MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II"

Transkript

1 MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 1 / 3 1 Stickprov Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II / 3

2 Mätskalor Nomialskala: Olika grupper uta aturlig ordig. Ordialskala: Olika grupper med e aturlig ordig. Itervallskala: Numeriska värde, skillader meigsfulla, olla godtycklig. Kvotskala: Numeriska värde, aturligt ollvärde. Stickprov Målsättige är att få iformatio om slumpvariabel X som ite behöver vara reell. För att få iformatio gör ma tex. mätigar som ger resultate x 1, x,..., x och ma täker att x j är värdet av e slumpvariabel X j. Slumpvariablera X 1,..., X är ett stickprov av storleke och x 1, x,..., x är ett observerat stickprov av storleke. Vi atar valige och uta att säga det explicit) att X 1, X,..., X är oberoede och har samma fördelig, som är fördelige av de slumpvariabel vi är itresserade av. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 3 / 3 Obs! Atagadet att slumpvariablera X j i ett stickprov förutsätter att vi aväder dragig med återläggig, me detta villkor uppfylls sälla! Det fis dessutom måga adra större svårigheter är ma i praktike skall ta ett stickprov och detta är ett viktigt problem! Aritmetiskt medelvärde Om X j, j = 1,..., är ett stickprov av slumpvariabel X så är dess aritmetiska) medelvärde X = 1 X j och j=1 EX ) = EX ) och VarX ) = 1 VarX ). G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 4 / 3

3 Stickprovsvarias Om X j, j = 1,..., är ett stickprov av slumpvariabel X så är dess stickprovsvarias S = 1 X j X ) 1 j=1 och vilket är motiverige för valet av 1 istället för i ämare) ES ) = VarX ). G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 5 / 3 χ -fördelige Ifall X j N0, 1) är oberoede och Y = i=1 X i så säger vi att Y är χ -fördelad med frihetsgrader eller Y χ ). Då är EY ) = och VarY ) = och Y har täthetsfuktioe och f x) = 0 då x < 0. f x) = 1 ) x 1 e x, x 0. Γ Stickprovsvarias för ormalfördelige Om X j, j = 1,,..., är ett stickprov av e Nµ, σ ) fördelad slumpvariabel så gäller för stickprovsvariase 1 σ S χ 1). G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 6 / 3

4 t-fördelige Ifall Z N0, 1) och Y χ m) är oberoede och W = Z 1 m Y så säger vi att W är t-fördelad med m frihetsgrader eller W tm). Då är EW ) = 0 om m > 1 och VarW ) = m m ) f x) = 1 Γ m+1 ) mπ Γ m om m > och täthetsfuktioe för W är 1 + x m ) m+1, x R. Stickprov av ormalfördelige Om X j, j = 1,,..., är ett stickprov av e Nµ, σ ) fördelad slumpvariabel så är X µ 1 S t 1). G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 7 / 3 Puktestimat och estimator Atag att vi vet eller tror) att X är e slumpvariabel med frekves- eller täthetsfuktio f x, θ) där parameter θ som också ka vara e vektor) är okäd. Vad ka ma göra för att estimera eller skatta θ? Ta ett observerat stickprov x j, j = 1,..., Räka ut ett estimat ˆθ = gx 1, x,..., x ) där g är ågo fuktio. Observera att ˆθ är ett tal eller e vektor meda ˆΘ = gx 1, X,..., X ) är e slumpvariabel. Iblad är det fuktioe g som avses med ordet estimator och iblad slumpvariabel ˆΘ. Itervallestimat Istället för att bara räka ut ett tal eller e vektor) som estimat för e parameter ka ma också räka ut ett itervall. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 8 / 3

5 Mometmetode Om frekves- eller täthetsfuktioe f x, θ) för e saolikhetsfördelig är såda att θ ka skrivas som e fuktio av EX ), dvs. θ = hex )) där X har täthetsfuktioe f x, θ) så är mometestimator av θ ˆΘ = h 1 X j. Om parameter, eller parametrara ka skrivas som e fuktio hex ), EX )) blir estimator på motsvarade sätt ˆΘ = h j=1 X j, 1 ) j=1 X j. 1 j=1 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 9 / 3 Maximum likelihood - metode Om f x, θ) är e frekves- eller täthetsfuktio för e saolikhetsfördelig så är Maximum likelihood -estimatet av θ talet θ sådat att L θ, x 1, x,..., x ) = max Lθ, x 1, x, x ), θ där Lθ, x 1, x, x ) = f x 1, θ) f x, θ)... f x, θ) är de sk. likelihood -fuktioe och x j, j = 1,..., är ett observerat stickprov av e slumpvariabel med frekves- eller täthetsfuktioe f x, θ). I det diskreta fallet är Lθ, x 1, x, x ) saolikhete för att ma då parameter är θ får det observerade stickprovet x j, j = 1,...,. I fallet med täthetsfuktio är h) Lθ, x 1,..., x ) för små positiva h ugefär saolikhete att få ett observerat stickprov y j, j = 1,..., så att y j x j < h för alla j. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 10 / 3

6 Kofidesitervall Ett kofidesitervall med kofidesgrade α för e parameter θ i e saolikhetsfördelig är e itervallestimator I X 1, X,..., X ) = [ax 1, X,..., X ), bx 1, X,..., X )] så att Pr θ I X 1, X,..., X ) ) = α. Oftast aväds också ordet kofidesitervall för itervallet I x 1, x,..., x ), dvs. värdet av slumpvariabel är ma fått ett observerat stickprov x j, j = 1,...,. Obs! Valige väljer ma kofidesitervallet symmetriskt så att Prθ < ax 1, X,..., X )) = Prθ > bx 1, X,..., X )) = 1 1 α). Oftast får ma öja sig med att villkore för kofidesitervallet gäller edast approximativt. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 11 / 3 Kofidesitervall för vätevärdet då X Nµ, σ ) Om X 1, X,..., X är ett stickprov med medelvärde X och stickprovsvarias S av e Nµ, σ ) fördelad slumpvariabel så är [ ) ) ] S 1 + α S X F α t 1), X + F 1 t 1), ett kofidesitervall för µ med kofidesgrade α. Kofidesitervall för p då X Beroullip) Om X 1, X,..., X är ett stickprov med medelvärde X av e Beroullip)-fördelad slumpvariabel så är X X 1 X ) F 1 N0,1) ) 1 + α, X + X 1 X ) F 1 N0,1) ett approximativt kofidesitervall för µ med kofidesgrade α. ) 1 + α G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 1 / 3

7 Obs! Ofta aväds beteckige t α = t α m) = F 1 tm) α), vilket alltså betyder att om X är e tm) fördelad slumpvariabel så är PrX t α ) = PrX t α ) = α och Pr X t α ) = α. Motsvarade beteckig för ormalfördelige N0, 1) är z α. Kofidesitervall för σ då X Nµ, σ ) Om X 1, X,..., X är ett stickprov med stickprovsvarias S av e Nµ, σ ) fördelad slumpvariabel så är [ ] 1)S 1)S ), ) F 1 χ 1) 1+α F 1 χ 1) 1 α ett kofidesitervall för σ med kofidesgrade α. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 13 / 3 Hypotesprövig Ma prövar om det fis skäl att förksasta e hypotes H 0, ollhypotese, och i stället acceptera dess alterativ H 1. För att kua göra ågra beräkigar måste ma som ollhypotes välja ett tillräckligt etydigt påståede, tex. θ = θ 0 och ite θ θ 0 som är för diffust. Oftast räcker det om ollhypotese har ett etydigt extremfall, tex. θ θ 0. I ollhypotese igår oftast måga adra atagade om fördeligar, oberoede osv. som ka ha stor betydelse för resultatet. När ma tagit ett stickprov räkar ma ut e testvariabel vars fördelig ma åtmistoe approximativt käer till. Med stöd av ollhypotese räkar ma ut saolikhete, det sk. p-värdet, för att testvariabel får ett mist lika extremt värde i förhållade till ollhypotese som det observerade stickprovet gav. Om p-värdet är midre ä e give sigifikasivå förkastar ma ollhypotese och accepterar de alterativa hypostese H 1. Sigifikasivå är alltså saolikhete för att ma förkastar ollhypotese trots att de gäller. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 14 / 3

8 Normalfördelig, H 0 : Vätevärde = µ 0 X j, j = 1,,..., atas vara ett stickprov av X där X Nµ, σ ). H 0 : µ = µ 0. Testvariabel: T = X µ 0 S t 1). p-värde: F t 1) x µ 0. s Hypotese förkastas på sigifikasivå α om p < α dvs. om testvariabel får ett värde i mägde, t α, ) där t α = F 1 t 1) α ) = F 1 t 1) 1 α ). ) t α G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 15 / 3 Normalfördelig, H 0 : Vätevärde µ 0 eller µ 0 ) X j, j = 1,,..., atas vara ett stickprov av X där X Nµ, σ ). H 0 : µ µ 0 eller µ µ 0 ). Testvariabel: T = X µ 0 S t 1). )) p-värde: F t 1) x µ 0 x µ eller F t 1) 0. s s Hypotese förkastas på sigifikasivå α om p < α dvs. om testvariabel får ett värde i mägde t α, ) eller, t α )) där t α = F 1 1 t 1) α) = Ft 1) 1 α). G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 16 / 3

9 Adel eller saolikhet, H 0 : p = p 0 X j, j = 1,,..., atas vara ett stickprov av X där X Beroullip). H 0 : p = p 0. Testvariabel: Z = X p 0 p 0 1 p 0 ) a N0, 1). Approximativt p-värde: F N0,1) x p 0 p 0 1 p 0 ) Hypotese förkastas på sigifikasivå α om p < α dvs. om testvariabel får ett värde i mägde, z α ) z α, ) där z α = F 1 N0,1) α ) = F 1 N0,1) 1 α ). Alterativt exakt med p-värdet 1 F Bi,p) p 0 + x p 0 ) 1) + F Bi,p) p 0 x p 0 )). Likadaa modifikatioer för esidiga hypoteser som för vätevärdet av e ormalfördelad slumpvariabel. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 17 / 3 Normalapproximatio X j, j = 1,,..., atas vara ett stickprov av X med e fördelig så att f X 1,..., X ) a Nθ, σ ). H 0 : Ef X 1,..., X )) = θ 0. Testvariabel: Z = f X 1,..., X ) µ 0 σ estimat av σ är H 0 gäller. Approximativt p-värde: F N0,1) a N0, 1) där σ är ågot f X 1,...,X ) θ 0 σ Hypotese förkastas på sigifikasivå α om p < α dvs. om testvariabel får ett värde i mägde, z α ) z α, ) där 1 = FN0,1) α ) = F 1 N0,1) 1 α ). z α ). G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 18 / 3

10 Normalfördelig, två stickprov, samma varias, H 0 : Samma vätevärde X j, j = 1,,..., x och Y j, j = 1,,..., y atas vara stickprov av X Nµ x, σ ) och Y Nµ y, σ ) och alla slumpvariabler är oberoede. H 0 : µ x = µ y. X Y Testvariabel: T = t x + y ). x 1)Sx + y 1)Sy x + y 1 x + 1 y ) x y p-värde: F tx + y ) x 1)sx + y 1)sy x + y 1 x + 1 y ) Hypotese förkastas på sigifikasivå α om p < α dvs. om testvariabel får ett värde i mägde, t α ) t α, ) där 1 = Ft x + y ) α ) = F 1 t x + y ) 1 α ). t α G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 19 / 3 Två adelar eller saolikheter X j, j = 1,,..., x och Y j, j = 1,..., y atas vara ett stickprov av X och Y där X Beroullip x ) och Y Beroullip y ). H 0 : p x = p y eller p x p y ). Testvariabel: Z = X Y ˆP1 ˆP) 1 x + 1 y ) a N0, 1) där ˆP = xx + y Y. x + y x y Approximativt p-värde: F N0,1) ˆp1 ˆp) 1 x + 1 y ) )) eller F N0,1) x y ˆp1 ˆp) 1 x + 1 y ) Hypotese förkastas på sigifikasivå α om p < α dvs. om testvariabel får ett värde i mägde, z α ) z α, ) där 1 = FN0,1) α ) = F 1 N0,1) 1 α ) eller i mägde z α, )). z α G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 0 / 3.

11 Apassig eller Goodess-of-fit X j, j = 1,..., atas vara ett stickprov av e slumpvariabel med värdemägd m k=1 A k där mägdera A k är disjukta. H 0 : PrX A k ) = p k, k = 1,..., m. O k E k ) Testvariabel: C = m k=1 E k a χ m 1) där E k = p k och O k är atalet elemet i { j : X j A k }. p-värde: 1 F χ m 1)c) Hypotese förkastas på sigifikasivå α om p < α dvs. om testvariabel får ett värde i mägde F 1 1 α), ). χ m 1) Om p k = p k θ 1,..., θ j ) och dessa parametrar estimeras med stickprovet så gäller C a χ m j 1). G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 1 / 3 Obs! Om X j, j = 1,..., är ett stickprov av e Beroullip)-fördelad ) slumpvariabel så är = 1 k=0 X p p1 p) O k E k ) E k där E 0 = 1 p), E 1 = p, O 0 = j=1 X j och O 1 = j=1 X j, dvs. de förvätade och observerade atale ollor och ettor. Oberoede X j, j = 1,..., atas vara ett stickprov av e slumpvariabel med värdemägd r i=1 c k=1 A i,k där mägdera A i,k är disjukta. H 0 : PrX A i,k ) = p i p k, i = 1,..., r och k = 1,..., c. O i,k E i,k ) E i,k Testvariabel: C = r c i=1 k=1 O i,k är atalet elemet i { j : X j A i,k } och E i,k = 1 c m=1 O i,m) r m=1 O m,k). p-värde: 1 F χ r 1)c 1))c) a χ r 1)c 1)) där Hypotese förkastas på sigifikasivå α om p < α dvs. om testvariabel får ett värde i mägde F 1 1 α), ). χ r 1)c 1)) G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II / 3

12 F-fördelige 1 Ifall Y χ m) och X χ ) så är m Y 1 Fm, ), dvs. följer X F-fördelige med parametrara eller firhetsgradera) m och. Täthetsfuktioe för dea fördelig är f Fm,) x) = 1 x B m, ) m x) m Γa)Γb) m x+) m+ där Ba, b) = Γa+b). G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 3 / 3 Variaser X j, j = 1,,..., x och Y j, j = 1,,..., y atas vara stickprov av X Nµ x, σ x) och Y Nµ y, σ y ) och alla slumpvariabler är oberoede. H 0 : σ x = σ y. Testvariabel: F = S y Sx F y 1, x 1). ) s y p-värde: 1 F Fy 1, x 1) sx om s y 1 och sx ) s y F Fy 1, x 1) om s y 1. sx s x Hypotese förkastas på sigifikasivå α om p < α dvs. om testvariabel får ett värde i mägde, F 1 F y 1, x 1) α 1 )) FF y 1, x 1) 1 α ), ). I detta fall är atagadet beträffade ormalfördelig viktigt! G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 4 / 3

13 Korrelatio Korrelatioskoefficiete mella slumpvariablera X och Y är ρ XY = CorX, Y ) = CovX, Y ) VarX )VarY ), och om X j, Y j ), j = 1,..., är ett stickprov av slumpvariabel X, Y ) så är stickprovskorrelatioskoefficiete R XY = j=1 X j X )Y j Y ) j=1 X j X ) = j=1 Y j Y ) S xy, Sx Sy där och S x = 1 1 S xy = 1 1 j=1 X j X )Y j Y ), j=1 X j X ), S y = 1 1 Y j Y ). j=1 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 5 / 3 Stickprovskorrelatioskoefficietes fördelig Ifall X j, Y j ), i = 1,..., är ett stickprov av e ormalfördelad slumpvariabel X, Y ) med korrelatioskoefficiet ρ xy = 0 och σ x > 0 och σ y > 0) så gäller R XY 1 R XY t ). Ifall X j, Y j ), i = 1,..., är ett stickprov av e ormalfördelad slumpvariabel X, Y ) med 1 < ρ xy < 1 och σx > 0 och σy > 0) så gäller ) ) l RXY a N 1 R l ρxy, XY 1 ρ XY ) 1 3 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 6 / 3

14 Mista-kvadrat-metode då y b 0 + b 1 x Om ma atar att sambadet mella x och y är y b 0 + b 1 x, puktera x j, y j ), j = 1,..., är giva och ma vill bestämma a och b 1 så att j=1 y j b 0 b 1 x j ) miimeras så ka det av måga skäl vara bra att först räka ut x = 1 j=1 x j och y = 1 j=1 y j och seda istället miimera f b 0, b 1 ) = j=1 y j y) b 0 b 1 x j x)). Eftersom j=1 x j x) = j=1 y j y) = 0 är b f b0 0, b 1 ) = b 0 så optimerigsvillkoret b f b0 0, b 1 ) = 0 ger b 0 = 0. Nu är f b1 0, b 1 ) = j=1 b1 x j x) y j y) ) x j x) så att ekvatioe f b1 0, b 1 ) = 0 har lösige b 1 = j=1 x j x)y j y) j=1 x j x). G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 7 / 3 Mista-kvadrat-metode, forts. Koefficiete b 0 i uttrycket y = b 0 + b 1 x blir då y b 0 = y b 1 x. Ett aat sätt att formulera samma räkig är att defiiera matrise M 1 x! med Mj, 1) = 1 och Mj, ) = x j, dvs. M =.., vektor Y med 1 x y 1 [ ] b0 Y j, 1) = y j, dvs. Y =. och vektor C =. Fuktioe som skall miimeras då ka skrivas som j=1 Y j, 1) k=1 Mj, k)ck, 1)) = Y MC. Miimipukte b 1 uppås därför då [ b0 b 1 ] = C = M T M) 1 M T Y G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 8 / 3

15 Regressio Slumpvariabel Y atas förutom slumpe bero på variabel x så att Y = β 0 + β 1 x + ε där ε är e slumpvariabel som atas vara oberoede av x. Ett stickprov av Y är därför av type x j, Y j ), j = 1,..., där ε j = Y j β 0 β 1 x j är oberoede slumpvariabler med samma fördelig, som valige atas vara N0, σ ). Med mista kvadratmetode som är föruftig precis då ε N0, σ )) får vi följade estimatorer för β 1, β 0 och σ : B 1 = S xy sx, B 0 = Y B 1 x, S = 1 Y j B 0 B 1 x j ), j=1 där S xy = 1 1 j=1 x j x)y j Y ). G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 9 / 3 Regressio, testvariabler Atag att ε j N0, σ ), j = 1,..., är oberoede och Y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1,...,. Då är 1 B 0 N β 0, σ + x )) 1)sx, σ ) B 1 N β 1, 1)sx, )S σ χ ). Som testvariabler ka ma aväda T 0 = B 0 β 0 S 1 + x 1)s x ) t ), T 1 = B 1 β 1 S t ). 1)s x G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 30 / 3

16 Sambad mella estimatorera Av defiitioera ova följer också att och S = 1 S y 1 R xy), B 1 S Sx R xy = B 1 Sy, 1)S x = R xy. 1 Rxy Det seare resultatet visar att test av ollhypotesera β 1 = 0 och ρ xy = 0 ger samma resulat då ma atar ormalfördelig). Talet r xy, dvs. värdet av slumpvariabel R xy sägs vara reggressiosmodelles förklarigsgrad. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 31 / 3 Extrapolerig Om ma har gjort mätigar av ågot slag och fått resultate x j, y j ), j = 1,..., så vill ma ofta veta vilket värde y skulle få om x = x 0. Ett sätt att räka ut ett rimligt svar är att ata att y b 0 + b 1 x, bestämma b 0 och b 1 och seda räka ut b 0 + b 1 x 0. Ett ekelt sätt att förutom att göra dea räkig också få e uppfattig om hur stort felet ka bli är att ersätta värdea x j, j = 1,..., med x j x 0 och seda i ormal ordig räka ut estimat och göra hypotesprövigar för β 0 i regressiosmodelle Y = β 0 + β 1 x + ε. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig, 14 februari 014 del II 3 / 3

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II Stickprov MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig del II G Gripeberg Aalto-uiversitetet 4 februari 04 Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G Gripeberg

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 13 februari 015 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig och exempel, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 13 februari 015 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig och exempel, del II Stickprov Två yttiga fördeligar Estimerig G. Gripeberg 3 Kofidesitervall Aalto-uiversitetet 3 februari 05 4 Hypotesprövig

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 11 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II Estimerig 2 Kofidesitervall G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 3 februari 205 3 Hypotesprövig 4 Korrelatio och regressio G. Gripeberg Aalto-uiversitetet

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grudläggade matematisk statistik Puktskattig Uwe Mezel, 2018 uwe.mezel@slu.se; uwe.mezel@matstat.de www.matstat.de Saolikhetsteori: Saolikhetsteori och statistikteori vad vi gjorde t.o.m. u vi hade e give

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera Matematisk statistik slumpes matematik Saolikhetsteori hur beskriver ma slumpe? Statistikteori vilka slutsatser ka ma dra av ett datamaterial? Statistikteori översikt Puktskattig Hur gör ma e bra gissig

Läs mer

För att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ

För att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ 1 February 1, 2018 1 Förel. VII Puktskattigar av parametrar i fördeligar 1.1 Puktskattig För att skatta vätevärdet för e fördelig är det lämpligt att aväda Medelvärdet ξ = 1 ξ j. Vi tar u vätevärdet av

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

Skattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas?

Skattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas? Skattig / Iferes Saolikhet och statistik Puktskattig Försöket att beskriva e hel populatio pga ågra få mätvärde! Oberservatio = Populatio HT 2008 UweMezel@mathuuse http://wwwmathuuse/ uwe/ Populatio har

Läs mer

1. Test av anpassning.

1. Test av anpassning. χ -metode. χ -metode ka avädas för prövig av hypoteser i flera olika slag av problem: om e stokastisk variabel följer e viss saolikhetsfördelig med käda eller okäda parametrar. om två stokastiska variabler

Läs mer

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten Statistik Språkligt och historiskt betyder statistik ugefär sifferkuskap om state E Statistisk udersökig består av fyra delar: Plaerig Dataisamlig Bearbetig Beskrivade statistik (kap 1) Statistisk aalys

Läs mer

Föreläsning 2: Punktskattningar

Föreläsning 2: Punktskattningar Föreläsig : Puktskattigar Joha Thim joha.thim@liu.se 7 augusti 08 Repetitio Stickprov Defiitio. Låt de stokastiska variablera X, X,..., X vara oberoede och ha samma fördeligsfuktio F. Ett stickprov x,

Läs mer

(a) Skissa täthets-/frekvensfunktionen och fördelningsfunktionen för X. Glöm inte att ange värden på axlarna.

(a) Skissa täthets-/frekvensfunktionen och fördelningsfunktionen för X. Glöm inte att ange värden på axlarna. 1 0,5 0 LÖSNINGAR till tetame: Statistik och saolikhetslära (LMA120) Tid och plats: 08:30-12:30 de 6 april 2016 Hjälpmedel: Typgodkäd miiräkare, formelblad Betygsgräser: 3: 12 poäg, 4: 18 poäg, 5: 24 poäg.

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Formelblad Sannolikhetsteori 1 Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars

θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF903 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH TORSDAGEN DEN TREDJE JUNI 200 KL 4.00 9.00. Examiator: Guar Eglud, tel. 790 74 06 Tillåta hjälpmedel: Läroboke.

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

Matematisk statistik TMS063 Tentamen

Matematisk statistik TMS063 Tentamen Matematisk statistik TMS063 Tetame 208-05-30 Tid: 8:30-2:30 Tetamesplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamlig och tabell samt Chalmersgodkäd räkare. Kursasvarig: Olof Elias Telefovakt/jour: Olof Elias,

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

a) Beräkna E (W ). (2 p)

a) Beräkna E (W ). (2 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF19 och SF191 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 13:E MARS 18 KL 8. 13.. Examiator: Björ-Olof Skytt, 8 79 86 49. Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

Statistik för bioteknik SF1911 // KTH Matematisk statistik // Formler och tabeller. 1 Numeriska sammanfattningar (statistikor)

Statistik för bioteknik SF1911 // KTH Matematisk statistik // Formler och tabeller. 1 Numeriska sammanfattningar (statistikor) Statistik för biotekik SF9 // KTH Matematisk statistik // Formler och tabeller Ht 206 Numeriska sammafattigar (statistikor) För ett datamaterial x, x 2,..., x beräkas Stickprovsmedelvärde x = i= x i =

Läs mer

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) = Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF955 f d 5B555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN AUGUSTI 008 KL 400 900 Examiator: Guar Eglud, tel 790746 Email: guare@mathkthse Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

b) Bestäm det genomsnittliga antalet testade enheter, E (X), samt även D (X). (5 p)

b) Bestäm det genomsnittliga antalet testade enheter, E (X), samt även D (X). (5 p) Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF922, SF923 och SF924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 29:E MAJ 208 KL 0800 300 Examiator för SF922/SF923: Tatjaa Pavleko, 08-790 84 66 Examiator för SF924:

Läs mer

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00. Kap 2: Sannolikhetsteorins grunder

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00. Kap 2: Sannolikhetsteorins grunder LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 10, HT-00 Saolikhetsteori Kap : Saolikhetsteoris gruder Följade gäller för saolikheter: 0

Läs mer

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde

Läs mer

F3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index.

F3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index. F3 Lite till om tidsserier Deflaterig, att justera för iflatioe tatistikes gruder dagtid 4 3,5 3,5,5 Mjölk ockerdricka HT,5 975 976 977 978 979 98 98 98 Löpade priser År Mjölk ockerdricka KPI 945 = 975,34,

Läs mer

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ) Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =

Läs mer

Högskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00

Högskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00 Lösigsförslag UPPGIFT 1 Kvia Ma Högskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00 Pr(ej högskoleutbildad kvi=0,07=7% Pr(högskoleutbildad)=0,87 c) Pr(Kvi*Pr(Högskoleutbildad)=0,70*0,87=0,609

Läs mer

S0005M V18, Föreläsning 10

S0005M V18, Föreläsning 10 S0005M V18, Föreläsig 10 Mykola Shykula LTU 2018-04-19 Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig 10 2018-04-19 1 / 15 Hypotesprövig ett stickprov, σ okäd. Stadardiserig av stickprovsmedelvärdet då σ är

Läs mer

Vid mer än 30 frihetsgrader approximeras t-fördelningen med N(0; 1). Konfidensintervallet blir då

Vid mer än 30 frihetsgrader approximeras t-fördelningen med N(0; 1). Konfidensintervallet blir då Stat. teori gk, ht 006, JW F7 ENKEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT.5-.7) Statistisk iferes rörade β Vi vet reda att b är e vätevärdesriktig skattig av modellparameter β. Vi vet också att skattige b har

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np.

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601 Valiga fördeligar Fördelig Vätevärde Varias Biomialfördelig, Bi (, p ) P (X = x) = ( x) p x (1 p)

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner. Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele

Läs mer

Höftledsdysplasi hos dansk-svensk gårdshund - Exempel på tavlan

Höftledsdysplasi hos dansk-svensk gårdshund - Exempel på tavlan Höftledsdysplasi hos dask-svesk gårdshud - Exempel på tavla Sjö A Sjö B Förekomst av parasitdrabbad örig i olika sjöar Exempel på tavla Sjö C Jämföra medelvärde hos kopplade stickprov Tio elitlöpare spriger

Läs mer

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR CDEFI, NANO OCH PI, MAS233, 2004 FMS 012, FMS 022, FMS 121 OCH MAS233

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR CDEFI, NANO OCH PI, MAS233, 2004 FMS 012, FMS 022, FMS 121 OCH MAS233 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR CDEFI, NANO OCH PI, MAS233, 2004 FMS 012, FMS 022, FMS 121 OCH MAS233 Saolikhetsteori Kap 2: Saolikhetsteoris

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade frå saolikhetsteori:

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Tetame TT091A KMASK14H 7,5 högskolepoäg Nam: (Ifylles av studet) Persoummer: (Ifylles av studet) Tetamesdatum: 2 jui 2015 Tid: 9:00-13:00 Hjälpmedel:

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a. Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

P (A) = k A P (A ) = 1 P (A) P (A B) P (B) P (M i ) = 1 P (A) P (X = k) = p X (k) p X (k) = 1 P (A B) p X (k)

P (A) = k A P (A ) = 1 P (A) P (A B) P (B) P (M i ) = 1 P (A) P (X = k) = p X (k) p X (k) = 1 P (A B) p X (k) SVERIGES LANTBRUKSUNIVERSITET Istitutioe för eergi och tekik Uwe Mezel e-post: uwe.mezel@matstat.de Formelsamlig Grudläggade matematiskt statistik 2080822 Saolikhetslära Klassisk saolikhetsdeitio: P A

Läs mer

F12 Stickprovsteori, forts

F12 Stickprovsteori, forts F12 Stickprovsteori, forts 5.4 Cetrala gräsvärdessatse IsistaexempletvidF10hadeviefördelig fx i )=1/3, x i =1,2,3 Eobservatiofrådeakasessomettstickprovav storlek=1. Vi såg geom att studera alla möjliga

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010 Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 7 73G70 Statistik A Hypotesprövig för jämförelse av populatiosadelar Krav: vi har dragit två OSU p( p) > 5 för båda stickprove Steg : Välj sigifikasivå och formulera hypoteser H 0 : π - π = d

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS65

SAMMANFATTNING TAMS65 SAMMANFATTNING TAMS65 Matematisk statistik, fortsättigskurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, VT 016 Seast reviderad: 016-06-01 Författare: Viktor Cheg Iehållsförteckig

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1917/SF1918/SF1919 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 8 JANUARI 2019 KL 8.00 13.00. Examiator för SF1917/1919: Jörge Säve-Söderbergh, 08-790 65 85. Examiator

Läs mer

Tentamentsskrivning: Tillämpad Statistik 1MS026 1

Tentamentsskrivning: Tillämpad Statistik 1MS026 1 Tetametsskrivig: Tillämpad Statistik 1MS026 1 Tetamesskrivig i Tillämpad Statistik 1MS026 Tid: de 7 mars, 2012 kl 8:00-13:00 Examiator och jour: Erik Broma, mob. 073 7320791, Hjälpmedel: miiräkare, formelsamlig

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK TETAME I MATEMATISK STATISTIK Te i kurse 6H, KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse 6H, 6L MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: :-7: Lärare: Armi Halilovic Kurskod 6H, 6H, 6L, 6A Hjälpmedel:

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive

Läs mer

Tentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000

Tentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klitberg Lösigar Tetame i Saolikhetsteori III 13 jauari 2000 Uppgift 1 a) Det mest detaljerade utfallsrummet är med uppebara beteckigar Ω = {(B1, B2),

Läs mer

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3150 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 29 maj 2007 Lösig till tetame för kurse Log-lijära statistiska modeller 29 maj 2007 Uppgift 1 a Modelle uta ågra

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik MSTA3, Saolikhetsteori A, 5 p 5--7 Tetame i matematisk statistik Saolikhetsteori A, 5 poäg Skrivtid: 9.-5.. Tillåta hjälpmedel: Tabellsamlig, ege miiräkare. Studetera får behålla tetamesuppgiftera. På

Läs mer

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Statistisk försöksplaerig Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Skriftlig tetame 3,0 hp 51SF01 DTEIN14h 4,5 högskolepoäg TetamesKod: Tetamesdatum: 5 ovember 015 Tid: 9.00-13.00 Hjälpmedel: Miiräkare Totalt

Läs mer

TAMS79: Föreläsning 9 Approximationer och stokastiska processer

TAMS79: Föreläsning 9 Approximationer och stokastiska processer TAMS79: Föreläsig 9 Approximatioer och stokastiska processer Joha Thim 18 ovember 2018 9.1 Biomialfördelig Vi har reda stött på dea fördelig flera gåger. Situatioe är att ett slumpförsök har två möjliga

Läs mer

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b]. MÄNGDER Stadardtalmägder: N={0,, 2, 3, } mägde av alla aturliga tal (I ågra böcker N={,2,3, }) Z={ 3, 2,,0,, 2, 3, 4, } mägde av alla hela tal m Q={, där m, är hela tal och 0 } mägde av alla ratioella

Läs mer

Tentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl

Tentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl Avdelige för atioalekoomi och Tetame i för STA A13, 1-10 poäg Deltetame II, 5p Lördag 9 jui 007 kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig

Läs mer

F6 Uppskattning. Statistikens grunder 2 dagtid. Beteckningar, symboler, notation. Grekiskt-romerskt

F6 Uppskattning. Statistikens grunder 2 dagtid. Beteckningar, symboler, notation. Grekiskt-romerskt 01-10-19 F6 Uppskattig Statistikes gruder dagtid HT 01 Vi skattar populatiosparametrar (modellparametrar med olika statistikor: E. stickprovs- -medelvärdet X skattar μ -variase S skattar -adele P skattar

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Matematisk statistik

Matematisk statistik Matematisk statistik (Corelia Schiebold) Iehåll:. Saolikhetsteori 2. Diskreta stokastiska variabler 3. Kotiuerliga stokastiska variabler 4. Oberoedemått, summor av stokastiska variabler och cetrala gräsvärdessatse

Läs mer

Laboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar

Laboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-02 Laboratio 5: Kofidesitervall viktiga statistiska fördeligar Syfte I dea laboratio

Läs mer

Id: statistik.tex :48:29Z joa

Id: statistik.tex :48:29Z joa UTDRAG UR FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI PUNKT- OCH INTERVALLSKATTNINGAR SAMT HYPOTESTEST MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, È; FMS 012 JOAKIM LÜBECK, SEPTEMBER 2008 Iehåll 1 Puktskattigar

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

STATISTIK FÖR LÄKARSTUDENTER

STATISTIK FÖR LÄKARSTUDENTER 2015-04-05 STATISTIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsso läkarstudet.se INDEX INTRODUKTION...2 Att skriva saolikheter...2 Saolikhetslagar...2 Fakulteter...3 Odds och oddskvot...3 Typer av data...4 Diagram...5

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I Föreläsig 5 732G04 Surveymetodik 732G19 Utredigskuskap I Dages föreläsig Klusterurval Estegs klusterurval Tvåstegs klusterurval Klusterurval med PPS 2 Klusterurval De urvalsdesiger som diskuterats hittills

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik,.hp Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

================================================

================================================ rmi Halilovic: ETR ÖVNINGR TVÅ STICKPROV Vi betraktar två oberoede ormalfördelade sv och Låt x, x,, x vara ett observerat stickprov, av storleke, på N (, ) och låt y, y,, y vara ett observerat stickprov,

Läs mer

101. och sista termen 1

101. och sista termen 1 Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +

Läs mer

Sannolikhetslära statistisk inferens F10 ESTIMATION (NCT )

Sannolikhetslära statistisk inferens F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, vt 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlita till NCT Iferece Slutledig, ifere Parameter Parameter Saolikhetlära tatitik ifere Hittill har vi ylat med aolikhetlära. Problem av type:

Läs mer

Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 1: Matematik 7.5 hp

Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 1: Matematik 7.5 hp Tetame i Tillämpad Matematik och statistik för IT-foresik. Del 1: Matematik 7.5 hp 1 jui, 2017 Maxpoäg: 30p. Betygsgräser: 12p: betyg 3, 18p: betyg 4, 24p: betyg 5. Hjälpmedel: Typgodkäd miiräkare samt

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp, MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp, 08-05-3 Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas i!

Läs mer

. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.

. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet. Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd familj av stokastiska variabler Xt arameter t är oftast me ite alltid e tidsvariabel rocesse kallas diskret om Xt är e diskret s v för varje

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN kl

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN kl TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004 TEN 0-04-5 kl 8.5-.5 Hjälpmedel: Formler och tabeller i statistik, räkedosa Fullstädiga lösigar erfordras till samtliga uppgifter. Lösigara skall vara

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp, MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik,.hp, 018-0-1 Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas i!

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för

Läs mer

TAMS15: SS1 Markovprocesser

TAMS15: SS1 Markovprocesser TAMS15: SS1 Markovprocesser Joha Thim (joha.thim@liu.se) 21 ovember 218 Vad häder om vi i e Markovkedja har kotiuerlig tid istället för diskreta steg? Detta är ett specialfall av e kategori stokastiska

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer