F4 Matematikrep. Summatecken. Summatecken, forts. Summatecken, forts. Summatecknet. Potensräkning. Logaritmer. Kombinatorik

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "F4 Matematikrep. Summatecken. Summatecken, forts. Summatecken, forts. Summatecknet. Potensräkning. Logaritmer. Kombinatorik"

Ludvig Andersson
för 5 år sedan
Visningar:

1 F4 Matematirep Summatece Summatecet Potesräig Logaritmer Kombiatori Säg att vi har styce tal x,, x Summa av dessa tal (alltså x + + x ) srivs ortfattat med hjälp av summatece: x i i summa x i då i går fr.o.m. t.o.m. Summatece, forts. Summatece, forts. Vad betyder följade? i x i i x i i i i i c cx i ( x i y i ) x i y i Ex. Atag att x = 3, x = -, x 3 = 5, x 4 = 3 Beräa: 4 i x ; Medelvärde: Varias: i x ; Stadardavvielse: 4 4 j x j ; i ; i0 3x i x x... x xi x i i x x s i s s

2 Summatece, forts. Övig: Utvecla (dvs. lista termera). i jx i a b = a a a a b ac = a (b+c) Potesräig b ggr. 3. jx i jx i j (a b ) c = a (bc) a b = / a b a 0 = a /b = b a E omboövig Logaritmer Beräa följade för = 0,,, 3 0 Obs! a,b > 0 och a Atag att vi har följade: a b = c Vi vet a och c och söer b Svar: = 0; 0 = = ; 0 + = + = 3 = ; = = 7 = 3; = ¹⁹ b = log a c Ex. 0 x = 0000 x = log = log0000 = lg0000 = 4 Det tal som vi upphöjer a till för att få c Några olia betecigar för 0-logaritme Ex. e x = 80 x = l80 = log e 80 = 4,3807 Naturliga logaritme

3 Logaritmer, forts. Logaritmer, forts. e = base för de aturliga logaritme =, Räeregler: l(x y) = lx + ly l(x/y) = lx ly l x = lx l = 0 l e = Obs! x, y > 0 e lx = x l(e x ) = x Ex. Bevisa första räeregel: Vi defiierar a, b och c. e a = x a = l x. e b = y b = l y 3. e c = (x y) c = l(x y) el. defiitioe av logaritmfutioe. Vi har alltså x y = e a e b = e a+b l(x y) = a + b = l x + l y Eligt defiitioe för logaritmfutioe Eligt regel för poteser Eligt defiitioe ova Logaritmer, forts. Kombiatori Övigar: l = l 3 + l 4 l 0,5 = l(/4) = l l4 = l4 l 64 = l 6 = 6 l l(3/9) = l3 l9 = l 5 l3 = 5l l3 Att räa ut hur måga sätt ågot a göras. Ex. Matsedel med tre förrätter, fyra huvudrätter och två efterrätter. På hur måga olia sätt a e trerätters måltid ompoeras? Svar: Illustratio: Träddiagram 3

4 Kombiatori, forts. Kombiatori, forts. Multipliatiospricipe Ett experimet har m möjliga utfall Ett aat efterföljade experimet har m möjliga utfall Vi gör först det ea seda det adra experimetet Totalt fis det m m möjliga utfall. Exempel Påse med umrerade ulor,, Vi drar e ula slumpmässigt och oterar dess ummer Hur måga möjliga utfall? Vi drar e ula till slumpmässigt och oterar dess ummer Hur måga möjliga utfall? Kombiatori, forts. Kombiatori, forts. Exempel, forts Samma påse med ulor,, Vi har de totala hädelse (ula s ummer, ula s ummer) Hur måga möjliga utfall? Uta återläggig: Med återläggig: Exempel, forts Spelar ordige ågo roll? Dvs. siljer vi t.ex. på (,3) och (3,) eller betratar vi det som samma sa? Två fall som uppstår: Ordige spelar roll Ordige spelar ige roll 4

5 Kombiatori, forts. Kombiatori, forts. Ordad Vi drar ett atal ulor slumpmässigt och oterar deras ummer Ordige spelar roll, dvs. vi siljer t.ex. på (,,5), (,5,), (,,5), (,5,), (5,,) och (5,,) Ej ordad Vi drar ett atal ulor slumpmässigt och oterar deras ummer Ordige spelar ige roll, utfalle ova betratas som samma utfall Om vi har dragit olia ummer av möjliga, hur måga sätt a de ordas på? Permutatioer Ett arragemag av olia objet i e bestämd ordig allas för e permutatio av objete. Hur måga olia permutatioer a ma bilda av olia objet? Atalet olia permutatioer av olia objet är:! = 3 (-) -faultet; (eg. factorial) Kombiatori, forts. Kombiatori, forts. Permutatioer Ex. På hur måga olia sätt a vi permutera de tre objete A, B, C? Svar: 3! = 3 = 6 olia sätt, ämlige ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. OBS! Vi defiierar 0! = Dragig uta återläggig Vi drar e ula slumpmässigt och oterar dess ummer och lägger ite tillbas de iför ästa dragig Vi a bara få ett ummer e gåg Dragig med återläggig Vi drar e ula slumpmässigt och oterar dess ummer och lägger tillbas de iför ästa dragig Vi a dra samma ummer flera gåger i e seves av dragigar 5

6 Kombiatori, forts. Kombiatori, forts. På hur måga sätt a vi välja ut objet frå objet ( ), ifall vi bryr oss om ordige? Och uta återläggig? Svar:! (- )! Ex. = 5, = 5! (5-)! Kombiatioer På hur måga sätt a vi välja ut objet frå objet ( ), ifall vi ite bryr oss om ordige? Uta återläggig? Svar:!! (- )! över, biomialoefficiet Obs! Vi defiierar Kombiatori, forts. Kombiatori, forts. Ordat med återläggig Dra styce ur möjliga. :a ula möjligheter, :a ula möjligheter, osv. Multipliatiospricipe ger... Ordat uta återläggig Dra styce ur möjliga. :a ula möjligheter, :a ula (-) möjligheter, osv. Multipliatiospricipe ger ( )... ( ) ( ) styce fatorer... ( ) ( )... ( )...! ( - )! 6

7 Kombiatori, forts. Kombiatori, forts. Atag att vi har = 5 objet A, B, C, D, E och att vi slumpmässigt väljer = 3. Vi a få!/(-)! = 5! / (5-3)! = 60 olia utfall om vi tar häsy till ordige. Av alla dessa 60 utfall, hur måga iehåller objete A, B och C? Svar: Vi a lista dem: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA; 6 utfall Eller ise att de objete a ordas på! = 3! = 6 sätt Ej ordat uta återläggig Dra styce ur möjliga. :a ula möjligheter, :a ula (-) möjligheter, osv. Ger! ( - )! Justera seda för att ordige ite spelar roll geom att dela med atal möjliga permutatioer av objet!!( - )! Kombiatori, forts. Kombiatori, forts. Kombiatioer Välja ut objet frå objet där, och struta i ordige!! (- )! - över, biomialoefficiet Pascals triagel :te oeffeiciete i (a+b) Kombiatioer Några särsilda resultat:!! 0!( - )!!0! 0 0 0! 0!0! Ex. På hur måga sätt a ma dra fem ort ur e valig ortle? 5 5 5! 5!47!

8 Kombiatori, forts. Exempel Sammafattig Hur måga olia urval av storle = 4 a vi dra frå = 0 persoer? Med återläggig Uta återläggig Ordad! (- )! Itressat sambad? e 0! 0!! Ej ordad - ( -)!!( )!! 3!!!( )!... 4! Uta återl. Med återl. Uta återl. Med återl. Ej ordad Ordad 0! 5040 (0-4)!

Relevanta dokument

F4 Matematikrep. Summatecken. Summatecken, forts. Summatecken, forts. Summatecknet. Potensräkning. Logaritmer. Kombinatorik

F4 Matematikrep. Summatecken. Summatecken, forts. Summatecken, forts. Summatecknet. Potensräkning. Logaritmer. Kombinatorik 0-0-5 F Matematrep Summateet Potesräg Logartmer Kombator Summatee Säg att v har ste tal,, Summa av dessa tal (alltså + + ) srvs ortfattat med hälp av summatee: summa då går fr.o.m. t.o.m. Summatee, forts.