rlj plj = =1 m vlj = d dt M rlj CM = M vlj CM Slutsats: Rörelsemägde desamma som om all massa fas masscetrum och rörde sg med hastghet vlj CM! 7

8 Masscetrums rörelse vd kollso ሜP tot = (m 1 + m 2 ) ሜV cm Kollso mella två skvor som rör sg frktosfrtt. De två skvora utgör här partkelsystemet. Observera att masscetrum rör sg rätljïgt. För ett solerat system är ሜP kostat, dvs. masscetrum rör sg med kostat hastghet förhållade tll godtycklgt ertalsystem. 8

9 Masscetrums rörelse vd extera krafter Betrakta u ett system S som te är solerat! Itera krafter: ሜF j = ሜF j (mella partklara S) Extera krafter: ሜF Kraftekvatoe på e partkel : Summera dessa ekvatoer för alla partklar S: =1 ሜF + j ሜF j = =1 m rሷlj = d2 dt 2 =1 Mrlj CM eftersom (krafter utfrå) ሜF + j m rlj = d2 dt 2 M rlj CM = M alj CM ሜF j = m ሷlj r lj r CM = 1 M =1 m rlj V får ሜF ext = 0 ty ሜF j = ሜF j elgt Newto III ሜF ext = M lj a CM Masscetrum rör sg som vore det e partkel med massa M utsatt för de resulterade krafte ሜF ext 9

10 Exempel på masscetrums rörelse ሜF ext = M lj a CM Geom att höja armar och be förflyttas tygdpukte upp kroppe så att huvudet behåller approxmatvt samma höjd fastä tygdpukte beskrver e kastparabel. Observera: om ሜF ext ädras så påverkas rörelse (tex luftmotståd ädras) 10

11 Bestämg av masscetrum rlj CM Med kartesska koordater: x CM = 1 M x m y CM = 1 M y m z CM = 1 M z m För kotuerlg massfördelg: x CM = 1 M නxdm y CM = 1 M නydm z CM = 1 M නzdm Om objektet har symmetrpukt (t.ex. sfär): rlj CM pukte Om objektet har symmetraxel (t.ex. ko): rlj CM på axel Om objektet har symmetrpla (t.ex. baa): rlj CM plaet Exempel: Beräka masscetrums läge för jord-måe-systemet! Massor kg resp kg, avståd m 11