Förslag till övningsuppgifter FN = Forsling/Neymark, K = Kompendiet Vektorer, linjer och plan, ÖT = Övningstentamen

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Förslag till övningsuppgifter FN = Forsling/Neymark, K = Kompendiet Vektorer, linjer och plan, ÖT = Övningstentamen"

Britt-Marie Nyström
för 5 år sedan
Visningar:

1 TNA00 Förslag till övigsugiter FN = Forslig/Neymar, K = Komediet Vetorer, lijer och la, ÖT = Övigstetame Vetorer, lijer och la ÖT:4,, K, K och Ugitera, och eda Ugit x Lije y t, t R z a) Beräa avstådet mella lije och ute P b) Bestäm oordiatera ör P : s seglig, S, i lije, och ute P,, är giva i e ON-bas Ugit a) Beräa avstådet mella ute P (,0, ) och särigslije mella lae x y z och xy b) Bestäm oordiatera ör P:s ortogoala rojetio, Q, å särigslije (rå a)-ugite) Ugit a) Beräa avstådet mella ute (,,0) och laet x y + z = 0 b) Bestäm segelbilde av ute (,,0) i laet x y + z = Iverser FN: 7, 8 och Ugitera 4 och eda Ugit 4 a) E utio som är omvädbar har som beat ivers Förlara vad som meas med att e utio är omvädbar Rita gära omletterade igur/igurer b) Visa att utioe g ( x) x x, x 4 har e ivers g Bestäm äve iverse och dess deiitiosmägd D g Ugit Betrata utioe ( x) lx a) För vila x R är (x) deiierad? b) Bestäm, om möjligt, iverse till Oliheter FN: 0abc 4 Absolutbelo ÖT:ab l och ex ÖT: och FN: 70

2 Trigoometri (ilusive arcusutioera) ÖT:c, ÖT:, ÖT7 (svår) och Ugitera och 7 eda Ugit si x cos x a) Visa att si x cos x cos x b) Bestäm det exata värdet av si( u v) om si u, u och si v, v Ugit 7 Lös evatioera a) si x, x0, b) cos 4si(x) si x cos(x) cos x 0 c) arcsix arccos( x) x, x, 7 Komlexa tal ÖT: och FN: a, 4, 8a och Ugit 8 eda Ugit 8 a) Åsådliggör i det omlexa tallaet de uter ör vila det gäller att Re z 0 och z b) Visa att Re z 0 om a bi a bi z a bi a bi, a, br 8 Geometris, aritmetis summa, biomialsatse FN: a och Ugit 9 eda Ugit 9 Age, med motiverig, ör vart och ett av öljade tre åståede (A, B och C) om det är sat eller alst A Koeiciete ör x är 7 i utveclige av x B I de aritmetisa talöljd, som börjar eligt,,, 9, 707 C Det gäller att 8, är det :e elemetet lia med 9 Idutiosbevis Ugit 0 eda Ugit 0 Visa att ormel gäller ör alla Z

3 Facit a) 0 a) 4 7 b) S =,, b) Q,, a) b) S = (, 4, 4 ) g, D 4, 4 a) b) ( y) y 4 a) D, e b) y e ( y) (eller x e ( x) 4 b) a) x, x, x och x b) Lösig cos x 4si( x)si x cos( x)cos x 0 cos x 8si xcos x ( si g ) med 0, x)cos x 0 D cos x 0 cos xsi x 0 eller si x 4 cos x 0 ger oss x = π + π eller x = π + π och si x = 4 si x = eller si x = si x = si ( π ) eller si x = si π x = π + π eller x = π ( π ) + π eller x = π + π eller x = π + π eller x = 7π x = π π + π + π eller x = π + π eller x = π + π Prövig med olia heltalsvärde å ger att x = ± π, ± π, ± π itervallet [ π, π] c) x 0 Svar: x,, ligger i

8 a) Im Re 8b) Lösig a bi a bi ( a bi) ( a bi) a abi ( bi) a abi ( bi) z a bi a bi ( a bi)( a bi) a ( bi) 4abi 4ab 0 { i a b Re z 4 a 4 b dvs Re z 0 Im z, vsv 9 Lösig: 8 8 8 8 A: SANT ty x x 0, dvs x

4 8 a) Im Re 8b) Lösig a bi a bi ( a bi) ( a bi) a abi ( bi) a abi ( bi) z a bi a bi ( a bi)( a bi) a ( bi) 4abi 4ab 0 { i a b Re z 4 a 4 b dvs Re z 0 Im z, vsv 9 Lösig: A: SANT ty x x 0, dvs x -terme erhålls ör, 8 vilet iebär att oeiciete ör x blir 7 B: SANT ty ör e aritmetis talöljd gäller att :te elemetet a a ( ) d, där a är det örsta elemetet och d är dierese, vilet iebär att i vår talöljd har vi a ( ) C: FALSKT ty Svar: A och B är saa, C är alst

5 0 Lösig Vi sall visa att åståedet P() : gäller ör alla Z Bevismetod: Idutio Steg I V ( ) H ( ) Alltså har vi V( ) H(), dvs P () gäller Steg II Atag att P ( ) gäller ör ett godtycligt Z, dvs atag att Vi år * ( ) V( ) Eligt tagadet a- 4 H( ) Alltså: V ( ) H( ) V( ) H( ) dvs om P ( ) gäller så gäller äve P ( ) Steg III Påståedet gäller eligt I ör Eligt II gäller det då äve ör Då gäller det äve ör osv Via matematis idutio gäller åståedet ör alla Z, vsv

Relevanta dokument

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter TNA00 Matematisk grudkurs Övigsuppgiter Iehåll: Uppgit Uppgit 8 Uppgit 9 6 Uppgit 7 5 Uppgit 55 60 Facit sid. 8-0 Summor, Biomialsatse, Iduktiosbevis Ivers uktio Logaritmer, Expoetialuktioer Trigoometri