LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

Transkript

1 LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: kl Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister, 7.5 hp Luds uiversitet 1. Modell: Stickprov i par, dvs X i = tid före hos perso i, EX i = m i, Y i = tid efter hos perso i, EY i = m i + Δ, där Δ = geomsittliga skillade i reaktiostid, Räkigar: Z i = Y i X i N Δ, σ 2, i = 1,...,, = 8, oberoede. Δ = z = 1 z i = 0.29, s = 1 1 Δ N Δ, σ 2 /. Kofidesitervall: z i z 2 = , I Δ = Δ ± t s/ = 0.29 ± / 8 = , a Låt X i N μ, vara sockerhalte i e slumpmässigt vald beta. För att udersöka om sockerhalte är för låg vill vi testa H 0 : μ = 17 mot H 1 : μ < 17 på sigifikasivå α = E skattig av μ ges av μ = x = 16.68, Det esidiga testet ka göras med: μ N μ, Kofidesitervall: Ett uppåt begräsat itervall ger [ ] [ ] I μ =, μ λ 0.01 =, = [, ] Vi ka ite förkasta H 0 eftersom μ 0 = 17 fis i itervallet I μ. Teststorhet: T = μ μ 0 0.5/ = 0.5/ = Vi ka ite förkasta H 0 eftersom T λ 0.01 = b Att med 99.9% säkerhet upptäcka om μ 16 svarar mot Pförkasta H 0 om μ 16 = Eftersom det är lättare att upptäcka större avvikelser räcker det att studera gräsfallet Pförkasta H 0 om μ = 16 = 0.999

2 Styrkefuktioe ges av hμ = Pförkasta H 0 om μ är rätt värde = P μ μ 0 = P 0.5/ < λ 0.01 = P }{{} T μ μ = P 0.5/ < λ μ 0 μ 0.5/ = Φ }{{} N 0,1 Vilkoret hμ = ger att Φ λ μ 0 μ 0.5/ = λ μ 0 μ 0.5/ = λ μ 0 μ 0.5 Och vi behöver = 8 mätigar. = λ λ 0.01 = λ λ 0.01 μ 0 μ T < λ 0.01 μ N μ < λ μ = = = a Vi asätter e model där observatioera är λ μ 0 μ 0.5/ μ, = y ijk = μ ij + ε ijk, i = 1, 2; j = 1, 2; k = 1,..., med oberoede och ormalfördelade fel, ε ijk N 0, σ 2. Skattig av huvud- och samspelseffekter är  = μ 11 + μ 21 μ 12 + μ = 0.58, B = μ 11 μ 21 + μ 12 + μ = 0.19, ÂB = μ 11 μ 21 μ 12 + μ = 0.185, de poolade variasskattige är s 2 = s s s s = 1.23 med f = = 16 frihetsgrader, och medelfelet för respektive effekt är deffekt = s 2 2 = = Ett kofidesitervall för respektive effekt ges av I effekt = êffekt ± t f deffekt = êffekt ± = êffekt ± , och effektera är sigifikata om êffekt > itervaller kommer då ite att iehålla 0. Edast huvudeffekt A är sigifikat.

3 b Pumpora bör odlas på lerjord uta kostgödsel eftersom effekte av kostgödsel ite är sigifikat. 4. a I residualera frå Model 1 fis ett resterade beroede med x i form av e kvadratisk fuktio. Residualera för Model 2 har iget lika uppebart beroede på x, däremot är variase ite kostat ökar med ökade x. b För Model 3 blir parameterskattigara: β = S xy = α = x β ȳ = S 2 xy β N β, σ2 1 α N α, σ 2 + x2 s 2 = σ 2 = Q 0 2 = S yy 2 = s = = Medelfel för skattigara är dα = s dβ = 1 + x2 = s = = , Sxx Och 95%-iga kofidesitervall för α och β ges av = I α = α ± t dα = ± = [ , ] I β = β ± t dβ = ± = [ , ] c Eftersom T = l 2/β så ka vi få ett 95% kofidesitervall för T geom att trasformera itervallet för β. Notera dock att vi behöver byta plats på gräsera I T = l 2 = [ l 2 I , ] [ ] l = , β 5. Om X är atalet skrämda besökare uta falska spidelät och Y är atalet skrämda besökare med falska spidelät så är e lämplig model: X Bi 1, p 1, 1 = 75, Y Bi 2, p 2, 2 = 100. Vi vill u testa H 0 : p 1 = p 2 mot H 1 : p 1 < p 2 fler skrämda besökare. Skattigar av saolikhetera är p 1 = x/ 1 = 50/75 = 2/3, p 2 = y/ 2 = 80/100 = 0.8, och uder H o p = x + y = = Eftersom p 1 p 1 = 14.3 > 10 och p 1 p 1 = 19.1 > 10 ka både X och Y ormalapproximeras. Medelfelet för skillade i saolikhet uder H 0 är dp 2 p V Y 1 = + V X = p 1 p p 1 p = p 1 p + 1 = =

4 Vi räkar se ut teststorhete för det esidiga hypotestestet: T = p 2 p /3 dp 2 p 1 = = Vi ka förkasta H 0 eftersom T > λ 0.05 = a Atalet gåger e godtycklig besökare skriker beskrivs med e stokastisk variabel X. Saolikhetera i uppgifte ger saolikhetsfuktioe till X : Vätevärde och varias via EX 2 blir EX = k k p X k kp X k = = 1.1 EX 2 = k k 2 p X k = = 1.7 V X = EX 2 EX 2 = = 0.49 b Saolikhete att e svamp är ätlig är p = 4/5. Saolikhete att alla tolv svampar är ätliga blir då p 12 = 4/ Alterativt ka ma låta X vara atalet ätliga svampar, dvs X Bi12, p, och räka ut PX = 12. c Sambadet mella fördeligsfuktio och saolikhets- eller täthetsfuktio ges av: { k x PX x = F X x = p X k, diskret fördelig x f X t dt, kotiuerlig fördelig och vi behöver para ihop fuktioera i A,B,C med deras derivator i I,II,III. i A-III, B-II och C-I. Eftersom fuktioera i C och I gäller e diskret variabel och fördeligsfuktioe i B är oll om x 0, vilket stämmer med täthete i II. ii PX 0 = 1 PX 0 = 1 F X = 0.75, där vi läst av F X i figure. d Låt X i betecka vikte av e pumpa med EX i = 5.5 och V X i = Vikte av 100 pumpor är då approximativt ormalfördelad eligt CGS summa av måga likafördelade och oberoede variabler med Y = X i EY = E X i = EX i = 550 V Y = V DY = 144 = X i = V X i = = 144 och de sökta saolikhete blir P 540 Y 600 = P Y 12 = Φ Φ = e Styrkefuktioe ger saolikhete att förkasta H 0 för olika värde på μ = P Y = 12

5 i Eftersom styrkefuktioe är stor för små värde på μ så är testet kostruerat att upptäcka avvikelser edåt frå oll-hypotse, dvs om μ < μ 0. Alltså är mot-hypotese H 1 : μ < 1. ii Testets sigifikasivå ges av hμ 0 = h1 = 0.10, dvs α = iii Testets styrka då μ = 0.5 ges av h