Något om funktionsföljder/funktionsserier

Transkript

1 mtemtis metoder E, del D, FF Något om futiosföljder/futiosserier. Putvis och liformig overges Vi etrtr reellvärd futioer med gemesm defiitiosmägd D IR, M D. Me (äst) llt går helt logt för omplevärd futioer (v e omple vriel). DEF Vi säger: FUNKTIONSFÖLJDEN PÅ M, och sriver f f f KONVERGERAR PUNKTVIS MOT f lim f f för ll putvis på M, om ( ) ( ) f..5 M. f lls gräsfutioe till ( ) EX f ( ), M [, ] : för gäller lim och för < gäller lim.5, lltså overgerr putvis på, då < [,] mot f ( )., då Futiosföljde f () + EX f ( ), M IR : ( ) f ±, f ( ), för < : f ( ) och för > : f ( ), då < f ( ), då :, då >, +, lltså overgerr f putvis mot

2 mtemtis metoder E, del D, FF Fråg är u, vil egesper (otiuerlig, deriverr, itegrerr..) överförs frå f till gräsfutioe f, mer precist: gäller lim lim f ( ) lim( lim f ( )), lim f ( ) ( lim f ( )) och lim f ( ) d lim f ( ) d, dvs: får m yt "ordige v gräsvärde "? Svret är ej, som eemple ov visr. Det rävs ågot mer ä "overges i vrje put": f overgerr putvis mot f på M, om det till vrje > och till vrje M fis ett N (, ) (N eror på och!), så tt f ( ) f ( ) < för ll > N (, ). Det som rävs för tt svret sll vr j, är tt m till vrje > hitt ett N () som duger för ll M : DEF Vi säger: f KONVERGERAR LIKFORMIGT MOT f PÅ M, och sriver f f liformigt på M, om det till vrje > fis ett N ( ) så tt för ll M och > N ( ) gäller tt f ( ) f ( ) <. ANM ) Liformig (eg: uiform) overges är strre ä putvis (eg: poitwise) overges: f f liformigt på M f f putvis på M, me omvädige är fel, som vår eempel och följde sts visr. ) Vi säger: f är putvis, resp liformigt, overget på M, om det fis e futio f så tt f overgerr putvis, resp liformigt, mot f på M. Då vi u vis tt liheter ov gäller för liformigt overget futiosföljder : SATS Föruts: f f liformigt på [,] och ll f är otiuerlig på [,]. Påst: ) f är otiuerlig på [,]. ) lim f ( ) d f ( ) d. Bev: ) Vi sll vis tt till [,] och godt. > fis δ så tt f ( ) f ( ) < för ll [,] med < δ : Eftersom f overgerr liformigt mot f på [,], så fis ett N så tt för ll [,] och >N gäller : f ( ) f ( ) < 3 ; för t.e. N + gäller (eftersom f är otiuerlig) tt det fis ett δ så tt f ( ) f ( ) < för < δ och då gäller för 3 dess : f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) + +. vsv 3 3 3

3 mtemtis metoder E, del D, FF 3 ) Vi sll vis tt till godt. > fis N så tt för > N gäller: f ( ) d f ( ) d < : Eftersom f overgerr liformigt mot f på [,], så fis ett N så tt för ll [,] och >N gäller : f ( ) f ( ) < ; me då gäller för > N : ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) f d f d f f d f d f d d. vsv SATS Föruts: f C ((, ) ), ( f ( )) är overget för ågot ( ) f overgerr liformigt mot g i (,) och,. Påst: f overgerr liformigt mot e C -futio f i (,) och f g, lim f ( ) lim f ( ) för ll,. dvs: ( ) ( ) ( ) Bev: g är otiuerlig (sts) i (,); sätt f ( ) lim f ( ) f ( ) f ( ) + g( t ) dt. Futioe f är C med f g ( ) och för (, ) i,. Kvr tt vis: f overgerr liformigt mot f i (,): Eftersom f overgerr liformigt mot g i (,) så fis till godt. > ett N så tt för ll ( ) t, och >N gäller f ( t ) g( t ) < ( ) ; vidre fis ett N så tt för >N gäller f ( ) f ( ) < (ty f ( ) f ( ) ). Me då gäller för >N : m{n,n } och ll, tt ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + f ( t ) dt f ( ) + g( t ) dt ( ) ( ) f ( ) f ( ) + f ( t ) g( t ) dt f ( ) f ( ) + f ( t ) g( t ) dt ( ) ( ) ( ) ( ) f f + dt + dt + vsv E tillfredsställde ehdlig v liformig overges räver "supremum"-egreppet. Me vårt itresse gäller huvudslige futiosserier, och för dess hr vi Weierstrß' riterium, vilet m lrr sig lågt med. Först e självlr "om ihåg"-defiitio:

4 mtemtis metoder E, del D, FF 4. Futiosserier DEF Låt u vr futioer med gemesm defiitiosmägd D och M D. Vi säger: FUNKTIONSSERIEN u är PUNKTVIS, resp. LIKFORMIGT KONVERGENT PÅ M, om följde v delsummor S liformigt overget på M. SATS 3 (Weierstrß' mjortsts) Om u ( ) för ll M och IN och om serie overget, så är futiosserie Bev: Låt >; eftersom u N N + N + N + N N u är putvis, resp. solut och liformigt overget på M. är overget, så fis ett N så tt N + är < och för N > N gäller då u ( ) S ( ) u ( ) u ( ) < (oeroede v!). Oserver tt det räcer tt u ( ) gäller f.o.m. ågot N. vsv EX 3 Futiosserie si är liformigt overget på vrje [-R,R] ( < R IR ), ty R si för ll och [ R R] Stser och ger u diret för futioserier: R, och är overget. SATS 4 Föruts: Futiosserie Påst: ) u u är otiuerlig på [,]. ) u ( ) d u ( ) d. är liformigt overget och ll u är otiuerlig på [,].

5 mtemtis metoder E, del D, FF 5 SATS 5 Föruts: u Påst: Bev: är liformigt overget i (,), u ( ) är overget för ågot ( ) (,) och ll u C ( ),. u är liformigt overget och u u i (,). Delsummor S N är otiuerlig på [,], resp. C i (,), sts, ger påståede! Så, det vr llt. Som ett först och vitigt eempel tittr vi på potesserier och visr stser och, sid :9 i ursoe (JP). Ett t vitigt eempel lir Fourierserier. SATS 6 Föruts: Potesserie c hr overgesrdie R> och summ S() ( < R ). Påst: Serie, de termvis deriverde serie och de termvis itegrerde serie hr smm M : < R. overgesrdie R och är liformigt overget i { } ) S ( ) c, S ( ) ( ) c för M ) S( t) dt L. + c + för M. Bev: Låt <r<r. Weierstrß' mjortsts ger tt ty c c r och c r overget på ( r,r), ty för r c är overget (r < R!); vidre är är liformigt overget på [ r, r], c < gäller ( ) > ågot tillräcligt stort N ( lim q då < q < Stser 4/5 ger påståede för vrje itervll ( r,r) + R ligger i ett sådt itervll ( r,r) r c c r < c r för r och q r < ). liformigt ; me eftersom vrje med < R (välj t.e. ) så är stse visd. vsv

6 mtemtis metoder E, del D, FF 6 3. Uppgifter ) Låt f ( ) ( ). Är ( ) ) f liformigt overget på [,]? [led: gäller sts?] ) Vis tt si( är liformigt overget på IR och disuter vd som häder om du deriverr termvis. 3) Vis tt 4) Berä ( ) cos är liformigt overget på RI. [led: deriver termvis, väd sts] e lim. + 5) Vis tt S ( ) ( + ) är liformigt overget i [,] och erä ( ) 6) Låt ( ) l( cos ) f. ) Vis tt f 3 ) Gäller ( ) f ( ) är liformigt overget i ( π, π). f för < π? 3 3 7) Vis tt futioe f som ges v ( ) e f är lösig till ( + ) e differetilevtioe y y + y e, <. S d. svr ) ej 4) e 5) 6) j