Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n"

Transkript

1 Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A) Lite mägdlära Lite mägdlära, forts. Låt e 1, e, osv. betecka elemet Låt A, B betecka mägder av elemet Klamrar brukar avädas { } Ex. A = {1,} Om e i tillhör A skriver vi e i A Ex. 1 {1,} Om A är e delmägd av B skriver vi A B Ex. A = {1,} B = {1,,3,4,5,6} Strikt delmägd beteckas Delmägd beteckas Atag att Ω = {1,,3,4,5,6} och att A = {1,}, B = {,3,4} och C = {3} Komplemetet till e mägd är allt som ite igår i mägde och beteckas med Ā eller A Ex. Ā = {3,4,5,6} Uioe av mägder beteckas med Ex. A B = {1,,3,4} Sittet av mägder beteckas med Ex. A B = {} 1

2 Lite mägdlära, forts. Övig Tomma mägde är delmägde till Ω som ite iehåller ågra elemet alls. Beteckas med. Två mägder är disjukta (oföreliga) om sittet är tomt Ex. A = {1,} och C = {3} A B = Ett kort dras slumpmässigt ur e kortlek beståede av de valiga 5 korte. Deiiera hädelsera A = rött kort, B = kug C = spader (a) Vilka par av A, B och C är disjukta? (b) Tolka följade hädelser och rita Vediagram: i. Ā ii. A B iii. A C iv. A B v. A C vi. (A C) E axiomatisk teori E axiomatisk teori, forts. Kolmogorovs axiom: E saolikhet är e fuktio P som tilldelar varje möjlig hädelse A i ett utfallsrum Ω ett tal P (A), så att följade villkor är uppfyllda: A) 0 Ω) = 1 Om A 1, A,..., A k, är parvis disjukta hädelser i S, då är A 1 A... A k ) = A 1 ) + A ) A k ) Samtliga tre sysätt (defiitioer) på vad e saolikhet egetlige är, är föreliga med Kolmogorovs axiom. Kom ihåg att vi har e formell defiitio på vad e saolikhet är också Massor av ya påståede ka u härledas ur dessa tre axiom dvs. bevisas vara saa iom det geerella formella systemet

3 E axiomatisk teori, forts. F4 Matematikrep Ā) = 1 - A) ) = 0 Om A B så gäller A) A) Ω) = 1 A = A) + A Summatecket Potesräkig Logaritmer Kombiatorik Summatecke Summatecke, forts. Säg att vi har stycke tal x 1,, x Summa av dessa tal (alltså x x ) skrivs kortfattat med hjälp av summa-tecke: x i i1 summa x i då i går fr.o.m. 1 t.o.m. Vad betyder följade? i1 x i i1 x i i1 i1 i1 i1 c cx i ( x i y i ) x i y i 3

4 Summatecke, forts. Summatecke, forts. Ex. Atag att x 1 = 3, x = -, x 3 = 5, x 4 = 3 Beräka: 4 i1 x ; Medelvärde: Varias: i k1 x ; k j1 x j ; i1 1; i0 3x i x1 x... x xi x 1 i 1 i1 x x s i Övig: Utveckla (dvs. lista termera) i1 k jx i k jx i k 1 k jx i j1 Stadardavvikelse: s s a b = a a a a b ac = a (b+c) (a b ) c = a (bc) a b = 1 / a b a 0 = 1 Potesräkig b ggr E komboövig Beräka följade för = 0, 1,, 3 k 0 Svar: = 0; 0 = 1 = 1; = 1 + = 3 = ; = = 7 = 3; = 15 k a 1/b = b a k0 k 1 1 4

5 Logaritmer Atag att vi har följade: Vi vet a och c och söker b b = log a c a b = c Ex. 10 x = x = log = log10000 = lg10000 = 4 Obs! a,b > 0 och a 1 Det tal som vi upphöjer a till för att få c Några olika beteckigar för 10-logaritm Ex. e x = 80 x = l80 = 4, Naturliga logaritm Logaritmer, forts. e = base för de aturliga logaritme =, Räkeregler: l(x y) = lx + ly l(x/y) = lx ly l x k = k lx l 1 = 0 l e = 1 Obs! x, y > 0 e lx = x l(e x ) = x Logaritmer, forts. Logaritmer, forts. Ex. Bevisa första räkeregel: Vi defiierar a, b och c 1. e a = x a = l x. e b = y b = l y 3. e c = (x y) c = l(x y) el. defiitioe av logaritmfuktioe. Vi har alltså x y = e a e b = e a+b Eligt regel för poteser l(x y) = a + b = l x + l y Övigar: l 1 = l 3 + l 4 l 0,5 = l(1/4) = l1 l4 = l4 l 64 = l 6 = 6 l l(3/9) = l3 l9 = l 5 l3 = 5l l3 Eligt defiitioe för logaritmfuktioe Eligt defiitioe ova 5

6 Kombiatorik Att räka ut hur måga sätt ågot ka göras. Ex. Matsedel med tre förrätter, fyra huvudrätter och två efterrätter. På hur måga olika sätt ka e trerätters måltid kompoeras? Svar: Illustratio: Träddiagram Multiplikatiospricipe Ett experimet har m 1 möjliga utfall Ett aat efterföljade experimet har m möjliga utfall Vi gör först det ea seda det adra experimetet Totalt fis det m 1 m möjliga utfall. Exempel Påse med umrerade kulor 1,, Vi drar e kula slumpmässigt och oterar dess ummer Hur måga möjliga utfall? Exempel, forts Samma påse med kulor 1,, Vi har de totala hädelse (kula 1 s ummer, kula s ummer) Hur måga möjliga utfall? Vi drar e kula till slumpmässigt och oterar dess ummer Hur måga möjliga utfall? Uta återläggig: Med återläggig: 6

7 Exempel, forts Spelar ordige ågo roll? Dvs. skiljer vi t.ex. på (1,3) och (3,1) eller betraktar vi det som samma sak? Två fall som uppstår: Ordige spelar roll Ordige spelar ige roll Permutatioer Ett arragemag av olika objekt i e bestämd ordig kallas för e permutatio av objekte. Hur måga olika permutatioer ka ma bilda av olika objekt? Atalet olika permutatioer av olika objekt är:! = 1 3 (-1) -fakultet; (eg. factorial) Permutatioer Ex. På hur måga olika sätt ka vi permutera de tre objekte A, B, C? Svar: 3! = 1 3 = 6 olika sätt, ämlige ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. OBS! Vi defiierar 0! = 1 Dragig uta återläggig Vi drar e kula slumpmässigt och oterar dess ummer och lägger ite tillbaks de iför ästa dragig Vi ka bara få ett ummer e gåg Dragig med återläggig Vi drar e kula slumpmässigt och oterar dess ummer och lägger tillbaks de iför ästa dragig Vi ka dra samma ummer flera gåger i e sekves av dragigar 7

8 På hur måga sätt ka vi välja ut k objekt frå objekt (k ), ifall vi bryr oss om ordige? Och uta återläggig? Svar:! (- k)! Ex. = 5, k = 5! (5-)! Kombiatioer På hur måga sätt ka vi välja ut k objekt frå objekt (k ), ifall vi ite bryr oss om ordige? Uta återläggig? Svar:! k! (- k)! över k, biomialkoefficiet Obs! Vi defiierar k - k F5 Saolikheter Framförallt Nyquist Kap 5 Me först lite repetitio och lite mer kombiatorik Multiplikatiospricipe Ett experimet har m 1 möjliga utfall Ett aat efterföljade experimet har m möjliga utfall Vi gör först det ea seda det adra experimetet Totalt fis det m 1 m möjliga utfall. 8

9 Dragig uta återläggig Vi drar e kula slumpmässigt och oterar dess ummer och lägger ite tillbaks de iför ästa dragig Vi ka bara få ett ummer e gåg Dragig med återläggig Vi drar e kula slumpmässigt och oterar dess ummer och lägger tillbaks de iför ästa dragig Vi ka dra samma ummer flera gåger i e sekves av dragigar Ordad Vi drar ett atal kulor slumpmässigt och oterar deras ummer Ordige spelar roll, dvs. vi skiljer t.ex. på (1,,5), (1,5,), (,1,5), (,5,1), (5,1,) och (5,,1) Ej ordad Vi drar ett atal kulor slumpmässigt och oterar deras ummer Ordige spelar ige roll, utfalle ova betraktas som samma utfall Om vi har dragit k olika ummer av möjliga, hur måga sätt ka de ordas på? Permutatioer Ett arragemag av k olika objekt i e bestämd ordig kallas för e permutatio av objekte. Hur måga olika permutatioer ka ma bilda av k olika objekt? Atalet olika permutatioer av k olika objekt är: Ordat med återläggig Dra k stycke ur möjliga. 1:a kula möjligheter, :a kula möjligheter, osv. Multiplikatiospricipe ger... k k! = k (k-1) 3 1 k-fakultet; (eg. k factorial) 9

10 Ordat uta återläggig Dra k stycke ur möjliga. 1:a kula möjligheter, :a kula (-1) möjligheter, osv. Multiplikatiospricipe ger ( 1)... ( k ) ( k 1) k stycke faktorer... ( k 1) ( k)... 1 ( k)... 1! ( - k)! Atag att vi har = 5 objekt A, B, C, D, E och att vi slumpmässigt väljer k = 3. Vi ka få!/(-k)! = 5! / (5-3)! = 60 olika utfall om vi tar häsy till ordige. Av alla dessa 60 utfall, hur måga iehåller objekte A, B och C? Svar: Vi ka lista dem: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA; 6 utfall Eller ise att de k objekte ka ordas på k! = 3! = 6 sätt Ej ordat uta återläggig Dra k stycke ur möjliga. 1:a kula möjligheter, :a kula (-1) möjligheter, osv. Ger! ( - k)! Justera seda för att ordige ite spelar roll geom att dela med atal möjliga permutatioer av k objekt! k!( - k)! k Kombiatioer Välja ut k objekt frå objekt där k, och struta i ordige! k! (- k)! k - k över k, biomialkoefficiet Pascals triagel k:te koeffeiciete i (a+b) 10

11 Kombiatioer Sammafattig Några särskilda resultat:!! 1 0!( - )!!0! 0 0 0! 0!0! Med återläggig Uta återläggig Ordad! (- k)! Ej ordad k -1 ( k -1)! k k k!( 1)!! k k!( k)! Ex. På hur måga sätt ka ma dra fem kort ur e valig kortlek? 5 5 5! 5!47! Itressat sambad? 1 1 e k0 k! 0! 1 1! 1! 1 3! ! Exempel Saolikheter Hur måga olika urval ka vi dra frå Sveriges befolkig ( = ca 9 miljoer) av storlek k = 1000? Uta återl. Med återl. Uta återl. Med återl. Ej ordad siffror till siffror till Ordad ! ! 6950 siffror till siffror till Att beräka saolikheter Hädelser; A, B, C osv. Saolikhete för att A ska iträffa; A) Alla hädelser; 0 A) 1 Omöjlig hädelse; ) = 0 Säker hädelse; Ω) = 1 A och/eller B (uio); A A och B (sitt); A Ite A (komplemet); Ā) = 1 - A) 11

12 Additiossatse Saolikhete att A eller B eller både A och B iträffar. A = A) + A Exempel Dra ett kort ur e kortlek och låt A = Hjärter, B = Klätt, C = Spader Kug A) = 13/5 = 1/4 = 1/5 = 3/13 C) = 1/5 Specialfall om A och B disjukta dvs. A B = vilket ger A = A) + A = A) + ) = A) + Jmfr med Kolmogorovs axiom A = Klätt hjärter ) = 3/5 A = Hjärter och/eller Klätt ) = A) + A = 1/4 + 3/13 3/5 = (13+1-3)/5 = /5 = 11/6 A C) = hj och/eller spk ) = A) + A = (13+1)/5 Addera mera Betigade saolikheter Tre hädelser A, B och C A B C) = A) + + A A C) B C) + A B C) Rita ett Vediagram! Övig: A = Hjärter, B = Klätt, C = jämt (dam = 1, ess = 1). Beräka varje term i additiossatse ova! Saolikhete att A iträffar givet att B iträffar eller har iträffat. Exempel: Saolikhete att det blev 6 givet att det blev jämt? Saolikhete att det blev 6 givet att det blev udda? Saolikhete att det blev 6 givet att det ite blev 5? Vad är det som häder med utfallsrummet? 1

13 Betigig Betigig Geom att hädelse B har iträffat så ka vi säga att utfallsrummet Ω har påverkats. B har ite hät, dvs. vi ka stryka bort de dele av Ω. Saolikhete för A beräkas geom att titta på de del av A som sammafaller med B dvs. sittet och jämföra med B Dvs. istället för att titta på stlk(a) / stlk(ω) = A) tittar vi på stlk(a / stlk( = A A utläses saolikhete för A givet B och beräkas eligt (Klassiska tolkige) A A Betigig, forts. Vi ka äve uttrycka det som A = A Vi ka äve väda på betigige och se på saolikhete att B har iträffat givet A: eller A B A) A) A = B A) A) och därmed att A = B A) A) Exempel Iblad är faktiskt de betigade saolikhetera käda sarare ä sittet. T.ex. Ma har två modeller av e produkt i lager, 30 % av e gammal modell M 1 och 70 % av e yare M. Av M 1 brukar 8 % vara behäftade med fel (hädelse F) av de M brukar 3 % vara fel. Om ma tar e ehet på måfå ur lagret, vad är saolikhete att a) det är fel på de? b) det är M 1 givet att det är fel på de? 13

14 a) F) Exempel, forts. = F M 1 ) + F M ) = F M 1 ) M 1 ) + F M ) M ) = 0,08 0,3 + 0,03 0,7 = 0,045 dvs. 4,5 % Obs! M 1 = M Oberoede: Exempel Slumpmässigt urval av = ur e grupp av N = 10 objekt. Vi drar först e (experimet 1) och seda e till (experimet ) b) M 1 F) = F M 1 ) M 1 ) / F) = 0,08 0,7 / 0,045 = 0,53333 dvs. ca 53 % Är experimete oberoede? om det sker med återläggig om det sker uta återläggig Är detta vettiga svar? Oberoede: Exempel 1 Oberoede: Exempel 3 Vi fågar e fisk i e sjö. Vi oterar kö, mäter vikt och lägd, bedömer evetuella skador etc. Vi kastar seda tillbaks de. Vi upprepar detta k gåger. Är fågstera oberoede? Hur ka våra mätresultat och observatioer evetuellt påverkas om det fis ett beroede? Ex) Du är i Stockholm och e kompis i Las Vegas och i kastar samtidigt varsi rättvis tärig. Vi vet (atar) att X du = 6) = X kompis = 6) = 1/6 Vad är saolikhete att i båda får e sexa? Dvs. X du = 6 X kompis = 6) Vad är saolikhete att di kompis fick e sexa givet att du fick det? Dvs. X kompis = 6 X du = 6 ) 14

15 Oberoede Oberoede Två hädelser / experimet är oberoede om A = A) Och omvät om ma ka visa att de är oberoede så är A = A). Om A och B är oberoede så ises att följade gäller: A = A) Hur ser vi det sista? Jo, A A) A A) Om A och B är oberoede, så är de äve oberoede av varadras komplemet och komplemete är också oberoede av varadra. Dvs. varje par ( A, ; ( A, ; ( A, ; ( A, är också oberoede F6 Nyquist kap 6 Additiossatse Vad är e stokastisk variabel Diskreta och kotiuerliga sv Frekvesfuktio (diskr.) Täthetsfuktio (kot.) Fördeligsfuktio Me först lite repetitio Additiossatse Betigade saolikheter Oberoede Saolikhete att A eller B eller både A och B iträffar. A = A) + A Specialfall om A och B disjukta dvs. A B = vilket ger A = A) + A = A) + ) = A) + Jmfr med Kolmogorovs axiom 15

16 Exempel Betigig Vi vet vad A är, beräka A A) - A Additiossatse [1- A)] [1 ]-[1- A] Saolikheter för komplemet 1- A) 1-1 A 1- A) A) - A 1- A A Kräver lite takearbete Dvs. istället för att titta på stlk(a) / stlk(ω) = A) tittar vi på stlk(a / stlk( = A A utläses saolikhete för A givet B och beräkas eligt A A (Klassiska tolkige) Betigig, forts. Oberoede Vi ka äve uttrycka det som A = A Vi ka äve väda på betigige och se på saolikhete att B har iträffat givet A: eller A B A) A) A = B A) A) och därmed att A = B A) A) Två hädelser / experimet är oberoede om A = A) Och omvät, om de är oberoede gäller att A = A). Om A och B är oberoede så ises att följade gäller: A = A) 16

17 Exempel Övig Atag att vi har följade saolikheter: A) = 0,8; = 0,; A = 0,16 a) Beräka de betigade saolikhete för A givet B A 0,16 A 0,8 0, b) Är A och B oberoede? a) Beräka Ā Atag att vi har följade saolikheter: a) Beräka A E 1 ) b) Beräka A E 3 ) c) Är A och E 3 oberoede? d) Beräka E 1 Ā) e) Är E 1 och Ā oberoede? f) Beräka A) g) Beräka E 3 ) E 1 E E 3 A 0,1 0,48 0,19 Ā 0,07 0,06 0,08 Övig, forts. Stokastiska variabler 1 a) A E 1 ) = [avläst frå tabelle] = 0,1 b) A E 3 ) = A E 3 ) / E 3 ) = A E 3 ) / [A E 3 ) + Ā E 3 ) ] = 0,19 / (0,19 + 0,08) 0,704 c) A) = [A E 1 ) + A E ) + A E 3 )] = 0,1 + 0,48 + 0,19 = 0,79 0,704 (frå b) A och E 3 är beroede. d) E 1 Ā) = Ā E 1 ) / Ā) = Ā E 1 ) / [Ā E 1 )+Ā E 3 )+Ā E )] = 0,07 / (0,07 + 0,06 + 0,08) 0,333 e) E 1 ) = [aalogt med c] = 0,19 0,333 f) A) = [frå c] = 0,79 g) E 3 ) = [frå b] = 0,7 Utfall av ett experimet och som resulterar i e siffra hur mycket, hur läge osv. Variabler: ågot som varierar, typiskt ett tal Stokastiska variabler: ågot som varierar slumpmässigt Kallas äve slumpvariabel (s.v.) Beteckas typiskt med stor bokstav: X, Y, Z osv. 17

18 Stokastiska variabler Stokastiska variabler 3 Ett utfall eller hädelse beskrivs med de valda bokstave, t.ex. X =, X = 10, X = -0,5 X 3, X > 40, X 0,4 eller allmät X = x, X x, osv. X = x och likade beteckar alltså e hädelse/utfall. Seda vill vi veta X = x) för olika x Saolikhetsmodell Ett utfallsrum Ω Saolikheter A) för alla hädelser A Ω På motsvarade sätt ka vi formulera e modell är vi har e stokastisk variabel Utfallsrum Ω: x =.. Saolikheter A): X = x), X x), osv. Alla tillåta tal för x Exempel Exempel, forts. Vi kastar e tärig tre gåger och oterar hur måga ettor vi får. Betecka med A i att det blev e etta i kast r i = 1,, 3. Är kaste oberoede? Möjliga utfall (Ω): Ā 1, Ā, Ā 3 Ā 1, A, A 3 Ā 1, Ā, A 3 A 1, Ā, A 3 Ā 1, A, Ā 3 A 1, A, Ā 3 A 1, Ā, Ā 3 A 1, A, A 3 Möjliga utfall som de stokastiska variabel X ka ata: Ω x = {0,1,,3} el. x = 0,1,,3 Saolikhetera för alla A Ω x beräkas geom att summera alla utfall för de utfall som leder till A. a) Vad är saolikhete för X = 0? b) För X >? = X=3) c) För X? d) För X = 4? 18

19 Exempel, forts. Diskreta mägder a) X = 0) = Ā 1 Ā Ā 3 ) = = [ty oberoede] = = Ā 1 ) Ā ) Ā 3 ) = (5/6) 3 = = 15/16 0,579 b) X = 3) = A 1 A A 3 ) = = [ty oberoede] = = A 1 ) A ) A 3 ) = (1/6) 3 = = 1/16 0,00463 c) X ) = X=) + X=3) = 16/16 d) X = 4) = 0, ty 4 Ω x Diskreta mägder ka ses som e lista av värde. Består av estaka värde, oftast heltal. T.ex. {0, 1,, 3} {0, ±1, ±, ±3} {1, 1,, 3, 5} Äve oädliga diskreta mägder ka förekomma. T.ex. {0, 1,, 3, } {0, ±1, ±, ±3, } {1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, } Kotiuerliga mägder Frekvesfuktioe 1 Kotiuerliga mägder ka typiskt beskrivas med itervall. Består av samtliga värde iom ett väldefiierat område. [0,1] (0,5) (10,15) Sluta itervall [..., ] ikluderar ädpuktera Öppa itervall (, ) exkluderar ädpuktera Om Ω x för e s.v. X är diskret, kallas X e diskret s.v. Frekvesfuktioe för e diskret s.v. defiieras som saolikhete att X blir x och beteckas ofta med f(x) f(x) = X = x) (1,] Itervallgräsera ka vara oädliga (då ages gräse som öppet). T.ex. [0, ), (-, ) Exempel: Ω x = {0,1} och 0,6 f( x) 0 x (0,4) 1x x 0,1 aars 19

20 Frekvesfuktioe Exempel Frekvesfuktioe tillsammas med e tydlig beskrivig av utfallsrummet sammafattar allt vi behöver veta om X. Frekvesfuktioe kallas äve saolikhetsfuktioe ty de ger oss just saolikhetera för samtliga x som ligger i Ω x Eg. frequecy or probability mass fuctio. Atag följade frekvesfuktio: x f(x) F(x) 0 0,5787 0, ,347 0,959 0, , , Rita f(x) i ett lämpligt diagram! Vad är F(x) för ågot? Frekvesfuktioe illustreras ofta i stolpdiagram där höjde på varje stolpe är lika med saolikhete för motsvarade värde på x. Om vi summerar f(x) för alla värde på x Ω x, vad blir summa? Täthetsfuktioe 1 Täthetsfuktioe Om Ω x för e s.v. X är kotiuerlig, kallas X e kotiuerlig s.v. Täthetsfuktioe för e kotiuerlig s.v. defiieras ite som saolikhete att X blir x. Beteckas också ofta med f(x). Täthetsfuktioe är e beskrivig av hur saolikt det är att X hamar i ett delitervall till Ω x För att beräka e saolikhet att X ska ligga i itervallet mella säg a och b, beräkas area uder f(x) och över x- axel och mella a och b. Detta ka skrivas som e itegral: a X b) = Vi ka läma ea sida odefiierad också och skriver b a f ( x) dx (Se Figur 6., sid 7 Kap 6 i Nyquist) X c) = c f ( x) dx Notera gräse. Vad betyder det? 0

21 Täthetsfuktioe 3 Fördeligsfuktioe Vi defiierar e täthetsfuktio för e kotiuerlig s.v. i stil med ågofuktio x Ωx f( x) 0 aars Det fis vissa krav på hur fuktioe får se ut: f(x) ska vara kotiuerlig (betyder?) f(x) > 0 för alla x Ω x och = 0 aars Area uder f(x) mella ± ska vara =? För både diskreta och kotiuerliga s.v. defiieras fördeligsfuktioe eligt F(x) = X x) Diskreta fallet: Kotiuerliga fallet: F ( x) f( k) k x F ( x) f( t) dt x 1

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg

Läs mer

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ) Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik MSTA3, Saolikhetsteori A, 5 p 5--7 Tetame i matematisk statistik Saolikhetsteori A, 5 poäg Skrivtid: 9.-5.. Tillåta hjälpmedel: Tabellsamlig, ege miiräkare. Studetera får behålla tetamesuppgiftera. På

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner. Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele

Läs mer

Skattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas?

Skattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas? Skattig / Iferes Saolikhet och statistik Puktskattig Försöket att beskriva e hel populatio pga ågra få mätvärde! Oberservatio = Populatio HT 2008 UweMezel@mathuuse http://wwwmathuuse/ uwe/ Populatio har

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd

Läs mer

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK Versio 9 december 4 Fel i lösigara mottages tacksamt till mattsso@math.kth.se. Notera att lösigara på vissa ställe utyttjar adra,

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np.

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601 Valiga fördeligar Fördelig Vätevärde Varias Biomialfördelig, Bi (, p ) P (X = x) = ( x) p x (1 p)

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive

Läs mer

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Formelblad Sannolikhetsteori 1 Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010 Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att

Läs mer

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter

Läs mer

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I Föreläsig 5 732G04 Surveymetodik 732G19 Utredigskuskap I Dages föreläsig Klusterurval Estegs klusterurval Tvåstegs klusterurval Klusterurval med PPS 2 Klusterurval De urvalsdesiger som diskuterats hittills

Läs mer

Bertrands postulat. Kjell Elfström

Bertrands postulat. Kjell Elfström F r å g a L u d o m m a t e m a t i k Matematikcetrum Matematik NF Bertrads ostulat Kjell Elfström Bertrads ostulat är satse, som säger, att om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2.

Läs mer

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten Statistik Språkligt och historiskt betyder statistik ugefär sifferkuskap om state E Statistisk udersökig består av fyra delar: Plaerig Dataisamlig Bearbetig Beskrivade statistik (kap 1) Statistisk aalys

Läs mer

Inledande kombinatorik LCB 2001

Inledande kombinatorik LCB 2001 Iledade kombiatorik LCB 2001 Ersätter Grimaldi 1.1 1.4, 3.1 (delvis) 1 Additios- och multiplikatiospricipera Kombiatorik hadlar om koste att räka atalet av saker och tig. Hur måga gåger geomlöpes e viss

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad

Läs mer

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}: CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen Statistikens grunder 1 2013 HT, dagtid Statistiska institutionen Orsak och verkan N Kap 2 forts. Annat ord: kausalitet Något av det viktigaste för varje vetenskap. Varför? Orsakssamband ger oss möjlighet

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x) Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Statistisk försöksplaerig Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Skriftlig tetame 3,0 hp 51SF01 DTEIN14h 4,5 högskolepoäg TetamesKod: Tetamesdatum: 5 ovember 015 Tid: 9.00-13.00 Hjälpmedel: Miiräkare Totalt

Läs mer

Datastrukturer och algoritmer

Datastrukturer och algoritmer Iehåll Föreläsig 6 Asymtotisk aalys usammafattig experimetell aalys uasymtotisk aalys Lite matte Aalysera pseudokode O-otatio ostrikt o Okulärbesiktig 2 Mäta tidsåtgåge uhur ska vi mäta tidsåtgåge? Experimetell

Läs mer

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann 73G70 Statistik A Föreläsigsuderlag skapad av Karl Wahli Föreläsigsslides uppdaterade av Bertil Wegma Istitutioe för dataveteskap (IDA) Liköpigs uiversitet vt 06 Kapitel Populatioer, stickprov och variabler

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23 1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst

Läs mer

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter? Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt

Läs mer

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P( Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett

Läs mer

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider... Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................

Läs mer

Matematisk statistik - Slumpens matematik

Matematisk statistik - Slumpens matematik Matematisk Statistik Matematisk statistik är slumpens matematik. Började som en beskrivning av spel, chansen att få olika utfall. Brevväxling mellan Fermat och Pascal 1654. Modern matematisk statistik

Läs mer

Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 1: Matematik 7.5 hp

Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 1: Matematik 7.5 hp Tetame i Tillämpa Matematik och statistik för IT-foresik. Del 1: Matematik 7.5 hp 2015 kl. 9.00 13.00 Maxpoäg: 30p. Betygsgräser: 12p: betyg 3, 18p: betyg 4, 24p: betyg 5. Hjälpmeel: Typgokä miiräkare

Läs mer

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling Systemplaeri VT Föreläsi F6: Mote Carlo Iehåll:. Repetitio av ekel sampli 2. Sampli av elmarkader 3. Multi-areamodelle 4. Räka exempel Repetitio: Ekel sampli Mål: Få fram E[X] Defiitio av E[X]: EX [ ]

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik Matematik tatitik KTH Formelamlig i matematik tatitik Vårtermie 07 Kombiatorik! = k k! ( k)!. Tolkig: mägd med elemet. = atalet delmägder av torlek k ur e k Stokatika variabler V (X) = E X (E (X)) C (X;

Läs mer

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter.

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter. 1(10) Svar lämat av (kommu, ladstig, orgaisatio etc.): Remiss Remissvar lämas i kolume Tillstyrkes term och Tillstyrkes (iitio) och evetuella sypukter skrivs i kolume Sypukter. Begreppe redovisas i Socialstyrelses

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning...

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning... Iehåll Grafräkare och diskret matematik...1 Vad hadlar diskret matematik om?...1 Permutatioer och kombiatioer...3 Något om heltalsräkig...4 Modulusoperator...4 Faktoriserig i primfaktorer...5 Talföljder...7

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

Artificiell intelligens Probabilistisk logik

Artificiell intelligens Probabilistisk logik Probabilistiska resoemag Artificiell itelliges Probabilistisk logik Are Jösso HCS/IDA Osäkerhet Grudläggade saolikhetslära Stokastiska variabler Bayes teorem Bayesiaska ätverk Kostruktio Iferes Osäkerhet

Läs mer

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3150 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 29 maj 2007 Lösig till tetame för kurse Log-lijära statistiska modeller 29 maj 2007 Uppgift 1 a Modelle uta ågra

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 JOHAN ASPLUND Iehåll Egevärde, egevektorer och egerum 2 Diagoaliserig 3 Uppgifter 2 5:4-5a) 2 Extrauppgift frå dugga 2 52:8 4 52:3 4 Extrauppgift frå teta 4 Egevärde, egevektorer

Läs mer

Universitetet: ER-diagram e-namn

Universitetet: ER-diagram e-namn Databaser Desig och programmerig Fortsättig på relatiosmodelle: Normaliserig fuktioella beroede ormalformer iformatiosbevarade relatiosschemauppdelig Varför ormalisera? Metod att skydda oss frå dum desig

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160331, kl. 08.00 12.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

TMS136. Föreläsning 1

TMS136. Föreläsning 1 TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill vi modellera och kvantifiera de risker som finns

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

Kolmogorovs Axiomsystem Kolmogorovs Axiomsystem Varje händelse A tilldelas ett tal : slh att A inträar Sannolikheten måste uppfylla vissa krav: Kolmog

Kolmogorovs Axiomsystem Kolmogorovs Axiomsystem Varje händelse A tilldelas ett tal : slh att A inträar Sannolikheten måste uppfylla vissa krav: Kolmog Slumpvariabel (Stokastisk variabel) Resultat av ett slumpförsök - utgången kann inte kontrolleras Sannolikhet och statistik Sannolikhetsteorins grunder VT 2009 Resultatet kan inte förutspås, men vi vet

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Tetame TT091A KMASK14H 7,5 högskolepoäg Nam: (Ifylles av studet) Persoummer: (Ifylles av studet) Tetamesdatum: 2 jui 2015 Tid: 9:00-13:00 Hjälpmedel:

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig,

Läs mer

Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Sannolikhet och statistik. Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Utfall, Utfallsrummet, Händelse

Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Sannolikhet och statistik. Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Utfall, Utfallsrummet, Händelse Utfall, Utfallsrummet, Händelse Sannolikhet och statistik Sannolikhetsteorins grunder HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Denition 2.1 Resultatet av ett slumpmässigt försök kallas

Läs mer

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()

Läs mer

Matematisk statistik

Matematisk statistik Tetame TEN, HF, 8 aug Kursod: HF Srivtid: 8:-: Lärare och examiator: Armi Halilovic Matematis statisti Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statisti ") och miiräare av vile typ som

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer?

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer? Datastrukturer och algoritmer Föreläsig 2 Aalys av Algoritmer Aalys av algoritmer Vad ka aalyseras? - Exekverigstid - Miesåtgåg - Implemetatioskomplexitet - Förstålighet - Korrekthet - - 29 30 Varför aalysera

Läs mer

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder;

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder; MKB till detaljpla Förbifart Stockholm Hälsoeffekter av tuelluft Studier idikerar att oöskade korttidseffekter, blad aat ökat atal iflammatiosmarkörer, börjar uppstå vid e expoerig som motsvaras av tuelluft

Läs mer

MARKNADSPLAN Kungälvs kommun 2010-2014

MARKNADSPLAN Kungälvs kommun 2010-2014 MARKNADSPLAN Kugälvs kommu 2010-2014 Fastställd av KF 2010-06-17 1 Iehåll Varför e markadspla? 3 Mål och syfte 4 Markadsförutsättigar 5 Processer, styrig och orgaisatio 6 Politisk styrig 7 Politisk styrig,

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II Stickprov MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig del II G Gripeberg Aalto-uiversitetet 4 februari 04 Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G Gripeberg

Läs mer

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta. KOD: Kurskod: PC106/PC145 Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 4/5 014 Hel- och halvfart VT14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare: Niklas Frasso

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Liöpigs uiversitet Matematisa istitutioe Matemati och tillämpad matemati Kursod: TATA4 Provod: TEN Iga hjälpmedel är tillåta. Tetame i Evariabelaalys 4-4-3 l 4 9 Lösigara sall vara fullstädiga, välmotiverade,

Läs mer

Visst kan man faktorisera x 4 + 1

Visst kan man faktorisera x 4 + 1 Visst ka ma faktorisera + 1 Per-Eskil Persso Faktoriserig av polyomuttryck har alltid utgjort e svår del av algebra. Reda i slutet av grudskola möter elever i regel dea omvädig till multiplikatio med hjälp

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer