UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor"

Alf Göransson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR Om vi betratar e futio ff() som är otiuerlig i itervallet [aa, bb] då atar futioe sitt mista värde mm och si största värde MM i varje slute itervall [, ] Därför a vi aroimera itegrale med både e udersumma och e översumma SS mmmmmm mm ( ) SS mmmmmm MM ( ) Med adra ord: Vi a aroimera itegrale frå båda sidor bb SS mmmm ff() dddd aa SS mmmmmm Om f() är mooto ( väade eller avtagade) då atar futioe sia största och mista värde i [, ] i itervallets äduter i) Om ff() är väade i [a, b] och h(b-a)/ då mm yy och MM yy SS mmmmmm SS VV h[yy yy yy ], SS mmmmmm SS HH h[yy yy yy ], och bb SS VV ff() dddd aa SS HH ii) Om ff() är avtagade i [a, b] och h(b-a)/ då MM yy och mm yy SS mmmmmm SS VV h[yy yy yy ], SS mmmmmm SS HH h[yy yy yy ], och bb SS HH ff() dddd aa SS VV

2 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler Eemel Dela itervallet [, ] i fyra delitervall och usatta itegrale udersumma och e översumma e med e Lösig Vi delar [, ] i fyra delitervall Lägde av deliterval blir h ( )/ / Vi betratar idelige,, 7, Notera att futioe e är avtagade och därmed y y y y y Därför e udersumma för itegrale e ges av 7 ( ) ( ) S u hy hy hy hy ( e e e e ) 9 (med miiräare) och e översumma är ( ) ( ) S ö hy hy hy hy ( e e e e ) 87 7 e Alltså 9 Svar: 87 e 87 9 Amärig: Som ett aroimativt värde av itegrale a vi age e S ö S u 68 S då blir felet vid aroimatioe ö Su 78 e ( Jämför aroimatioe och värdet med orreta decimaler)

3 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler SAMBAND MELLAN ÄNDLIGA SUMMOR f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) OCH INTEGRALER Vi jämför summa S f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) och itegral, där och ä hela tal, < ( Två oftast föreommade fall är f ( ) och f ( ) ) Först betratar vi fallet där f () är avtagade och otiuerlig ( därmed itegrerbar) å itervallet [,] Vi delar itervallet [,] i ( ) delitervall med lägde h Eftersom f är atagade har vi f ( ) f ( ) f ( ) Eligt ovaståede förlarig (usattig av itegraler med Riemasummor) gäller ( för h) dvs f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) [,]) (F) (f är avtagade i På liade sätt har vi följade usattig för e väade och otiuerlig futio å itervallet [,] f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) (F) (f väade i [,]) Eemel

Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler Visa att Tis: Betrata itegrale Lösig: l( ) l METOD: ( Vi aväder formel F) Först beräar vi itegrale l dddd Härav l( ) l dddd [

4 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler Visa att Tis: Betrata itegrale Lösig: l( ) l METOD: ( Vi aväder formel F) Först beräar vi itegrale l dddd Härav l( ) l dddd [ iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii] l dddd l l dddd l Futioe yy ff() l är otiuerlig, ositiv och väade i itervallet [, ] Vi aväder formel (F) ( eftersom f() l är väade i [,]) med och får diret f () f ( ) f () f ( ) dvs l( ) l l( ) vad sulle bevisas METOD : ( Jämförelse mella areor) Talet l dddd är lia med area mella grafe av ff() och -ael för Alltså

Först beräar vi uderarea A (summa är sammalagda area av de retaglara som ligger uder grafe ) AA ff() l l l ( ) På

5 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler AA l dddd l Vi delar itervallet [, ] i (-) delitervall av med deligsutera,,,, Varje delitervall har lägde Area A aroimerar vi med uderarea A och överarea A Då gäller A < A < A Först beräar vi uderarea A (summa är sammalagda area av de retaglara som ligger uder grafe ) AA ff() l l l ( ) På samma sätt beräar vi A Nu har vi A < A < A AA l l l l l l ( ) < l < l l l VSB Amärig: Vi har bevisat de sträga olihete med tecet <

6 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler UPPSKATTNING AV DEN ÄNDLIGA SUMMAN f ( ) MED HJÄLP AV INTEGRALEN Frå formel ( F) får vi å eelt sätt följade relatioer: Geom att addera f() till f ( ) f ( ) (västra olihete i F) får vi f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) (G) Om adderar f() till f ( ) f ( ) ( högra olihete i F) får vi f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) (G) Frå G och G får vi följade formel för usattig av summa itegrale, där f är avtagade och otiuerlig å itervallet [,]: f ( ) med hjäl av f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( F) (f är avtagade i [,]) sista terme i summa första terme i summa På samma sätt får vi usattigsformel om f är väade och otiuerlig i [,]) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( F) (f är väade i [,]) första terme i summa sista terme i summa

7 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler Amärig: Det är eelt att memorera usattigsformler F och F Vi usattar summa med itegrale väster lus f ( ) eller f (), där midre term ( självlart) ligger till Eemel Bestäm e usattig av ädliga summa med hjäl av Lösig: Eftersom är e avtagade och otiuerlig futio aväder vi formel F med och f ( ) f () f () f () 9 Därför ligger mella m 9 9 f ( ) 9 och M 9 f ( ) Svar: 9 Eemel Bestäm e usattig av ädliga summa med hjäl av Lösig: 99 Summa ligger mella m f ( ) 99 9 ( 9) och M f ( ) 99 9 (9)

8 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler Svar: 9 9 Eemel Bestäm e usattig av ädliga summa Lösig: arcta() arcta() arcta() Summa ligger mella m f ( ) arcta() med hjäl av och M f ( ) arcta() Svar: arcta() arcta() UPPSKATTNING AV OÄNDLIGA SUMMOR (SERIER) f ( ) MED HJÄLP AV INTEGRALEN Låt f () vara e ice-egativ, otiuerlig, avtagade futio för Frå formel F f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( F) (f är avtagade i [,]), för, får vi följade olihet lim f ( ) f ( ) f ( ) ( Fb) Om dessutom lim f ( ) a vi förela ovaståede olihet till

9 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler f ( ) f ( ) (F) som vi aväder för usattig av serie ( med hjäl av itegrale, f ) där ( vi urear) f () är e ice-egativ, otiuerlig, avtagade futio för Amärig Usattigsformel F gäller äve om lim f ( ) ite går mot eftersom i detta fall är både serie f ( ) Amärig Eligt F, ligger Därför a vi aroimera serie ( f ) och f ( ) i itervallet [, f ( ) ] ( med itegrale dvs f ) eller med f ( ) f ( ) I båda fal för felet ε gäller ε f ( ) Vi a (lite) förbättra aroimatioe om vi aväder medelvärdet av itervallets äduter: f ( ) f ( ) S Sar Om vi alltså aroimerar f ( ) S f ( ) med Sar blir felet f ( ) ε

10 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler Eemel 6 Aväd itegrale för att aroimativt beräa serie S samt usatta resultat och motsvarade fel vid aroimatioe Lösig: Eftersom S f ( ) och f ( ) f () har vi S Vi a välja itervalets mittut som summas aroimatio S ( ) / För feletε gäller usattig ε ( relativt stort fel) ( Edast för jämförelse med vårt resultat: Series summa är S 69, beräad med hjäl av ett datarogram) Eemel 7 Aväd itegrale för att aroimativt beräa serie S samt usatta resultat och motsvarade fel vid aroimatioe Lösig: Eftersom

11 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler S f ( ) och f ( ) f () har vi S eller S 6 Vi a välja itervalets mittut som summas aroimatio S ( 6) / 6 med ε ( hälfte av itervallets lägd) För feletε gäller usattig ε ( litet fel vid aroimatioe, de här gåge) Amärig Som vi ser i två ovaståede eemel, felet vid aroimatioe beror av (första) series första term f() Låt f () vara e ice-egativ, otiuerlig, avtagade futio för Om vi sa aroimativt beräa serie o första termer eat, och aroimera reste med itegrale Alltså visriver o o S f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) för att få midre fel a vi först beräa summa av ågra Därefter beräar vi eat S f ( ) o och aroimerar de oädliga reste Felet blir midre e f() f ( ) Med dea metod a vi äve bestämma så att felet blir midre ä ett givet tal ε Det räcer att välja så att f()< ε Eemel 8

12 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler a) Beräa aroimativt summa S geom att först beräa aroimativt första termer S och därefter aroimera de oädliga reste S Usatta felet vid dea aroimatio b) Om vi beräar summa S med flera ä termer, får vi bättre aroimatio dvs felet blir midre Hur måga termer sa vi ha i summa S om vi vill att felet blir midre ä? Lösig a) Lägg märe till att f() är e avtagade futio där f() går mot då går mot S S S De första summa beräar vi eat S 9 6 De adra summa usattar vi med itegrale Eligt usattigsformel (F) f ( ) f ( ) (F) har vi dvs 6 Väljer vi att usatta summa med itegrale / blir felet me om vi väljer itervallets mittut för usattig 6 ( ) / / blir felet äu midre: felet f ( ) / f ( ),

13 Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler 6 (Alterativ beräig av felet som hälfte av itervallets lägd felet ( ) / 6 Därmed blir S 66 där felet b) Vi har f ( ) f ( ) f ( ) Eligt usattigsformel (F) f ( ) f ( ) (F) Om vi aroimerar summa f ( ) ( med f ) f ( ) blir felet Därför, för att bestämma atalet termer som rävs att få felet midre ä, löser vi olihete f ( ) < eller < > dvs 8 Alltså, för att få de söta oggrahet räcer det att ta 8 och aroimera serie eligt 7 S π Amärig: Vi a jämföra vårt resultat med series eata summa 6 med hjäl av Fourierserie-metode, som läses i e aa matteurs) 69 ( Detta a fås

Relevanta dokument

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder