Visst kan man faktorisera x 4 + 1

Transkript

1 Visst ka ma faktorisera + 1 Per-Eskil Persso Faktoriserig av polyomuttryck har alltid utgjort e svår del av algebra. Reda i slutet av grudskola möter elever i regel dea omvädig till multiplikatio med hjälp av distributiva lage och de speciella regler ma ka härleda ur de, som kojugatregel och kvadrerigsregel. Att förstå och tillämpa faktoriserig iebär e betydade asträgig, både av de elever som ska lära sig de och av lärare som ska göra detta möjligt. Distributiva lage: Kojugatregel: Kvadrerigsregel: a ( b c) ab ac ( a b) ( a b) a b ( a b) a ab b I gymasiekursera framträder faktoriserig i de första kursera i sambad med ekvatioslösig och för att eempelvis fia ollställe till fuktioer. Oftast är det uttryck, ekvatioer och fuktioer av grad två det gäller. E. - Faktorisera uttrycket 1 9. De största gemesamma faktor i termera är 3. När de bryts ut (divideras) ur dessa får ma det faktoriserade uttrycket 3 ( 3) - Lös ekvatioe + 6 = 0. Kvadratkompletterig av västerledet ger: 1 ) ( ) ( ( ) ) ( ) 6 och seda ( 1 1. Med kojugatregel fås ( )( ) och ekvatioe blir: ( 3)( ) 0 som seda lätt löses. - Vilka ollställe och vilke symmetrilije har grafe till fuktioe f ( ) 3? Likade metoder som i föregåede eempel ka avädas. Här har både kojugatregel och kvadrerigsregel aväts. Vi ka som i eemplet kvadratkomplettera, eller så ka vi utyttja e färdig formel. Båda tillvägagågssätte bygger i grude på kuskaper om dessa specialregler. E bra geerell metod är att fia ollställe till polyomet, och utifrå dem kostruera förstagradspolyom som detta ka divideras med. Att detta är möjligt ages i faktorsatse och metode som aväds är polyomdivisio. För att bli riktigt drive i att faktorisera, måste elever träa på mer komplicerade polyom, av tredje grade och högre. Iom aalyse i gymasiets seare kurser måste de också kua fia ollställe till derivata av eempelvis fjärdegradsfuktioer för att bestämma maima och miima. Ett paradeempel som brukar fias med i läroböckera är faktoriserig av uttrycket 16 eller likade: E. Kojugatregel utyttjas två gåger och vi får: 16 ( )( ) ( )( )( )

2 Det ka också täkas att eleve lär sig faktoriserigsformel: 1 ( 1)( 1) Me hur är det med uttryck av likade slag med de allmäa formel 1, där är vilket positivt heltal som helst? Att göra e udersökig av vad som häder är blir tämlige stort är gaska jobbigt och till slut ästa omöjligt. Vi ka utföra delar av faktoriserige me ka kaske ite klara de fullstädigt. Me med hjälp av datoralgebrasystem (CAS) ka detta ekelt göras av elever i gymasiekurser. I didaktisk litteratur har e såda udersökade aktivitet beskrivits t.e. av Drijvers, Boo och va Reeuwijk (011) frå Freudethalistitutet i Nederlädera. Vill du läsa om hur de aväts iom ett forskigsprojekt har Kiera och Drijvers (006) redogjort för detta i e artikel (se referes). Det går bra att utyttja vilket CAS-verktyg som helst, datorprogramvara, applikatioer etc. Kommadot är ästa alltid "factor", me iblad (som i Geogebra) "Faktorisera". Om vi provar att faktorisera 1 för heltal frå 1 till 1 får vi: factor( 1 1) ( 1) factor( 1) ( 1)( + 1) factor( 3 1) ( 1)( + + 1) factor( 1) ( 1)( + 1)( + 1) factor( 1) ( 1)( ) factor( 6 1) ( 1)( + 1)( + + 1)( + 1) factor( 7 1) ( 1)( ) factor( 8 1) ( 1)( + 1)( + 1)( + 1) factor( 9 1) ( 1)( + + 1)( ) factor( 10 1) ( 1)( + 1)( )( ) factor( 11 1) ( 1)( ) factor( 1 1) ( 1)( + 1)( + 1)( + + 1)( + 1)( + 1) Ett möster börjar framträda, och det ger upphov till e rad itressata frågor som är utmärkta att diskutera i klasse, atige gruppvis eller i helklass. Eempel på sådaa frågor är: Alla uttryck 1 verkar ha faktor ( 1). Ka vi motivera detta eller ret av fia ett bevis för att så måste vara fallet? Vad är gemesamt för de där faktoriserige också iehåller ( + 1)? Hur motiverar/bevisar vi det? Vissa iehåller bara två faktorer, ( 1) och e obrute summa av poteser av. T.e. 7 1 = ( 1)( ) Vad är gemesamt för de där detta iträffar? Det fis adra faktorer som är gemesamma. Eempelvis fis ( + + 1) med är är 3, 6, 9 och 1. Hur ka vi förklara det? Det verkar som om alla termer har koefficietera +1 eller -1, alltså är av type Gäller detta alltid är ma faktoriserar 1, oavsett? Osv. 3 k.

3 Här fis det möjlighet att ställa hypoteser och ekelt kotrollera dem. Som lärare ka du också be elevera att gissa ästa i rade. Vad tror ma att faktoriserige av 13 1 ka ge? Faktoriserige av 1 1? Osv. På samma sätt ka ma försöka faktorisera polyome 1, där är positivt heltal. Ett helt aat möster visar sig: factor( 1 + 1) ( + 1) factor( + 1) ( + 1) factor( 3 + 1) ( + 1)( + 1) factor( + 1) ( + 1) factor( + 1) ( + 1)( ) factor( 6 + 1) ( + 1)( + 1) factor( 7 + 1) ( + 1)( ) factor( 8 + 1) ( 8 + 1) factor( 9 + 1) ( + 1)( + 1)( ) factor( ) ( + 1)( ) factor( ) ( + 1)( ) factor( 1 + 1) ( + 1)( 8 + 1) Samma typ av frågeställigar ka göras som för det tidigare möstret. Om elevera arbetat med detta, så klarar de säkert att själva upptäcka de frågor de vill ställa och äve att formulera hypoteser och fia svar till dem. Fig 1. Carl-Friedrich Gauss, Me väta lite u! Har ite Gauss (fig. 1) för läge seda fastslagit att ma ka faktorisera alla polyom, så att faktorera bara är polyom av första och adra grade? Vi utgår frå faktoriserige av + 1. Om det äve hade fuits e term så hade uttrycket följt e kvadrerigsregel. Låt oss iföra e såda och kompesera geom att dra ifrå samma term: 1 1 ( 1) ( ) Nu ser vi att det går att aväda kojugatregel och vi får: (( 1) )(( 1) ) ( 1)( 1) Jovisst går det att faktorisera! Me varför klarade ite CAS-verktyge av detta? Problemet ligger i hur vi defiierar "faktorisera". Ofta täker vi bara på heltal, precis som iom talteori, och då får vi resultat eligt tabellera ova. Om eempelvis talet 30 ska delas upp i två faktorer, så kaske vi har 3 10 eller 6 i takara, me sälla t.e. 3. Ger ma också möjlighet för koefficieter i polyome som är algebraiska tal, så klarar ma att

4 faktorisera eligt Gauss pricip. Algebraiska tal defiieras som sådaa tal som ka vara rötter till polyomekvatioer med heltalkoefficieter. Det rör sig då om rotuttryck av olika slag. E. Det algebraiska talet 1 är e rot till ekvatioe 1 0 Om vi alltså öppar för faktoriserig där algebraiska tal är tillåta, så blir möstre för 1 som vi studerat ova gaska aorluda. Dessvärre fis det för flera CAS-verktyg ige möjlighet att göra detta. Ett udatag är TI-Nspire CAS, där ma med e lite ädrig av kommadot ka uppå detta. Vi provar det på ågot som tidigare ite fått ågo faktoriserig: E. Factor( , ) ( 1)( 1) Lägg märke till :et som lagts till iom paretese i kommadot! Dea lilla förädrig ger alltså detta ya resultat. Det är ju också itressat att det är två tal som vi förkippar med femhörigar och gyllee sittet som framträder som koefficieter här. Vad ka detta bero på? Gauss utyttjade i själva verket dea typ av faktoriserigar för att bevisa att regelbuda femhörigar, me äve t.e. regelbuda sjuttohörigar, iskriva i cirklar ka kostrueras med passare och lijal. Det lämas åt läsare att verifiera att faktoriserige är korrekt och att kaske äve fia ett sätt att geomföra de med papper och pea. Med detta tilläggskommado ka vi alltså bilda ya möster av faktoriserigara ova, och äve i detta fall diskutera i klassrummet vad som häder och varför. Frågora blir delvis helt ya. Me på tal om Gauss, bevisade ha ite att alla polyom ka faktoriseras till ebart förstagradsuttryck i det komplea talområdet? Jovisst, och datoralgebrasysteme ger också möjlighet till detta. Eempelvis får ma att + 1 = ( i)( + i). Vi provar detta på polyomet + 1. I eempelvis Maima heter kommadot gfactor, och ma får: + 1 = ( i)( + i) I TI-Nspire blir kommadot cfactor( + 1,), och uttrycket blir i med detta fullt faktoriserat i det komplea talområdet: 1 i 1 i 1 i 1 1 ( )( )( )( ) i Nollställea till polyomet bildar i det komplea talplaet höre i e kvadrat som är iskrive i e cirkel med radie 1. Med papper och pea ka ma fia dem geom att med lämplig metod lösa ekvatioe + 1 = 0 i det komplea talområdet (se fig. ).

5 Fig. z1 z är rötter till ekvatioe + 1 = 0. Vad vi mear med att faktorisera ett polyom är alltså ite helt etydigt. Det beror på vilka förutsättigar vi ger i form av vilka slags faktorer som är tillåta och äve iom vilket talområde vi utför faktoriserige. "Valig" faktoriserig bör vi kaske precisera som heltalsfaktoriserig (det fis också gaussiska heltal i det komplea talområdet). De mer ovaliga faktoriserigar som preseterats här i artikel är ofta ite heller åtkomliga med hjälp av grafritade program, räkare eller applikatioer. Om vi i udervisige vill studera dem ärmare, vilket är öskvärt åtmistoe i de seare kursera i gymasiet, så behövs ågo form av datoralgebrasystem som verktyg. Några sådaa preseteras eda. Till sist ett litet tips för de som försökt lösa problemet om alla termer i heltalsfaktoriserige k 10 av 1 alltid är av type : Prova att faktorisera 1. Eempel på CAS-verktyg: Datorprogramvara: Geogebra, Maima, TI-Nspire (äve räkare). Applikatioer: Symbolic Calculator HD, PocketCAS, CAS Calc P11, WolframAlpha Nätet: Refereser Drijvers, P., Boo, P. & va Reeuwijk, M. (011). Algebra ad techology. I P. Drijvers (red.), Secodary algebra educatio Revisitig topics ad themes ad eplorig the ukow (179-0). Rotterdam: Sese Publishers. Kiera, C. & Drijvers, P. (006). The co-emergece of machie techiques, paper-ad-pecil techiques, ad theoretical reflectio: a study of CAS use i secodary school algebra.