F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

Transkript

1 Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde Stadardavvikelse Populatio 1 µ σ Populatio µ σ Vi är itresserade av differese µ - µ. Stickprov frå pop. 1 Stickprov frå pop. Atal obs. Medel- Stadardi stickpr. värde avvikelse x s y s Oberoede atas mella de båda stickprove. 1

2 Hypoteser: H 0 : µ - µ D 0 H 1 : µ - µ D 0 (eller ekelsidig mothyp.) där D 0 är ett tal. Ofta är D 0 0, dvs. vi prövar ollhypotese: H 0 : µ µ 0 Vi vill med adra ord pröva om båda populatioera ka täkas ha samma medelvärde. Vi vet att x y är e vätevärdesriktig skattig av µ -µ. Fråga vid hypotesprövige är de valiga: Ligger det observerade värdet på x y så lågt ifrå talet D 0, att vi fier aledig att förkasta H 0?

3 Fall 1: Stora stickprov ( > 30 och > 30) Iga förutsättigar om populatioeras fördelig. Testvariabel är populatiosvariasera är käda: Z ( x y) σ σ + D 0 Testvariabel är populatiosvariasera är okäda: Z ( x y) s s + D 0 Testvariablera Z ova är approximativt ormalfördelade, N(0; 1), är H 0 är sa. Förkastelsegräser bestäms av sigifikasivå och mothypotes. 3

4 Fall : Små stickprov Här krävs att båda stickprove kommer frå populatioer som är ormalfördelade. Testvariabel är populatiosvariasera är käda: Z ( x y) σ σ + D 0 När populatiosvariasera är okäda krävs dessutom att dessa är lika stora. (Båda populatioera förutsätts ha lika varias, me vi käer ite till det umeriska värdet.) Testvariabel: t ( x s p y) D 1 1 ( + 0 ) Testvariabel Z ova är ormalfördelad, N(0; 1), är H 0 är sa. Testvariabel t ova är t-fördelad med + frihetsgrader, är H 0 är sa. 4

5 Ex.: Två oberoede stickprov. Har båda populatioera samma medelvärde? Okäda populatiosvariaser. Atal obs. Medelvärde Stadardavvikelse Stickprov ,1,35 Stickprov 36 19,,5 Hypoteser: H 0 : µ -µ 0 (dvs. µ µ ) H 1 : µ -µ 0 (dvs. µ µ ) Sig.-ivå: 5% Testvariabel: Z ( x y) 0 s s + Beslutsregel: H 0 förkastas om Z obs > 1,96. (0,1 19,) 0 Resultat: Z obs 1, 66,35, Slutsats: H 0 ka ite förkastas på 5% sig.- ivå. Stickprovsmedelvärdea skiljer sig ite sigifikat åt. 5

6 Ex.: Oberoede stickprov frå två ormalfördeligar med lika (me till värdet okäd) varias. Är µ > µ? Atal obs. Medelvärde Stadardavvikelse Stickprov ,3 0,3 Stickprov 13 1,18 0,7 s p ( 1) s + + ( 1) s 10 0, ,7 0,0638 Hypoteser: H 0 : µ -µ 0 H 1 : µ -µ > 0 Sig.-ivå: 1% Testvariabel: t ( x y) s p( + ) Frihetsgrader:

7 Beslutsregel: H 0 förkastas om t obs >,508 (1,3 1,18) 0 Resultat: tobs 0, ,0638( + ) Slutsats: H 0 ka ite förkastas på 1% sig.- ivå. Medelvärdet i stickprov 1 är ite sigifikat större ä medelvärdet i stickprov. 7

8 Hypotesprövig för e differes mella två proportioer Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosproportioer: Populatio 1 Populatio Prop. med viss egeskap P P Vi vill pröva om P P, dvs. om P - P 0. Ett stickprov frå vardera populatioe. Stickprove dras oberoede av varadra. Stickprov frå pop. 1 Stickprov frå pop. Atal obs. i stickpr. Prop. med aktuella egeskape 8

9 Hypoteser: H 0 : P -P 0 H 1 : P -P 0 (eller ekelsidig mothyp.) Vi vet att är e vätevärdesriktig skattig av P -P. Ligger det observerade värdet på så lågt ifrå 0, att vi har aledig att förkasta H 0? Hypotesera ova ka testas, ifall vi har stora stickprov. Tumregel för stora stickprov eligt kursboke: P (1-P ) > 9 och P (1-P ) > 9. (När det gällde att bilda kofidesitervall för differese mella två proportioer, gav boke e aa tumregel, ämlige: > 40 och > 40. Kostigt.) 9

10 De testvariabel som skall avädas är: Z 0 (1 1 0)( ) där p ˆ adele i det sammaslaga stickprovet Om H 0 är sa, dvs. P P P, så är ˆp 0 e aturlig skattig av de gemesamma proportioe P. Testvariabel Z ova är approximativt ormalfördelad, N(0; 1), är H 0 är sa. Förkastelsegräser bestäms av sigifikasivå och mothypotes. 10

11 Ex.: P adele som sympatiserar med ett visst politiskt parti i populatio 1. P motsvarade adel i populatio. Vi vill udersöka om det är ågo skillad mella de båda populatioera i fråga om adele ahägare av det aktuella partiet. OSU av 150 persoer frå populatio 1, och av 50 persoer frå populatio. Tumregels krav på stickprovsstorlek är uppfyllda. Det visar sig att adele sympatisörer i stickprove är 36% i stickprovet frå pop. 1, och 7% i stickprovet frå pop.. Hypoteser: H 0 : P -P 0 H 1 : P -P 0 Sig.-ivå: 5% Testvariabel: Z 0 (1 1 )( ) Beslutsregel: H 0 förkastas om vi får Z obs > 1,96. 11

12 Resultat: p ˆ , , ,30375 Z obs 0,36 0,7 1 0, ,6965 ( ) 50 1,895 Slutsats: H 0 ka ite förkastas på 5% sigifikasivå. Ige sigifikat skillad. 1

13 Ex.: Samma som yss, me ekelsidig mothypotes. Vi vill veta: Är det större adel ahägare i populatio 1 ä i populatio? Hypoteser: H 0 : P -P 0 H 1 : P -P > 0 (dvs. P > P ) Sig.-ivå: 5% Testfuktio: Samma som tidigare. Beslutsregel: H 0 förkastas om Z obs > 1,645. Resultat: Z obs 1,895 > 1,645. Slutsats: H 0 förkastas till förmå för H 1 på 5% sigifikasivå. Sigifikat större adel i stickprov 1. Stickprovsdata ger alltså stöd för hypotese att P är större ä P (på 5% sigifikasivå). 13

14 Parvisa observatioer Har behadlats tidigare i sambad med kofidesitervall. Nu ser vi på hypotesprövig uder samma förutsättigar. Ett eda stickprov av idivider. Två mätvärde för varje idivid. Eftersom mätigara görs på samma idivider uppkommer ett beroede mella de båda uppsättigara av mätvärde. Gör så här: bilda idividuella differeser, och utför testet på dessa. 14

15 Ex.: Experimet med 8 bilar. Pröva om origialstötdämpare har lägre livslägd ä e piratprodukt. Varje bil försågs med e stötdämpare av vardera slaget på det bakre hjulparet, och deras livslägd (1 000-tal km) uppmättes. Bil r. Livslägd, origial x Livslägd, pirat y Differes d x y Vi har här ett litet stickprov, 8 observatioer (ämlige de 8 observerade differesera). Uder förutsättig att dessa ka atas utgöra ett stickprov frå e ormalfördelad populatio av differeser, ka vi aväda ett t-test på följade sätt. 15

16 Hypoteser: H 0 : µ d 0 H 1 : µ d > 0 (dvs. Origial är bättre) Sig.-ivå: 5% Testvariabel: t d 0 sd Frihetsgrader: -1 7 Beslutsregel: H 0 förkastas om t obs > 1,895. Resultat: d, 5; s d 3,1 t,5 0 3,1 8,053 obs > 1,895 Slutsats: H 0 förkastas på 5% sigifikasivå. Origialprodukte har i stickprovet visat sig ha sigifikat lägre livslägd ä piratprodukte. 16