Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet Passagesannolikheter Passagetider...

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider..."

Transkript

1 Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet Passagesaolikheter Passagetider Spelares ruiproblem Absorptiossaolikheter Absorptiostider Reflekterade barriärer Vägräkig Speglig Ballot-problemet Rekurres Maximum Arcsius-lage Bladade problem 23 6 Litteratur 24 1

2 1 Iledig Med e slumpvadrig meas allmät e stokastisk följd {S }, med S 0 = 0, defiierad som S = X k, k=1 där {X k } är oberoede och likafördelade stokastiska variabler (olf). Slumpvadrige sägs vara ekel om X k = ±1, med P (X k = 1) = p och P (X k = 1) = 1 p = q. Ma ka täka sig e partikel som utför e slumpvadrig på heltalspuktera på lije och i varje steg går till e av de två grapuktera, se Figur 1. q p Figur 1: Ekel slumpvadrig Am 1. Ma ka också studera slumpvadrig i flera dimesioer. I två dimesioer har varje pukt 4 graar och i tre dimesioer fis 6 graar. E ekel slumpvadrig sägs vara symmetrisk om partikel har lika stor saolikhet att gå till var och e av grapuktera. Allmä slumpvadrig behadlas i kapitel 7 i Ross. Här kommer vi edast att studera ekel slumpvadrig, huvudsaklige i e dimesio. Vi ska bl.a. försöka besvara följade frågor: Vad är saolikhete att partikel ågosi år pukte a? (Fallet a = 1 brukar kallas apa och stupet.) Hur låg tid tar det att å a? Vad är saolikhete att de år a > 0 ia de år b < 0? ( Spelares ruiproblem ) Om partikel vid tidpukte befier sig i a > 0, vad är saolikhete att de befuit sig till höger om 0 seda första steget? de aldrig befuit sig till väster om 0? ( The Ballot problem ) Hur lågt bort kommer partikel som lägst i steg? Vid aalys av slumpvadrig har ma glädje av, dels allmäa metoder, som betigig, geererade fuktioer, differesekvatioer, 2

3 teori för Markovkedjor, teori för förgreigsprocesser, martigaler, me äve mera speciella, som vägräkig, speglig, tidsomvädig. 2 Apa och stupet E apa står ett steg frå ett stup och tar upprepade gåger, oberoede av varadra, slumpmässigt ett steg framåt, med saolikhet p, eller ett steg bakåt, med saolikhet q. 2.1 Passagesaolikheter Vad är saolikhete att apa, förr eller seare, ramlar utför stupet? Kalla dea saolikhet P 1. Då är Vi ka också studera P 1 = P (e slumpvadrade partikel ågosi år x = 1). P k = P (e slumpvadrade partikel ågosi år x = k), vilket svarar mot att apa startar k steg frå stupet. På grud av oberoedet (och de starka Markovegeskape) gäller P k = P k 1. För att bestämma P 1 ka ma betiga med avseede på det första steget. P 1 = p 1 + q P 2 = p + q P 2 1, så att med lösigar Observera att så att och alltså P q P 1 + p q = 0, 1 1 2q ± 4q 2 p q = 1 1 4pq 2q ±. 2q 1 = p + q = (p + q) 2 = p 2 + q 2 + 2pq, 1 4pq = p 2 + q 2 2pq = (p q) 2 1 4pq = p q. 3

4 Lösigara ka alltså skrivas 1 ± (p q) 2q = { 1, p q. (1) Om p > q förkastas lösige p q > 1, så att, för p q (dvs. p 1/2), vi får P 1 = 1, och därmed P k = 1 för k 1. Det är litet besvärligare att se att för p < q de korrekta lösige är P 1 = p/q < 1, vilket ger P k = (p/q) k. Ma ka visa detta med hjälp av geererade fuktioer, t.ex. geom att utyttja teori för förgreigsprocesser, där extiktiossaolikhete är de mista positiva rote till ekvatioe g(s) = s; se Problem 2. Ett mera direkt sätt är att studera Då gäller ämlige att P k () = P (att å x = k i de första stege). P 1 () = p + q P 2 ( 1) p + q P 2 1 ( 1). Eftersom P 1 (1) = p p/q, ka vi, med iduktio, visa att P 1 () p/q för alla 1, om vi ka visa att P 1 () p/q medför att äve P 1 ( + 1) p/q. Atag därför att P 1 () p/q. Då gäller Eftersom P 1 ( + 1) p + q P 2 1 () p + q (p/q) 2 = p + p2 q = p q. ka vi, för p < q, förkasta lösige P 1 = 1. Vi har alltså visat P 1 = lim P 1() p q Sats 1. Med P k som ova gäller, för k 1, { 1 om p q, P k = ( p q )k om p < q. Am 2. Detta betyder att e symmetrisk slumpvadrig, med saolikhet 1, kommer att besöka alla pukter på lije! Problem 1. Låt p < q. Bestäm fördelige för Y = max S. Vad blir E(Y )? Ledig: Studera P (Y a). Problem 2. Låt p < q. Visa att P 1 är extiktiossaolikhete i e förgreigsprocess med reproduktiosfördelig p 0 = p, p 2 = q. 2.2 Passagetider Hur låg tid tar det tills apa ramlar utför stupet? Låt T jk = tide det tar att gå frå x = j till x = k, så att T 0k = tide tills partikel år x = k för första gåge (vid start i x = 0), och låt vidare E k = E(T 0k ), 4

5 om vätevärdet existerar. I så fall måste gälla, för k > 0, E k = k E 1. Betigig ger E 1 = 1 + p 0 + q E 2 = 1 + 2q E 1. Vi skiljer på falle p < q, p = q och p > q. För p < q gäller, eligt Sats 1, att P (T 01 = ) = 1 P 1 > 0, vilket medför att E 1 = +. För p = q = 1/2 får vi, om E 1 atas vara ädligt, att E 1 = 1 + E 1, dvs. e motsägelse, så äve i det fallet är E 1 = +. Slutlige, för p > q, får vi Vi har alltså visat Sats 2. För k 1 gäller E 1 = 1 1 2q = 1 p q <. { + om p q, E k = k p q om p > q. Med hjälp av Sats 1 och 2 ka vi också studera återkomster till startpukte. Låt Då gäller P 0 = P (att partikel ågosi kommer tillbaka till startpukte), T 00 = tide tills första återkomste, E 0 = E(T 00 ). Sats 3. E 0 = + för alla p och P 0 = { 1 om p = q, 1 p q om p q. Bevis: Med beteckigar som tidigare får vi geom betigig att P 0 = p P 1 + q P 1. Om p = q gäller, eligt Sats 1, P 1 = P 1 = 1, så att äve P 0 = 1. Om p q kommer edera P 1 < 1 eller P 1 < 1, så att P 0 < 1. I fallet p < q är P 1 = 1 och P 1 = p/q, så att P 0 = p + q p q = 2p = 1 (q p) < 1. I fallet p > q gäller i stället P 1 = q/p och P 1 = 1, så att P 0 = p q + q = 2q = 1 (p q) < 1. p 5

6 För p q gäller alltså P 0 = 1 p q < 1 och följdaktlige är P (T 00 = ) > 0, så att E 0 = +. Om p = q får vi eligt Sats 2. E 0 = E E 1 = +, Am 3. De symmetriska slumpvadrige kommer alltså, med saolikhet 1, tillbaka till 0. Detta gäller efter varje återkomst, så att P (S = 0 i.o.) = 1. Trots detta är vätevärdet för tide mella två återkomster oädligt! Stora tales lag ka alltså ite tolkas som att partikel i allmähet är ära 0. I själva verket är partikel sälla ära 0 och e stor del av tide lågt frå 0, äve i e symmetrisk slumpvadrig! Se Avsitt 4.5. Am 4. Ma ka visa att äve de symmetriska slumpvadrige i två dimesioer återkommer till origo med saolikhet 1, meda däremot i tre dimesioer saolikhete är Problem 3. Låt p q. Bestäm fördelige för Y = # återkomster till 0. Beräka E(Y ). 3 Spelares ruiproblem Apa och stupet ka uppfattas som att vi placerat e absorberade barriär i x = 1 (eller x = k). Om ma studerar två absorberade barriärer på var si sida om startpukte ka ma lösa Spelares ruiproblem (Gambler s rui): Två spelare, A och B, spelar ett spel med oberoede omgågar där, i varje omgåg, e av spelara vier 1 kroa av motstådare; A med saolikhet p och B med saolikhet q = 1 p. A börjar spelet med a kroor och B med b kroor. Spelet slutar är ågo av spelara blivit ruierad. 3.1 Absorptiossaolikheter Vad blir spelaras ruisaolikheter? Detta motsvarar e slumpvadrig där partikel startar i 0 och absorberas i tillståde b och a, eller, ekvivalet, startar i a och absorberas i 0 och a + b. Låt A k = P (A vier då ha har k kroor). Då gäller A 0 = 0, A a+b = 1 och vi söker A a. Betiga! A k = p A k+1 + q A k 1. (2) Dea homogea differesekvatio ka ma lösa geom att bestämma ollställea till det karakteristiska polyomet z = p z 2 + q z 2 1 p z + q p = 0, 6

7 med lösigar z 1 = 1 och z 2 = q/p. (Jämför med (1).) Detta ger, för p q, följade allmäa lösig till (2) A k = C 1 1 k + C 2 ( q p )k, där kostatera C 1 och C 2 bestäms av radvillkore. A 0 = 0 C 1 + C 2 = 0, A a+b = 1 C 1 + C 2 ( q p )a+b = 1, så att och A k = C 1 = C 2 = 1 ( q p )a+b 1, 1 ( q p )a+b 1, 1 ( q p )a+b ( q p )a+b 1 (q p )k = ( q p )k 1 ( q p )a+b 1, A a = ( q p )a 1 ( q p )a+b 1. För p = q får vi differesekvatioe A k = 1 2 A k A k 1. Det karakteristiska polyomet z 2 2z + 1 har dubbelrote z 1 = z 2 = 1. Vi behöver därför ytterligare e lösig. A k = k fugerar, så att A k = C 1 1 k + C 2 k. så att Vi har alltså visat A 0 = 0 C 1 = 0, A a+b = 1 C 2 = 1 a + b, A k = k a + b, A a = a a + b. Sats 4. Saolikhete att A ruierar B (partikel absorberas i x = b) är ( q p )a 1 ( q om p 1 A a = p )a+b 1 2, a om p = 1 a + b 2. 7

8 Am 5. a = +, b = 1 svarar mot Apa och stupet. P 1 = P (apa faller utför stupet) = lim a P (A vier). För p = q får vi och för p q a P 1 = lim a a + 1 = 1 ( q { p P 1 = lim )a 1 1 om p > q, a ( q p )a+1 1 = p q om p < q. Exempel 1. Betrakta e symmetrisk slumpvadrig på puktera 0, 1,...,, beläga på periferi till e cirkel; se Figur 2. Slumpvadrige startar i pukte 0. Ma iser lätt att, med saolikhet 1, alla pukter kommer att besökas. (Varför?) Vad är saolikhete att pukte k (k = 1,..., ) är de sista som besöks? Ia k besöks måste ågo av k 1 och k + 1 besökas. Betrakta tidpukte då detta sker för första gåge. På grud av symmetri ka vi ata att det då är k 1 som besöks. Att k är de sista pukte som besöks betyder att k + 1 måste besökas före k och detta ka bara ske geom att slumpvadrige går medsols frå k 1 till k + 1 ia de besöker k. Saolikhete för detta är desamma som ruisaolikhete för e spelare som har 1 kroor och möter e motstådare med 1 kroa, dvs. 1/. Vi har alltså visat det överraskade resultatet att P (k besöks sist) = 1 för k = 1,...,. k+1 k k Figur 2: Slumpvadrig på e cirkel Exempel 2. Betrakta e symmetrisk slumpvadrig och ett tillståd a > 0. Låt Y a = # besök i a ia slumpvadrige återäder till 0. För att a över huvud taget ska besökas måste första steget gå åt höger, så att P (Y a > 0) = 1 2 P (Y a > 0 S 1 = 1). De betigade saolikhete är vistchase för e spelare med 1 kroa som spelar mot e motstådare med a 1 kroor, dvs. P (Y a > 0 S 1 = 1) = 1 a, så att P (Y a > 0) = 1 2a. På likade sätt ka vi beräka P (Y a = 1 Y a > 0). Betrakta ämlige slumpvadrige då a besöks, vilket vi vet iträffar om Y a > 0. För att detta ska vara det sista besöket i a, före ästa besök i 0, krävs att det första steget går åt väster, så att P (Y a = 1 Y a > 0) = 1 2 P (0 ås före a vid start i a 1) = 8

9 1 2 1 a = 1 2a. Samma situatio uppstår vid varje besök i a, så att Y a Y a > 0 är ffg(1/2a) och P (Y a > 0) = 1/2a. Detta ger att E(Y a ) = 1 2a 2a = 1 för alla a > 0! (Detta gäller på grud av symmetri äve för egativa a.) Vi har alltså visat ågot mycket överraskade: Mella två besök i 0 kommer de symmetriska slumpvadrige att göra i geomsitt 1 besök i alla adra tillståd! För att detta ska vara möjligt måste rimlige E 0 =, vilket också visades i Sats 3. Problem 4. Utyttja Sats 1 för att visa att, för alla p, a och b, spelet kommer att ta slut med saolikhet 1. Problem 5. Atag att Du har 10 kroor och di motstådare har 100 kroor. Du får chase att välja att spela med isatse 1, 2, 5 eller 10 kroor per omgåg. Hur ska Du välja, och vad blir dia vistchaser, om di vistchas i ett eskilt spel är a) p = 0.5, b) p = 0.4, c) p = Absorptiostider Låt Hur låg tid tar det ia ågo blir ruierad? Betigig ger då med Y k = # återståede spelomgågar då A har k kroor, E k = E(Y k ). E k = 1 + p E k+1 + q E k 1, (3) E 0 = E a+b = 0. Ekvatio (3) är e icke-homoge differesekvatio. För att lösa de behöver vi dels lösa motsvarade homogea ekvatio, som ova, me också hitta e partikulärlösig till de ihomogea. Vi börjar med det symmetriska fallet (p = q = 1/2). Differesekvatioe är då E k = E k E k 1, med homoge lösig A + B k. E partikulärlösig är k 2, så att de allmäa lösige är Radvillkore ger A = 0 och B = a + b, så att E k = A + B k k 2. E k = k (a + b k), E a = a b. 9

10 I det asymmetriska fallet är de homogea lösige, som tidigare, A + B (q/p) k och e partikulärlösig ges av k/(q p), vilket ger de allmäa lösige E k = Geom att utyttja radvillkore ka vi bestämma Isättig i (4) ger A = k q p + A + B (q p )k. (4) B = A. a b (q p)(( q p )a+b 1), Sats 5. Förvätade atalet spelomgågar tills ågo av spelara ruierats är a b om p = q = 1 2, E a = a q p a + b q p ( q p )a 1 ( q om p q. p )a+b 1 Exempel 3. I ett rättvist spel med a + b = 100 får vi a b A a E a / / / / / / / Problem 6. Beräka motsvarade tabell som i Exempel 3 då a) p = 0.6, b) p = 0.2. Problem 7. För vilket värde på a maximeras/miimeras E a är a + b = 100 och a) p = 0.4, b) p = 0.8. Problem 8. Betrakta slumpvadrige i Exempel 1 och låt E k = # steg tills x = k besöks för första gåge. Beräka E k för k = 1,..., då a) = 2, b) = 3, c) = 4. Problem 9. Låt i Exempel 1, P (motsols) = p och P (medsols) = q = 1 p. Visa att, för alla 0 p 1, med saolikhet 1, alla pukter kommer att besökas. 10

11 3.3 Reflekterade barriärer Vi har hitills studerat absorberade barriärer. Ma ka också täka sig reflekterade barriärer. Att a är e reflekterade barriär iebär att så fort ma kommer till x = a återväder ma i ästa steg med saolikhet 1 till de föregåede positioe. Med två reflekterade barriärer i a och b, a < b, fis bara b a + 1 täkbara tillståd, och alla kommer att besökas oädligt måga gåger (om 0 < p < 1). Exempel 4. Låt 0 vara e reflekterade barriär, dvs. P (S +1 = 1 S = 0) = 1. Betrakta e symmetrisk slumpvadrig med S 0 = 0 och låt Då gäller E 0,1 = 1, E j,k = E(tide att gå frå j till k). E 1,2 = E 0,2 = (E 0,1 + E 1,2 ) = E 1,2, så att E 1,2 = 3 och E 0,2 = = 4. På samma sätt ser vi att E 2,3 = E 1,3 = (E 1,2 + E 2,3 ) = E 2,3, så att E 2,3 = 5 och E 0,3 = = 9. Det gäller uppebarlige, för k = 1, 2, 3, att Atag att detta gäller för k. Då får vi E k 1,k = 2k 1 E 0,k = k 2. E,+1 = E 1,+1 = (E 1, + E,+1 ) = = E,+1 = 2 + 1, E 0,+1 = E 0, + E,+1 = = ( + 1) 2. Vi har alltså visat att, för 1, E 1, = 2 1 E 0, = E,+1 Problem 10. Bestäm rekursiva uttryck för E 1, och E 0, i det allmäa fallet (0 < p < 1). Visa att E 0, < för alla 1. Vad blir E 0,2 uttryckt i p? 4 Vägräkig Iför hädelsera F = partikel befier sig i 0 efter steg, G = partikel återkommer till 0 för första gåge efter steg 11

12 och motsvarade saolikheter f = P (F ), g = P (G ). Observera att partikel bara ka återväda efter ett jämt atal steg så att f 2+1 = g 2+1 = 0. För jäma måste partikel ha tagit lika måga steg åt höger och åt väster, så att ( ) 2 f 2 = p q. Ett sätt att bestämma g är att räka vägar. Detta uderlättas om ma illustrerar slumpvadrige geom att plotta talpare (, S ), se Figur 3. S Figur 3: Plottad slumpvadrig Am 6. Här ages tide lägs x-axel och partikels förflyttigar till höger och väster svarar mot steg uppåt och edåt i figure. Observera att varje väg som iehåller h steg åt höger (uppåt) och v steg åt väster (edåt) har saolikhet p h q v, så att det ofta räcker att räka atalet sådaa för att bestämma öskade saolikheter. Om vi t.ex. vill bestämma så gäller det att dvs. så att om vi defiierar är h ite är ett heltal. f (a, b) = P (partikel går frå a till b i steg), h + v = och h v = b a, h = + b a och v = + a b, (5) 2 2 ( ) f (a, b) = p h q v, h ( ) = 0 h 12

13 Problem 11. Utyttja Stirligs formel! 2π e för att visa att, för p = q = 1/2, gäller a) f 2 0 är, b) f 2 =, c) f 2 1. π =1 Ledig: CGS ka vara avädbar! Problem 12. Vad blir f 2 för e symmetrisk tvådimesioell slumpvadrig? 4.1 Speglig För att bestämma g iför vi N (a, b) = # vägar frå a till b i steg, N 0 (a, b) = # vägar frå a till b i steg som ite besöker 0 på väge, N(a, 0 b) = # vägar frå a till b i steg som besöker 0 på väge. Observera att, med h och v som i (5), följade gäller ( ) N (a, b) =, h N (a, b) = N(a, 0 b) + N 0 (a, b), N 0 (a, b) = 0 om a och b har olika tecke, N(a, 0 b) = N (a, b) om a och b har olika tecke. För att beräka g 2 = N 0 2 (0, 0) p q räcker det alltså att bestämma N 0 2 (0, 0). Notera att N (0, 0) = N2 1 (1, 0) + N2 1 ( 1, 0) = 2 N2 1 (1, 0) = 2 N2 2 (1, 1). För att bestämma N (1, 1) ka ma aväda följade elegata spegligsresoemag; se Figur 4. Varje väg frå 1 till 1 som besöker 0 ka, geom speglig av börja av väge, fram till första 0-besöket, överföras i e väg frå 1 till 1 med lika måga steg. Alla vägar frå 1 till 1 måste besöka 0! Följaktlige gäller N 0 2 2(1, 1) = N 0 2 2( 1, 1) = N 2 2 ( 1, 1), N (1, 1) = N 2 2(1, 1) N2 2(1, 0 1) = N 2 2 (1, 1) N 2 2 ( 1, 1) ( ) ( ) ( ) ( = = 1 1 ) = Detta ger så att vi har visat N (0, 0) = 2 N2 2 (1, 1) = ( ) 2 2 = ( ) 2, ( ).

14 S 1 1 Figur 4: Speglig Sats 6. För > 0 gäller g 2 = f 2. Spegligspricipe gäller allmäare ä vad vi har utyttjat. Sats 7. (Spegligssatse) För a > 0 och b > 0 gäller Bevis: Visas på samma sätt som ova. N 0 (a, b) = N ( a, b), N 0 (a, b) = N (a, b) N ( a, b). Am 7. Spegligssatse gäller äve om har fel paritet i förhållade till a och b eftersom alla uttryck i satse då är lika med Ballot-problemet Om a = 0 i Spegligssatse får vi Sats 8. (Ballot-satse) För b > 0 gäller N 0 (0, b) = b N (0, b). Bevis: Låt h = +b 2 och v = b 2 vara atalet steg till höger resp. väster som krävs för att gå frå 0 till b i steg. Då gäller N (0, b) = ( h) och N 0 (0, b) = N 0 1 (1, b) = N 1(1, b) N 1 ( 1, b) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 h = = h 1 h h v ) = ( ) b h. Satse har fått sitt am frå följade klassiska saolikhetsproblem, The Ballot Problem: 14

15 Exempel 5. I ett val med två kadidater får kadidat A totalt a röster och kadidat B totalt b röster, där a > b. Vad är saolikhete att A är i ledige uder hela röstsammaräkige? Om vi atar att röstera räkas i slumpmässig ordig ges svaret direkt av Ballot-satse: P (A leder hela tide) = N 0 a+b (0, a b) N a+b (0, a b) = a b a + b. Exempel 6. E variat av Ballot-problemet är: Vad är saolikhete, då a b, att B aldrig leder uder sammaräkige? Vi vill alltså veta Eligt spegligssatse gäller så att N 0 N ( 1) a+b (0, a b) = N 0 a+b (1, a + 1 b). a+b (1, a + 1 b) = N a+b(1, a + 1 b) N a+b ( 1, a + 1 b) ( ) ( ) ( ) a + b a + b a + b = = (1 b a a + 1 a a + 1 ) ( ) a + b = a + 1 b = a + 1 b N a+b (0, a b), a a + 1 a + 1 Speciellt gäller att, om a = b, så är P (B aldrig leder) = a + 1 b a + 1. P (B aldrig leder) = 1 a + 1. Am 8. Ballot-probleme är ret kombiatoriska och svare beror ite av p (och q). Detsamma gäller vid slumpvadrig om vi betigar med avseede på slutpukte S. I själva verket ka vi skriva Ballot-probleme som P (S k > 0, för k = 1,..., a + b 1 S a+b = a b) = a b a + b, P (S k 0, för k = 1,..., a + b 1 S a+b = a b) = a + 1 b a Rekurres För ästa resultat behöver vi ytterligare ågra beteckigar. S 0 = 0. Vi utgår som tidigare frå att N 0 = # vägar av lägd med S k 0 för k = 1,...,, N >0 = # vägar av lägd med S k > 0 för k = 1,...,. 15

16 Sats 9. För > 0 gäller N 0 2 = N 2(0, 0) = För de symmetriska slumpvadrige gäller ( ) 2. (i) P (S k 0, k = 1,..., 2) = P (S 2 = 0), (ii) P (S k > 0, k = 1,..., 2) = 1 2 P (S 2 = 0), (iii) P (S k 0, k = 1,..., 2) = P (S 2 = 0). Bevis: E väg som aldrig besöker 0 är edera hela tide positiv eller alltid egativ. N 0 2 = 2 N 2 >0 = 2 N 0 2 (0, 2r). Med samma resoemag som vid beviset av Spegligssatse får vi, för r > 0, N 0 2 (0, 2r) = N 2 1(1, 2r) N 2 1 ( 1, 2r) = N 2 1 (0, 2r 1) N 2 1 (0, 2r + 1), så att N 0 2 (0, 2r) = (N 2 1(0, 1) N 2 1 (0, 3)) + (N 2 1 (0, 3) N 2 1 (0, 5)) (N 2 1 (0, 2 1) N 2 1 (0, 2 + 1)) = N 2 1 (0, 1) N 2 1 (0, 2 + 1) = N 2 1 (0, 1) = 1 2 N 2(0, 0). (i) följer direkt av detta eftersom, i e symmetrisk slumpvadrig, alla vägar av lägd 2 har samma saolikhet. (ii) följer av att P (S 1 0,..., S 2 0) = P (S 1 > 0,..., S 2 > 0) + P (S 1 < 0,..., S 2 < 0) och att de två falle är lika saolika. För att visa (iii) observerar vi att P (S 1 > 0,..., S 2 > 0) = P (S 1 = 1, S 2 > 0,..., S 2 > 0) me eftersom 2 1 är udda så gäller så att, med hjälp av (ii), = P (S 1 = 1) P (S 2 > 0,..., S 2 > 0 S 1 = 1) = 1 2 P (S 2 S 1 0, S 3 S 1 0,..., S 2 S 1 0) = 1 2 P (S 1 0,..., S 2 1 0), S S S 2 0, 1 2 f 2 = P (S 1 > 0,..., S 2 > 0) = 1 2 P (S 1 0,..., S 2 0). 16

17 Am 9. För e symmetrisk slumpvadrig gäller alltså att P (aldrig återväda till 0) = lim P (S k 0, k = 1,..., 2) = lim P (S 2 = 0) = lim f 2 = 0, (se Problem 11). De föregåede satse gav ett uttryck för P (S 1 0,..., S 0) för e symmetrisk slumpvadrig. Allmät gäller Sats 10. (i) För k > 0 gäller (ii) För k 0 gäller (iii) P (S 1 > 0,..., S 1 > 0, S = k) = k P (S = k). P (S 1 0,..., S 1 0, S = k) = k P (S = k). P (S 1 0,..., S 0) = E( S ). Bevis: Både (i) och (ii) gäller trivialt om P (S = k) = 0. Atag därför att k är sådat att P (S = k) = N (0, k) p h q v > 0, där h = + k och 2 v = k är heltal. 2 (i) följer då direkt av Ballot-satse efter multiplikatio med p h q v och (ii) på grud av symmetri, eftersom N 0 (0, k) = N 0 (0, k) och N (0, k) = N (0, k). Summerig av (ii) över alla k 0 ger (iii). Sats 9 ka också avädas för att ge ett alterativt uttryck för förstapassagesaolikhete g 2 = P (T 0 = 2), där T 0 = tidpukte för första återbesöket i 0 = mi{ 1 : S = 0}. Sats 11. För e symmetrisk slumpvadrig gäller Bevis: Sats 9 säger att vilket ger att g 2 = f 2 2 f 2. P (T 0 > 2) = P (S k 0, k = 1,..., 2) = P (S 2 = 0) = f 2, g 2 = P (T 0 = 2) = P (T 0 > 2 2) P (T 0 > 2) = f 2 2 f 2. 17

18 Am 10. Eftersom f 0 = 1 och f 2 0 då ger satse att, för de symmetriska slumpvadrige, P (ågosi återkomma till 0) = g 2 = =1 (f 2 2 f 2 ) =1 = (f 0 f 2 ) + (f 2 f 4 ) + = f 0 = 1. Ytterligare ett sambad mella {f } och {g } ges av Sats 12. För e godtycklig slumpvadrig gäller f 2 = g 2r f 2 2r. Bevis: Betiga med avseede på första återkomste till 0, T 0. f 2 = P (S 2 = 0) = = = P (T 0 = 2r) P (S 2 = 0 T 0 = 2r) g 2r P (S 2 S 2r = 0 T 0 = 2r) g 2r P (S 2 2r = 0) = g 2r f 2 2r. Ett aat avädbart trick för att aalysera slumpvadrigar är tidsomvädig. Eftersom {X k } är olf så har vektor (X 1, X 2,..., X ) samma fördelig som vektor (X, X 1,..., X 1 ) och därav följer att (S 1, S 2,..., S ) har samma fördelig som (X, X + X 1,..., X + + X 1 ) = (S S 1, S S 2,..., S ). Låt T b = tidpukte för första besöket i b = mi{ 1 : S = b}. Sats 13. För b > 0 gäller P (T b = ) = b P (S = b), för = b, b + 1,... Bevis: Geom att utyttja tidsomvädig får vi eligt Sats 10 (i). P (T b = ) = P (S 1 < b, S 2 < b,..., S 1 < b, S = b) = P (S > S 1, S > S 2,..., S > S 1, S = b) = P (S S 1 > 0,..., S S 1 > 0, S = b) = P (S 1 > 0,..., S 1 > 0, S = b) = b P (S = b), 18

19 Am 11. Med hjälp av satse ka ma beräka och därigeom P (T b > ) = k=+1 E(T b ) = P (T b = k) = k=+1 P (T b > ). =0 b k P (S k = b) Vi vet seda tidigare att E(T b ) = b E(T 1 ), så det räcker att beräka E(T 1 ). 4.4 Maximum Låt M = max(s 0, S 1,..., S ). Vilke fördelig har M? Lemma 1. För e symmetrisk slumpvadrig gäller { P (S = b) om b r, P (M r, S = b) = P (S = 2r b) om b < r. Bevis: De första dele följer direkt av att M S. Atag därför att b < r. Geom att spegla slutet av väge, frå och med sista besöket i r, i lije y = r ser vi att # vägar av lägd med M = r och S = b är lika med # vägar av lägd med S = 2r b; se Figur 5. Lemmat följer av att alla vägar av lägd har samma saolikhet för e symmetrisk slumpvadrig. S 2r b r b Figur 5: Speglig för maximum Sats 14. För e symmetrisk slumpvadrig gäller, för r 1, P (M r) = P (S = r) + 2P (S > r), P (M = r) = P (S = r) + P (S = r + 1) = max(p (S = r), P (S = r + 1)). 19

20 Bevis: Eligt lemmat gäller P (M r) = b P (M r, S = b) = b r P (S = b) + b<r P (S = 2r b) = P (S r) + k>r P (S = k) = P (S r) + P (S > r) = P (S = r) + 2P (S > r). Vidare gäller P (M = r) = P (M r) P (M r + 1) = P (S = r) + 2P (S > r) (P (S = r + 1) + 2P (S > r + 1)) = P (S = r) + 2P (S = r + 1) P (S = r + 1) = P (S = r) + P (S = r + 1) = max(p (S = r), P (S = r + 1)), eftersom edast e av P (S = r) och P (S = r + 1) ka vara skild frå Arcsius-lage Vi ska visa att två stokastiska variabler med akytig till symmetrisk slumpvadrig har samma fördelig, de s.k. arcsius-fördelige. Betrakta e symmetrisk slumpvadrig {S } med S 0 = 0. Låt som tidigare f = P (S = 0). Defiiera Y 2 = max(k 2 : S k = 0), som är väldefiierad eftersom S 0 = 0, och α 2 (2k) = P (Y 2 = 2k). Då gäller Sats 15. För 0 k, Bevis: α 2 (2k) = P (Y 2 = 2k) = f 2k f 2 2k. P (Y 2 = 2k) = P (S 2k = 0, S 2k+1 0,..., S 2 0) = P (S 2k = 0) P (S 2k+1 0,..., S 2 0 S 2k = 0) = P (S 2k = 0) P (S 1 0,..., S 2 2k 0) = P (S 2k = 0) P (S 2 2k = 0) (Sats 9 (i)) = f 2k f 2 2k. Am 12. Namet arcsius-fördelige kommer av att P (Y 2 2x) 2 π arcsi x, då. För att se detta ka ma utyttja Stirligs formel! e 2π, för att visa att, för stora k, f 2k 1 πk, (Se Problem 11c.) 20

21 och att därför α 2 (2k) 1 f( k ), där Detta ger att P (Y 2 2x) = k x f(x) = α 2 (2k) 1 1 π x(1 x), 0 < x < 1. k/ x 1 Täthetsfuktioe f(x) = fis plottad i Figur 6. π x(1 x) f( k x ) f(t) dt = 2 π arcsi x x Figur 6: Plot av f(x) = 1 π x(1 x). Am 13. De exakta fördelige, α 2 (2k), brukar kallas de diskreta arcsius-fördelige. De är, liksom de kotiuerliga, symmetrisk krig mittpukte, k = /2, där de också har sitt miimum. Maximum atas för k = 0 och k =. Am 14. E måhäda överraskade egeskap hos de symmetriska slumpvadrige, som följer av arcsius-lage, är att om vi har siglat slat 2 gåger och är itresserade av är vi seast hade lika måga kroa och klave så är det mest troligt att det iträffade edera alldeles ylige, eller alldeles i börja av försöket. Om t.ex. = 1000, dvs. vi har siglat 2000 gåger, så är P (Y ) 2 π arcsi 0.1 = 0.205, P (Y ) 2 π arcsi 0.01 =

22 Det fis också e arcsiuslag för uppehållstider. Vi säger att slumpvadrige är positiv i tidsitervallet (k, k + 1) om S k > 0 eller S k+1 > 0. (Naturligt; se Figur 3.) Låt Z = # positiva tidsitervall mella 0 och 2. Då atar Z 2 alltid ett jämt värde och vidare gäller Sats 16. För 0 k, P (Z 2 = 2k) = α 2 (2k) = f 2k f 2 2k. Bevis: Låt b 2 (2k) = P (Z 2 = 2k). Vi vill visa att b 2 (2k) = α 2 (2k) för alla och 0 k. Eligt Sats 9 (iii) gäller b 2 (2) = P (S k 0, k = 1,..., 2) = f 2 = f 2 f 0, så att satse gäller för k =. Av symmetriskäl gäller också så att de också gäller för k = 0. Det återstår alltså att visa att b 2 (0) = P (S k 0, k = 1,..., 2) = f 2, b 2 (2k) = α 2 (2k)(= f 2k f 2 2k ) för alla och 0 < k <. (6) Om Z 2 = 2k, där 1 k 1, måste S 2r = 0 för ågot r, 1 r 1, dvs. T 0 < 2. Tide fram till T 0 tillbrigas med lika stor saolikhet på de positiva sida som på de egativa. Betigig m.a.p. T 0 ger då, för 1 k 1, 1 b 2 (2k) = P (T 0 = 2r) P (Z 2 = 2k T 0 = 2r) 1 = g 2r P (Z 2 2r = 2k) + g 2r 1 2 P (Z 2 2r = 2k 2r) = g 2r b 2 2r (2k) g 2r b 2 2r (2k 2r). Observera att b 2 2r (2k) = 0 om k > r och att b 2 2r (2k 2r) = 0 om k < r, så att b 2 (2k) = 1 k 2 g 2r b 2 2r (2k) k g 2r b 2 2r (2k 2r). (7) Vi ska utyttja (7) för att visa (6) med hjälp av iduktio. För = 1 gäller (6) trivialt. Atag att (6) gäller för < m. Då är b 2m (2k) = 1 m k 2 g 2r b 2m 2r (2k) k g 2r b 2m 2r (2k 2r) = 1 m k 2 g 2r f 2k f 2m 2r 2k k g 2r f 2k 2r f 2m 2k = 1 m k 2 f 2k g 2r f 2m 2r 2k f 2m 2k k g 2r f 2k 2r. 22

23 Eligt Sats 12 gäller så att m k k g 2r f 2k 2r = f 2k, g 2r f 2(m k) 2r = f 2m 2k, b 2m (2k) = 1 2 f 2k f 2m 2k f 2m 2k f 2k = f 2k f 2m 2k = α 2m (2k). Am 15. Betrakta två spelare, A och B, som spelar ett rättvist spel, där båda ka via e kroa av de adre med saolikhet 1/2. Måga tolkar og Stora tales lag ituitivt som att i det låga loppet kommer båda spelara att vara i ledige ugefär halva tide. Detta är ite korrekt! Arcsius-lage för uppehållstider ger att, efter måga spelomgågar, det gäller att P (A leder mist adele x av tide) = 2 π arcsi 1 x, P (A leder mist 80% av tide) = 2 π arcsi 0.2 = 0.295, P (ågo leder mist 80% av tide) = 2 2 π arcsi 0.2 = 0.59, P (ågo leder mist 90% av tide) = 2 2 π arcsi 0.1 = 0.41, P (ågo leder mist 95% av tide) = 2 2 π arcsi 0.05 = 0.29, P (ågo leder mist 99% av tide) = 2 2 π arcsi 0.01 = 0.13, 5 Bladade problem Problem 13. Betrakta e slumpvadrig med p < 1/2, som vid tidpukt k befier sig i positio a < m. Beräka de betigade saolikhete att de vid tidpukt k + 1 befier sig i positio a + 1 (eller i a 1) givet att de kommer att besöka tillstådet m i framtide. Problem 14. Låt T 0a vara defiierad som i Avsitt 2.2, och p > 1/2. a) Visa att Var(T 01 ) = 4pq (p q) 3. Ledig: Studera E(T01 2 ) och betiga. b) Vad blir Var(T 0a ) för a > 0? Problem 15. Betrakta e spelare, med vistsaolikhet p i ett eskilt spel, som startar med a kroor mot e oädligt rik motstådare. Vad är saolikhete att det tar a + 2k spelomgågar ia ha ruieras? 23

24 Problem 16. Visa att det fis exakt lika måga vägar (x, y), som slutar i (2 + 2, 0) och för vilka y > 0 för 0 < x < 2 + 2, som det fis vägar som slutar i (2, 0) och för vilka y 0 för 0 x 2. Visa också att detta, för e symmetrisk slumpvadrig, medför att P (S 1 0,..., S 2 1 0, S 2 = 0) = 2 g 2+2. Problem 17. Visa att saolikhete att e symmetrisk slumpvadrig före tidpukte 2 återkommer exakt r gåger till 0 är desamma som saolikhete att S 2 = 0 och att de dessföria återvät mist r gåger till 0. Problem 18. E partikel flyttar sig edera två steg åt höger, med saolikhet p, eller ett steg åt väster, med saolikhet q = 1 p. Olika steg är oberoede av varadra. a) Om de startar i z > 0, vad är saolikhete, a z, att de ågosi kommer till 0? b) Visa att a 1 är saolikhete att, i e följd Beroulliförsök som lyckas med saolikhet p, atalet misslyckade försök ågosi överstiger dubbla atalet lyckade försök. c) Visa att, då p = q, 5 1 a 1 =. 2 Problem 19. Visa att, för e symmetrisk slumpvadrig som startar i 0, saolikhete att det första besöket i S 2 iträffar i steg 2k är P (S 2k = 0) P (S 2 2k = 0). Problem 20. (Baachs tädsticksproblem) E perso har i var och e av sia två fickor e tädsticksask med tädstickor i varje. När ha behöver e tädsticka väljer ha slumpmässigt e av askara, äda tills ha påträffar e tom ask. Låt, är detta iträffar, R = # stickor i de adra aske. a) Beräka E(R). b) Om a) är för svårt; uppskatta E(R) för = 50 med hjälp av simulerig. Problem 21. Låt, i e tvådimesioell symmetrisk slumpvadrig, startade i origo, D 2 = x 2 + y 2, där (x, y ) är partikels positio efter steg. Visa att E(D 2 ) =. (Ledig: Studera E(D 2 D 2 1 ).) Problem 22. Visa att e symmetrisk slumpvadrig i d dimesioer med saolikhet 1 kommer att återväda till e reda besökt positio. (Med saolikhet 1 sker detta dessutom oädligt måga gåger.) (Ledig: I varje steg är saolikhete att å e y pukt högst (2d 1)/(2d).) 6 Litteratur E guldgruva om ma vill läsa mer om slumpvadrigar är Feller, W., A Itroductio to Probability Theory ad Its Applicatios, Vol. 1, Third editio, Wiley Måga av exemple och resultate är hämtade därifrå, speciellt frå Kapitel III, me äve frå Kapitel XIV. Några exempel är också hämtade ur Grimmett, G.R. & Stirzaker, D.R., Probability ad Radom Processes, Secod editio, Oxford Sciece Publicatios, E trevlig beskrivig av måga klassiska saolikhetsproblem, bl.a. slumpvadrig, ges i Blom, G., Holst, L. & Sadell, D., Problems ad Sapshots from the World of Probability. Spriger

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23 1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Föreläsning F3 Patrik Eriksson 2000

Föreläsning F3 Patrik Eriksson 2000 Föreläsig F Patrik riksso 000 Y/D trasformatio Det fis ytterligare ett par koppligar som är värda att käa till och kua hatera, ite mist är ma har att göra med trefasät. Dessa kallas stjärkopplig respektive

Läs mer

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter? Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x) Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås

Läs mer

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3 Kuskapsbaserade system, tetame 2000-03-0 Istitutioe för tekik Tetame i Kuskapsbaserade system, 5p, Data 3 Datum: 2000-03-0 Tid: 8.00-3.00 Lärare: Potus Bergste, 3365 Hjälpmedel: Miiräkare Uppgiftera ska

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i

Läs mer

Funktionsteori Datorlaboration 1

Funktionsteori Datorlaboration 1 Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

Artificiell intelligens Probabilistisk logik

Artificiell intelligens Probabilistisk logik Probabilistiska resoemag Artificiell itelliges Probabilistisk logik Are Jösso HCS/IDA Osäkerhet Grudläggade saolikhetslära Stokastiska variabler Bayes teorem Bayesiaska ätverk Kostruktio Iferes Osäkerhet

Läs mer

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle

Läs mer

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter

Läs mer

( ) ( ) Kap. 5.5-7. Kolligativa egenskaper + fasjämvikter för 2-komponentsystem 5B.2/5.5 Kolligativa egenskaper R T

( ) ( ) Kap. 5.5-7. Kolligativa egenskaper + fasjämvikter för 2-komponentsystem 5B.2/5.5 Kolligativa egenskaper R T Ka. 5.5-7. Kolligativa egeskaer + fasjämvikter för 2-komoetsystem 5.2/5.5 Kolligativa egeskaer Kolligativa egeskaer: Egeskaer som edast beror å atalet artiklar som lösts Förutsättig: utsädda lösigar, lösta

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

Allmänna avtalsvillkor för konsument

Allmänna avtalsvillkor för konsument Godkäare 7.2 Kudakuta Godkät Kommuikatio Distributio Kudservice Kommuikatio, deltagade och samråd Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras av fjärrvärme Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras

Läs mer

i de fall de existerar. Om gränsvärdet ifråga inte skulle existera, ange i så fall detta med motivering.

i de fall de existerar. Om gränsvärdet ifråga inte skulle existera, ange i så fall detta med motivering. Kap 9. 9.5, 9.8 9.9, 6.5. Talföljd, mootoa talföljder, koverges, serier, koverges, geometriska serier, itegralkriterium, p serier, jämförelsekriterier, absolut koverges, altererade serier, potesserie,

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

a utsöndring b upptagning c matspjälkning d cirkulation

a utsöndring b upptagning c matspjälkning d cirkulation I levade varelser bryts stora och sammasatta molekyler ed till små och ekla molekyler. Vad kallas dea process? S02_01 a utsödrig b upptagig c matspjälkig d cirkulatio S042009 Kalle hade ifluesa. Ha spelade

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

Applikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering.

Applikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering. Aktiverig mobil app 1 Aktiverig mobil app Aktiverig mobil app aväds för att koppla e eskild avädare till Visma Agdas mobilapplikatio. Applikatioe ka edast avädas av eskilda avädare med förtroederapporterig.

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

Lösningsförslag 081106

Lösningsförslag 081106 Lösigsförslag 86 Uppgift Trädslag: kvalitativ, omialskala (diskret) Diameter: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Höjd: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Ålder: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Trädslag:

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Liöpigs uiversitet Matematisa istitutioe Matemati och tillämpad matemati Kursod: TATA4 Provod: TEN Iga hjälpmedel är tillåta. Tetame i Evariabelaalys 4-4-3 l 4 9 Lösigara sall vara fullstädiga, välmotiverade,

Läs mer

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder;

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder; MKB till detaljpla Förbifart Stockholm Hälsoeffekter av tuelluft Studier idikerar att oöskade korttidseffekter, blad aat ökat atal iflammatiosmarkörer, börjar uppstå vid e expoerig som motsvaras av tuelluft

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

Leica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers

Leica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers Leica Lio Noggraa, självavvägade pukt- och lijelasers Etablera, starta, klart! Med Leica Lio är alltig lodat och perfekt apassat Leica Lios projekterar lijer eller pukter med millimeterprecisio och låter

Läs mer

Bertrands postulat. Kjell Elfström

Bertrands postulat. Kjell Elfström F r å g a L u d o m m a t e m a t i k Matematikcetrum Matematik NF Bertrads ostulat Kjell Elfström Bertrads ostulat är satse, som säger, att om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2.

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

Markanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25

Markanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25 TJÄNSTSKRIVLS Hadläggare atum Äredebeteckig Johaa Kidqvist -05- KS /05 50 Kommufullmäktige Markavisigsavtal för och försäljig av fastighete Gesälle 5 Förslag till beslut Kommufullmäktige godkäer förslag

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK Versio 9 december 4 Fel i lösigara mottages tacksamt till mattsso@math.kth.se. Notera att lösigara på vissa ställe utyttjar adra,

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

Inklusion och exklusion Dennie G 2003

Inklusion och exklusion Dennie G 2003 Ilusio - Exlusio Ilusio och exlusio Deie G 23 Proble: Tio ä lägger ifrå sig sia hattar vid ett besö på e restaurag. På hur åga sätt a alla äe läa restaurage ed fel hatt. Detta proble a lösas ed ägdläras

Läs mer

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}: CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

ESBILAC. mjölkersättning för hundvalpar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com

ESBILAC. mjölkersättning för hundvalpar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com ESBILAC mjölkersättig för hudvalpar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd valp är självklart att dia tike och få i sig mammas mjölk. Modersmjölke iehåller allt som de små behöver i form av ärigsäme,

Läs mer

Översikt av ouppklarade fall av dödligt våld i Skåne under tiden 1985-07-01 och framåt i tiden.

Översikt av ouppklarade fall av dödligt våld i Skåne under tiden 1985-07-01 och framåt i tiden. Översikt av ouppklarade fall av dödligt våld i Skåe uder tide 1985-07-01 och framåt i tide. OBSERVERA att översikte grudar sig på e iveterig, som ite är klar! Atalet ärede och urval av ärede ka komma att

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på?

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på? SveTys Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2 Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2008 SveTys, Uta Schulz, Reibek 3 Iledig När ma gör affärer i Tysklad eller

Läs mer

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

Innehållsförteckning Tabeller och polynom

Innehållsförteckning Tabeller och polynom Iehållsförteckig Tabeller och polyom -Utsigal och seebeckkoefficieter för termoelemet B, E, J, K, N, R, S, T eligt IEC 60584 (1995). 10:2 -Utsigal för termoelemet W3Re/W25Re och W5Re/W26Re eligt ASTM 988

Läs mer

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 JOHAN ASPLUND Iehåll Egevärde, egevektorer och egerum 2 Diagoaliserig 3 Uppgifter 2 5:4-5a) 2 Extrauppgift frå dugga 2 52:8 4 52:3 4 Extrauppgift frå teta 4 Egevärde, egevektorer

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =.

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =. Sida av MINSAKVADRAMEODEN Låt a a a a a a a a a vara ett ikosistet sste ( olösart sste dvs. ett sste so sakar lösig). Vi ka skriva ssteet på fore A (ss ) där a a... a a a... a A, och............. a p a

Läs mer

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A)

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive

Läs mer

Permutationer med paritet

Permutationer med paritet 238 Permutationer med paritet Bernt Lindström KTH Stockholm Uppgift. Att studera permutationerna av talen 1 2... n och indelningen i udda och jämna permutationer ur olika aspekter. Permutationer är särskilt

Läs mer

Bilaga 1 Formelsamling

Bilaga 1 Formelsamling 1 2 Bilaga 1 Formelsamlig Grudbegre, resultatlaerig och roduktkalkylerig Resultat Itäkt - Kostad Lösamhet Resultat Resursisats TTB Täckigsgrad (TG) Totala itäkter TB Säritäkt Divisioskalkyl är de eklaste

Läs mer

Familje- juridik Här är dina rättigheter. Bostad& fastighet. Sambo eller gift? Sambo eller gift? Privata Affärers serie om. Del 3

Familje- juridik Här är dina rättigheter. Bostad& fastighet. Sambo eller gift? Sambo eller gift? Privata Affärers serie om. Del 3 Äkteskap& samboförhållade Huvudregel eligt sambolage är att bostad och bohag, som skaffats för Är i ekoomiskt jämställda, det vill säga har ugefär lika stora skulder eller tillgågar, har det kaske ite

Läs mer

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I Föreläsig 5 732G04 Surveymetodik 732G19 Utredigskuskap I Dages föreläsig Klusterurval Estegs klusterurval Tvåstegs klusterurval Klusterurval med PPS 2 Klusterurval De urvalsdesiger som diskuterats hittills

Läs mer

Gaussiska primtal. Christer Kiselman. Institut Mittag-Leffler & Uppsala universitet

Gaussiska primtal. Christer Kiselman. Institut Mittag-Leffler & Uppsala universitet 195 Gaussiska primtal Christer Kiselman Institut Mittag-Leffler & Uppsala universitet 1. Beskrivning av uppgiften. De förslag som presenteras här kan behandlas på flera olika sätt. Ett första syfte är

Läs mer

Doktorandernas uppfattningar om sin forskarutbildning vid Uppsala universitet

Doktorandernas uppfattningar om sin forskarutbildning vid Uppsala universitet Doktoraderas uppfattigar om si forskarutbildig vid Uppsala uiversitet Resultat frå e uiversitetsövergripade ekätudersökig: Språkveteskapliga fakultete Ehete för kvalitet och utvärderig Maria Wolters Maj

Läs mer

Bilaga 1 Schematisk skiss

Bilaga 1 Schematisk skiss Bilaga 1 Schematisk skiss Kalkylbilaga till PM fördjupig JU140 2010-02-01 Baverket Norrbotiabaa Järvägsutredig 140 Dele läsgräse AC/BD - Piteå Bilaga 12 till PM Fördjupigg JU140 Iehållsförteckig Sida 1

Läs mer

7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter

7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter 7 Sjude lektioe 7. Digitala filter 7.. Flera svar Ett lijärt tidsivariat system ka karakteriseras med ett flertal svar, t.ex. impuls-, steg- och amplitudsvare. LTI-system ka ju äve i de flesta fall beskrivas

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig,

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Leif Abrahamsson. Uppsala Universitet

Leif Abrahamsson. Uppsala Universitet Två formler för talet π Leif Abrahamsso Uppsala Uiversitet Dea uppgift syftar till att härleda två formler för talet π. De två formleras härledig är oberoede av varadra och ka således var för sig utgöra

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

KMR. mjölkersättning för kattungar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com

KMR. mjölkersättning för kattungar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com KMR mjölkersättig för kattugar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd kattuge är självklart att dia mammas mjölk. För e yfödd kattuge är det framför allt viktigt att få i sig mammas mjölk de två första

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Formelblad Sannolikhetsteori 1 Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla

Läs mer

TRIBECA Finansutveckling

TRIBECA Finansutveckling TRIBECA Rådgivare iom fiasiella helhetslösigar TRIBECA a s k r e i v g S f a s k r i e v g S f g g r r e e a r a r e e i i f f TRIBECA s målsättig är att bidra med råd & produkter som hela tide gör att

Läs mer

E F. pn-övergång. Ferminivåns temperaturberoende i n-dopade halvledare. egen ledning. störledning

E F. pn-övergång. Ferminivåns temperaturberoende i n-dopade halvledare. egen ledning. störledning ÖVRGÅNG De eklaste halvledarkomoete är diode. Diode består av e doad och e doad del. Vid kotaktyta mella och doat område ustår ett ire elektriskt fält.g.a. att elektroer i ledigsbadet å sida diffuderar

Läs mer

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN 48 5 LINJER OCH PLAN 5. Lijer och pla 5.. Lijer Eempel 5.. Låt L ara e lije i rummet. Atag att P är e pukt på L och att L är parallell med e ektor, lijes riktigsektor. Då gäller att e pukt P ligger på

Läs mer

SKÄRDATAREKOMMENDATIONER UDDEHOLM NIMAX

SKÄRDATAREKOMMENDATIONER UDDEHOLM NIMAX SKÄRATAREKOMMENATIONER UEHOLM NIMAX Lämpliga bearbetigsdata beror alltid på de aktuella operatioe, verktygsmaskie och vilket verktyg som aväds. e data som ages i det här bladet är geerella riktlijer som

Läs mer

MARKNADSPLAN Kungälvs kommun 2010-2014

MARKNADSPLAN Kungälvs kommun 2010-2014 MARKNADSPLAN Kugälvs kommu 2010-2014 Fastställd av KF 2010-06-17 1 Iehåll Varför e markadspla? 3 Mål och syfte 4 Markadsförutsättigar 5 Processer, styrig och orgaisatio 6 Politisk styrig 7 Politisk styrig,

Läs mer

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()

Läs mer

Utlandskyrkans krisberedskap

Utlandskyrkans krisberedskap Utladskyrkas krisberedskap hadbok för beredskapsplaerig Kyrkokasliet Uppsala Sveska kyrkas kriscetrum 2 Kotaktiformatio veska kyrka i utladet S Kyrkokasliet 751 70 Uppsala Tel. 018-16 95 00 www.sveskakyrka.se

Läs mer

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd

Läs mer

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3150 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 29 maj 2007 Lösig till tetame för kurse Log-lijära statistiska modeller 29 maj 2007 Uppgift 1 a Modelle uta ågra

Läs mer

SKÄRDATAREKOMMENDATIONER RAMAX HH

SKÄRDATAREKOMMENDATIONER RAMAX HH SKÄRATAREKOMMENATIONER Lämpliga bearbetigsdata beror alltid på de aktuella operatioe, verktygsmaskie och vilket verktyg som aväds. e data som ages i det här bladet är geerella riktlijer som måste apassas

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II Stickprov MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig del II G Gripeberg Aalto-uiversitetet 4 februari 04 Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G Gripeberg

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell

Läs mer