1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

Transkript

1 LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig så har de äve samma vätevärde och stadardavvikelse. Vi får EX k EX k k p X k k p X k V X EX EX.5.5 V X + Y [Oberoede] V X + V Y DX + Y b i. X Po. Formelsamlige ger att EX. PX > EX PX > PX F X [Tabell 7] ii. X Exp/l. Ur formelsamlige fås att EX /l och f X x l e l x, x. PX > EX PX > /l [ e l x] /l /l f X x dx + e l /l e c Ur uppgiftstexte ka vi utläsa följade saolikheter /l l e l x dx PA B.4, PA B., PA B. För att avgöra om fele iträffar oberoede av varadra får vi udersöka om PA B PAPB. Ritar ma ett Ve-diagram ser ma att PA och PB ka fås som PA PA B + PA B PB PB A + PA B PAPB PA B Fele iträffar således ite oberoede av varadra. d X R, dvs f X x, x. Om vi låter Y X är det f Y y och EY som söks. i. För att få fram f Y y är det lämpligt att först räka ut F Y y. F Y y PY y P X y PX y F X y f Y y d dy F Y y d dy F X y f X y y y, y dvs f Y y y, y ii. Vätevärdet för Y blir EY y f Y y dy [ y y y dy e Om vi låter hädelse A Larmet går och B Ibrott så får vi följade saolikheter ur texte PA B.99, PA B., PB. ]

2 De sökta saolikhete fås med hjälp av Bayes sats PA B PB A PA.47 PA BPB PA BPB + PA B PB a För att bestämma kostate k aväder vi att itegrale av e täthetsfuktio över hela defiitiosområdet är. [ ] f X,Y x, y dxdy kx + y dydx k xy + y dx k k x + dx k [ x + x ] b De margiella täthetsfuktioe för X fås ur f X x f X,Y x, y dy k k x + y dy k ] 4 + k [ ] xy + y kx + k x +, < x < 6 c För att räka ut korreleatioskoefficiete mella X och Y behöver vi först räka ut EX, EX, V X, f Y y, EY, EY, V Y, EXY och CX, Y. EX x f X x dx x + x dx [ ] x x EX x f X x dx x + x dx [ ] x x V X EX EX [ ] x 4 f Y y kx + y dx k + xy k + y + y, < y < EY y + y dy [ ] y + y EY y + y dy [ ] y + y V Y [ x EXY xy f X,Y x, y dxdy k x y + xy y ] dydx k + xy dx k x + x [ x dx k 6 + x 6 CX, Y EXY EX EY r X,Y CX, Y 8 V X V Y k k 99.8

3 b d Slutlige för EY X x behöver vi de betigade täthetsfuktioe för Y givet x f Y X y x f X,Y x, y f X x EY X x x + kx + y kx + x + y x + y f Y X y x dy x + x +, < y < xy + y dy x + x +, < x < 6x + [ xy + y. a Skillade mella de två modellera är att täjbarhete x ej är med i de adra modelle. Vi bör alltså udersöka om det är lämpligt att ha med x i första modelle. Detta ka vi göra geom att, för modell, testa H : b mot H : b på ivå.. Testet ka vi utföra med t.ex ett 99% kofidesitervall för b. E puktskattig av b är reda give me vi behöver ha skattigar av s och Db. Eftersom vi skattar fyra regressiosparametrar i modell får vi s s Q E skattig av variase för b hittar vi i tredje rade och tredje kolume i kovariasmatrise s U T U så kofidesitervallet blir I b b ± t./ 4db.68 ± [.,.64] Eftersom kofidesitervallet täcker pukte oll är ite b sigifikat skiljd frå oll. Det är alltså lämpligare att välja modell där x ite är med. b Vi börjar med e puktskattig av m EY då x 9 och x 7. a b b a b a m + x x + x x b 4.5b b ] För att skatta stadardavvikelse för m behöver vi skatta s och kovariasmatrise för modell eftersom a är oberoede av både b och b är elemete av storleksordig 8 i U T U avrudigsfel ma får är ma arbetar med flyttal av ädlig precissio så de ka vi sätta till oll s s Q V a Cb, a Cb, a.545 s U T U Ca, b V b Cb, b.8.74 Ca, b Cb, b V b Varias och medelfel för m blir V m V a b 4.5b V a V b V b Cb dm Kofidesitervallet blir I m m ± t.5/ dm 5.7 ±..7 [8.8,.6] Alterativt ka ma räka ut m och dm på matrisform med u [ x x x x ] [ ] b m u θ u [a ] T [ ][ ] T 5.7 V m V u θ u V θ u T dm s u U T U u T.7, b

4 4. Om vi låter X i vara vikte av e slumpvis vald ma och Y i vikte av e slumpvis vald kvia. Då har vi följade fördeligar X i N 77, 8, Y i N 66, 7 a De totala vikte av tre mä är ormalfördelad och de sökta saolikhete blir X i N 77, 8 i P X i > 4 F i F b Om vi atar att k st av persoera i hisse är mä så har vi k st kvior. Fördelige för de totala vikte Z k blir då Z k k k X i + Y i N i i 77k + 66 k, 8 k + 7 k Saolikhete att totalvikte överstiger 4 kg blir 4 77k + 66 k p k PZ k > 4 F 8 k + 7 k Sätter vi i de möjliga värdea på k ova fås k p k Nu är atalet mä resp. kvior i hisse slumpmässigt. Om vi låter Y vara atalet mä i hisse så är Y Bi, / och atalet kvior är Y. Saolikhetsfuktioe för Y är k p Y k k k k k+ k, k,,, k 8 Sätter vi i k,,, ova får vi respektive /8, /8, /8, /8. För att få fram saolikhete att totalvikte i hisse, Z, överskrider 4 kg får vi aväda satse om total saolikhet. PZ > 4 PZ k > 4 Y kpy k k. / / / /8.6 4

5 F F 5. a Vi har x,..., x obs av X i N m, s där s 5. Testa H : m H : m > på ivå a.5. Eftersom styrkefuktioe skall beräkas är det lämpligt att utgå frå testkvatitet och kritsikt område. I det här fallet får vi att H skall förkastas om x s / > l a Styrkefuktioe blir X hm PH förksatas om m är rätt värde P s / > l a X m P s / > l a + m s / F l a + m s / F skall u bestämmas så att styrkefuktioe är mist.9 då m 5 h5 >.9 5 s / l a >.9 [s 5] l a >.9 l a > l. P X > s l a + m s / l a > l a + l Ma behöver alltså ta mist io mätvärde för att kravet skall vara uppfyllt. b fms Om vi låter Y i vara efterfråga uder e måad så har vi eligt uppgifte k p Yi k a.4 a. a. a. i. Om det fis högst två eheter i lagret vid ispektio fylls det upp till fyra eheter. Efter påfyllad kommer alltså lagret alltid att ha edera tre eller fyra eheter. Vid ästa måads ispektio kommer lagret att iehålla tre eller fyra eheter mius det atal eheter som efterfrågats uder de kommade måade dvs X + X Y. Övergågsmatrise för atalet eheter i lager måad blir alltså a a a a....4 a a a a....4 P....4 a a a a a a a a a a a a ii. Eftersom alla elemet i P är > så kommuicerar alla tillståd tvåsidigt med varadra och markovkedja är då irreducibel. iii. Kedjas assymptotiska fördeig fås som lösige till p p P med bivillkore att elemete i p är positiva samt att summa av dem skall vara ett p....4 p P [p, p, p, p, p 4] p +.p +.p +.p +.p 4.p +.p +.p +.p +.p 4.p +.p +.p +.4p +.p p +.4p +.4p +.4p 4 T.p.p +.p + p + p + p 4.p +.p + p + p + p 4.4p +.p + p + p + p 4.4p + p + p + p 4 T 5

6 Ekvatiossystemet blir, om vi aväder p +p +p +p +p 4 p +p +p +p 4 p p.p p.p +. p p.p +. p p.4p +. p p 4.4 p Näst sista ekvatioe ger direkt p /. Detta isatt i övriga ekvatioer ger de assymptotiska fördelige p [p, p, p, p, p 4] [, 4, 7,, 8]/ [.,.,.,.,.667] Lagret behöver fyllas då vi är i tillståd, eller. Saolikhetete för detta är p + p + p /.4. Lagret behöver i geomsitt fyllas vid 4% av tillfällea. b fms Ma ka agripa dea uppgift på ett par olika sätt. Ett sätt är att utgå frå MKskattige av θ, θ x. Dea skattig är, eligt cetrala gräsvärdessatse, approximativt ormalfördelad om atalet elemet i medelvärdet är stort. Här har vi bara observatioer, me eftersom rektagelfördelige är symmetrisk så torde det räcka bra för att motviera ormalapproximatio. Vi behöver räka ut skattige och dess medelfel för att kostruera kofidesitervallet. X i R, θ, EX i θ/, V X i θ /, eligt formelsamlige θ x.88 V θ V X V dθ X i i θ i V X i θ θ Ett uppåt begräsat kofidesitervall med approximativ kofidesgrad 95% blir I θ [, θ + l.5dθ ] [, ] [,.8] Samma itervall får ma om ma utgår frå ett itervall för EX, som skattas med x, och seda trasformerar detta till ett itervall för θ geom att multiplicera med två. Ett aat sätt att härleda ett approximativt kofidesitervall för θ är att utgå frå att summa av observatioera är approximativt ormalfördelad och därifrå aväda defiitioe av ett kofidesitervall. För ett uppåt begräsat kofidesitervall skall vi bestämma e gräs a så att Pθ < a a Eftersom summa av observatioer i det här fallet har vätevärde θ/ och stadardavvikelse θ / har vi Xi θ θ Xi θ N, och P θ > l a a I saolikhete ova ka vi u lösa ut θ. P Xi > l a θ + θ a P θ < Xi l a a Kofidesitervallet blir med isatta siffror [ ] xi 8.8 I θ, l, [,.9] 6

7 m 6. Vi har två oberoede observatioer; x av N m, s och ȳ av N m, s m. ML-skattige av m av det m, s som maximerar Likelihoodfuktioe Lm, s och s ges Lm, s f X x f Ȳ ȳ p s / x m s e / p s /m m l L l l s x m + mȳ m p s l L [ x m + mȳ m ] m s l L s s + x m + mȳ m s 4 ȳ m s e /m m x m +mȳ m p s e s Maximum får vi geom att lösa ekvatiossystemet med de två partiella derivatora ova satta till oll. Första ekvatioe blir x + mȳ m mm m x + mȳ Adra ekvatioe satt till oll och m s [ x m + mȳ m ] m x ȳ m el. ova isatt i adra steget ger x x + mȳ + m ȳ Eftersom X N m, s och Ȳ N m, s m blir vätevärdet av m x + mȳ... Em E X + mȳ E X + meȳ m + mm m Dea skattig är således vätevärdesriktig. För att räka ut vätevärdet av s ka vi först udersöka X Ȳ som är omalfördelad med vätevärde m m och varias V X Ȳ V X + V Ȳ s / + /m Ur detta och räkeregel V X EX EX ka vi räka ut E[ X Ȳ ] V X Ȳ + E X Ȳ s Vätevärdet av s blir E[s + + s m m m ] E X Ȳ m E[ X Ȳ ] m s m s Dea skattig är alltså ite vätevärdesriktig så vi ka korrigera de geom att multiplicera med två och får sammafattigsvis följade skattigar x + mȳ, s m x ȳ 7