Analys av polynomfunktioner

Transkript

1 Aals av polomfutioer Aals36 (Grudurs) Istuderigsuppgifter Dessa övigar är det tät du sa göra i aslutig till att du läser huvudtete. De flesta av övigara har, om ite lösigar, så i varje fall avisigar till hur uppgifte a lösas. Ha doc ite för bråttom att titta på lösigara det är ite så ma lär sig. Du måste först oga fudera ut vad det du ite förstår. Glöm ite att hela tide refletera rig vad du lär dig. Saer som är svåra att förstå räver iblad att ma täer uder e lägre period. Iblad måste ma bara lära sig hur ma gör, för att förstå lite seare (är hjära fått mer att arbeta med). Grafe av e futio Se till att du vet vad sillade mella e futio och grafe av e futio är. När du sisserar grafer sa du ite beräa futioes värde i e tabell puter, uta i väl valda puter. Ritadet bgger istället på förståelse av hur futioe ser ut. Övig 1 Rita grafera av följade tre futioer f 1 () = { { + då 1 + då > 1, f + då 1 () = då > 1, f 3 () = { + då då > 1, Vila av futioera är otiuerliga? När du vet vad deriverbar betder, avgör vila som är deriverbara ocså. Övig Sätt f () = Låt = g() vara e evatio för de räta lije som går geom putera ( 1, f ( 1)) och (1, f (1)). Age ett uttrc för g() och rita seda grafe för f och grafe för g i samma figur. För vila är f () < g()? Iterpolerade polom Följ upp eemplet i tete med att göra följade övig. Övig 3 Rita grafe för polomet p() = och marera putera som bestämde polomet som ett iterpolerade polom. För övrigt bör ma ite lägga ågo diret eergi på detta avsitt. Derivator och tageter Defiitioe av derivata är vitig. Försära dig om att du förstår de geom att göra följade övig. Övig 4 Härled derivata av futioe f () = i pute =. Vad är A()? Härled därefter derivata i pute = 3. Jämför de två votfutioera, är de samma? Gör seda detsamma med futioe g() = 3. Att förstå vad derivata betder är lia vitigt (och opplat till dess defiitio, förstås). Följade övig är e illustratio. Övig 5 Till data för e lågsamt väade baterieultur apassades de empirisa futioe Derivata av ett polom är ett polom och a deriveras vidare. Övig 6 Beräa alla derivator av polomet p() = Övig 7 Bestäm e evatio för tagete till urva = 5 i putera (3, 45), (, ) och (, ). Rita e figur som visar urva och dessa tageter. Övig 8 Bestäm evatioer för tagete och ormale till urva = 4 + i de put på urva som har -oordiat. Övig 9 Beräa derivata av följade polom a) 3 ( + 1) 3 b) ( + 1) ( + ) geom att aväda produtregel för derivatio. Övig 1 Geomför ett idutiosbevis för att ( ) = 1 då är ett positivt heltal. Vila derivatiosregler måste du aväda? Vad a vi aväda derivata till? Övig 11 Rita på fri had grafe till e futio som har precis ett loalt maimum och ett loalt miimum, me har tre statioära puter. Övig 1 Udersö vila impliatioer/evivaleser som gäller mella följade fra uttalade om e futio f. Futioe atas deriverbar i. A : är e statioär put för f B : f har loalt maimum i C : f har loalt etremvärde i D : f ( ) =. Medelvärdessatse är e av aalses vitigaste satser och illustreras i följade övig. Övig 13 I ett metabolt eperimet gäller att mägde M(t) av gluos avtar med tide på ett sätt som väl a approimeras med futioe M(t) = 4.5.3t, där t mäts i timmar. a) Bestäm reatioshastighete då t = och då t =, samt de geomsittliga reatioshastighete uder itervallet [, ]. b) Bestäm ett ξ ], [ sådat att M (ξ) är lia med dea geomsittliga reatioshastighet. c) Rita e figur som illustrerar detta. Övig 14 Bestäm ξ i itervallet [a, b] så att f (b) f (a) = f (ξ)(b a) då f () = och a = 1, b =. Övig 15 Studera Sats 5 och dess bevis. Hur måga påståede fis där? Försära dig om att du a bevisa alla dessa påståede "i söme". Detsamma gäller Sats 6: a du på ståede fot sriva upp beviset? Övig 16 Bestäm största och mista värde till futioe f i itervallet I om N(t) = N + 5t + t (t mäts i timmar), a) f () = +, I = [, 1], b) f () = 6 3, I = [, ]. där N(t) är atalet baterier per mm vid tide t. Bestäm tillväthastighete efter 5 timmar. Övig 17 Bestäm alla statioära puter och alla loala etremputer till futioe f () = 3 3.

2 Att sissera grafer När ma sisserar grafer igår det i uppgifte att idetifiera över vilet itervall ma sa sissera de. Ma a ju aldrig sissera hela grafe om defiitiosmägde är t.e. alla reella tal. Grafe sa t.e. iehålla alla statioära puter. Övig 18 Sissera grafe till polomet I ästa övig sa du förutom sissera urva ocså aväda grafe till att visa e olihet. Övig 19 Sissera urva = och aväd resultetet till att motivera varför för alla Om adraderivatas avädig Avsittet börjar med att disutera hur ma a aväda adraderivata för att avgöra om e statioär put är e loal etremput eller ite. Talorpolom Övig 6 Sriv upp Talorutveclige av ordig rut = 1 för f () = Rita seda i samma figur ut urvora = f () och = p () för =, 1,. Besriv i ord vad det är som arateriserar de tre sista urvora. Övig 7 Atag att futioe f är såda att f () = B() där B är ågo futio som är begräsad i e omgivig av. Bestäm derivatora f () och f (4) (). I huvudtete visas L Hospitals regel i forme att om f (a) = g(a) = me g (a) =, så gäller att f () lim a g() = f (a) g (a). Aväd u Talorpolom till att visa följade variat på detta. Övig 8 Atag att f och g är sådaa att f (a) = f (a) = g(a) = g (a) = me g (a) =. Visa att då gäller att f () lim a g() = f (a) g (a). Övig Förlara, uta att tjuvtitta i tete, varför det gäller om a är e statioär put till f att a) f (a) < f har ett loalt maimum, b) f (a) = vi a ite dra ågra slutsatser om huruvida a är e loal etremput eller ite. Rita gära förlarade figurer. Notera att vi atar att adraderivata är otiuerlig! Biomialteoremet är vitigt. Beata dig med det med hjälp av Övig 1 Sriv som polom i : a) (1 + ) 3 b) (3 ) 3 c) (1 + ) 4 Övig Vad är oefficiete framför 13 i polomet ( + 1) 15? Övig 3 Biomialteoremet är formel (a + b) = me i tete är det formel = (1 + ) = ( ) a b, = ( ) som bevisas. Hur får ma de förra ur de seare? Utför detaljera. Övig 4 Om det gäller att f (a) = f (a) =, f (a) =, vad a vi då säga om de statioära pute a till f? Övig 5 Sriv polomet f () = som ett polom rig = 1

3 Svar och avisigar Övig 1 Alla grafera iehåller parabel = + = ( + 1) 1 och de övriga delara är räta lijer. Dessa är ritade i figure eda Vi ser att f 1 ite är otiuerlig i = 1, meda både f och f 3 är det. Dessutom är f 3 deriverbar i = 1. Övig g() = +. De blå urva i figure eda är adragradspolomets graf. f 1 f f 3 = ( )( + + 4) ( ) = ( + + )( ). Här har vi avät formel för de geometrisa summa! Vi ser att A() = + + och eftersom A() = 1 ser vi att f () = 1. Det sista fallet lämas till läsare. Vi ser att votfutioe A() ä i föregåede fall. Övig 5 Tillväthastighete efter t timmar ges av N (t) = 5 + 4t, så svaret är N (5) = 7 baterier per mm och timme. Övig 6 p () = , p () = , p () = , p (4) () = 4, p () () =, 5. Övig 7 Ritigsoefficiete för taget i de put vars - oordiat är a ges av derivata av 5 i pute a, alltså 1a. Eputsformel för de räta lije ger oss därför evatioera (3,45) 45 = 3( 3) = 3 45 (-,) = ( + ) = 6 (,) = ( ) = Två av dessa är utritade i figure. De tredje är -ael Här gäller att f () < g() då de blå urva är uder de röda, d.v.s. då 1 < < 1. Ädputera igår ite, eftersom där är f () = g(). Övig 3 Putera är marerade med röda rss X X Övig 4 Med f () och a = har vi att f () f () = = ( + )( ) eligt ojugatregel. Det betder att A() = +, som uppebarlige är otiuerlig då =. Eftersom A() = 4 gäller att f () = 4. Om vi i stället tar a = 3 får vi f () f (3) = 3 = ( + 3)( 3), så A() = + 3, som är e aa futio ä de för a =. Dess värde då = 3 är 6, så vi har att f (3) = 6. Om vi u bter futio till f () = 3 och tar a = får vi f () f () = 3 ( 3 4) = 3 3 ( ) X När du ritade tagetera, ritade du ordetligt ut de räta lije frå dess evatio, eller ritade du på fri had så de såg ut att tagera urva? Det är det seare som stämmer mest med vad det iebär att sissera urvor. Övig 8 Ritigsoefficiete för tagete i de put som har -oordiat a ges av 4a 3, så eputsformel för de räta lijes evatio ger att tagete har evatioe ( 4 + ) = 4 3 ( ) = Om tagete i e put har ritigsoefficiet, så är ritigsoefficiete för ormale lia med 1/, så eputsformel ger följade evatio för ormale: 18 = 1 ( ) = Övig 9 Aväd betecige D f () för derivata f (). Då får vi a) D( 3 ( + 1) 3 ) = D( 3 )( + 1) D(( + 1) 3 ) = 3 ( + 1) ( + 1) = 3 ( + 1) ( ) = ( + 1) ( + 1) Lägg märe till hur vi håller resultatet fatoriserat. Det är ofta, me ite alltid, mcet bättre att göra det ä att utvecla resultatet. b) D(( + 1) ( + ) ) = ( + 1)( + ) + ( + 1) ( + ) = ( + 1)( + )( + 3). Som ämdes i tete är produtregel ite lia vitig för polom som allmät, me det är lia bra att lära sig aväda de så sabbt som möjligt!

4 Amärig Är det självlart att derivata av g() = f ( + c) i pute a ges av g (a) = f (a + c)? Om ite går det lätt att bevisa utifrå defiitioe. Övig 1 Att derivata av är 1, d.v.s. påståedet för = 1, följer av att a = 1 ( a). Atag u att formel gäller för =. Vi sa då visa att de gäller för = + 1. Me ( +1 ) = ( ) = 1 + ( ) = + ( 1 ) = ( + 1) 5 5 vilet visar att satse är sa för = + 1. Eligt idutiosaiomet är de då sa för alla. Övig 11 Du måste rita i e terrassput ågostas. Övig 1 Vi har att B A, lisom att C A eftersom e statioär put a vara (me behöver ite vara) e loal etremput. Vidare är det lart att A D, det är bara två sätt att uttrca samma sa. På samma sätt är B C eftersom ett maimum är ett etremvärde, och det gäller att B D, lisom att C D eftersom vi sett att A D. Övig 13 a) Reatioshasatighete vid tide t ges av M (t) =.6t, vilet betder att reatioshastighete då t = är oll och då t = är lia med M () =.1. De geomsittliga reatioshastighete uder tidsitervallet [, ] ges av M() M() =.1 =.6. b) Vi sa lösa evatioe M (ξ) =.6, alltså.6t =.6, vile uppebarlige har lösige ξ = 1. c) Figure är eda: Tagerigspute har oordiate ξ = 1. Tagete har samma ritigsoefficiet som de brua oorda, vile var de vi räade ut i a). Övig 14 Vi sa hitta ξ sådat att f () f ( 1) = f (ξ)( ( 1)) 14 ( 4) = (3ξ + 3)3 3ξ = 6 3 = 3 ξ = ±1. Det fis alltså två ställe där tagete är parallell med orda mella ( 1, 4) och (, 14). Övig 15 Satse iehåller fra påståede: a) f > f är strägt väade Här är derivata = i itervallet ( 1, 1). Övig 16 För a)-dele är det lättat att vadratomplettera uttrcet och rita upp futioe ifrå det: f () = ( + 1) Frå figure ser vi att det mista värdet är 1 och atas då = 1, meda det största värdet är 3 och atas då = 1. För att hitta dessa uta att rita figur behöver vi göra två saer: (1) bestäm de statioära putera som ligger i itervallet (här = 1 och beräa motsvarade futiosvärde (här 1) och () Beräa futioes värde i ädputera: f ( ) = och f (1) = 3. Seda väljer vi ut det största och det mista av dessa värde. För att lösa (b) gör vi på det sättet. Vi börjar med att bestämma de statioära putera: f () = 6 3 = 3( )( + ) =. Av dessa tre statioära puter, ± är det edast som ligger i itervallet (, ). Det är därför edast dess värde vi behöver räa ut. Det är 4. Pute = ligger ite i itervallet, uta i e ädput. Dess värde sa därför räas ut i det adra steget, som är att bestämma värdea av futioe i itervallets ädputer. I detta fall f () = och f () = 1 8 = 4. Av dessa tre värde är 4 störst, och alltså futioes största värde, meda är mist, och alltså futioes mista värde. Vi behöver de ite, me här är e graf över futioe 6 4 b) f f är väade c) f < f är strägt avtagade d) f f är avtagade Tä oga igeom att du vet vad sillade mella strägt väade (avtagade) och väade (avtagade) är. Rita e futio som är väade me ite strägt väade. E såda a se ut som i figure eda: Övig 17 De statioära puter bestämmer vi geom att lösa f () = 3 3 = 3( 1)( + 1) =, dvs = ±1. För att avgöra vile tp de har måste vi göra e tecetabell som i sig utttjar Sats 5 i tete:

5 : 1 1 f (): f () - Vi ser att = 1 är ett loalt maimum och = 1 ett loalt miimum. 3 Övig 18 Kalla polomtet f (). Eftersom 1 f () = = 1( ) = 1( + 1)( + 3) ser vi att vi har tre statioära puter, =, = 1 och = 3. Vi får u följade tecetabell Övig : 3 f (): + + f (): 7 5 Frå tecetabelle ser vi att = 3 och = är loala miima, meda = 1 ett loalt maimum. Vidare har vi att f () är ±, så vi har följade graf: 4 Övig 1 a) (1 + ) 3 = , b) (3 ) 3 = ( ) + 3 3( ) + ( ) 3 = c) (1 + ) 4 = ( ) 15 15! Övig = = = !(15 13)! Övig 3 Sätt = b/a och multiplicera de evatioe med a : a (1 + b a ) = b = ( ) b a (a(1 + b a )) = (a + b) = = ( ) a b. = ( )b a a Övig 4 Frå disussioe i huvudtete ser vi att vi allmät a sriva f () = f (a) + f (a)( a) + f ( a) (a) + f ( a)3 (a) +..., 3! Övig 19 Med f () = har vi att f () = = 4( 3 1) = 4( )( + 1 ) Vi har alltså tre statioära puter, i = 1/,,. Studerar vi derivata får vi följade tecetabell : 1 f (): + + f (): Vi har därför loala miima i = 1/ och = och ett loalt maimum i =. Vi a otera att värdet i = 1/ är , så över itervallet 1, ] är grafe ästa horisotell. Vidare har vi att f () då ±, så frå aalse följer att det mista värde f () a ata, är det det atar i det loala miimum som är mist, och det är f () =. Det i si tur betder att f () för alla (och lihet edast då = ), vilet är olihete i uppgifte. där... betder termer som består av högre poteser av ( a) ä 3. I vårt fall får vi alltså att f () = f ( a)3 (a) +..., 3! där de termer som igår i... är försumbara är är ära a. Me här a de adra terme bli både positiv och egativ för godtcligt ära a, p.g.a. fator ( a) 3 som a ata både positiva och egativa värde godtcligt ära = a. Det följer att a måste vara e terrassput! Övig 5 Vi deriverar: f () = , f () = 6 1, f () = 6 meda alla högre derivator är oll. Vi har därför f (1) =, f (1) =, f (1) = 6, f (1) = 6 och får därför Talorpolomet ( 1) ( 1)3 f () = + ( 1) 6 + 6! 3! = ( 1) 3( 1) + ( 1) 3. Amärig Vi a otera att detta a srivas ( 1)( 3( 1) + ( 1) ) = ( 1)( 5 + 6)

6 så metode ger ett aat sätt att dividera ett polom med e fator ( a). Övig 6 Talorutveclige av ordig rig = 1 fås ur föregåede övig: f () = p () + R 3 (), där p () = ( 1) 3( 1), R 3 () = ( 1) 3. Notera att det ite der upp ågot ξ i restterme; det är för att vi har ett 3:egradspolom. Grafera = ( 1) och = ( 1) 3( 1) är ritade eda, meda = är -ael Vi ser att de blå urva är tagete till urva meda de röda urva är det adragradspolom som approimerar grafe till f bäst i pute = 1. Övig 7 Eligt etdighetssatse för Talorpolom är polomet Talorpolomet av ordig 7 till f rig origo (alltså Maclauripolomet). Det har ige -term, alltså är f () = meda 4 - termes oefficiet är 5. Därför gäller att f (4) () 4! = 5 f (4) () = 5 4 = 1. Övig 8 Eligt Talors formel a vi sriva f () = f (a) + f (a)( a) + f ( a) (a) + B f ()( a) 3 = ( a) ( f (a) + B f ()( a)). och liadat för g. Här är B f () e begräsad futio. Om vi förortar med ( a) / betder detta att vi a sriva då a. f () g() = f (a) + B f ()( a) g (a) + B g ()( a) f (a) g (a)