H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. använder vi oftast induktionsbevis.

Transkript

1 MATEMATISK INDUKTION För att bevisa att ett påståede P() är sat för alla heltal 0 aväder vi oftast iduktiosbevis Iduktiossatse Låt P() vara ett påståede vars saigsvärde beror av heltalet 0 där 0 är ett heltal Atag att a) P ( 0 ) är sat b) Implikatioe P( ) är sa för alla 0 Då är påståedet P () sat för alla 0 Amärkig Iduktiossatse ka ma bevisa med hjälp av följade axiom (där N beteckar mägde av alla aturliga tal) Axiom Varje icke-tom delmägd av N har ett mista elemet Amärkig Ma ka också välja att betrakta iduktiospricipe som ett axiom och bevisa påståedet om mista elemet Frå iduktiossatse följer edaståede recept för iduktiosbevis som består av två delar a och b: Först visar vi att P ( 0 ) är sat ( dvs kotrollerar att påståedet gäller för 0 ) För att bevisa implikatioe P ( ) gör vi följade: b) Först atar vi att P () är sat b) Därefter visar vi (med hjälp av atagadet i b) att P ( +) är sat ÖVNINGAR: Nedaståede påståede ska ma bevisa geom att aväda de matematiska iduktioe (trots att det fis flera sätt att bevisa dem) Uppgift Visa med hjälp av de matematiska iduktioe att för alla gäller likhete k ( k) Lösig: + Sida av 5

2 Då har vi VL och HL dvs VLHL Alltså gäller påståedet för Atag att det för givet gäller påståedet, P(), ( k) + (*) Vi vill visa att då gäller P(+) d v s att + (k) ( + ( eller ( om vi utvecklar högerledet) + (k) + + (**) Vi startar med (*) och lägger ( till båda lede av likhete + (k) + ( (k) ( (Detta är P(+) ) Alltså P ( ) Frå a) och b) får vi, eligt de matematiska iduktioe, att påståedet gäller för alla heltal Uppgift Visa med hjälp av de matematiska iduktioe att k + ) + Lösig: Då har vi VL/ och HL/ dvs VLHL Alltså gäller påståedet för Atag att det för givet gäller påståedet, P(), k + ) + (*) Sida av 5

3 Vi vill visa att då gäller P(+) d v s att k + ) Vi startar med (*) och lägger (**) till båda lede av likhete ( ( + ) ) k + ) ( ( + ) + ( ( + + ( + ) k + ) ( ( + ) k + ) ( ( + ) k + ) ( ( ( + ) + k + ) + ( + ) Alltså P ( ) Eligt de matematiska iduktioe gäller påståedet för alla heltal Uppgift Visa med hjälp av de matematiska iduktioe att är delbart med för alla heltal 0 Lösig: För 0 får vi 0 vilket är delbart med Alltså gäller påståedet för 0 Atag att det för givet gäller påståedet, P(), dvs c (*), där c är ett helt tal Vi vill visa att då gäller P(+) d v s att ( ( d för ett heltal d Vi utvecklar ( ( (eligt (*) gäller c ) c + + ( c + + ) d (där d c + + är uppebart ett heltal) Detta betyder att ( ( är delbart med Alltså P ( ) Sida av 5

4 Frå a) och b) får vi, eligt de matematiska iduktioe, att påståedet gäller för alla heltal 0 Uppgift 4 Visa att är delbart med 7 för alla heltal 0 För 0 får vi vilket är delbart med 7 Alltså gäller påståedet för 0 Atag att det för givet gäller påståedet, P(), dvs c (*), där c är ett helt tal Vi vill visa att då gäller P(+) d v s att ( ) ( ) d för ett heltal d Frå atagadet c har vi att + + 7c (**) Vi utvecklar ( + ) + ( + ) (Vi aväder **) (7c ) + 9 7c c c 7 7(9c ) 7d där d 9c är ett heltal ( ) ( ) Detta betyder att är delbart med 7 Alltså P ( ) Frå a) och b) får vi, eligt de matematiska iduktioe, att påståedet gäller för alla heltal 0 Uppgift 5 Låt p vara ett reellt tal sådat att p > Visa med hjälp av de matematiska iduktioe att ( + p) + p för alla heltal 0 Lösig: 0 Då 0 har vi VL ( + p) och HL + 0 p, dvs VLHL och därmed i alla fall VL HL Alltså gäller påståedet för 0 Atag att det för givet gäller påståedet, P() ( + p) + p (*) [Vi vill visa att P(+) är sat d v s att p + ( + ) + ( p ] Vi multiplicerar (*) med (+p) Eftersom +p > 0 behåller olikhete samma tecke ( p) + + ( + p)( + p) (**) Sida 4 av 5

5 Högerledet i (**) föreklas : ( + p )( + p) + p + p + p + ( p + p + ( p (***) (Sista olikhete i (***) är korrekt eftersom p 0 ) Frå(**) och ( ***) får vi p + ( + ) + ( p Alltså P ( ) Frå a) och b) får vi, eligt de matematiska iduktioe, att påståedet gäller för alla heltal 0 Uppgift 6 Visa med hjälp av de matematiska iduktioe att > för alla heltal 5 Lösig: Då 5 har vi VL 5 och HL 5 5, dvs VL>HL Alltså gäller påståedet för 5 Atag att det för givet 5 gäller påståedet, P() > (*) Vi vill visa att P(+) är sat d v s att + > ( (**) Vi multiplicerar (*) med och får + > (***) Om vi visar att > ( (****) då (***) medför (**) och allt är bevisat Olikhete > ( > + + > + ( dela med ) > + som är uppebart sa för 5 Därmed har vi visat (****) dvs + + Frå > (***) och > ( (****) har vi > ( Alltså P ( ) Frå a) och b) får vi, eligt de matematiska iduktioe, att påståedet gäller för alla heltal 5 Sida 5 av 5