MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II"

Transkript

1 MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig och exempel, del II Stickprov Två yttiga fördeligar Estimerig G. Gripeberg 3 Kofidesitervall Aalto-uiversitetet 3 februari 05 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, / del 78 II Stickprov Målsättige är att få iformatio om slumpvariabel X. För att få iformatio gör ma tex. mätigar som ger resultate x, x,..., x och ma täker att x j är värdet av e slumpvariabel X j. Slumpvariablera X, X,..., X är ett stickprov med storleke och x, x,..., x är ett observerat stickprov med storleke. Vi atar valige och uta att säga det explicit att X, X,..., X är oberoede och har samma fördelig, som är fördelige av de slumpvariabel vi är itresserade av. Mätskalor Nomialskala: Olika grupper uta aturlig ordig. Ordialskala: Olika grupper med e aturlig ordig. Itervallskala: Numeriska värde, skillader meigsfulla, olla godtycklig. Kvotskala: Numeriska värde, aturligt ollvärde. Obs! Atagadet att slumpvariablera X j i ett stickprov är oberoede förutsätter att vi aväder dragig med återläggig, me detta villkor uppfylls sälla! Det fis dessutom måga adra större svårigheter är ma i praktike skall ta ett stickprov och detta är ett viktigt problem som ite behadlas här! Fördelige av de observerade värdea och hur de beskrivs Av de observerade värdea x, x,..., x i ett stickprov ka ma bilda e diskret saolikhetsfördelig, e sk. empirisk fördelig så att PrH = x = { j : x j = x } som alltså är e jäm diskret fördelig om värdea är olika. Ma ka beskriva dehär fördelige med vätevärdet, variase, mediae, adra kvatiler mm. me också med stapeldiagram eller histogram beroede på situatioe. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 3 / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 4 / del 78 II

2 Stapeldiagram Om mätskala är e omial- eller ordialskala och/eller de ursprugliga slumpvariabel är diskret så ka det observerade stickprovet x, x,..., x beskrivas med ett stapeldiagram där höjde av varje stapel y k är de observerade frekvese f k = { j : x j = y k } och alla staplar har samma bredd. Histogram 4 3 y y y 3 y 4 Om slumpvariabel är kotiuerlig 3 och mätskala är e itervall- eller kvotskala så ka det observerade stickprovet x, x,..., x beskrivas med ett histogram, dvs. klassidelade frekveser så att ma väljer klassgräser a 0 < a <... < a m, räkar frekvesera f k = { j : a k < x j a k } och ritar dessa som rektaglar vars ytor är proportioella mot frekvesera. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 5 / del 78 II Medelvärde Om X j, j =,..., är ett stickprov av slumpvariabel X så är dess aritmetiska medelvärde X = X j och EX = EX och VarX = VarX, eftersom vätevärdet är lijärt, variase av e summa av oberoede slumpvariabler är summa av variasera och VarcX = c VarX. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 6 / del 78 II Stickprovsvarias Om X j, j =,..., är ett stickprov av slumpvariabel X så är dess stickprovsvarias S = X j X och ES = VarX, så att stickprovsvariase är e vätevärdesriktig estimator av variase vilket är motiverige för valet av istället för i ämare. Obs Om x, x,..., x är observerade värde i ett stickprov av slumpvariabel X så är deras medeltal x = x j och observerade stickprovsvarias s = x j x. Om ma i Matlab/Octave har observatioera i vektor x så räkar ma medelvärdet med kommadot meax och stickprovsvariase med kommadot varx. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 7 / del 78 II χ -fördelige Ifall X j N0,, j =,,..., m, är oberoede och m C = i= så säger vi att C är χ -fördelad med m frihetsgrader eller C χ m. Då är EC = m och VarC = m, och C har täthetsfuktioe och f C t = 0 då t < 0. X i f C t = m t m e t, t 0. Γ m Stickprovsvarias för ormalfördelige Om X j, j =,,..., är ett stickprov av e Nµ, σ fördelad slumpvariabel så gäller för stickprovsvariase σ S χ. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 8 / del 78 II

3 t-fördelige Ifall Z N0, och C χ m är oberoede och W = Z m C så säger vi att W är t-fördelad med m frihetsgrader eller W tm. Då är EW = 0 om m > och VarW = m m f W t = Γ m+ mπ Γ m Stickprov av ormalfördelige om m > och W har täthetsfuktioe + t m m+, t R. Om X j, j =,,..., är ett stickprov av e Nµ, σ -fördelad slumpvariabel så är X µ S t. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 9 / del 78 II Puktestimat och estimator Atag att vi vet eller tror att X är e slumpvariabel med frekves- eller täthetsfuktio f x, θ där parameter θ som också ka vara e vektor är okäd. Vad ka vi göra för att estimera eller skatta θ? Vi tar ett observerat stickprov x j, j =,..., av X. Vi räkar ut ett estimat ˆθ = gx, x,..., x där g är ågo fuktio. Observera att ˆθ är ett tal eller e vektor me om vi byter ut tale x j mot motsvarade slumpvariabler X j så får vi slumpvariable ˆΘ = gx, X,..., X. Iblad är det fuktioe g som avses med ordet estimator och iblad slumpvariabel ˆΘ. Itervallestimat Istället för att bara räka ut ett tal eller e vektor som estimat för e parameter ka ma också räka ut ett itervall. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 0 / del 78 II Exempel: Mometmetode Av slumpvariable X har vi fått följade observatioer 0.46, 0.0, 0.9, 0.09, 0.46 och 0.6. Vi har skäl att tro att X är Expλ-fördelad me vi käer ite till parameter λ. Hur ka vi uppskatta, dvs. estimera λ? Eftersom vi vet att EX = λ så är det aturligt att räka medelvärdet av de observerade värdea och vi får x = 6 6 = = 0.6, 6 och seda aväda detta tal istället för EX i formel EX = λ så att vi får estimatet ˆλ = För expoetialfördelige ka vi alltså som estimator för parameter aväda. X Dehär estimator är ite vätevärdesriktig eftersom E > λ me då X växer ärmar de sig det riktiga värdet, dvs. lim Pr λ X j > ɛ = 0 för alla ɛ > 0. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, / del 78 II Mometmetode Om frekves- eller täthetsfuktioe f x, θ för e saolikhetsfördelig är såda att θ ka skrivas som e fuktio av EX, dvs. θ = hex så är mometestimator av θ ˆΘ = h X j. Om parameter, eller parametrara ka skrivas som e fuktio hex, EX blir estimator på motsvarade sätt ˆΘ = h X j, Xj. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, / del 78 II

4 Maximum likelihood - metode Om f x, θ är e frekves- eller täthetsfuktio för e saolikhetsfördelig så är Maximum likelihood -estimatet av θ talet θ sådat att L θ, x, x,..., x = max Lθ, x, x, x, θ där Lθ, x, x, x = f x, θ f x, θ... f x, θ är de sk. likelihood -fuktioe och x j, j =,..., är ett observerat stickprov av e slumpvariabel med frekves- eller täthetsfuktioe f x, θ. I det diskreta fallet är Lθ, x, x, x saolikhete för att ma då parameter är θ får det observerade stickprovet x j, j =,...,. I fallet med täthetsfuktio är h Lθ, x,..., x för små positiva h ugefär saolikhete att få ett observerat stickprov y j, j =,..., så att y j x j < h för alla j. Exempel: Maximum-likelihood metode mm Du aläder till e främmade stad och på flygfältet ser du tre taxibilar med umrora 57, 3 och 758. Hur måga taxibilar fis det i dehär stade? Vi atar att att det fis N taxibilar med umrora,,..., N och att saolikhete att e taxibil på flygfältet har ummer j är N för alla j =,,..., N. Om vi aväder mometmetode så skall vi räka vätevärdet av e slumpvariabel X som är jämt fördelad i mägde {,..., N} och det är EX = N i= i N = NN+ N = N+, så att N = EX. Seda räkar vi medelvärdet av observatioera x = = och som estimat får vi ˆN = vilket är ett för litet atal. E aa möjlighet är att aväda maximum-likelihood metode: Om atalet taxibilar är N så är saolikhete N att vi ser bile med ummer 57. Samma saolikhet gäller för bilara med ummer 3 och 758, förutsatt att N 758 för aars är saolikhete 0 att vi ser e bil med ummer 758. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 3 / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 4 / del 78 II Exempel: Maximum-likelihood metode mm, forts. Dethär betyder att LN = Pr Du ser umrora 57, 3 och 758 = N 3, N 758, 0, N < 758. I elighet med maximum-likelihood metode väljer vi estimatet ˆN så att likelihoodfuktioe LN får ett så stort värde som möjligt, dvs. i detta fall ˆN = 758. Motsvarade resultat gäller också mera allmät, dvs. om X, X,..., X k är ett stickprov av e slumpvariabel som är jämt fördelad i mägde {,,..., N} eller i det kotiuerliga fallet i itervallet [0, N] så är maximum-likelihood estimatet av N ˆN = maxx, X,..., X k. Detta är ite ett vätevärdesriktigt estimat för det är klart att E ˆN < N me vad är EmaxX, X,..., X k? G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 5 / del 78 II Exempel: Maximum-likelihood metode mm, forts. Nu är PrmaxX, X,..., X k m = PrX j m, j =,..., k = m N av vilket följer att PrmaxX, X,..., X k = m = m k N m k N och vätevärdet blir E maxx, X,..., X k N m k m k = m. N N E följd av detta är att m= k k + N < EmaxX, X,..., X k < k k + N +. Dethär betyder att e bättre estimator för N kude vara k + k maxx, X,..., X k, som är vätevärdesriktigt i det kotiuerliga fallet Ett bättre estimat för atalet taxibilar är alltså G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 6 / del 78 II k

5 Exempel: Kofidesitervall för parameter i expoetialfördelige Vi atar att vi har ett stickprov av e Expλ-fördelad slumpvariabel så att stickprovets storlek är 50 och medelvärdet är 0.8. Med mometmetode får vi då estimatet ˆλ = 0.8 =.5 för parameter λ me här gäller det att bestämma ett itervall så att om vi med måga olika stickprov med samma metod bestämmer ett itervall så kommer i stort sett tex. 95% av itervalle att vara sådaa att parameter hör till det itervall vi räkat ut med hjälp av de observerade värdea i det fallet. För detta behöver vi e slumpvariabel vars fördelig vi åtmistoe approximativt käer till, dvs. de iehåller iga okäda parametrar. Med stöd av de cetrala gräsvärdessatse aväder ma för dethär ofta ormalfördelige N0, och det gör vi u också. Vi strutar för e stud i de umeriska värdea och atar att vi har ett stickprov X, X,..., X 50 av e slumpvariabel X Expλ. Vätevärdet av medelvärdet X = 50 X j är då EX = EX = λ och variase VarX = 50 VarX = 50. λ G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 7 / del 78 II Exempel: Kofidesitervall för parameter i expoetialfördelige, forts. Om vi tror att = 50 är tillräckligt stort så är X λ 50λ a N0,. Ifall Z N0, så gäller Pr F N0, 0.05 Z FN0, = Pr.96 Z.96 = 0.95, så att Nu är Pr.96 X λ λ.96 X λ.96 50λ X λ , X G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 8 / del 78 II Exempel: Kofidesitervall för parameter i expoetialfördelige, forts. så att saolikhete att λ ligger mella slumpvariablera och X X också är ugefär Detta betyder att ett 95% approximativt kofidesitervall för parameter i expoetialfördelige då stickprovets storlek är 50 är [ 0.7 X,.8 ]. X I dethär fallet blir kofidesitervallet [0.9,.6]. För expoetialfördelige är det ite speciellt svårt att få fram olikheter för parameter, me om detta ite skulle ha varit fallet detta gäller tex. Beroulli-fördelige så skulle vi i uttrycket λ för variase ha kuat aväda estimator X för λ och då skulle kofidesitervallet ha blivit X +.96 X, X.96 = X och dethär kofidesitervallet blir [0.97,.73] om x = 0.8. [ 0.78 X,.38 ], X G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 9 / del 78 II Kofidesitervall Ett kofidesitervall med kofidesgrade för e parameter θ i e saolikhetsfördelig är e itervallestimator I X, X,..., X = [ax, X,..., X, bx, X,..., X ] så att Pr θ I X, X,..., X =. Oftast aväds också ordet kofidesitervall för itervallet I x, x,..., x, dvs. värdet av slumpvariabel är ma fått ett observerat stickprov x j, j =,...,. Obs! Valige väljer ma kofidesitervallet symmetriskt så att Prθ < ax, X,..., X = Prθ > bx, X,..., X =. Oftast får ma öja sig med att villkore för kofidesitervallet gäller edast approximativt. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 0 / del 78 II

6 Kofidesitervall för vätevärdet då X Nµ, σ Om X, X,..., X är ett stickprov med medelvärde X och stickprovsvarias S av e Nµ, σ -fördelad slumpvariabel så är [ X F t S, X + F ] t S, ett kofidesitervall för µ med kofidesgrade. Kofidesitervall för p då X Beroullip Om X, X,..., X är ett stickprov med medelvärde X av e Beroullip-fördelad slumpvariabel så är X F N0, X X, X + F N0, X X ett approximativt kofidesitervall för µ med kofidesgrade. Varför? Ifall W är e t -fördelad slumpvariabel och t = F t = F t så är Pr t u W = X µ S edast om X t W så är t S t =. Om W t µ X + t om och S. t t Varför? Om Z är approximativt N0, -fördelad och z = F N0, Pr z Z z. Nu är X p p p ämare med estimator X och om Z = precis då X z X X p X + z så är a N0, me p ersätts i X p X X X X. så är z Z z G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, / del 78 II Obs! Ofta aväds beteckige t = t,m = F tm = Ftm, vilket alltså betyder att om X är e tm-fördelad slumpvariabel så är PrX t = PrX t = och Pr X t =. Motsvarade beteckig för ormalfördelige N0, är z så att om Z N0, så är PrZ z = PrZ z = och Pr Z z =. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 3 / del 78 II Kofidesitervall för σ då X Nµ, σ Om X, X,..., X är ett stickprov med stickprovsvarias S av e Nµ, σ fördelad slumpvariabel så är [ S F χ, ] S F χ ett kofidesitervall för σ med kofidesgrade. Varför? Om C är e χ fördelad slumpvariabel så gäller PrC < F χ = och PrC > F χ =. Om u F χ F χ C = S så är σ < S då C > F σ F χ χ och σ > S då C < F F χ χ så att saolikhete för båda hädelsera är. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 4 / del 78 II

7 Hypotesprövig Vi udersöker om det fis skäl att förkasta e hypotes H 0, de sk. ollhypotese, för att de resultat vi fått är mycket osaolika om ollhypotese gäller eller om allt bara beror på slumpe. Nollhypotese är valige ett motpåståede eller atites som vi behöver argumet för att förkasta. För att kua göra ågra beräkigar måste ma som ollhypotes välja ett tillräckligt etydigt påståede, tex. θ = θ 0 och ite θ θ 0 som är för diffust. Oftast räcker det om ollhypotese har ett etydigt extremfall, tex. θ θ 0. I ollhypotese igår oftast måga adra atagade om fördeligar, oberoede osv. som ka ha stor betydelse för resultatet me som ma ite ödvädigtvis försöker förkasta. Hypotesprövig, forts. När ma tagit ett stickprov räkar vi ut värdet på e testvariabel som vi valt så att om ollhypotese gäller så har testvariabel åtmistoe approximativt ågo stadardfördelig som vi käer väl till. Med stöd av ollhypotese räkar ma ut saolikhete, det sk. p-värdet, för att testvariabel får ett mist lika extremt värde i förhållade till ollhypotese som det observerade stickprovet gav. Om p-värdet är midre ä e give sigifikasivå förkastar ma ollhypotese. Sigifikasivå är alltså saolikhete ofta ett ärmevärde och om ollhypotese iehåller olikheter, e övre gräs för att ma förkastar ollhypotese trots att de gäller. För att beräka saolikhete att ma ite förkastar ollhypotese fastä de ite gäller behövs specifika tilläggsatagade vilket gör dea fråga svårare att behadla. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 5 / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 6 / del 78 II Exempel: Hypotestestig Till e polikliik kommer i geomsitt 9 patieter i timme. E dag då det varit halt väglag kommer det 30 patieter uder timmar. Kommer det mera patieter på grud av det dåliga väglaget eller är det fråga om slumpmässiga variatioer? Om det kommer i geomsitt 9 patieter i timme så ka vi räka med att vätevärdet av atalet patieter uder timmar är 9 = 08 och vi ka som ollhypotes ta atitese till fråga om det kommit ovaligt måga patieter att vätevärdet av atalet patieter är högst 08. Dessutom gör vi också atagadet att atalet patieter uder timmar är Poissoλ-fördelat där alltså λ 08. För räkigara aväder vi ädå extremfallet λ = 08. Det är ige idé att räka bara saolikhete för att PrX = 30 om X är atalet patieter, me däremot skall vi räka saolikhete PrX 30. Om vi räkar med Poisso-fördeliges fördeligsfuktio får vi p = PrX 30 = PrX 9 = F Poisso08 9 = Exempel: Hypotestestig, forts. Om vi aväder ormalapproximatio så får vi p = PrX 30 = Pr = Pr X EX 30 EX VarX VarX X EX X EX = Pr VarX 08 VarX Geom att räka PrX 9 med ormalapproximatio kommar ma ärmare det exakta svaret. Slutsatse är i alla fall att ollhypotese ka förkastas på sigifikasivå 0.05 me ite på sigifikasivå 0.0. Om vi istället som ollhypotes tagit λ = 08, vilket skulle ha varit föruftigt om vi frågat om det varit e ovalig dag på polikliike, så borde vi också beakta möjlighete att det kommit väldigt få patieter och då skulle p-värdet ha blivit det dubbla vilket ite exakt är PrX 30 + PrX 86. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 7 / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 8 / del 78 II

8 Testa vätevärde, ormalfördelig, exempel Var mars 04 e ovalig måad beträffade ederbörde? I mars 04 var ederbördsmägdera på vissa mätstatioer följade: Nederbörd Motsarade medeltal för åre var Medeltal Nu är det föruftigt att räka hur mycket värdea för år 04 avviker frå medelvärdea och skilladera är följade: Skillad Testa vätevärde, ormalfördelig, exempel, forts. Eftersom fråga var om mars var e ovalig måad så väljer vi som ollhypotes att de ite var det. Vi ka ite som ollhypotes aväda atagadet att de var ovalig för det ger igetig som ka avädas i räkigar och här sägs igetig om på vilket sätt de evetuellt var ovalig. Nollhypotese blir därför att skillade mella ederbördsmägdera 04 och medelvärdea frå e lägre tid är Nµ, σ -fördelade med µ = 0 och att dehär skilladera på olika orter är oberoede. Medelvärdet av skilladera är 4.8 och stickprovsvariase är Det betyder att testvariabel W = X 0 får värdet Eftersom W S 0 eligt ollhypotese har fördelige t0 så blir p-värdet p = Pr W = PrW.3496 eller W.3496 = F t F t = F t = , så vi ka förkasta ollhypotese på sigifikasivå G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 9 / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 30 / del 78 II Testa vätevärde, ormalfördelig, exempel, forts. Om fråga skulle ha varit om ederbördsmägde i mars 04 var ovaligt lite skulle vi som ollhypotes ha valt påståedet att de ite var det, dvs. att fördelige av skilladera är Nµ, σ där µ 0. Testvariabel skulle ha varit precis desamma me p-värdet skulle ha blivit p = PrW.3496 = F t = Om fråga skulle ha varit om ederbördsmägde i mars 04 var ovaligt stor skulle vi som ollhypotes ha valt påståedet att de ite var det, dvs. att fördelige av skilladera är Nµ, σ där µ 0. Eftersom medelvärdet är egativt är resultate helt i elighet med de här ollhypotese så det fis iget skäl att förkasta de och vi behöver ite heller räka ut stickprovsvariase, det räcker att vi räkar medelvärdet. Normalfördelad slumpvariabel, testig av vätevärdet Ifall X j, j =,,..., är ett stickprov av slumpvariabel X som är Nµ, σ -fördelad och ollhypotese är µ = µ 0 eller µ µ 0 eller µ µ 0 så väljer vi som testvariabel X µ 0 S t, där X är medelvärdet och S stickprovsvariase. Obs! Det är e följd av atagadet om ormalfördelig att här ite aväds approximatioer så det är ite ödvädigtvis ett problem om stickprovsstorleke är lite. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 3 / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 3 / del 78 II

9 Testig av adel eller saolikhet med ormalapproximatio Ifall X j, j =,,..., är ett stickprov av e Beroullip-fördelad slumpvariabel och ollhypotese är p = p 0 eller p p 0 eller p p 0 så ka vi som testvariabel välja X p 0 p 0 p 0 a N0,. Vi ka lika väl räka summa Y = X j av stickprovet som är Bi, p-fördelad och testvariabel som ite ädras ka vi skriva i forme Y p 0 p0 p 0 a N0,. Obs! I dethär fallet aväder vi e approximativ fördelig och som e tumregel ka ma aväda att approximatioe är tillräckligt bra om mip 0, p 0 0. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 33 / del 78 II p-värde, kritiskt område, tm- eller N0, -testvariabel Vi atar att testvariabel U är tm- eller approximativt N0, -fördelad så att dess fördeligsfuktio är F U och att de i testet får värdet u. Om alterativet till ollhypotese är tvåsidigt, dvs. ollhypotese är µ = µ 0, p = p 0 osv., dvs. resultate är helt i elighet med ollhypotese då testvariabel är 0 så gäller: p-värdet är PrU u eller U u = F U u. Nollhypotese förkastas på sigifikasivå ifall p < dvs. om testvariabels värde ligger i det kritiska området, u u, där u = F U = F U. u G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 34 / del 78 II u p-värde, kritiskt område, tm- eller N0, -testvariabel, forts. Om alterativet till ollhypotese är esidigt, och ollhypotese är µ µ 0, p p 0 osv., dvs. resultate är helt i elighet med ollhypotese då testvariabel är 0 så gäller p-värdet är PrU u = F U u. Nollhypotese förkastas på sigifikasivå om p < dvs. om testvariables värde ligger i det kritiska området u, där u = F = F. U U p-värde, kritiskt område, tm- eller N0, -testvariabel, forts. Om alterativet till ollhypotese är esidigt, och ollhypotese är µ µ 0, p p 0 osv., dvs. resultate är helt i elighet med ollhypotese då testvariabel är 0 så gäller p-värdet är PrU u = F U u. Nollhypotese förkastas på sigifikasivå om p < dvs. om testvariabels värde ligger i det kritiska området, u där u = F = F. U U u u G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 35 / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 36 / del 78 II

10 Testig av två vätevärde, ormalfördelig, samma varias Om X j, j =,,..., x och Y j, j =,,..., y är oberoede stickprov av slumpvariablera X och Y där X Nµ x, σ och Y Nµ y, σ och ollhypotese är µ x = µ y eller µ x µ y eller µ x µ y så väljer vi som testvariabel Varför X Y t x + y. x + y x + y x S x +y S y x S x + y S y x + y x + y Eftersom X j Nµ x, σ och Y j Nµ y, σ så gäller x Sx σ χ x och y S y χ σ y och eftersom X - och Y -slumpvariablera och därmed Sx och Sy är oberoede så är σ x Sx + y Sy χ x + y. Testvariabel ka Z X Y alltså skrivas i forme där Z = N0,, m C σ x + y m = x + y och C = σ x Sx + y Sy. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 37 / del 78 II Exempel: Skillade mella adelar Uder åre föddes i Paris flickor och pojkar och uder samma tid föddes i Lodo flickor och pojkar. Fis det skillader i adele flickor? Låt X j vara e slumpvariabel som får värdet om bar ummer j i Paris är e flicka och 0 om det är e pojke och låt Y j vara motsvarade slumpvariabel för bare i Lodo. Dessutom atar vi att alla dehär slumpvariablera är oberoede och att PrX j = = p P och PrY j = = p L. Nollhypotese är i detta fall H o : p P = p L. Nollhypotese säger ite vad p P = p L är me vi ka räka ett estimat ˆp för dehär saolikhete geom att kostatera att det föddes sammalagt bar och av dessa var flickor så att ˆp = Vi ka också räka medelvärdea av de observerade stickprove och de är x = och y = ˆp ˆp Slumpvariabels X varias är ugefär där P = 7784 är P atalet bar födda i Paris. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 38 / del 78 II Exempel: Skillade mella adelar, forts. ˆp ˆp På samma sätt är variase av Y ugefär där L = 7784 är L atalet bar födda i Lodo. Det här betyder att slumpvariabels X Y varias är ugefär ˆp ˆp ˆp ˆp + så att testvariabel P L X Y Z = ˆp ˆp P + L är i stort sett N0, -fördelad. I dethär fallet får testvariabel värdet z = = p-värdet blir u p Pr Z = F N0, = , vilket betyder att vi har goda skäl att förkasta ollhypotese. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 39 / del 78 II Testig av två adelar eller saolikheter Om X j, j =,,..., x och Y j, j =,..., y är två oberoede stickprov av slumpvariablera X och Y där X Beroullip x och Y Beroullip y och ollhypotese är p x = p y eller p x p y eller p x p y så väljer vi som testvariabel där X Y a N0, P P x + y P = xx + y Y x + y. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 40 / del 78 II

11 Exempel: Skillade mella två vätevärde, allmät fall Frå e viss process har vi samlat i data för att säkerställa produktkvalitete och seda gjorde vi ädrigar i processe för att miska på variase. Detta lyckades också me vi hoppas och också mätvärdea, dvs. kvalitete också stigit. För att udersöka detta gjorde vi mätigar före och efter förädrigara: Stickprovsstorlek Medelvärde Stickprovsvarias Före Efter Här har vi alltså stickprov X, X,..., X 0 före och Y, Y,..., Y 50 efter och vi atar att alla dessa slumpvariabler är oberoede, slumpvariablera X j har samma fördelig och slumpvariablera har samma fördelig. Däremot atar vi ite att de har samma varias eller är ormalfördelade me og att de är sådaa att medelvärdea X och Y är ugefär ormalfördelade på gud av de cetrala gräsvärdessatse. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 4 / del 78 II Exempel: Skillade mella två vätevärde, allmät fall, forts. Då gäller också X Y a N µ X µ Y, σ X 0 + σ Y. 50 I dethär fallet väljer vi som ollhypotes µ X µ Y som motpåståede till vår förmoda att kvalitete förbättrades, dvs. µ Y > µ X. Vi vet ite vad σx och σ Y är me vi ka estimera dem med stickprovsvariasera S X och SY så att testvariabel blir Z = X Y S x 0 + S Y 50 a N0,. Värdet av testvariabel är i detta fall.6 och eftersom positiva värde på testvariabel är i samklag med ollhypotese så blir p-värdet p = PrZ.6 F N0,.6 = Det här betyder att vi ka förkasta ollhypotese på sigifikasivå 0.0. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 4 / del 78 II Apassig eller Goodess-of-fit Om X j, j =,..., är ett stickprov av slumpvariabel X vars värdemägd är m k= A k där mägdera A k är disjukta och ollhypotese är så väljer vi som testvariabel H 0 : PrX A k = p k, k =,..., m m O k p k a χ m, p k k= där O k är atalet elemet i mägde { j : X j A k }. Exempel: Sigla slat Atag att vi siglar slat 400 gåger och får 70 klavor och 30 kroor. Som ollhypotes tar vi H 0 : p = 0.5 där p = PrT. Om Y är atalet klavor så är Y Biom, p med = 400 och p = 0.5. Y p Det betyder att a N0, så p-värdet blir, eftersom alterativet p p till ollhypotese är tvåsidigt, p = PrY 70 = Pr Y p p p Y p = Pr p p G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 43 / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 44 / del 78 II

12 Exempel: Sigla slat, forts. Ett aat sätt är att skriva de observerade tale i e tabell: T H och räka värdet av testvariabel C = m O k p k k= p k χ -apassigstestet och det blir c = i = = 9. Nu är C ugefär χ -fördelad och det är bara stora värde på C som motsäger ollhypotese så testets p-värde blir p = PrC 9 = F χ 9 = Exempel: Sigla slat, forts. Hur kommer det sig att vi får exakt samma svar i båda falle? Om Y Biom, p är atalet klavor så är Y atalet kroor och Y p Y p + = p p Y p = p + = p Y p p Y p p p = + Y + p p Y p p p, så att testvariabel i χ -testet är kvadrate av testvariabel i ormalapproximatioe av de biomialfördelade slumpvariabel Y och e χ -fördelad slumpvariabel är eligt defiitioe kvadrate av e N0, -fördelad slumpvariabel. Ifall atalet klasser m i χ -testet är större ä så är det betydligt besvärligare att visa att C a χ m. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 45 / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 46 / del 78 II Test av variase, ormalfördelig Om X j, j =,,..., är ett stickprov av slumpvariabel X som är Nµ, σ -fördelad och ollhypotese är σ = σ0 eller σ σ0 eller σ σ0 så väljer vi som testvariabel där S är stickprovsvariase. S σ 0 χ, G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 47 / del 78 II p-värde, kritiskt område, χ -testvariabel Vi atar att testvariabel C är approximativt χ k-fördelad och att de i testet får värdet c. Om alterativet till ollhypotese är esidigt och små värde av testvariabel är föreliga med ollhypotese så gäller: p-värdet är PrC c = F χ kc. Nollhypotese förkastas på sigifikasivå om p < dvs. om testvariabel får sitt värde i det kritiska området F χ k,. Om alterativet till ollhypotese är esidigt och stora värde av testvariabel är föreeliga med ollhypotese så gäller p-värdet är PrC c = F χ kc. Nollhypotese förkastas på sigifikasivå om p < dvs. om testvariabel får sitt värde i det kritiska området 0, F χ k. Om alterativet till ollhypotese är tvåsidigt så gäller p-värdet är mif χ kc, F χ kc. Nollhypotese förkastas på sigifikasivå om p < dvs. om testvariabel får sitt värde i det kritiska området 0, F χ k Fχ k,. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 48 / del 78 II

13 Exempel: Stickprovsvariases fördelig Om X j, j =, är ett stickprov av e Nµ, σ fördelad slumpvariabel så har S fördelige χ. Me vad häder om vi tar ett σ stickprov av e slumpvariabel X som är jämt fördelad i itervallet [0, ] så att VarX =? Som ollhypotes tar vi att S fortfarade är χ -fördelad, vi σ väljer = 5 och räkar variase för 00 stickprov. Klassera väljer vi som itervalle [0,, [, 4, [4, 6, [6, 8 och [8, och resultate blir följade då vi ser efter i vilket itervall 5 s hamar: A k [0, [, 4 [4, 6 [6, 8 [8, O k Saolikhete att e χ 5 -fördelad slumpvariabel ligger i itervallet [a k, a k är F χ 4a k F χ 4a k och de här saolikhetera blir A k [0, [, 4 [4, 6 [6, 8 [8, p k G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 49 / del 78 II Exempel: Stickprovsvariases fördelig, forts. Värdet av testvariabel C = 5 O k 00 p k k= 00 p k blir u c = = 5.5. Eftersom C är ugefär χ 5 -fördelad och edast stora värde på C motsäger ollhypotese så blir testets p-värde p = PrC 5.5 = F χ 45.5 = Det här betyder att det fis skäl att förkasta ollhypotese och om vi skulle ha räkat variase för äu flera stickprov skulle det här ha blivit äu tydligare. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 50 / del 78 II Exempel Vi vill testa om saolikhete att få e kroa då ma siglar e viss slat faktiskt är 0.5. Hur måga gåger måste vi sigla slate för att saolikhete att ollhypotese H 0 : p = 0.5 förkastas på sigifikasivå 0.05 är åtmistoe 0.9 om p 0.5? Eftersom vi vill räka ut e övre gräs för atalet kast räcker det att ata att p = 0.5. Vi siglar alltså slat gågar och adele kroor blir då ˆp. Testvariabel är för ormalapproximatio Z = ˆp p 0 p 0 p 0 där p 0 = 0.5. Eftersom sigifikasivå är vald till 0.05 och alterativet till ollhypotese är tvåsidigt så är de kritiska värdea ±z 0.05 = F N0, 0.05 = ±.96, dvs. ollhypotese förkastas om z >.96 eller z <.96. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 5 / del 78 II, Exempel, forts. Om u i verklighete p = p = 0.5 så är Pr ˆp p 0 p 0 p 0 = Pr = Pr >.96 = Pr ˆp p p p ˆp p p p >.96 ˆp p p p ˆp > p > p Pr a N0,, och vi får p0 p 0 p 0 p 0 p p p p 0 p 0 p p + p 0 p p p ˆp p p p > G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 5 / del 78 II

14 Exempel, forts. Vi får också ett motsvarade uttryck för Pr ˆp p 0 p0 p 0 <.96 me eftersom det räcker att få e edre gräs för och eftersom det är rimligt att ata att de seare saolikhete är mycket lite så blir kravet att vilket betyder att PrZ > eftersom F N0, och vi får villkoret Exempel, forts. Om u 6600 så visar e räkig att Pr ˆp p 0 p 0 p 0 <.96 = PrZ < < PrZ < , så det var helt korrekt att struta i dea term = 6569., 0.04 vilket betyder att det är skäl att välja G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 53 / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 54 / del 78 II Korrelatio Korrelatioe eller korrelatioskoefficiete mella slumpvariablera X och Y är CovX, Y ρ XY = CorX, Y = = E X EX Y EY, VarX VarY VarX VarY och om X j, Y j, j =,..., är ett stickprov av slumpvariabel X, Y så är stickprovskorrelatioskoefficiete R XY = X j X Y j Y S xy X j X =, Y j Y Sx Sy där och S x = S xy = X j X Y j Y, X j X, S y = Y j Y. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 55 / del 78 II Obs! Om X och Y är slumpvariabler med ädlig me positiv varias och a, b, c och d är tal med a 0 och c 0 så är CoraX + b, cy + d = sigaccorx, Y. Varför? Eftersom CorU, V = CorV, U så räcker det att visa att CoraX + b, Y = sigacorx, Y för då är CoraX + b, cy + d = sigacorx, cy + d = sigacorcy + d, X = sigasigccory, X = sigaccorx, Y Eftersom EaX + b = aex + b så är VaraX + b = EaX + b aex b = a VarX och CovaX + b, Y = EaX + b aex by EY så att CoraX +b, Y = = aex EX Y EY = acovx, Y, acovx, Y a VarX VarY = a CorX, Y = sigacorx, Y. a G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 56 / del 78 II

15 Stickprovskorrelatioskoefficietes fördelig Ifall X j, Y j, i =,..., är ett stickprov av e slumpvariabel X, Y där X och Y är oberoede, så att ρ xy = 0, och de ea av slumpvariablera är ormalfördelad och de adra är kotiuerlig så gäller R XY t. RXY Ifall X j, Y j, i =,..., är ett stickprov av e ormalfördelad slumpvariabel X, Y med < ρ xy < och σx > 0 och σ y > 0 så gäller + l RXY + a N R l ρxy, XY ρ XY 3 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 57 / del 78 II Mista-kvadrat-metode då y b 0 + b x Om ma atar att sambadet mella x och y är y b 0 + b x, puktera x j, y j, j =,..., är giva och ma bestämmer b 0 och b så att y j b 0 b x j är så lite som möjligt så blir svaret b = x j xy j y x j x = s xy s x och b 0 = y b x, där x = x j och y = y j. Varför? Vi ka skriva kvadratsumma y j b 0 b x j i forme f b 0, b =, y j y b 0 b x j x och villkoret att de partiella derivata med avseede på b 0 är 0 ger b 0 = 0, dvs. b 0 = 0 och villkoret att de partiella derivata med avseede på b är 0 ger b x j x y j y x j x = 0 och dea ekvatio ger uttrycket för b. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 58 / del 78 II Obs I räkigara ova förekommer iga slumpvariabler me vi ka bra täka oss att sambadet mella variabler x och y är y = β 0 + β x me då ma mäter värdea av y-variabel så förekommer det slumpmässiga fel som leder till att de uppmätta värdea blir y j = β 0 + β x j + ε j, j =,..., där ε j är slumpvariabler. Det faktum att ma miimerar y j b 0 b x j och ite ågot aat uttryck är föruftigt om ma atar att det ite förekommer ågra fel i x j -värdea och att alla avvikelser frå e rät lije beror på felaktiga y j -värde. Att ma seda miimerar e kvadratsumma och ite tex. absolutbelopp är föruftigt om ma atar att slumpvariablera ε j är ormalfördelade. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 59 / del 78 II Exempel: Regressioslije Vi har följade observatioer x y Först räkar vi medelvärdea och de är x = , y = Seda skall vi räka stickprovsvariase av x och stickprovskovariase av variablera x och y och vi får s x = s xy = x j x =.584, x j xy j y =.6. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 60 / del 78 II

16 Exempel: Regressioslije, forts. Det här betyder att b = s xy sx = , b 0 = y b x =.485. Puktera och lije ser ut på följade sätt: G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 6 / del 78 II Regressio Vi atar att slumpvariabel Y förutom på slumpe beror på variabel x så att Y = β 0 + β x + ε där ε är e slumpvariabel som vi atar att är oberoede av x. Ett stickprov av Y är därför av type x j, Y j, j =,..., där ε j = Y j β 0 β x j är oberoede slumpvariabler med samma fördelig, som vi valige atar vara N0, σ. Med mista kvadratmetode som är föruftig precis då ε N0, σ får vi följade estimatorer för β, β 0 och σ : B = S xy sx, B 0 = Y B x, S = Y j B 0 B x j, där S xy = x j xy j Y. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 6 / del 78 II Regressio, testvariabler Atag att ε j N0, σ, j =,..., är oberoede och Y j = β 0 + β x j + ε j, j =,...,. Då är S B 0 N β 0, σ + x B N β, σ χ. Som testvariabler ka vi aväda B 0 β 0 W 0 = S + W = B β S s x σ s x x s x t. sx, t,, G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 63 / del 78 II Ett sambad mella estimatorera Av defiitioera ova följer också att och S = S y R xy, Sx R xy = B Sy, B S S x = R xy. Rxy Det seare resultatet visar att test av ollhypotesera β = 0 och ρ xy = 0 ger samma resulat då ma atar ormalfördelig. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 64 / del 78 II

17 Ett sambad mella estimatorera, varför? Eftersom B = Sxy, B sx 0 = Y B x, S = Y j B 0 B x j och S xy = R xy s x S y så är S = = B B0 + B x j y j = B x j x y j y x j x B x j xy j y + = B sx B S xy + Sy S xy sx = Sx 4 y j y S xy s x + S y = S y R xys y = S y R xy, Ett sambad mella estimatorera, varför?, forts. E följd av det här är att B S s x = s x S xy S y R xy s x = S xy s x S y R xy = R xy. Rxy så att S = S y R xy. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 65 / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 66 / del 78 II Exempel: Trafikolyckor Eligt statistikcetrale var atalet förolyckade persoer i trafikolyckor uder åre följade I dethär fallet är det ädamålseligt att som x-variabel ta årtalet frå vilket vi subtraherar 05 så att tabelle ser ut på följade sätt: x y Frå det här stickprovet ka vi räka följade estimat: Exempel: Trafikolyckor, regressioslije Nu får vi följade estimat för parametrara i regressiosmodelle Y j = β 0 + β x j + ε j : b = s xy sx = 5.879, b 0 = y b x =.79, r xy = s xy s x s y = Lije och datapuktera ser ut på följade sätt: x y sx sy s xy G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 67 / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 68 / del 78 II

18 Exempel: Trafikolyckor, β Vi ka räka ett estimat för restvariase atige direkt med formel s = 0 0 y j b 0 b x j, me i allmähet är det eklare att aväda formel s = s y r xy = = Nu ka vi testa ollhypotese β = 0 och då är testvariabel W = B 0 S s x och de här testvariabel får värdet w = t0, = G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 69 / del 78 II Exempel: Trafikolyckor, β, forts. Eftersom ollhypotese är β = 0 och ite tex. β 0 vilket ma väl kude motivera så blir p-värdet p = F t = , Exempel: Trafikolyckor, β 0 Eftersom vi subtraherade 05 frå årtale är β 0 vätevärdet av atalet förolyckade i trafikolyckor år 05. Om vi vill testa hypotese β 0 40 så aväder vi som testvariabel B 0 β 0 W 0 = S + x s x t. När vi sätter i de tal vi tidigare räkat ut i de här formel så får vi G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 70 / del 78 II Exempel: Trafikolyckor, β 0, forts w 0 = = Eftersom ollhypotese var β 0 40 så är det edast stora egativa värde på testvariabel som motsäger ollhypotese, dvs. alterativet är esidigt så p-värdet blir p = F t8.56 = , och vi förkastar ite ollhypotese es på sigifikasivå Exempel: Trafikolyckor, kofidesitervall för parametrara Kofidesitervall för parametrara β 0 och β defiieras och beräkas på samma sätt som kofidesitervall för vätevärdet av e ormalfördelad slumpvariabel. Om vi tex. skall bestämma ett 99% kofidesitervall för parameter β så kostatterar vi först att eftersom W = B β S s x t och F t = Ft = så är Pr B β S s x = = Eftersom B β S om och edast om s x G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 7 / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 7 / del 78 II

19 Exempel: Trafikolyckor, kofidesitervall för parametrara, forts. B Pr β [ S s x B β B S sx, B S s x S så är s x ] = När vi sätter i de tal vi räkat ut tidigare så får vi som kofidesitervall med kofidesgrade 99% [ ] , = [ 4.95, ]. Betigade fördeligar av ormalfördeligar, förklarigsgrad Om X, Y är ormalfördelad så är σ Y X = x N µ Y + ρ Y XY σ X x µ X, ρ XY σ Y, dvs. där EY X = x = µ Y + ρ XY σ Y σ X x µ X = β 0 + β x, σ Y β = ρ XY = σ XY σ X σx, β 0 = µ Y β µ X. Med mista kvadratmetode får vi estimat för parametrara β 0 och β som är s y b = r xy = s xy s x sx, b 0 = y b x. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 73 / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 74 / del 78 II Betigade fördeligar av ormalfördeligar, förklarigsgrad, forts. Om X, Y är ormalfördelad och X = x så ka vi alltså skriva där Y = β 0 + β x + ε ε N0, ρ XY σ Y. Här är alltså restvariase ρ XY σ Y de del av variase av Y som ite ka förklaras med beroedet på X och de del av variase av Y som ka förklaras med beroedet på X är ρ XY σ Y σ Y = ρ XY. Iterpolerig och extrapolerig Om ma har gjort mätigar av ågot slag och fått resultate x j, y j, j =,..., så vill ma ofta veta vilket värde y skulle få om x = x 0. Ett sätt att räka ut ett rimligt svar är att ata att y b 0 + b x, bestämma b 0 och b och seda räka ut b 0 + b x 0. Ett ekelt sätt att förutom att göra dea räkig också få e uppfattig om hur stort felet ka bli är att ersätta värdea x j, j =,..., med x j = x j x 0 och seda i ormal ordig räka ut estimat och göra hypotesprövigar för β 0 i regressiosmodelle Y = β 0 + β x + ε. Aalogt med detta säger vi att talet r xy, som är ett estimat av ρ XY är regressiosmodelles Y j = b 0 + b x j förklarigsgrad. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 75 / del 78 II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 76 / del 78 II

20 Logistisk regressio Atag att vi av friska och isjukaade persoer mätt följade kocetratioer av fibrioge i blodet: Friska Friska Isjukade Om u fibriogekocetratioe i blodet på e viss perso är 3. så vad är saolikhete att he är frisk? Här atar vi alltså att saolikhete att e perso är frisk på ågot sätt beror på fibriogekocetratioe, som vi beteckar med x, dvs. Pr Persoe är frisk = px. Nu är det ite föruftigt att ata att detta sambad är lijärt för d å går det lätt så att px får värde som ite ligger i itervallet [0, ]. E bättre idé är att aväda odds och ata att log px px = c 0 + c x dvs. px = ec 0+c x + e c 0+c x. För att estimera c 0 och c aväder vi Maximum likelihood metode. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 77 / del 78 II Logistisk regressio, forts. Låt u f i, i =,..., vara kocetratioera hos de friska persoera och s i, i =,..., kocetratioera hos de isjukade persoera. Låt u Lc 0, c vara saolikhete, med de atagade vi gjort, att de friska är friska och de sjuka är sjuka, eller eftersom px = +e c 0 +c x Lc 0, c = e c 0+c t... e c 0+c t + e c 0+c t... + e c 0 +c t + e c 0+c s... + e c 0 +c s. Det är ite helt ekelt att bestämma de pukt i vilke dea fuktio uppår sitt största värde me med umeriska metoder får vi c och c.6 så att p G. Gripeberg Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig 3 februari 05 och exempel, 78 / del 78 II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 13 februari 015 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig,

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II Stickprov MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig del II G Gripeberg Aalto-uiversitetet 4 februari 04 Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G Gripeberg

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Formelblad Sannolikhetsteori 1 Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla

Läs mer

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten Statistik Språkligt och historiskt betyder statistik ugefär sifferkuskap om state E Statistisk udersökig består av fyra delar: Plaerig Dataisamlig Bearbetig Beskrivade statistik (kap 1) Statistisk aalys

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Tetame TT091A KMASK14H 7,5 högskolepoäg Nam: (Ifylles av studet) Persoummer: (Ifylles av studet) Tetamesdatum: 2 jui 2015 Tid: 9:00-13:00 Hjälpmedel:

Läs mer

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde

Läs mer

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner. Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np.

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601 Valiga fördeligar Fördelig Vätevärde Varias Biomialfördelig, Bi (, p ) P (X = x) = ( x) p x (1 p)

Läs mer

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ) Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Tentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl

Tentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl Avdelige för atioalekoomi och Tetame i för STA A13, 1-10 poäg Deltetame II, 5p Lördag 9 jui 007 kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

Id: statistik.tex :48:29Z joa

Id: statistik.tex :48:29Z joa UTDRAG UR FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI PUNKT- OCH INTERVALLSKATTNINGAR SAMT HYPOTESTEST MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, È; FMS 012 JOAKIM LÜBECK, SEPTEMBER 2008 Iehåll 1 Puktskattigar

Läs mer

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad

Läs mer

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3150 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 29 maj 2007 Lösig till tetame för kurse Log-lijära statistiska modeller 29 maj 2007 Uppgift 1 a Modelle uta ågra

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010 Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS65

SAMMANFATTNING TAMS65 SAMMANFATTNING TAMS65 Matematisk statistik, fortsättigskurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, VT 016 Seast reviderad: 016-06-01 Författare: Viktor Cheg Iehållsförteckig

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I Föreläsig 5 732G04 Surveymetodik 732G19 Utredigskuskap I Dages föreläsig Klusterurval Estegs klusterurval Tvåstegs klusterurval Klusterurval med PPS 2 Klusterurval De urvalsdesiger som diskuterats hittills

Läs mer

Lösningsförslag 081106

Lösningsförslag 081106 Lösigsförslag 86 Uppgift Trädslag: kvalitativ, omialskala (diskret) Diameter: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Höjd: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Ålder: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Trädslag:

Läs mer

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Statistisk försöksplaerig Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Skriftlig tetame 3,0 hp 51SF01 DTEIN14h 4,5 högskolepoäg TetamesKod: Tetamesdatum: 5 ovember 015 Tid: 9.00-13.00 Hjälpmedel: Miiräkare Totalt

Läs mer

STATISTIK FÖR LÄKARSTUDENTER

STATISTIK FÖR LÄKARSTUDENTER 2015-04-05 STATISTIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsso läkarstudet.se INDEX INTRODUKTION...2 Att skriva saolikheter...2 Saolikhetslagar...2 Fakulteter...3 Odds och oddskvot...3 Typer av data...4 Diagram...5

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

F4 Enkel linjär regression.

F4 Enkel linjär regression. Lijär regressio F4 Ekel lijär regressio. Christia Tallberg Avdelige för Natioalekoomi och Statistik Karlstads uiversitet Hittills har vi försökt beskriva data som utgjorts av observatioer frå e variabel.

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Laboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar

Laboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-02 Laboratio 5: Kofidesitervall viktiga statistiska fördeligar Syfte I dea laboratio

Läs mer

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A)

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Istitutioe för matematisk statistisk Statistiska metoder, 5 poäg MSTA36 Peter Ato LÖSNINGSFÖRSLAG 005-10-6 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistiska metoder, 5 poäg

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 5

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 5 Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsig 5 HYPOTESPRÖVNING (LLL Kap 11) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för

Läs mer

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik Matematik tatitik KTH Formelamlig i matematik tatitik Vårtermie 07 Kombiatorik! = k k! ( k)!. Tolkig: mägd med elemet. = atalet delmägder av torlek k ur e k Stokatika variabler V (X) = E X (E (X)) C (X;

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23 1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider... Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................

Läs mer

Några grundläggande begrepp och termer i statistikteorin

Några grundläggande begrepp och termer i statistikteorin Matematisk statistik för STS vt 004 004-05 - 03 Begt Rosé Några grudläggade begrepp och termer i statistikteori Om matematisk statistik Som tidigare ämts brukar matematisk statistik delas upp i huvudområdea

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160331, kl. 08.00 12.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann 73G70 Statistik A Föreläsigsuderlag skapad av Karl Wahli Föreläsigsslides uppdaterade av Bertil Wegma Istitutioe för dataveteskap (IDA) Liköpigs uiversitet vt 06 Kapitel Populatioer, stickprov och variabler

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

Statistik för ingenjörer 1MS008

Statistik för ingenjörer 1MS008 Statistik för igejörer MS8 Föreläsig Kursmål: För godkät betyg på kurse skall studete käa till ett flertal metoder och tekiker för visualiserig av datamaterial; kua geomföra ekla beräkigar av saolikheter;

Läs mer

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle

Läs mer

Biostatistik II - Hypotesprövning i teori och praktik. Frida Eek

Biostatistik II - Hypotesprövning i teori och praktik. Frida Eek Biostatistik II - Hypotesprövig i teori och praktik Frida Eek frida.eek@med.lu.se 1 Viktiga dimesioer vid val av test (och äve val av deskriptiv statistik) Urvalsstorlek Mätivå/skaltyp Fördelig av data

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter TNA00 Matematisk grudkurs Övigsuppgiter Iehåll: Uppgit Uppgit 8 Uppgit 9 6 Uppgit 7 5 Uppgit 55 60 Facit sid. 8-0 Summor, Biomialsatse, Iduktiosbevis Ivers uktio Logaritmer, Expoetialuktioer Trigoometri

Läs mer

Linjär regression - kalibrering av en våg

Linjär regression - kalibrering av en våg Lijär regressio Saolikhet och statistik Regressiosaalys HT 2008 Uwe.Mezel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Samba mella två storheter ofta av itresse:... solarium hucacer... BN växelkurs... rökaet

Läs mer

Formelsamling Tillämpad statistik, A5

Formelsamling Tillämpad statistik, A5 Formelsamlig Tillämpad statistik, A5 Statistiska istitutioe, Uppsala uiversitet 016-01-11 Nödvädiga tabeller fis i Tabell- och formelsamlig för A4/A8. Observera att iga ateckigar får fias i formelsamlige

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160928, kl. 14.00 18.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x) Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK Versio 9 december 4 Fel i lösigara mottages tacksamt till mattsso@math.kth.se. Notera att lösigara på vissa ställe utyttjar adra,

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 Gripenberg I1. Vi antar att antalet telefonsamtal som kommer till ett servicenummer under en tidsperiod med längden

Läs mer

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}: CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i

Läs mer

Matematisk statistik

Matematisk statistik Tetame TEN, HF, 8 aug Kursod: HF Srivtid: 8:-: Lärare och examiator: Armi Halilovic Matematis statisti Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statisti ") och miiräare av vile typ som

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata Sesorer, effektorer och fysk Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Noggrahet och precso Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätgar är

Läs mer

Funktionsteori Datorlaboration 1

Funktionsteori Datorlaboration 1 Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa

Läs mer

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska

Läs mer

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta. KOD: Kurskod: PC106/PC145 Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 4/5 014 Hel- och halvfart VT14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare: Niklas Frasso

Läs mer

MAS110:B MATEMATISK STATISTIK INFERENSTEORI. Matematikcentrum Matematisk statistik ÖVNINGSUPPGIFTER MED LÖSNINGAR TILL FLERTALET UPPGIFTER

MAS110:B MATEMATISK STATISTIK INFERENSTEORI. Matematikcentrum Matematisk statistik ÖVNINGSUPPGIFTER MED LÖSNINGAR TILL FLERTALET UPPGIFTER MAS0:B MATEMATISK STATISTIK ALLMÄN KURS, INFERENSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER MED LÖSNINGAR TILL FLERTALET UPPGIFTER Läsåret 0/0 Matematikcetrum Matematisk statistik CENTRUM SCIENTIARUM MATHEMATICARUM MAS0:B

Läs mer

Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna

Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna UMEÅ UNIVERSITET Ititutioe för matematik tatitik Statitik för lärare, MSTA8 PA LÖSNINGSFÖRSLAG 004-0-8 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statitik för lärare, poäg Tillåta hjälpmedel:

Läs mer

Statistik en introduktion

Statistik en introduktion Varför? Statistik e itroduktio Frida Eek frida.eek@med.lu.se Framtida forskig? Projektarbete? Förståelse! Tolkig! Kritisk graskig/utvärderig! Statistik 1 2 Upplägg Föreläsig 1 q Datatyper q Lägesmått och

Läs mer

Bertrands postulat. Kjell Elfström

Bertrands postulat. Kjell Elfström F r å g a L u d o m m a t e m a t i k Matematikcetrum Matematik NF Bertrads ostulat Kjell Elfström Bertrads ostulat är satse, som säger, att om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2.

Läs mer