Lösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Lösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) ="

Elisabeth Magnusson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Lösigar till tetamesskrivig i kompletterigskurs Lijär Algebra, SF605, de 0 jauari 20,kl p Visa med hjälp av ett iduktiosbevis att m= mm + = +. Lösig: Formel är uppebarlige sa är = eftersom formels västra led då är lika med / + vilket ju är lika med formels högra led är =. Vi visar u att implikatioe m= mm + = + är giltig för alla aturliga tal. Vi fier u att och alltså om så har vi att + m= mm + = + m= mm + = m= m= = m= mm + = + + +, mm , mm + = +, = = = + + 2, Eftersom u både implikatioe, dvs iduktiossteget, och bassteget är visade så är formel sa eligt iduktiospricipe. 2. 3p Låt C betecka matrise C = Sittet mella matrises kolorum och ollrum utgör ett delrum L till R 4. Bestäm e bas för L. Lösig: Vektor ȳ = y, y 2, y 3, y 4 T tillhör C:s kolorum om och edast om ȳ = C x, för ågo vektor x = x, x 2, x 3, x 4 T i R 4. Vidar så tillhör ȳ matrise C:s ollrum precis då Cȳ = 0, 0, 0, 0 T.

2 2 Vi har alltså att udersöka om det fis ågo vektor x = x, x 2, x 3, x 4 T såda att CC x = 0, 0, 0, 0 T. Matrismultiplikatio är e associativ operatio och vi ka då börja med att beräka C 2 : CC = och löser systemet C 2 x = 0: Lösige ges alltså av x = t, x 3 = s, x 2 = t s, x 4 = 2 3 t + 3 s, där s och t är godtyckliga reella tal Vi sökte emellertid vektorera ȳ i kolorummet som gavs av ȳ = C x, och e bas för det delrum som bestod av alla dessa koloer. Med t, s =, 0 resp t, s = 0, får vi e såda bas: resp ȳ = C,, 0, 2/3 T = 0, 0, 0, 0 T, ȳ 2 = C0,,, /3 T = 0, 0, 0, 0 T, och de slutsats vi ka dra är att sittet mella matrises ollrum och kolorum bara består av ollvektor. 3. 3p Betrakta vektorrummet P vars vektorer är polyome i variabel t med koefficieter som är reella tal. Med hjälp av de ire produkte ft gt = ftgtdt ka vi, på sedvaligt sätt, iföra e metrik i P. Låt L vara det delrum till P som späs upp av polyome t och + t 2. Skriv u vektor som e summa av e vektor ū L och e vektor v i L:s ortogoala komplemet L. Lösig: Polyomet ū kommer att vara e lijärkombiatio av t och + t 2, dvs ū = at + b + t 2,

3 3 så polyomet v kommer att vara lika med v = at b + t 2, och vi observerar att våra beräkigar kommer att avse vektorer i det 3-dimesioella rummet P 2 av polyom av grad högst lika med 2. Ortogoala komplemetet L till L i P 2 kommer att vara -dimesioellt. Vi bestämmer först L så slipper vi att bestämma e ON-bas för L. Polyomet ē = + ct + dt 2 tillhör L precis då eller aorluda uttryckt ē t = 0 och ē + t 2 = 0, + ct + dt 2 tdt = 0 och + ct + dt 2 + t 2 dt = 0. De första itegrale ger att c = 0 och det adra itegralvillkoret blir då 0 = + dt 2 + t 2 dt = varur vi fier att d = 5/2. Således Vi projicerar u vektor på L : Proj L = + d + t 2 + dt 4 dt = 2 + L = spa{ 5 2 t2 }. 5/2t 2 5/2t 2 5/2t t2 2d d 5 som uträkat blir 5/2t2 dt 5/2t2 2 dt 5 2 t2 = /3 7/6 5 2 t2 = t2 = t2. Svar: v = t2 och ū = v = t p Låt A och B betecka edaståede matriser A = B = Udersök om det fis e matris X vars rag är 2 och som är sådaa att AX = B. Am. Om matrise X skulle fias behöver de ite bestämmas för att full poäg skall erhållas. Lösig: Vi betraktar matrisera A och B som matriser beskrivade lijära avbildigar A resp B av R 4 på sig själv. Fråga ka då översättas till huruvida det

4 4 fis e lijär avbildig X såda att avbildige A X är avbildige B och bildrummet till X har dimesio 2.. Vi bestämmer först B:s bildrum, vilket är matrise B:s kolorum: [ ] så kolo ett och två i ursprugsmatrise är lijärt oberoede och matrises rag är så B:s bildrum är spa{2, 5, 3, 4, 4, 7, 3, 8}. Vi söker u att A:s kolorum: [ så äve mtrise A har rag 2 och dess första två koloer idikerar e bas för A:s bildrum: spa{, 3, 2, 2,,, 0, 2}. Vi placerar u de bägge bildrummes geeratorer som rader i e matris, i syfte att visa att bildrumme är lika, och bestämmar rage för dea matris: [ så dimesioe av A:s bildrum ökar ite är vi utökar detta delrum med geeratorera för B:s bildrum. Dessa bägge bildrum måste då vara lika eftersom de båda har dimesio 2. Vi påvisar u existese av e matris X, geom att beskriva e avbildig X såda att B = A X. Matris X blir då de matris som beskriver avbildige X relativt stadardbase. Eftersom B:s koloer tillhör A:s bildrum fis det vektorer f, f2, f3 och f 4 som A avbildar på B:s koloer, resp, dvs A f = 2, 5, 3, 4, A f 2 = 4, 7, 3, 8, A f 3 = 5, 7, 2, 0, A f 4 = 4, 7, 3, 8. Om vi u låter X vara e avbildig som avbildar stadardbasvektorera ē på f, ē 2 på f 2, ē 3 på f 3 samt ē 4 på f 4, så kommer sammasättige A X ha egeskape att A X ē = 2, 5, 3, 4, A X ē 2 = 4, 7, 3, 8, A X ē 3 = 5, 7, 2, 0, A X ē 4 = 4, 7, 3, 8. ] ]

5 5 Matrise för avbildige X ger alltså de eftersökta matrise uder förutsättig att vektorera f, f2, f3 och f 4 ka väljas så att de späer upp ett delrum av dimesio 2. Me f och f 2 ka ite vara parallella eftersom A avbildar dem på två ickeparallella vektorer. Betecka B:s koloer k i, för i =, 2, 3, 4. Eftersom B:s kolorum späs upp av k och k 2 så gäller det att så låter vi f 3 = a f + b f 2 har vi att k 3 = a k + b k 2, A f 3 = Aa f + b f 2 = a k + b k 2 = k 3, och på samma sätt hittar vi ett lämpligt f 4 så att dimspa{ f, f 2, f 3, f 4 } = 2. Nu ätlige kommer vi ha e matris X vars rag är lika med p Låt A vara e m-matris och b e -matris. Visa att ett och edast ett av edaståede två system har e lösig: respektive Ax = b, A T y = 0, y T b 0, 2 där A T beteckar de till A traspoerade matrise. Du får aväda samtliga satser i boke uta att bevisa dom. Lösig: Det fis följade två alterativ för vektor b, atige så tillhör b matrise A:s kolorum, eller så gör de ite det. Det första fallet iträffar precis är ekvatio är lösbar. Vi visar u att b ite tillhör A:s kolorum L precis är ekvatio 2 är lösbar. Radera i A T är matrise A:s koloer så att A T y = 0 det är ekvivalet med att y tillhör ortogoala komplemetet L till A:s kolorum L. Eftersom L gäller allmät för alla delrum L till ett vektorrum V har vi u att för alla y L så y T b 0 b L, vilket således visar att ekvatio 2 är lösbar precis då b ite tillhör A:s kolorum.

Relevanta dokument

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom