Tentamen i Envariabelanalys 1

Transkript

1 Liöpigs uiversitet Matematisa istitutioe Matemati och tillämpad matemati Kursod: TATA4 Provod: TEN Iga hjälpmedel är tillåta. Tetame i Evariabelaalys l 4 9 Lösigara sall vara fullstädiga, välmotiverade, ordetligt sriva och avslutade med ett svar. Svare sa förstås ges på så eel form som möjligt. Varje uppgift a ge högst 3 poäg. Uppgift räas som godäd om de bedömts med mist poäg. För betyg räcer 4( poäg och godäda uppgifter ( = 3, 4, 5.. Hur måga olia lösigar har evatioe l ( + x x = 4?. Beräa (a π/ cos 3 x dx 3. Udersö gräsvärdea si 5x (a lim (b x e x 4. Beräa e lim x (b 4x(l x x dx 4 arcta x dx ( x + x x + x (c x dx. (c lim x ( 3x /x. 5. E axelparallell retagel har sia hör på ellipse x a + y = (där a >, b >. b Vad är de största area e såda retagel a ha? 6. (a Defiiera vad som meas med att f är strägt växade på itervallet I. (b Visa att om g (x > på det öppa itervallet I så är g strägt växade på I. (c Atag att futioe h har egesape att h(x + > h(x för alla x. Måste h vara strägt växade? Ge bevis eller motexempel. 7. Beräa lim e /.

2 Lösigssisser för TATA Sätt f(x = l( + x + 5 +x för x R. Vi söer atalet lösigar till evatioe f(x = 4. Notera att f är e jäm futio, samt att f(x då x ±. Derivata är f (x = vilet ger följade tecetabell: x + x 5 x x(x + (x ( + x = ( + x, x x x + + x + ( + x f (x + + f(x lo. mi. lo. max. lo. mi. Futioe har alltså loalt maximum f( = 5 > 4 och loalt miimum f(± = + l 5 < 4 (eftersom e < 5 < e så är ju < l 5 <. Nu a vi rita grafe y = f(x och avläsa att de sär lije y = 4 fyra gåger: y f(x 5 y = 4 f(x + l 5 y = f(x x Svar: Evatioe har fyra lösigar.

3 . (a Variabelbytet t = si x ger π/ cos 3 x dx = π/ ( si x cos x dx = ( t dt = [ ] t t3 3 = 3. (b Variabelbytet t = x, följt av partiell itegratio, ger 4 arcta x dx = t arcta t dt = [t arcta t] t +t dt = 4 arcta ( +t dt = 4 arcta [t arcta t] = 5 arcta. (c Ia ma försöer beräa primitiv futio måste ma göra sig av med beloppstece, med hjälp av falluppdelig eller på aat sätt. Elast är ase att utyttja symmetri: x dx = = x dx = [x ] = 4 (itegrade x är e jäm futio x dx ( x = x i itegratiositervallet x (Ma a äve lätt se svaret geometrist; area uder grafe utgörs ju helt eelt av två triaglar. Svar: (a 3 (b 5 arcta (c (a si 5x e x = 5 si 5x 5x då x, eligt stadardgräsvärde. x e x 5 = 5 (b Variabelbytet x = t ger x + x x + x = t t t t = (t t (t t t t+ = [ för t > ] = t t då x. t + t (c ( 3x /x = [ a b = e b l a] = exp x, eligt ett stadardgräsvärde. ( 3 + = l( 3x 3x då t, dvs. exp ( 3 då Svar: (a 5 (b (c e 3/. 4. Variabelbytet t = l x (med dt = dx x, t = då x = e, samt t då x ger dx e 4(l x x = dt ( 4t = t dt t + [ ( ] ω l t l t + = lim ω [ ] = lim ω 4 l t ω t + = ( ( 4 lim ω l ω + l 3 ω Svar: l 3 4. = 4 (l l 3 = l 3. 4

4 5. Koordiatera för det retagelhör som ligger i första vadrate a srivas (x, y = (a cos ϕ, b si ϕ, där ϕ π. Då blir retagels area A(ϕ = 4 a cos ϕ b si ϕ = ab si ϕ, vilet uppebart som mest blir ab (då ϕ = π 4. Svar: ab. (Alterativ metod: Sriv hörets oordiater som (x, b a x a och gör e valig futiosudersöig av area A(x = 4 x b a x a för x a; största värdet fås då x = a/. 6. (a f sägs vara strägt växade på itervallet I ifall olihete f(x < f(x gäller för alla par av puter (x, x sådaa att x < x och x, x I. (b Låt x och x vara två godtycliga puter i I med x < x. Eftersom g är deriverbar på I så är g förstås deriverbar på delitervallet ]x, x [, samt otiuerlig i putera x och x. Därmed är förutsättigara uppfyllda för att vi sa ua tillämpa medelvärdessatse för derivator på itervallet [x, x ]; eligt dea sats fis det e put ξ ]x, x [ såda att g (ξ = g(x g(x. Eligt förutsättig är g (x > för x x alla x I, alltså gäller i syerhet att g (ξ >, vilet medför att g(x g(x = g (ξ (x x >, }{{}}{{} > > dvs. g(x > g(x, vilet sulle visas. (c Nej, h måste ite vara strägt växade. E futio med egesape h(x + = h(x + för alla x (och därmed h(x + > h(x för alla x a ostrueras geom att ma defiierar h(x helt godtycligt (t.ex. avtagade för x < och seda sätter h( + x = + h(x för Z och x <. Ett eelt oret exempel är h(x = x + si πx, som uppfyller h(x + = h(x + > h(x, me ite är strägt växade på R, vilet ma ser på att derivata h (x = + π cos πx är egativ i vissa itervall (de oscillerar ju mella π < och + π >. y y = h(x = x + si πx h(a + > h(a för alla a a a + x

5 7. Fixera ett godtycligt heltal och låt f(x = x e x/. Frå f (x = ( x e x/ ser ma att f är växade på [, ] och avtagade på [, [, så och f(x dx f( f(x dx f( Ledvis additio av olihetera ger f(x dx f( =+ f( f(x dx + f( f( f(x dx. f(x dx + f(. Om vi beräar x e x/ dx = [ (x + e x/ ] = ( 3e och dividerar alla lede med har vi alltså visat att följade olihet gäller för varje : dvs. ( 3e e 3e e e / ( 3e + e, e / 3e + e. Låt u. Båda ytterlede går då mot 3e, så eligt istägigsregel gör ocså summa i mitte det. Svar: lim e / = 3e. (Om ma äer till Riemasummor (överurs a ma istället argumetera på följade mycet elare sätt: eftersom summa e / = g(x (x x är e Riemasumma för g(x = xe x på itervallet [, ] med ideligsputera x =, så overgerar de mot itegrale g(x dx = [ (x + e x ] = 3e då.