TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

Transkript

1 TETAME I MATEMATISK STATISTIK Te i kurse 6H, KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse 6H, 6L MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: :-7: Lärare: Armi Halilovic Kurskod 6H, 6H, 6L, 6A Hjälpmedel: Miiräkare av vilke typ som helst och formelsamli Formler och tabeller i statistik Iförda beteckiar skall förklaras och defiieras. Resoema och uträkiar skall vara så utförlia och väl motiverade att de är lätta att följa. umeriska svar skall aes med mist två siffrors orahet. Poäfördeli och betysräser: Tetame består av 6 uppifter á poä. För bety,, krävs, respektive poä. För kompletteri krävs poä. Dea tetameslapp får ej behållas uta lämas i. Uppift. a) För hädelsera A och B äller P ( B A)., och A). och P ( A B).9. Bestäm A c c B) och A B ) b) Vad är saolikhete att det blir kotakt mella puktera P och P i edaståede schema om reläkotaktera x, y, z och w slutes med saolikhetera.,.,.6 resp.. och hädelsera att de olika kotaktera sluts är oberoede. Uppift. E stokastisk variabel ξ har frekvesfuktioe, x < f ( x) a( x), x, x > a) Bestäm kostate a b)bestäm saolikhete P ( ξ ) c) Beräka vätevärdet E (ξ ) d) Beräka variase Var (ξ ) Var od väd!

2 Uppift. Ett elektroikföreta tillverkar motståd som har e förvätad resistas på Ω och stadardavvikelse Ω. Bestäm approximativt saolikhete för att medelvärdet för resistas i ett parti om motståd skall vara större ä. Ω. Uppift. Livsläde hos e viss kompoet är e expoetialfördelad stokastisk variabel med parameter λ. (tide räkas i timmar). E såda kompoet iår i e radarutrusi på ett farty. är e kompoet år söder byts de east ut mot e y. a) Beräka saolikhete att sådaa kompoeter räcker åtmistoe 9 timmar. b) Beräka e tid T såda att laret med sådaa kompoeter räcker åtmistoe dea tid med saolikhet.9 Uppift. E studet jorde 7 mätiar av e lösis fryspukt och fick följade resultat:.,.,.6,.,.,.,. ormalfördelie ka atas och stadardavvikelse är kät, σ.. a) Bestäm ett 9 % kofidesitervall för fryspuktes medelvärde. b) Hur måa mätiar behövs för att få ett kofidesitervall som har 9 % kofidesrad och som är hälfte så brett Uppift 6. I dea uppift ka du svara med hjälp av biomialkoefficieter. Du behöver ite ae umeriska svar. 6a) I e rupp fis det kvilia och 6 malia studeter. Ma skall välja ett la på persoer. Positioera i laet bestäms vid ett seare tillfälle så vi bryr oss ite om dessa. Ma väljer ett la på måfå. Bestäm saolikhete att i detta la är kviora i majoritet? 6b) E kortlek med kort består av fyra färer ( hjärter, spader, klöver, ruter) och valörer: ess,,,,, 6, 7,, 9,, kekt, dam, ku. Ur e kortlek på kort väljer ma slumpvis kort. Vad är saolikhete för b. ett par och ett triss ( t ex,, 7,7,7) b. fyrtal ( ett fyrtal är t ex,,,,) b. alla kort i samma fär ( t ex hjärter) Uppift. E studet jorde 7 mätiar av e lösis fryspukt och fick följade resultat:.,.,.6,.,.,.,. ormalfördelie ka atas och stadardavvikelse är kät, σ.. a) Bestäm ett 9 % kofidesitervall för fryspuktes medelvärde. b) Hur måa mätiar behövs för att få ett kofidesitervall som har 9 % kofidesrad och som är hälfte så brett

3 Uppift. a) För hädelsera A och B äller P ( B A)., och A). och P ( A B).9. Bestäm A c c B) och A B ) b) Vad är saolikhete att det blir kotakt mella puktera P och P i edaståede schema om reläkotaktera x, y, z och w slutes med saolikhetera.,.,.6 resp.. och hädelsera att de olika kotaktera sluts är oberoede. Lösi: a) B A) B A) A) A B) A) B A)... A C B) A B) A).9.. C A B ) A) A B)... Svar C a. P ( A B )., a. P ([ A B C ]).. b) Vi iför följade betecki: A vä i det parallella blocket fuerar båda reläkotaktera x och y är sluta) P ( A)... B vä i det parallella blocket fuerar z är slute P ( B).6 C w är slute P ( C).

4 Då är saolikhete att det blir kotakt mella puktera P och P ( A B) C)) ( oberoede hädelser) A B) C) ( ).. Svar b). Uppift. E stokastisk variabel ξ har frekvesfuktioe, x < f ( x) a( x), x, x > a) Bestäm kostate a b)bestäm saolikhete P ( ξ ) c) Beräka vätevärdet E (ξ ) d) Beräka variase Var (ξ ) Lösi: a) f ( x) dx a( x) x a(x a a Svar a) b) ξ ) ) a ( x) x (x ) 6 Svar b) P ( ξ ) 6 c) μ E( ξ ) x ( x) ( x x x (x ) Svar c) μ E(ξ ) d) )

5 V ( ξ ) ( x μ) f ( x) dx x f ( x) dx μ Vi aväder eklare sätt: V ( ξ ) x f ( x) dx μ Först beräkar vi iterale x ( x) dx ( + ) x x dx. Härav V ( ξ ) 9 Svar d) V ( ξ ) 9 Uppift. Ett elektroikföreta tillverkar motståd som har e förvätad resistas på Ω och stadardavvikelse Ω. Bestäm approximativt saolikhete för att medelvärdet för resistas i ett parti om motståd skall vara större ä. Ω. Lösi: (Cetrala räsvärdessatse) ξ + ξ ξ σ är approximativt ( μ, ) fördelad då är stort. ξ + ξ ξ Låt ξ. Då äller att ξ är approximativt (, ) (, ) ξ >.) ξ.) F(.). φ( ) φ( ).977 / Uppift. Livsläde hos e viss kompoet är e expoetialfördelad stokastisk variabel med parameter λ. (tide räkas i timmar). E såda kompoet iår i e radarutrusi på ett farty. är e kompoet år söder byts de east ut mot e y. a) Beräka saolikhete att sådaa kompoeter räcker åtmistoe 9 timmar. b) Beräka e tid T såda att laret med sådaa kompoeter räcker åtmistoe dea tid med saolikhet.9 Lösi: (Cetrala räsvärdessatse) Låt ξk vara livsläde hos compoet k.

6 Då äller μ E ( ξ ) k och σ ( ) λ Var ξ k λ (kola i formelbladet) Vi beteckar η ξ + ξ ξ Variabel η är approximativt ( μ, σ ) (, ) (, ) fördelad. a) Saolikhete att sådaa kompoeter räcker åtmistoe 9 timmar är 9 η 9) F(9) φ( ) φ(.7),67 Svar a),67 b) η x).9 F( x).9 x φ( ).9 x φ( ). x.6 x.6 x6 Svar b) x6 timmar Uppift. E studet jorde 7 mätiar av e lösis fryspukt och fick följade resultat:.,.,.6,.,.,.,. ormalfördelie ka atas och stadardavvikelse är kät, σ.. a) Bestäm ett 9 % kofidesitervall för fryspuktes medelvärde. b) Hur måa mätiar behövs för att få ett kofidesitervall som har 9 % kofidesrad och som är hälfte så brett Lösi: a)

7 x.979 ( λ α / λ..) Kofidesitervall: σ σ.. ( x λα /, x + λα / ) (-.9., ) 7 7 (-.6, -.9) Svar a) (-.6, -.9) b) Itervallets läd d.79 d/.96 Frå formel för kofidesitervall får vi σ. λ α / Svar b) : Det behövs mätiar ( 7 reda jorda + ya). Uppift 6. I dea uppift ka du svara med hjälp av biomialkoefficieter. Du behöver ite ae umeriska svar. 6a) I e rupp fis det kvilia och 6 malia studeter. Ma skall välja ett la på persoer. Positioera i laet bestäms vid ett seare tillfälle så vi bryr oss ite om dessa. Ma väljer ett la på måfå. Bestäm saolikhete att i detta la är kviora i majoritet? 6b) E kortlek med kort består av fyra färer ( hjärter, spader, klöver, ruter) och valörer: ess,,,,, 6, 7,, 9,, kekt, dam, ku. Ur e kortlek på kort väljer ma slumpvis kort. Vad är saolikhete för b. ett par och ett triss ( t ex,, 7,7,7) b. fyrtal ( ett fyrtal är t ex,,,,) b. alla kort i samma fär ( t ex hjärter) Lösi: 6a) Ma ka välja ett la på sätt. 6 6 Kviora är i majoritet i + la. Saolikhete att kviora är i majoritet

8 + 6 6 Svar 6a) /66. b. Atalet sätt att välja blad kort Atalet sätt att välja ett par och ett triss är lika med ( sätt att välja e par-valör) μ ( sätt att välja kort blad )μ( sätt att välja e triss- valör, skild frå reda vald par) μ ( sätt att välja kort blad ) Härav p Svar b. 6/6. b. Atalet sätt att välja blad kort Alltså är atalet sätt att välja ett fyrtal Härav p

9 Svar b. /6. b. Atalet sätt att välja blad kort Atalet sätt att välja fem i samma fär Härav p Svar b. /666.9