101. och sista termen 1

Transkript

1 Lektio, Evariabelaalys de ovember Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de Med detta skrivsätt hoppas vi att ma ka gissa sig till vilka de mellaliggade, icke utskriva, termera är. j j + = = Notera att vi med summasymbole uttrycker summa på ett otvetydigt sätt meda summa i högerledet kräver att ma gissar hur de icke utskriva termera ser ut. 5.. Skriv summa med summasymbole Uttryck summa i i + uta summasymbole. De första terme i summa får vi geom att sätta i = i summade De adra terme svarar mot i =, + =. + = /. På detta sätt ka vi forsätta att skriva upp termera. De sista terme svarar mot i = och blir + =. Som ett första steg ska vi idexera summa. Vi ka egetlige välja vårt startidex till vilket heltal som helst, säg, me det är ofta praktiskt att välja ett aturligt startidex, t.ex. eller. I vår summa ser vi att ämara verkar växa stegvis med och de första termes ämare är 7. Vi väljer därför 7 som startidex Vi vet frå börja ite hur måga termer summa har, så vi kallar slutidexet för. Nu gäller det att gissa sig till hur alla mellaliggade termer ser ut. Regelbudehete i de första termera atyder att termeras ämare fortsätter att öka med ett steg i taget. Om vi gissar att detta är det riktiga möstret hos termera så borde de allmäa term med idex l vara /l, och sista terme l l 99 borde ha idex 99. k k

2 Skriver vi dea summa med summasymbole får vi 99 k=7 Notera att allt detta egetlige är e gissig. Givet puktera k Skriv summa med summasymbole. + x + 3x + 4x x 99 fk k så har vi gissat att summade fk i summa fk fk är fuktioe k=7 Precis som tidigare börjar vi med att idexera summa. I detta exempel ka vi otera att koefficietera framför x:a växer stegvis med. De första terme har koefficiet så vi väljer som startidex. Vid varje ytterligare term ökar koefficiete med så vi ka gissa att sista terme x 99 har idex. + x + 3x + 4x x E allmä term med idex l borde, om termera fortsätter lika regelbudet, ha forme l x ågot. Det är ite heller så svårt att se vad expoete borde vara. Expoete uppvisar samma regelbuda tillväxt som idexet, k l x l. Med summasymbole blir alltså summa k I själva verket skulle det kua vara e aa fuktioe som är det rätta svaret. Dea osäkerhet ka vi iget göra åt. Vi har gjort det eda rätta och valt de eklaste summad som passar möstret. kx k. k= Notera att de första terme är x = om x. Om x = så är summaformel egetlige ite defiierad och vi borde då skriva + kx k, k= me eftersom detta helt klart är ett udatagsfall så brukar ma uderförstå vad ma mear då x =.

3 5.. Beräka j + 3. Med räkereglera för summasymbole ka vi dela upp summa i eklare summor, j + 3 = j + 3. De adra summa i högerledet är ekel att räka ut. Vi adderar tuse 3:or, 3 = 3. Summa med de kvadratiska summade skriver vi om till käda summor, k= Summa blir alltså k = k= kk + = 3. k= k 4 = 3 4 k= = k = 3 + De första summa i högerledet är e aritmetisk serie, Alltså är j = = 55. j + 3 = = 4. Låt {x i} vara e puktföljd som är jämt fördelad i itervallet [a, b] och a = x < x < x < < x < x = b. Bestäm ett slutet uttryck för x i:a. Vi ska alltså bestämma e formel för x i :as x-koordiater. Eftersom puktera ska ligga på lika avståd l frå varadra måste vi ha att 5..4 Fi ett slutet uttryck för summa k 4. k= x x = l, x x = l, x 3 x = l, x x = l. Vi delar upp summa med räkereglera Dessutom vet vi att k 4 = k 4. k= k= k= x = a, + x = b. +

4 Dessa ekvatioer, frå till +, bildar tillsammas ett lijärt ekvatiossystem där x, x,..., x, l är de okäda. Vi ska u försöka lösa detta ekvatiossystem. Addera,,...,, Eftersom x = b och x = a är x x = l x x = l x 3 x = l x x = l x x = l b a = l l = b a. Geom att ysta upp,,..., får vi Iduktivt ser vi att x = l + x = b a + a = a + b a, x = l + x = b a x 3 = l + x = b a o.s.v. + a + b a + a + b a = a + b a, = a + 3 b a, x i = a + i b a, för i =,,...,. 5.. Dela upp itervallet [, 3] i lika stora delitervall och aväd rektaglar med dessa delitervall som bas för att beräka area av området uder y = x +, över y =, samt mella x = och x = 3. Vi delar först upp itervallet [, 3] i st delitervall med lika lägder. x = x x x 3 x 3 = x Frå de förra uppgifte får vi ett uttryck för delitervalles ädpukter, x i = + i 3 = 3i. Om vi låter area av delrektagel, med x i, x i+ som bas, beteckas med A i, då är A i = base höjde = x i+ x i fx i. Eftersom vi har ett explicit uttryck för x i och x i+ så ka vi äve ställa upp ett explicit uttryck för A i, 3i + A i = = 3 3i 3i + 6i + = 8i + 3. Områdets exakta area A ka vi approximera med summa av delrektaglaras area, 8i A A i = = 8 i A i x i x i+ = = fx i Om vi låter atalet delrektaglar öka så borde vi få e allt bättre approximatio av de verkliga area A. I gräsfallet får vi de exakta area, A = lim = =.

5 5.. Dela upp ett itervall i lika stora delitervall och aväd rektaglar med dessa delitervall som bas för att beräka area av området över y = x x och uder y =. Låt oss först rita upp området. Fuktioe y = x x är e typisk adragradsfuktio. Geom att kvadratkomplettera får vi att y = x. I detta uttryck ser vi direkt att miimum fis i x = där y = och att y då x ±. Ritar vi upp grafe har de e typisk parabelform y x Områdets exakta area A approximerar vi med summa av delrektaglaras area, A A i = 4i 4 i = = ii i = ii i = När vi låter atalet delrektaglar får vi de exakta area 4 A = lim = 4 3. Vi söker area av det gråfärgade området ova. Området begräsas i x-led av de två x-värdea där kurva y = x x skär y =, d.v.s. x x = x = eller x =. Vi delar upp x-itervallet [, ] i st delitervall med lika lägder. x = x x x 3 x = x Ett uttryck för delitervalles ädpukter {x i } är x i = + i = i. Om vi låter A i betecka area av de delrektagel med x i, x i+ som bas, då är A i = base höjde = x i+ x i fx i. Ett explicit uttryck för A i är A i = i + i = 4i i 4. i i + fx i x i x i+ A i 5.3. Låt P vara partitioe av itervallet [, 4] i st delitervall med lika lägd x i = b a. Beräka Lf, P4 och Uf, P4 för fx = x. Uder- och översumma är Lf, P 4 = Uf, P 4 = 3 m i x i, 3 M i x i, där m i och M i är f:s mista respektive största värde i de olika delitervalle [, ], [, ], [, 3] och [3, 4].

6 Eftersom fx = x är strägt växade i [, 4] atas m i och M i i delitervalles västra respektive högra ädpukter. Vi får Därmed är f itegrerbar i [, 3]. Varför? Vad är 3 fx dx? och summora blir y m = f = m = f = 4 M = f = M = f3 = 9 m = f = m 3 = f3 = 9 M = f = 4 M 3 = f4 = 6 Lf, P 4 = = 4 Uf, P 4 = = 3 x Lf, P 4 Uf, P 4 y x Uder- och översumma är Lf, P = m i x i, Uf, P = M i x i, där m i och M i är f:s mista respektive största värde i de olika delitervalle. Eftersom fx = e x är e strägt växade fuktio atas m i och M i i delitervalles västra respektive högra ädpukter. Ädpuktera är x i = + i 3 = 3i så vi får Alltså är 3i m i = fx i = exp, M i = fx i+ = exp i + 3 3i = exp + 3 = m i e 3/ Låt P vara partitioe av itervallet [, 4] i st delitervall med lika lägd x i = b a. Beräka Lf, P och Uf, P för fx = ex. Visa att lim Lf, P = lim Uf, P. 3i Lf, P = exp 3 = 3 e 3/ i = {geometrisk serie} = 3 Uf, P = m i e 3/ 3 = e 3/ 3 m i = e3/ Lf, P. e 3/ e 3/ = 3 e 3 e 3/,

7 Låter vi fås att lim Lf, P 3 = lim e 3 e = 3 e 3 3/ lim e3/ 3 e 3 = {Maclauriutvecklig} = lim O 3 e 3 = lim 3 + O = e3 I uik: Gapet mella alla över- och udersummor måste alltid ligga i itervallet [Lf, P, Uf, P ] för alla. Eftersom ädpuktera i detta itervall kovergerar mot I, är gapet exakt e pukt I. Vi får därmed att f är itegrabel i [, 3] och 3 e x dx = I = e 3. lim Uf, P = lim e3/ Lf, P = lim e3/ lim Lf, P Alltså är = e 3 = e 3. lim Lf, P = lim Uf, P = e 3. Om vi går tillbaka till defiitioe av itegral så ser vi att f är itegrabel i [, 3] om det fis exakt ett tal I så att för alla partitioer P. I vårt fall låter vi Lf, P I Uf, P 5.3. Uttryck gräsvärdet som e bestämd itegral. i lim I = lim Lf, P = lim Uf, P. Lf, P I: Eftersom e översumma alltid är större ä e udersumma, är Låter vi fås Uf, P I: På samma sätt är Låter vi fås Lf, P Uf, P. Lf, P I. Uf, P Lf, P. Uf, P I. Dela upp itervallet [, ] i st delitervall med lika lägd. I varje delitervall [ k, ] k+ väljer vi e pukt ck = k/. Då är Riemasumma av fuktioe fx = x lika med k Rf, P, c = idexbyte = i = k + = i. k= k = i i= Eftersom partitioes fihet går mot oll är d.v.s. lim R f, P, c = lim i= i = x dx, x dx.