Digital signalbehandling fk Talrepresentation och inverkan av begränsad ordlängd

Transkript

1 Istitutioe för data- och elektrotekik Talrepresetatio och iverka av begräsad ordlägd Iledig Eftersom register och miesareor i e processor har ett begräsat atal bitar så måste äve de tal som lagras där represeteras av ett begräsat atal bitar. Vi får alltså begräsad ordlägd både hos våra sigaler och hos beräkigskostater. Detta ger sig till käa i fyra olika typer av fel begräsad upplösig hos våra samplade och A/D-omvadlade isigaler (kvatiserigsbrus) begräsad upplösig hos beräkigskostater, t ex filterkostater avrudig eller trukerig vid beräkigsoperatioer som additioer och multiplikatioer bottig, dvs tal som ligger utaför processors arbetsområde Vi kommer att i det följade se på dessa feome. Resultate blir olika beroede på hur vi represeterar våra tal så vi får börja med att titta på talrepresetatio. Dea ka delas upp i två huvudgrupper flyttal som represeteras av e matissa och e expoet (matissa expoet ) fixtal, där decimalpukte alltid ligger på samma ställe i registret Fixtal är valigast, i alla fall i processorer för ibyggad, varför vi kommer att irikta oss på dessa. Vi ka också särskilja tre udergrupper beroede på hur egativa tal represeteras amplitud och teckebit ett-komplemet två-komplemet CHALMERS LINDHOLMEN Sida Istitutioe för data- och elektrotekik Sve Kutsso Box Göteborg Besöksdress: Hörselgåge 4 Telefo: Fax: svek@chl.chalmers.se Web: svek

2 här är två-komplemet valigast varför vi kommer att kocetrera oss på dea represetatiosmetod. Talrepresetatio Som ämts ova ka talrepresetatio uppdelas i de två huvudgruppera flyttal och fixtal där flyttal ormalt ger bättre resultat me samtidigt kräver mer av processor. Heltal kotra fraktioella tal När heltal beskrivs biärt i dataregister (vilket de måste göra på ågot sätt) och då ka tolkas som heltal så får mist sigifikat bit (LSB) represetera meda ästa bit represeterar osv i flyttalsfallet multipliceras det hela dessutom med e expoet, se eda. I sigalbehadligssammahag arbetar vi för det mesta med reella tal varför vi ite ka aväda heltalsbeskrivige uta aväder i stället oftast fraktioella tal som är uppbyggda så att äst mest sigifikat bit represeterar - meda ästa bit represeterar - osv. Äve här iehåller flyttal e expoet som gör att talområdet utvidgas. I både falle föregås talet ormalt av e teckebit i mest sigifikat bit (MSB) som hateras lite olika beroede på represetatiosmetode för egativa tal (se eda). I det följade kocetrerar vi oss på fraktioella tal. Fixtal Fixtal käeteckas av att decimalpukte (bialpukte) alltid ligger i samma positio i tale, dvs våra tal represeteras alltid av ett bestämt atal heltalsiffror och ett bestämt atal decimaler (bialer). Det valigaste fixtalsformatet är fraktioellt format där våra tal represeteras av e teckebit och reste bialer, dvs MSB är teckebit meda ästa bit represeterar -, däräst kommade bit - osv. ( atal bitar ) Det största positiva talet blir meda det mista egativa talet ka vara ( ) ( atal bitar ) eller beroede av hur egativa tal ages (se eda. Det till ( atal bitar ) beloppet mista talet blir. Flyttal Flyttal skrivs på forme matissa talbas expoet där talbase i datorfallet är två. Matissa är ormalt ett tal i itervallet - -,5 -. Beskrivigssättet gör att vi får ett stort defiitiosområde för våra tal me samtidigt måste atalet registerbitar delas mella matissa och expoete vilket gör att i vissa talitervall är oggrahete faktiskt större hos fixtal med samma totala ordlägd (se eda). IEEE754 Det amerikaska stadardiserigsorgaet IEEE (The Istitute of Electrical ad Electroic Egieers) har givit ut e stadard för hur flyttal skall represeteras och vi skall här se på stadarde för 3 bitars tal. Sida

3 De 3 bitara delas i i teckebit (S), åtta bitars expoet (E) och 3 bitars matissa (M) S Expoet, E Matissa, M Teckebite är oll för positiva tal och ett för egativa tal. Expoete är ett positivt heltal i itervallet 55. Matissa är ett fraktioellt tal på.3-format, dvs ige teckebit och 3 bialer ( -, - osv). Talet (X) tolkas eligt E 55 M M iget tal X ( ) S, vi har alltså olika represetatio av och < E < 55 X S E ( ) 7 (. M ) E M M X X S 6 ( ) (. M ) S ( ), vi har alltså olika represetatio av och Jämförelse mella flyttal och fixtal Här bör vi dels jämföra hur tal represeteras och dels hur de två taltypera uppför sig vid olika beräkigsoperatioer. Fix- och flyttals talområde Vi ka som exempel jämföra flyttal på 3 bitars IEEE754-format med fixtal på fraktioellt 3 bitars format, dvs.3-format. Vi ser bara på tales storlek, dvs vi bryr oss ite om tecke. Fixtal, 3 bitars fraktioellt.3-format Här blir här det största positiva talet ( 3 ) 3 4,66, meda det till amplitude största egativa talet blir, eller beroede på hur egativa tal represeteras (amplitud/teckebit respektive ett- eller tvåkomplemet, se eda). Det till beloppet mista talet blir ( 3 ) 3 4,66 Sida 3

4 Flyttal, 3 bitars IEEE754-format Vi får vårt största tal då E 54 och M -3, dvs då matissa iehåller bara ettor. Vi har då X [ ( )] ( ) 3, Det största egativa talet blir det samma me aturligtvis med egativt tecke. Det till beloppet mista talet har vi då E och M -3, dvs X ,4 45 Fix- och flyttals upplösig Upplösige hos fixtal respektive flyttal beter sig helt olika. Fixtal har upplösige ( atal bitar ) i hela sitt talområde meda flyttal har e upplösig som varierar med talstorleke och blir expoete. Vi jämför samma talformat som tidigare. Fixtal, 3 bitars fraktioellt.3-format Vi får upplösige ( 3 ) 3 4,66 dvs lika stor som det mista tal som vi ka represetera. Flyttal, 3 bitars IEEE754-format För de största tale har vi expoete 7, och vår upplösig blir För de mista tale har vi expoete 49, dvs upplösige 49,4 45 Tar vi och tittar på tal med storlek strax uder ett har vi bästa upplösige om vi aväder maximalt atal ettor i matissa för att represetera det tal som ligger ärmast uder ett. Vi har då 3 ettor i matissa och expoete E 6, dvs det tal som ligger ärmast uder ett är [ ( )] ( ) X vi har då upplösige 4 5,96 8 Sida 4

5 dvs i detta itervall har fixtalet ugefär 3 gåger bättre upplösig ä flyttalet. Fix- och flyttal i beräkigsoperatioer Vi ser på hur de två represetatiosätte haterar de två räkeoperatioer som ligger bakom alla adra beräkigar, dvs multiplikatio och additio. Multiplikatio Fixtal Vid multiplikatio av fixtal måste de två tales bitar multipliceras vilket sker som e succesiv additio. Vi får alltså stycke additioer. Är tale på fraktioellt format så ka multiplikatioe aldrig ge ett tal utaför represetatioes talområde, dvs bottig. Flyttal I flyttalsfallet multipliceras de två tales matissor (m bitar < ) via successiv additio meda expoetera adderas. Vi får alltså m additioer. Här ka multiplikatioe ge ett tal utaför dators talområde, vi ka alltså få bottig. Additio Fixtal Vid fixtalsrepresetatio är additio iget problem. De två tales bialpukter ligger ju på samma ställe i de två tale och additio ka ske direkt. Additioe ka ge ett för stort tal och därmed bottig. Flyttal Här blir additioe lite mer komplicerad. För att additio skall kua ske så måste bialpuktera ligga i samma positio i de två tale och det gör att tale måste skiftas så att detta är uppfyllt ia additioe ka ske. Äve här ka resultatet bli för stort och ge upphov till bottig. Negativa tal I de flesta sigalbehadligssammahag måste vi kua hatera både positiva och egativa tal. Detta ka ske på ett atal olika sätt. Det som skiljer är hur egativa tal hateras. Amplitud och teckebit Här aväds alla bitar utom de mest sigifikata bite för att represetera sigales amplitud (sigales belopp) meda de mest sigifikata bite ager om sigale är positiv eller egativ ( - positivt tal, - egativt tal, se beskrivige av flyttalsformatet IEEE754 ova). Sida 5

6 Ett-komplemet Här iverteras varje bit i talet, dvs i amplitude samt MSB, för egativa tal. Vi får alltså äve här e etta i MSB för egativa tal. För fraktioella tal ka vi också beskriva operatioe så att vi tar bitar ( atalet ) talets belopp Två-komplemet Äve här iverteras alla bitar i talet me seda adderas e etta i LSB. För fraktioella tal får vi ett egativt tal som talets belopp Jämförelse mella represetatiosmetodera Grudoperatioera additio och multiplikatio blir ite lika i de tre falle. För ett- och två-komplemet sker additio på valigt sätt bit för bit. Formate är bara olika i hur de haterar miessiffra i MSB. Vid två-komplemet utelämas evetuell miessiffra i MSB, så kallad wrap aroud, se eda. Vid ett-komplemet skiftas de däremot rut till LSB. I amplitud/teckebitfallet är additio mer komplex och ka iefatta teckekotroll, kompletterig och geererig av miessiffra. Å adra sida är multiplikatio av tal på amplitud/teckebitformat ekel meda multiplikatio i ett- och två-komplemetrepresetatio kräver speciella algoritmer. Vid sigalbehadlig är två-komplemet klart domierade varför vi i fortsättige kommer att kocetrera oss på dea metod. Två-komplemet och overflow -,5 -,5 -,75, -,,75,5,5 Sida 6 Vid två-komplemetmetode ka våra tal beskrivas som liggade på e cirkel så att e beräkig som ger ett för stort positivt tal (overflow) gör att vi hamar på egativa sida (wrap aroud) och omvät ger egativ overflow att vi får ett positivt resultat. Detta är ite alls bra eftersom resultatet blir fullstädigt fel. I de flesta fall är det bättre om ett för stort positivt resultat ger det största positiva tal vi ka represetera (bottig, se eda) och på motsvarade sätt ett för stort egativt resultat ger maximalt represeterbart egativt tal. Uder e beräkigs gåg ka vi dock aväda oss av wrap aroud-ege-

7 skape och tillåta att beräkigar som mellaresultat ger overflow varvid vi har möjlighet att överskrida aktuellt talområde uta att få ett felaktigt resultat bara de sista delberäkige för oss tillbaka till korrekt talområde. Vi illustrerar med ett exempel frå sigalprocessor ADSP5. Exempel Vi skall se vad som häder om vi gör e beräkig som ger både positiv och egativ overflow och aväder då sigalprocessor ADSP5:s MAC-ehet som ka hatera overflow. Lägg märke till att processors ALU som utför valig additio ite ka hatera overflow via wrap aroud. Vi kommer att aväda multiplicera/accumulera-istruktioe för att geerera overflow. MAC-ehete multiplicerar två 6 bitars tal och och är dessa på.5- format så får vi ett resultat på.3-format som automatiskt skiftas ett steg åt väster så att vi får.3-format. MAC-ehete ka accumulera resultate, dvs samla ihop resultate frå ett atal beräkigar via istruktioe MR MR MX*MY där är eller. Resultatet i MR består av fyrtio bitar uppdelade i tre register MR, MR och MR där MR iehåller de mist sigifikata 6 bitara ( ) meda MR iehåller de mest sigifikata 5 bitara ( ) samt teckebit. MR iehåller teckekompletterade teckebitar som sigalerar evetuella fel vid wrap aroud. Vi ser vad som häder då vi adderar och subtraherar,75 ett atal gåger. Vi lägger,75 i MY och multiplicerar med (egetlige - -5 x7fff som är det största positiva tal vi ka represetera, ligger ju utaför arbetsområdet) och med (x8). Kode blir MXx7FFF; MXx8; MYx6; MR; {MX-^-5} {MX-} {MY,75} {ollställ resultat-} {register MR } NO_: MRx6; {MR,75} NO_: MRMRMX*MY(SS); {MRMR(-^-5)*,75} NO_: MRMRMX*MY(SS); {MRMR-*,75} NO_3: MRMRMX*MY(SS); {MRMR-*,75} NO_4: MRMRMX*MY(SS); {MRMR-*,75} NO_5: MRMRMX*MY(SS); {MRMR-*,75} NO_6: MRMRMX*MY(SS); {MRMR-*,75} NO_7: MRMRMX*MY(SS); {MRMR(-^-5)*,75} NO_8: MRMRMX*MY(SS); {MRMR(-^-5)*,75} Vid beräkige sker multiplikatioe först varefter resultatet teckekompletteras till 4 bitar för att seda adderas till tidigare iehåll i MR. Sida 7

8 Resultat efter istruktio MR MR MR MV (overflow flagga) NO_ 6 ja NO_ BFFF 4 ej NO_ 5FFF 4 ja NO_3 FF FFFF 4 ja NO_4 FF 9FFF 4 ja NO_5 FF 3FFF 4 ej N_6 FE DFFF 4 ej NO_7 FF 3FFF 8 ej NO_8 FF 9FFD C ja Korrekt resultat För att tolka tabelle och förstå vad som häder uder beräkiges gåg bör ma gå igeom beräkige med tale skriva på biär form (gör detta). Vi ser ur tabelle att efter operatio NO_ så har vi adderat,75,75 (ugefär) och har därmed fått ett för stort positivt tal, vi har vridit oss för lågt i tvåkomplemetcirkel och kommit över på egativa tal, wrap aroud. Lägg märke till att teckebite i MR och teckebitara i MR ite överestämmer. Nästa istruktio gör att vi återkommer till tillåtet område och då överestämmer teckebitara i MR och MR ige. Efter att också ha gått för lågt på de egativa sida återkommer vi i slutet till det tillåta talområdet och får ett korrekt resultat. Ma ka ur tabelle se att i de fall då vi ligger iom korrekt talområde så sigalerar ite overflowflagga MV och samtidigt överesstämmer teckebite i MR med bitara i MR, dvs de är lika. Då vi befier oss utaför arbetsområdet överestämmer ite teckebite i MR med bitara i MR eller också är ite alla teckebitar i MR likadaa. På detta sätt ka vi få e kotroll av att vårt resultat i slutäde är korrekt. De eda begräsige är att vi får ite drabbas av mer ä 55 overflow på varadra eftersom vi då kommer utaför de 8 bitara i MR och då ite läge ka hatera evetuell overflow och då kommer overflowflagga och bitara i MR att visa om resultatet blir korrekt. Fel på grud av begräsad ordlägd Som vi ämde i iledige så ka vi dela upp dessa fel i fyra grupper begräsad upplösig hos samplade isigaler (kvatiserigsbrus) begräsad upplösig hos beräkigskostater, t ex filterkostater avrudig vid beräkigsoperatioer som additioer och multiplikatioer bottig, dvs tal som ligger utaför processors arbetsområde I det första fallet så kommer vi alltid att arbeta med fixtalsrepresetatio eftersom samplade sigaler ormalt kommer frå e A/D-omvadlare som har ett klart defiierat arbetsområde Sida 8

9 och ett bestämt atal bitar. A/D-omvadlares fuktio och begräsigar har behadlats i adra sammahag varför vi ite går i på dessa här. I de tre seare falle är probleme geerellt sett midre vid flyttalsrepretatio ä vid fixtalsrepresetatio. Vi kommer att i första had äga oss åt de seare type eftersom de är valigast samtidigt som de alltså ger mest problem. Upplösig hos isigaler Vi får här ett fel som beror på att A/D-omvadlare har e begräsad ordlägd. Beroede på omvadlares fuktio ka vi få olika typer av fel. Avrudig Trukerig teckebitamplitud - - Trukerig -komplemet Ut - - Ut - - I I Sida 9 Trukerig och avrudig Vi ka aväda trukerig eller avrudig. Trukerig iebär att vi bara tar bort de del av sigale som vi ite ka represetera (de mist sigifikata dele) med givet atal bitar. Om vi aväder ett- eller tvåkomplemet iebär detta att vi alltid avrudar edåt, dvs vid positiva amplituder blir amplitude för lite meda de blir för stor vid egativa amplituder. Vid amplitud/teckebitrepresetatio kommer trukerige alltid att leda till avrudig mot oll, så att amplitude blir midre. Vid avrudig avrudar vi mot ärmaste ivå, dvs felet ka gå både uppåt och edåt oberoede av talrepresetatio. Då vi aväder fixtalsrepresetatio så blir felet vid trukerig ε om vi aväder tvåkomplemet meda det blir ε om vi aväder amplitud/teckebit. Då vi aväder flyttal (vilket ite är aktuellt för A/D-omvadlade sigaler) är det matissa som avrudas eller trukeras, dvs felet blir beroede av expoetes storlek, större expoet, dvs större amplitud, ger större absolut fel meda det relativa felet (felet i förhållade till sigalstorleke) blir gaska kostat i hela arbetsområdet. Vi ka få ågot likade vid fixtals-

10 omvadlig om vi låter A/D-omvadlare ha logaritmisk omvadlig. Logaritmiska A/D-omvadlare, kompaderig E valig lijär A/D-omvadlare (och äve D/A-omvadlare) har e upplösig där är atalet bitar, dvs upplösige är kostat i hela arbetsområdet och det iebär att det relativa felet (felet delat med sigalstorleke) blir mycket större då amplitude är lite jämfört med då amplitude är stor. Maximala felet blir ε max Vi försöker via kompaderig komma till rätta med detta geom att aväda omvadlare som har e logaritmisk överförigsfuktio som ger ett litet upplösigssteg då amplitude är lite meda det blir större då amplitude blir större, vi behåller dock det totala atalet steg och därmed atalet bitar. E fuktio som uppfyller dessa krav är e logaritmisk A/D-omvadlare (komprimerig) som seda får kompletteras med e expoetiell D/A-omvadlare (expaderig) då vi återgår till aaloga sigaler för att få ett lijärt utresultat. Sammatagat kallas det hela kompaderig (KOMprimerig och expandering). Det är gaska svårt att åstadkomma helt logaritmiska omvadlare så ma aväder därför oftast e sarlik fuktio som är lättare att realisera och äve dea realiseras ofta i praktike som e styckvis rätlijig modell. Det har kommit fram två olika stadardfuktioer för kompaderig, e i Europa och e i USA. Europeiska omvadlare aväder så kallad A- lagskompaderig som.9 följer kurva A-lag µ-lag Sida u ut log log ( A u ) i ( A) i stadarde är A 87,56. De amerikaska µ-lagskompaderige följer ekvatioe u ut log log ( µ u ) i ( µ ) där µ 55. Som framgår av figure är skilladera mella de två kurvora ite så stora.

11 Skall vi sigalbehadla våra data så måste våra värde vara på lijär form. Det betyder att vi måste expadera våra digitala data som kommer frå A/D-omvadlare före sigalbehadlige för att seda åter komprimera data ia de överförs till D/A-omvadlare. Lägg märke detta sker i de digitala världe då sigale beskrivs av e följd av samplade tal och ite av amplitud och fas. Det ka syas som om vi förlorar effekte av komprimerige geom att i mellasteget återgå till e lijär sigalrepresetatio me då skall ma mias att de mellaliggade omvadlige frå komprimerad till lijär sigal och tillbaka till komprimerad sigal ige sker ie i processor där vi oftast arbetar med fler bitar ä vad A/D- och D/A-omvadlara gör och detta kompeserar för övergåge till lijär fuktio. Kompaderige gör att vi ka räka med att e 8-bitars omvadlare med kompaderig ger ugefär samma sigalkvalité som e -bitars lijär omvadlare. Ditter Vid stora sigalamplituder är kvatiserigsfelet i stort sett brus, dvs oberoede av sigale (okorrolerat). Då vi kvatiserar låga sigalivåer och dessa alltså ligger i samma storleksordig som systemets upplösig så kommer vi att få ett fel som beror av isigale eftersom det då bara är toppara hos sigale som ger bitar skilda frå oll. Vi får olijär distorsio som våra öro reagerar för och ite tycker om. Om vi ka få kvatiserigsfelet att förlora si korrolatio till isigale så ka vi göra systemet lijärt äve om vi därmed ökar bruset. För att lijarisera sigale så iför ma ditter (egelskas dither). Ditter är e högfrekvet slumpsekves med amplitud som tillförs sigale före kvatiserige och gör kvatiserares beteede oförutsägbart och systemet får e brusivå som likar de i ett aalogt system. Ditter medför alltid att sigal/brusförhålladet blir lite sämre me det accepterar ma oftast om ma i stället får e lijariserig av sigale med ett okorrolerat brus. Aväds dessutom brusformig via t ex e deltamodulator så ka ma kompesera för det säkta sigal/brusförhålladet. Tillfogadet av ditter betyder att på varadra kommade sampel kommer att förskjutas lite i amplitud och därmed hama på olika kvatiserigssteg. Kvatiserigsfelet blir e fuktio av dittret sarare ä av isigale och dittret är ju slumpmässigt. Kvatiserigsfelet elimieras ite me det olijära, subjektivt occeptabla kvatiserigsfelet omvadlas till bredbadigt brus som örat är mycket mer beäget att acceptera. Ett aat sätt att se på det hela är att betrakta e svag sigal som bara varierar ågot i amplitud me amplitude ligger ädå hela tide iom samma kvatiserigssteg. Vi får då samma digitala kod ut uder e följd av sampligsperioder. Dittret gör att amplitude kommer att variera lite mer och därmed slå mella ärliggade kvatiserigsivåer på ett slumpmässigt sätt och vi får e variatio i de digitala kode. De första figure visar tidsdiagram för e isigal med amplitud motsvarade e bit och utsigale frå A/D-omvadlare om dea avrudar vid omvadlige. Efterföljade figur visar de A/D-omvadlade sigales spektra. Sida

12 Lägg märke till de måga toppara i spektrat trots att vår sigal är e re to med e eda frekves. Lägg också märke till att de korrekta toppe är svår att skilja frå de övriga toppara. Följade figurer visar motsvarade tidsfuktio och spektra då vi har tillfogat ditter. Sida

13 Lägg märke till att vi får e gaska kostat brusivå och vår sigal är lätt att urskilja. Brusivå har dock stigit ågot. Upplösig hos beräkigskostater Då vi dimesioerar ett system för digital sigalbehadlig utyttjar vi ormalt beräkigskapacitete hos t ex e PC-dator. Det gör att vi t ex ka beräka filterkostater med stor oggrahet. Filtret skall seda implimeteras i e sigalprocessor där oggrahete (ordlägde) är lägre. Resultatet blir att kostatera får fel som leder till att poler och ollställe ite ligger där vi har täkt oss. Vad det gäller poler ära ehetscirkel ka det till och med leda till att polera hamar på eller utaför ehetscirkel vilket gör systemet istabilt. Vid filterdimesioerig har vi kostaterat att polera har större iverka på frekveskurva ä ollställea. Därför har fele hos kostatera i överförigsfuktioes ämare (polera) större iverka på frekveskurva ä vad fele hos kostatera i täljare har. Dessutom är ämares kostater de kostater som kommer att multipliceras med fördröjda variater av utsigale, dvs återkoppligar, vilket gör att fel både hos kostater och lagrade gamla utsigaler multipliceras och ger sig till käa uder ett atal sampligsperioder via dea återkopplig. Har vi flera poler som är placerade ära varadra så kommer effekte av ooggrahete att förstärkas. Exempel Eftersom polera har större iverka ä ollställea så skall vi se på e ekel adragradsfuktio med två poler kompletterade av två ollställe i origo för att få ett kausalt system med så lite fördröjig som möjligt. Om polera är komplexa (och av ödvädighet komplexkojugerade för att ge reella kostater i differesekvatioe) så har vi överförigsfuktioe Dubbelt ollställe Sida 3

14 H ( Ω) K K jω ( )( ) cos( ) jω re re r Ω r r r K som ger differesekvatioe y [] K x[] r y[ ] r y[ ] x[] y[] och vidståede blockschema. r Z - r Z - Här är K filtrets förstärkigskostat och de iverkar ite på poleras läge. r är radie till polera meda f f s Ω π är polera ormerade vikelfrekves. Vi ser att -kostate ka få ett värde i itervallet till meda de reella kostate blir midre ä ett. Eftersom vi i.5-format ite ka represetera tal större ä ett så får vi skriva om ekvatioe ågot H ( Ω) K r r K' ' ' r r som ger differesekvatioe [] y ' ' [] r y[ ] r y[ ] ' K x De omskriva överförigsfuktioe ger alltså e differesekvatio där vi ite får y [ ] som resultat uta y [ ] me har vi gjort våra dimesioerigar rätt så kommer detta resultat att alltid bli midre ä varför vi ka korrigera resultatat geom ett västerskift uta att komma utaför tillåtet talområde. Bortsett frå förstärkigskostate K har vi u två kostater, r och r som ka varieras och som måste beskrivas av tillgäglig ordlägd. Aväder vi sex bitars ordlägd och beräkar alla möjliga polpositioer i första kvaderate så får vi edaståede bild. Observera att sex bitars ordlägd reduceras till fem bitar då vi håller oss till första kvaderate och tales tecke alltså är giva eftersom mest sigifikat bit är teckebit. Sida 4

15 Vi ser att atalet möjliga polpositioer ite är jämt fördelat över kvaderate uta är mycket glesare ära realaxel. Noggrahete hos vår filterdimesioerig beror alltså av var vi öskar placera polera. Förbättrad filterfuktio Vårt sätt att bygga upp filtret har iverka på filtrets beteede och möjliga polplacerigar. Nedaståede ekvatiossystem w y K b [] aw[ ] x[] b y[ ] [] bw[] a y[ ] med blockschemat Sida 5

16 x[] K/b w[] b y[] a Z - a Z - -b Z - har överförigsfuktioe H () K a b ( a ) (visa detta!). Om vi u iför r a r ( a b ) så får vi samma överförigsfuktio, dvs samma frekvesgåg som det tidigare filtret hade. Studerar vi möjliga polplacerigar i första kvaderate för dea filterkofiguratio och då åter aväder sex bitar så får vi figure på ästa sida Sida 6

17 Dvs de möjliga polplacerigara ligger jämt fördelade över kvaderate. Lägg märke till att positioera ligger tätare också, detta beror på att vi här ite har ågo filterkostat större ä ett. Exempel Vi aväder ovaståede adragradssystem på de första forme för att dimesioera ett smalt badpassfilter med mittfrekves 5 H och badbredd H då sampligsfrekvese är 8 kh. Passbadsförstärkige skall vara ett. Dimesioerig ger H (), , , Vi bestämmer spektrat för flyttal samt för 6 och 8 bitars fixtal och får edaståede figurer. Sida 7

18 Belopp, flyttal Belopp, N Belopp, N Vi ser att för just detta exempel förädras kurvforme ite så mycket, passbadsförstärkige ökar och badbredde ädras ågot. Säker vi atalet bitar till sex så kommer utsigale att bli oll beroede på att föstärkigskostate i täljare då är för lite för att kua represeteras. Exempel Om vi tittar på det otchfilter som har samma mittfrekves och badbredd som föregåede badpassfilter så har vi överförigsfuktioe Sida 8

19 H (), , , Studerar vi spektrat för flyttal samt för fixtal med 6, 8 och 6 bitar så får vi följade figurer. Belopp, flyttal Belopp, N Belopp, N Sida 9

20 Belopp, N Vi ser att reda vid 8 bitar blir resultatet gaska misslyckat och vid 6 bitar blir det helt fel. Exempel Vi ser på vad som häder om vi dimesioerar ett 8 tappars FIR-filter (lågpass) av Parks-McClellatyp med f passbad, f s och f spärrbad, f s och beräkar dess frekvesspektra då kostatera är oavrudade samt avrudade till 6, 8, 6 respektive 4 bitar. Vi får figurera Belopp, gradtal 8, flyttal Belopp, gradtal 8, 6 bitar Sida

21 Belopp, gradtal 8, 8 bitar Belopp, gradtal 8, 6 bitar Belopp, gradtal 8, 4 bitar Vi ser att filtret ite är så käsligt uta vid 6 bitar ser vi ige direkt förädrig, vid 8 bitar är förädrigara små me vid 6 och 4 bitar blir de mer markata och filtret ka ite sägas uppfylla våra krav. Vi ka geerellt säga att FIR-filter ite drabbas så hårt av avrudigsfel som IIRfilter gör. Sida

22 Avrudig vid beräkigsoperatioer Beräkigar i sigalprocessor ger alltid upphov till avrudigar som resulterar i fel. Exempel Om vi ser på vår sigalprocessor så aväder vi.5-format, alltså 5 bitars ordlägd plus teckebit. Vid additioer så måste vi se till att resultatet ite går utaför talområdet, dvs vi måste ligga i ítervallet ± och det gör att vi måste hålla er storleke och därmed oggrahete på våra tal. Vid multiplikatio blir resultatet.3-format som i slutäde måste överföras till 6-bitars register, dvs till.5-format och då tappar vi oggrahet. Eftersom multiplikator som vi tidigare har beskrivit har större oggrahet och dessutom tillåter tillfällig overflow så bör vi utyttja dea i så stor utsträckig som möjligt, dvs vi bör i stället för re additio med hjälp av ALU: aväda multiplicera/accumulera-istruktioe i MAC: och låta resultatet ligga kvar i multiplikators 4 bitars resultatregister MR så läge som möjligt och göra så få avrudigar till.5- format som möjligt. Limit cycle Då digitala filter realiseras i hård- eller mjukvara gör kvatiserige på grud av de begräsade oggrahete att systemet blir olijärt. I rekursiva system orsakar olijaritetera ofta periodiska oscillatioer hos utsigale äve då isigale är oll eller ett kostat värde. Sådaa oscillatioer kallas på egelska limit cycle och beror på avrudigsfel vid multiplikatioer och overflow vid additioer. x[] y[] Exempel Ata att vi har ett första ordiges rekursiva system r Z - y [] x[] r y[ ] överförigsfuktioe blir H [] Y X [] [] r och systemet har e pol i r. Vi realiserar systemet med r -,75 och exiterar systemet med iitialvärdet x[], dvs vi ser på impulssvaret. Hade vi haft oädlig oggrahet så skulle systemsvaret gått mot oll eligt y [] (,75) Sida

23 Im p u ls s va r, fly tta l Implimeterar vi filtret i ett system med sex bitars oggrahet, så får vi edaståede impulssvar. Impulssvaret går alltså ite mot oll uta avrudige gör att vi går mot slutresultatet ±,65. Im pulssvar, 6 bitar ( ) Ma ka visa att geerellt blir oscillatioe där är atalet bitar och r är de r rekursiva kostate. Ökar vi filtrets gradtal så blir problemet raskt mer komplicerat och svårare att aalysera. Bottig Då beräkigsresultatet hamar utaför tillåtet talområde, dvs överskrider tillåte positiv eller egativ amplitud så bör vi hatera detta på ågot sätt. Som vi tidigare ämt så är det vid två-komplemet e fördel att ite bry sig om detta uder e beräkigs gåg där vi aväder multiplicera/accumulera-istruktioe och i stället utyttja dess förmåga att aväda wrap aroud. Sida 3

24 Trukerig -komplemet - Ut - - I Då beräkige är klar är situatioe e aa. Har beräkige gått efter ritigara så skall vi ite ha ett resultat utaför talområdet uta vi skall ha återgått till tillåtet område me det ka trots detta iträffa att vi hamar utaför talområdet, t ex på grud av för stor isigal, och då är det lämpligt att se till att e för stor positiv amplitud ite ger wrap aroud uta i stället ger maximalt positivt slutresultat och på samma sätt bör ett för stort egativt resultat ger maximal egativ sigal. För att utyttja fuktioalitete maximalt får vi alltså hatera overflow på olika sätt uder olika faser av beräkige. Skalig För att udvika bottig brukar ma tillgripa skalig vilket iebär att vi dämpar isigale för att dra er beräkigsresultat och udvika bottig. Lägg märke till att riske för bottig ka vara större vid ågo av systemets itera oder, dvs vid delberäkigar, ä vid utgåge. Om vi ser på e od k i filtret så kommer isigalera till dea od att vara multiplicerade med de ikommade grearas kostater och vi har y k [] hk [ m] x[ m] hk [ m] x[ m] m m Har x[] e övre begräsig A x så gäller y k [] A h [ m] för alla x m k Arbetar vi med.5-format så ka villkoret y [ ] så att k uppfyllas om isigale skalas A x < m h k [] för alla oder i systemet. För ett FIR-system reduceras villkoret till A x < M m h k [] Sida 4

25 där M är filtrets gradtal. Ovaståede skalig garaterar att vi aldrig får bottig i vårt system es om alla sigaler x[] är ett (maxamplitud) me de leder också till att vi för att vara på de säkra sida dämpar de mera typiska, midre sigalera alldeles för mycket vilket leder till stora avrudigseffekter och därmed säkt oggrahet. Detta gäller speciellt om isigale är smalbadig, t ex estaka siusformade sigaler. Här ka vi i stället aväda filtrets frekveskarakteristik och sätta villkoret A x max Ω π H k ( Ω) där H k (Ω) är h k []:s fouriertrasform. Metode ka uder ogysamma förhållade ge bottig. Val av filterstruktur Ma iser lätt att om vi aväder e sigal eller e kostat i e beräkig som leder till avrudig och därefter aväder resultatet av beräkige i efterföljade beräkigar som också ger avrudade resultat så kommer fele att byggas upp och öka allt eftersom (accumuleras). Ju fler steg som geererar beräkigsresultate ju större blir fele. x[] Z - Z - Z - t t t y[] Om vi ser på det ekla FIR-filtret så iser vi att här multipliceras varje fördröjt isampel med si filterkostat och multiplikatioera och summerigara leder aturligtvis till avrudigar me dessa delresultat återaväds ite seare i ya filterberäkigar med ya multiplikatioer och additioer. Detta gör att FIR-filter ite drabbas så hårt av avrudigsfel i våra umeriska beräkigar. Sida 5

26 x[] r r Z - Z - y[] Ser vi däremot på ett IIR-filter så har vi här ett atal sligor som återkopplas och resultatet av e utsigalberäkig lagras för att återavädas i seare utsigalberäkigar. Ju fler sådaa avrudade udalagrigar vi får med i varje beräkig ju grövre blir felet. Därför blir felet allt större då vi ökar filtrets djup geom att öka dess gradtal. Z - x[] Z - Z - t t t r r Z - Z - y[] Eftersom geerella filter har både fördröjda variater av ioch utsigal så är resoemage ova giltiga äve för dessa filter. Z - Z - x[] r r Z - Z - Z - t t t y[] Vi ser att de seare figure bara iehåller e kedja fördröjigar me de medför att vi måste ta trasversaltermera frå de avrudade, återkopplade rekursiva dele varför de seare type ger större beräkigsfel. Dessa beräkigsfel ger sig till kä- Sida 6

27 Sida 7 a som ett midre (sämre) sigal/brusförhållade. Kaskadkopplade sektioer Vid kaskadkopplig av läkar bygger vi upp filtret som e seriekopplig av adragradsläkar (biquad) och evetuellt e förstagradsläk om gradtalet är udda. ( ) Ω P p p p p p p p b b b a a a b b a a t t t H!! Vi ser att atalet lagrade termer i varje läk ite blir större ä två. Däremot kommer utsigale frå e läk att lagras uda som isigal till efterföljade läk varför ett atal avrudigsfel kvarstår. Det är ite lätt att bestämma i vilke ordig polera och ollställera skall behadlas i beräkige för att ge mista fel. Parallellkopplade sektioer Här partialbråksuppdelar vi överförigsfuktioe i adragradsuttryck och evetuellt ett förstagradsuttryck om filtrets gradtal är udda. Filtret realiseras seda som e parallellkopplig av dessa läkar. ( ) Ω P p p p p p p d d d c c d d c t t t H!! Vi ser att här är det aldrig mer ä två återkopplade termer som lagras uda för återavädig och de avrudade resultate frå e läk aväds ite som isigaler till adra läkar varför atalet avrudade termer miskar och vi får ett bättre sigal/brus-förhållade ä vad vi ka åstadkomma med kaskadkopplige. Z - Z - t t t x[] r r Z - Z - t t t r r y[]

28 x[] t y[] r Z - t r Z - t t r Z - t r Z - t Sida 8