Digital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning

Transkript

1 Istitutioe för data- oc elektrotekik 2-2- Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig Faltig ka uppfattas som ett kostigt begrepp me adlar i grude ite om aat ä att utgåede frå e isigal x [], som är käd vid ett atal tidpukter, oc e ekvatio, som beskriver ett sstem via e differesekvatio [] eller ett impulssvar [], bestämma sstemets utsigal vid samma tidpukter. Faltig ages av smbole * me jag väljer att i stället aväda smbole för att ite blada iop de med multiplikatio. Faltige beskrivs ret allmät av uttrcket [] x[] [] x[] k [ k] x[ k] [] k k där x [] är sstemets isigal oc [] är sstemets impulssvar. För att komma vidare så får vi titta lite på impulssvar först. Impulssvar Ett sstems impulssvar, som skrivs [], består av sstemets utsigal då dess isigal är e impuls δ [], dvs e sigal som är ett vid tide oc oll vid alla adra tider. Ka vi beskriva vårt sstem som ett icke-rekursivt sstem, dvs ett sstem där utsigale bara beror av uvarade oc fördröjda variater av isigale (vi begräsar oss till kausala sstem så sigaler framåt i tide ka ite förekomma) så blir övergåge frå differesekvatio till impulssvar ekel. Eftersom isigale x [] u är e impuls δ [] så är det bara att överallt i differesekvatioe bta x[ ] mot δ [ ], där är de aktuella termes fördröjig (som ka vara oll). Har vi t ex ett sstem som beskrivs av differesekvatioe [],8 x[] x[ ] +,5 x[ 2] så får sstemet impulssvaret CHALMERS LINDHOLMEN Sida Istitutioe för data- oc elektrotekik Sve Kutsso Box Göteborg Besöksdress: Hörselgåge 4 Telefo: Fax: svek@cl.calmers.se Web: svek

2 [],8 δ [] δ [ ] +,5 δ [ 2] e ekvatio som direkt ger oss utsigales värde vid olika tidpukter. Har vi ett rekursivt sstem så blir det lite mer komplicerat. Om vi tar sstemet [],8 x[] x[ ] +,5 [ ] me detta är ju utsigale vid föregåede sampligstillfälle, dvs i det är fallet impulssvaret vid föregåede sampligstillfälle oc vi ka skriva impulssvaret så ieåller dea ekvatio de a terme [ ] [ ] [ ],8 δ [ ] δ [ ] +,5 [ ] Här får vi ite direkt utsigales värde vid olika tidpukter, eftersom utsigale (impulssvaret) beror av tidigare utsigaler så får vi beräka utsigale tidpukt för tidpukt oc aväda föregåede beräkigsresultat vid ästa beräkig. Impulssvarets betdelse Impulse, som är e kort isigal vid e eda tidpuk (), aväds som vi sett ova för att beskriva ur ett sstem reagerar på e kort störig. Vi ka täka oss att sstemet svarar på störige (impulse) geom att uder e (lägre eller kortare) tid läma sitt viloläge (utsigal oll) för att seda återgå till viloläget. Beroede på sstemets sabbet ka avvikelse bli kort- eller lågvarig, återgåge ka atige ske mootot, dvs återgå uta extra svägar eller ske som e isvägig där utsigale pedlar rut viloläget ia de lägger sig i vila. Vi ka också täka oss att utsigale aldrig återgår till ursprugsläget uta amar på e ivå då sstemet åter är i vila, vi ar då fått ett kvarståede fel. Ett tredje alterativ är att utsigale ite går mot e kostat ivå (oll eller ivå) uta får e kvarståede självsvägig eller att vi får e utsigal som växer okotrollerat till dess de bottar sstemet. [] [] [] [] [] Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig sida 2

3 I sigalbeadligssammaag ka vi täka oss sstem av de första tpe vars sigal återgår till viloläget efter impulse oc sstem som självsväger eller ger okotrollerad utsigal. Det första sstemet sägs vara stabilt meda de två seare ssteme är istabila. I de allra flesta fall kräver vi att våra sstem skall vara stabila. Vi ka täka oss att söka sstem som självsväger för att få e form av digital oscillator me istabila sstem med växade impulssvar vill vi absolut ite a, vem vill a ett bottade sstem? Om vi ser på ett icke-rekursivt sstem så visar impulssvaret att ett sådat sstem alltid är stabilt. Detta beror på att vi är bara ar uvarade oc fördröjda variater av isigale oc är är dea alltså bara e etta vid tide oc efter e tid ar dea etta vadrat igeom alla fördröjigar av isigale oc försvuit ur sstemet, dvs utsigale ar återgått till att vara oll. För ett rekursivt sstem ar vi däremot e eller flera fördröjda variater av utsigale som återkopplas oc aväds i seare beräkigar av impulssvaret. Dessa återkoppligar ka ge självsvägig oc växade utsigal, dvs vi ka är få istabila sstem. Vi ka med uvarade kuskaper ite ge ågot riktigt svar på villkoret för att sstemet skall bli stabilt, vi ka dock ise att det måste bero på storleke oc tecket os de kostater som vi multiplicerar de återkopplade, fördröjda utsigalera med. Vi ka ge ett svar agåede sstemets stabilitet är vi ar studerat z-trasforme oc poler oc ollställe i z-polaet i kapitel 4. För ett första ordiges rekursiva sstem som bara ar de fördröjda utsigale [ ] är det dock rätt lätt att ise att kostate måste a ett belopp midre ä ett (se uppgift Q.2 i L/Fuerst). Stegsvar E aa form av testsigaler är eetssteg oc sstemets utsigal kallas då stegsvar. Ett eetssteg är e sigal som är oll före tide me frå dea tid blir ett oc seda ligger kvar på dea ivå i fortsättige, i alla fall så läge vi studerar sstemet. Sigale aväds för att testa ur ett sstem reagerar på e plötslig förädrig av dess isigal. För ett reglersstem så iebär det att vi plötsligt ädrar sstemets så kallade börvärde, vi talar t ex om för ett ivåsstem att vätskeivå skall öjas frå tre till fra eeter eller vi ager för e ug att temperature skall öjas med grader. Stegsvarets iebörd Stegsvaret visar då ur sstemet reagerar på de plötsliga ädrige av isigale. Reaktioe är oftast gaska sarlik vad vi ova beskrev för impulssvar. Vi ka få e mooto ädrig till de a ivå eller e isvägig mot ivå. Vi ka äve få självsvägig oc växade utsigal, dvs istabila sstem. Ädrige av isigale ka också ge e utsigal som reagerar på förädrige me seda återgår till ursprugsläget i vila, vi ar då ett sstem av ögpasskaraktär som ite reagerar på de a ivå, som är e likspäig (om det är e elektrisk sigal), uta bara reagerar på de plötsliga förädrige, flake, som är ögfrekvet. Vi ka ställa olika krav på ur utsigale skall uppföra sig. Tar vi det tidigare exemplet med temperaturöjige i uge så gör det og iget om sigale pedlar över oc temperature blir lite för ög oc seda sväger i mot rätt ivå om ssslar med att baka bröd. Översväge ka däremot få avgörade följder om vi t ex ssslar med bräig av keramik av ög kvalité. Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig sida 3

4 Metoder för faltig Vi kommer är att titta på ågra olika metoder för att lösa faltigsuppgifter oc via de olika metodera försöka få e förståelse vad faltig är. Eftersom isigalera impuls oc eetssteg bara är specialfall av isigaler så fugerar metodera äve för beräkigar av impulsoc stegsvar. Vi illustrerar metodera med exempel oc eftersom icke-rekursiva oc rekursiva sstem kräver lite olika beadlig så kommer vi att se på ett exempel av varje tp. Vi aväder de sstem som agivits ova alltså det icke-rekursiva sstemet [],8 x[] x[ ] +,5 x[ 2] oc det rekursiva sstemet [],8 x[] x[ ] +,5 [ ] Vi aväder i båda falle isigale x [],6 δ [] +,5 δ [ ],4 δ [ 2] +,2 δ [ 3] Tabellmetode Metode fis preceterad i stecile Ett ratioellt sätt att beräka faltig oc vi preseterar bara lösige uta att gå i på metode ige. Icke-rekursivt exempel,8 -,5 x[] x[-] x[-2] [] -2 -,6,48,5,6 -,2 2 -,4,5,6 -,52 3,2 -,4,5,6 4,2 -,4 -,4 5,2,6 6 Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig sida 4

5 Rekursivt exempel,8 -,5 N x[] x[-] [-] [] -,6,48,5,6,48,4 2 -,4,5,4 -,8 3,2 -,4 -,8,96 4,2,96 -,72 5 -,72 -,36 6 -,36 -,8 Grafisk metod Här ritar vi upp sstemets blockscema oc låter isigale vadra i i detta tidpukt för tidpukt oc beräkar utsigale allt eftersom. Vi ka öja oss med att rita e figur om vi skriver upp våra sigalvärde i tabeller i dea. Icke-rekursivt exempel x[],6,5 -,4,2,6,5 -,4,2 Z - Z -,6,5 -,4,2,8 -,5,48,4 -,32,96 + +,3,25 -,2,6 -,6 -,5,4 -,2,48 -,2 -,52,6 -,4,6 [] -,6 -,2,65 -,4,6 Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig sida 5

6 Rekursivt exempel,6,5 -,4,2 x[],8,48,4 -,32,96,48 -,2 -,82,36 -,2 + + Z - Z - -,5,48,4 -,8,96 -,72 -,36 [],6,5 -,4,2 -,6 -,5,4 -,2,24,2 -,4,48 -,36,48,4 -,8,96 -,72 Superpositio av impulssvar Oberoede av ur vår isigal ser ut så ka vi betrakta de som ett atal impulser med olika skalfaktorer oc fördröjigar. Eftersom vi jobbar med lijära tidsivariata sstem (LTI) så ka vi beadla var oc e av dessa delsigaler var för sig. Eftersom varje isigal u är e impuls så kommer dess resulterade utsigal att vara likada som sstemets impulssvar me då skalat med de aktuella impulses skalfaktor oc fördröjd lika måga steg som de aktuella iimpulse är fördröjd. Vi beräkar alltså respektive utsigal för att seda beräka de totala utsigale som summa av dessa utsigaler tidpukt för tidpukt. I våra exempel ar vi isigale x [],6 δ [] +,5 δ [ ],4 δ [ 2] +,2 δ [ 3] Vilket alltså ger de fra isigalera x x x x 3 [],6 δ [] [],5 δ [ ] [],4 δ [ 2] [],2 δ [ 3] 2 4 Icke-rekursivt exempel Sstemet ar impulssvaret (se ova) [],8 δ [] δ [ ] +,5 δ [ 2] Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig sida 6

7 x [] ger då detta impulssvar me skalat med faktor,6 [],48 δ [],6 δ [ ] +,3 δ [ 2] x 2 [] ger ett ett steg fördröjt impulssvar med skalfaktor,5 [],4 δ [ ],5 δ [ 2] +,25 δ [ 3] 2 x 3 [] ger ett två steg fördröjt impulssvar med skalfaktor -,4 [],32 δ [ 2] +,4 δ [ 3],2 δ [ 4] 3 oc till slut ger x 4 [] ett tre steg fördröjt impulssvar med skalfaktor,2 [],96 δ [ 3],2 δ [ 4] +,6 δ [ 5] 4 Vi ka ställa upp e tabell för att beräka de tota,a utsigale [] 2 [] 3 [] 4 [] [] -,48,48 -,6,4 -,2 2,3 -,5 -,32 -,52 3,25,4,96,6 4 -,2 -,2 -,4 5,6,6 6 Rekursivt exempel Vi ka aväda resoemaget frå ova äve är me vi ser väl ite impulssvaret lika ekelt uta vi får börja med att bestämma detta oc vi ställer upp e tabell för detta,8 -,5 x[] x[-] [-] [] -,8,8 -,6 2 -,6 -,3 3 -,3 -,5 4 -,5 -,75 5 -,75 -, ,375 -,875 Samma resoemag som ova ger då edaståede tabell för utsigale Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig sida 7

8 [] 2 [] 3 [] 4 [] [] -,48,48 -,36,4,4 2 -,8 -,3 -,32 -,8 3 -,9 -,5,24,96,96 4 -,45 -,75,2 -,72 -,72 5 -,225 -,375,6 -,36 -,36 6 -,25 -,875,3 -,8 -,8 Istegig av sigal i impulssvar Äve detta är e grafisk metod som ar vissa liketer med de ova beskriva metode med istegig av sigale i blockscemat. Metode är ekelt tillämpbar bara på icke-rekursiva sstem. Vi ritar upp sstemets impulssvar i ett diagram oc ritar för varje tidpukt i isigale i ett aat diagram där vi ser till att de två diagramme ar respektive tidpukt () uder varadra oc vi ka få resultatet geom att multiplicera iop isigalsfaktor med si impulssvarsfaktor oc summera produktera. Då vi ritar isigale på detta sätt så får vi spegelväda de så att e sigal som kommer vid tidpukt ett kommer till väster om sigale vid tidpukt oll etc. Icke-rekursivt exempel Vi ar bestämt sstemets impulssvar ova till [],8 δ [] δ [ ] +,5 δ [ 2] Vi börjar med situatioe direkt ia ågot äder dvs vid - [] - - x[] Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig sida 8

9 Vid tidpukte börjar vi så stega i sigale i impulssvaret oc får då vid dea tidpukt [] [],8,6 + ( ),48 +,5 - x[] Vi går vidare till oc får [],8,5 + ( ),2,6 +,5 [] - x[] 2 ger [] 2,8 (,4) + ( ),52,5 +,5,6 [] 2 - x[] Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig sida 9

10 3 ger [] 2,8,2 + ( ) (,4),6 +,5,5 [] 3 - x[] 4 [] 4,8 + ( ),2 +,5 (,4),4 [] - x[] 5 [] 5,8 + ( ),6 +,5,2 [] - x[] Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig sida

11 6 [] 5,8 + ( ) +,5 [] 6 - x[] Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig sida