4.2.3 Normalfördelningen

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "4.2.3 Normalfördelningen"

Transkript

1 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett resultat X frå ett (slumpmässigt) försök istället ett värde i ett itervall av täkbara värde. Ex 1. Lägde hos e 25-årig ma. Ex 2. Diameter hos e producerad kula till ett kullager Ex 3. Resistase i ett motståd X sägs då vara e kotiuerlig slumpvariabel.

2 4.2.3 Normalfördelige Ex. Lägde hos 100 stycke 25-åriga mä (simulerade värde). Klass frekves relativ frekves relativ frekvesdesitet relativ frekvesdesitet = relativ frekves/klassbredd

3 4.2.3 Normalfördelige Histogram of Lägd Histogram of Lägd 40 0, ,03 Frequecy 20 Desity 0, , Lägd , Lägd Area = (0.027) 10 = 0,27 Låt X = Lägde hos e slumpmässigt vald 25-årig ma. E rimlig uppskattig av P(185 < X 195) är 0,27.

4 4.2.3 Normalfördelige Histogram of Lägd, =1000 Histogram of Lägd, = ,05 0,04 0,04 Desity 0,03 0,02 Desity 0,03 0,02 0,01 0,01 0, Lägd , Lägd Lägde hos 1000 mä Lägde hos mä

5 4.2.3 Normalfördelige Histogram of Lägd, =10000 Normal Histogram of Lägd, =10000 Normal 0,04 Mea 180,1 StDev 9,932 N Mea 180,1 StDev 9,932 N Desity 0,03 0,02 Frequecy f(x) 0, , Lägd Lägd, = f(x) kallas frekvesfuktio (desity fuctio) P(185 < X 195) = f x dx

6 4.2.3 Normalfördelige E valigt (och aturligt) förekommade kotiuerlig fördelig är ormalfördelige. Dess frekvesfuktio f(x) är klockformad och beskrivs av två parametrar, ämlige µ = vätevärdet och σ 2 = variase. Beteckas N(μ, σ 2 ) Ata u att lägde X är N 181,6, 10,47 2 -fördelad. Descriptive Statistics: Lägd Variable N Mea StDev Miimum Maximum Lägd ,60 10,47 155,33 204,41 Vad är saolikhete att lägde hos e godtycklig 25-årig ma ligger mella 185 och 195 cm? P(185 < X 195) =?

7 4.2.3 Normalfördelige 0,04 Distributio Plot Normal; Mea=181,6; StDev=10,47 0,03 0,2724 Desity 0,02 0,01 0, X 195 Descriptive Statistics: Lägd Variable N Mea StDev Miimum Maximum Lägd ,60 10,47 155,33 204,41 Graph Probability Distributio Plot

8 4.2.3 Normalfördelige Histogram of Lägd, =10000 Normal Histogram of Lägd, =10000 Normal 100 Mea 180,1 StDev 9,932 N Mea 180,1 StDev 9,932 N Cumulative Percet Cumulative Percet F(x) Lägd, = Lägd, = F(x)=P(X x) kallas för fördeligsfuktio (som i det diskreta fallet).

9 4.2.3 Normalfördelige Distributio Plot Normal; Mea=181,6; StDev=10,47 Distributio Plot Normal; Mea=181,6; StDev=10,47 0,04 0,04 0,03 0,8997 0,03 Desity 0,02 Desity 0,02 0,6273 0,01 0,01 0,00 181,6 X 195 0, X F(195)=P(X 195) = 0, 8997 F(185)=P(X 185) = 0,6273 P(185 < X 195) = P(X 195) P(X 185) = = F 195 F 185 = 0,8997 0,6273 = 0, 2724

10 4.2.3 Normalfördelige Cumulative Distributio Fuctio Normal with mea = 181,6 ad stadard deviatio = 10,47 x P( X x ) 195 0, Cumulative Distributio Fuctio Normal with mea = 181,6 ad stadard deviatio = 10,47 x P( X x ) 185 0, F(195)=P(X 195) = 0, 8997 F(185)=P(X 185) = 0,6273 P(185 < X 195) = P(X 195) P(X 185) = = F 195 F 185 = 0,8997 0,6273 = 0, 2724 Calc Probability Distributios Normal

11 4.2.3 Normalfördelige Geerellt gäller P(a < X b) = P(X b) P(X a) = F b F a

12 4.2.3 Normalfördelige Egeskaper för ormalfördelige N(μ, σ 2 ) 68,3% av alla observatioer fis iom μ σ, μ + σ. 95,4% av alla observatioer fis iom μ 2σ, μ + 2σ. 99,7% av alla observatioer fis iom μ 3σ, μ + 3σ. Atar vi att lägde X är N 181,6, 10,47 2 -fördelad så kommer 68,3% av alla observatioer fis iom 181,6 10,47, 181,6 10,47 = (171,13, 192,07). 95,4% av alla observatioer fis iom 160,66, 202,54. 99,7% av alla observatioer fis iom 150,19, 213,01

13 4.2.3 Normalfördelige Histogram of Lägd, =10000 Normal 400 Mea 180,1 StDev 9,932 N Frequecy Lägd, = %: 171,13, 192,07, 95.4%: 160,66, 202,54, 99.7%: 150,19, 213,01

14 4.2.3 Normalfördelige 0,04 Distributio Plot Normal; Mea=181,6; StDev=10,47 0,03 Desity 0,02 0,01 0,00 0, ,7 181,6 X 202,5 0, %: , , 95.4%: , , 99.7%: ,

15 Exempel Atag att ett mätistrumet har ett mätfel X som är ormalfördelad med = 0 och = 1. Bestäm a) P(X < 0). b) P(X 1,05) c) P(X > 1) d) P( 0,5 X 1) e) värdet a så att P(X > a) = 0.05

16 Lösig Exempel Atag att ett mätistrumet har ett mätfel X som är ormalfördelad med = 0 och = 1. X är N(0,1). Bestäm a) P X < 0 = P X 0 = 0,5 (symmetrisk rut vätevärdet 0). b) P X 1,05 = F 1,05 = 0,853 c) P X > 1 = 1 P X 1 = 1 F 1 = 1 0,159 = 0,841

17 Lösig Uppgift 3 Atag att ett mätistrumet har ett mätfel X som är ormalfördelad med = 0 och = 1. X är N(0,1). Bestäm d) P 0,5 X 1 = F 1 F 0,5 = 0,841 0,309 = 0,532 e) värdet a så att P X > a = 0,05 Utyttja Iverse Cumulative probability uder Calc Probability Distributio Normal 1 P X > a = 1 0,05 = 0,95 P X a = 0,95 a = 1,64485

18 4.2.3 Normalfördelige När är datamaterialet ormalfördelat? E bedömig ka göras med histogram, ormal probability plot och ormality test. Stat Basic Statistics Normality Test Om P-value < 0.05 har ma statistiska belägg för att säga att data ite kommer frå e ormalfördelig. Ett P-value > 0.05 behöver emellertid ite betyda att data är ormalfördelat!

19 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Hur påverkas vätevärde och varias om data skalas om? Atag att vi adderar e kostat k till X E(X + k) = E(X) + k = μ + k V(X + k) = V(X) = σ 2 D(X + k)= V(X + k) = σ

20 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Atag att vi multiplicerar X med e kostat k Ex. Skala om lägdera till meter frå cm. Multiplicera X med k = 1/100. E(k X) = k E(X) = k μ V(k X) = k 2 V(X) = k 2 σ 2 D(k X)= V(k X) = k σ

21 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Vad blir vätevärde och varias är ma summerar flera slumpvariabler? Låt X 1, X 2,, X vara oberoede slumpvariabler med vätevärde μ 1, μ 2,, μ och stadardavvikelser σ 1, σ 2,, σ. E i=1 X i = i=1 μ i = μ 1 + μ μ V i=1 X i = i=1 σ i 2 = σ σ σ 2

22 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer I praktike har vi oftast summa av upprepade mätigar dvs slumpvariablera har samma vätevärde μ och varias σ 2. E i=1 X i = i=1 μ = μ + μ + + μ = μ V i=1 X i = i=1 σ 2 = σ 2 + σ σ 2 = σ 2

23 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Ex. Summa av 10 tärigskast upprepade 1000 gåger. Saolikhet 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0, Ett tärigskast 3 4 C6 5 6 Ma ka visa att vätevärde och varias för ett kast är 3.5 respektive Det betyder att summa av 10 kast bör ha vätevärde 35, varias 29.2 och stadardavvikelse 5.4. Utfallet av summa av 10 tärigskast är ett heltal mella 10 och 60.

24 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Ex. Summa av 10 tärigskast upprepade 1000 gåger. Frequecy Histogram of Summa Normal Summa Mea 34,83 StDev 5,390 N 1000 Som i ser påmier histogrammet om frekvesfuktioe för e ormalfördelad variabel. Medelvärde och stickprovsstadardavvikelse är ära de saa värdea 35 och 5,4. Calc Radom Data Iteger (skapa 10 kolumer, ett kast per kolum) Calc Row Statistics (summer radvis och spara i y kolum)

25 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Vad blir vätevärde och varias för medelvärdet X av flera slumpvariabler?? Låt X 1, X 2,, X vara oberoede slumpvariabler med vätevärde μ 1, μ 2,, μ och stadardavvikelser σ 1, σ 2,, σ. E X = E 1 i=1 X i = 1 i=1 μ i = μ 1 + μ μ V X = V 1 i=1 X i = 1 2 i=1 σ i 2 = σ σ σ 2 2

26 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer I praktike tar vi oftast medelvärdet av upprepade mätigar dvs slumpvariablera har samma vätevärde μ och varias σ 2. E X = E 1 i=1 X i = 1 i=1 μ = μ + μ + + μ = μ = μ V X = V 1 i=1 X i = 1 2 i=1 σ 2 = σ2 + σ σ 2 2 = σ2 D X = σ

27 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Om våra slumpvariabler X 1, X 2,, X är oberoede och ormalfördelade blir medelvärdet (och summa) ormalfördelad. X är N μ, σ2 i=1 X i är N μ, σ 2

28 4.2.3 Exempel Maliga flygpassagerare har e kroppsvikt (kg) som ka ases vara ormalfördelad med vätevärde 81 kg och stadardavvikelse 4 kg. a) Hur stor är saolikhete att e godtycklig malig flygpassagerare väger midre ä 80 kg? b) Vad är saolikhete att 25 maliga flygpassagerares sammalagda vikt uderstiger 2000 kg? c) Vad är saolikhete att medelvikte av 25 maliga passagerare uderstiger 80 kg?

29 Lösig Exempel Maliga flygpassagerare har e kroppsvikt (kg) som ka ases vara ormalfördelad med vätevärde 81 kg och stadardavvikelse 4 kg. a) Hur stor är saolikhete att e godtycklig maliga flygpassagerare väger midre ä 80 kg? Låt X = vikte på e godtycklig malig flygpassagerare X är N 81, 4 2 P X < 80 = P X 80 = F(80) = 0.4

30 Lösig Exempel Maliga flygpassagerare har e kroppsvikt (kg) som ka ases vara ormalfördelad med vätevärde 81 kg och stadardavvikelse 4 kg. b) Vad är saolikhete att 25 maliga flygpassagerares sammalagda vikt uderstiger 2000 kg? Låt X i = vikte på flygpassagerare ummer i (malig) och Y = vikte på 25 maliga flygpassagerare. Y = i=1 X i är N μ, σ 2 = N 25 81, = N 2025,400 P X 2000 = F(2000) =

31 Lösig Exempel (forts) c) Vad är saolikhete att medelvikte av 25 maliga passagerare uderstiger 80 kg? X = 1 i=1 X i är N μ, σ2 = N 81, P X 80 =

32 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Äve om observatioera ite är ormalfördelade kommer medelvärdet (och summa) approximativt att vara ormalfördelad. Detta approximativa resultat följer av cetrala gräsvärdessatse (cetral limit theorem). Cetrala gräsvärdessatse (CGS) säger att oavsett vad vi mäter för ågot, om vi bildar medelvärde (eller summor) av de observatioer som vi tar, kommer medelvärdets (summas) fördelig att efterlika ormalfördelig bara ma tar tillräckligt måga observatioer. X är approximativt N μ, σ2 i=1 X i är approximativt N μ, σ 2

33 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Cetrala gräsvärdessatse medför bl.a. att proportioer kommer att approximativt vara ormalfördelade (om är relativt stort). För biomialfördelige gäller: Låt A betecka e hädelse vid ett slumpmässigt försök. Upprepa försöket gåger (oberoede upprepigar). Vid varje upprepig iträffar A med saolikhete p. Y = atal gåger hädelse A iträffar är Bi, p

34 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Om vi låter X i = 1 om hädelse A iträffar och X i = 0 om hädelse A ite iträffar Då ka vi skriva Y = i=1 X i.

35 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Vi ka otera att varje X i är Bi 1, p med μ = 1p = p och σ 2 = 1pq = pq För stora stickprov gäller att i=1 X i är (approximativt) N μ, σ 2. Vi får att Y = i=1 X i är approximativt N p, pq. Bi, p approximeras med N p, pq om är relativt stort.

36 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer I praktike käer vi ite värdet på p uta vi måste uppskatta det. E rimlig och bra uppskattig är Y/, dvs adele gåger som A iträffar vid stycke upprepade försök. Vi fier att proportioe Y = N p, pq/ i=1 Xi = X är approximativt X är (approximativt) N μ, σ2

37 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Ex. Atag att felkvote vid e tillverkigsprocess är okäd och att vi kotrollerar e leveras om 1000 tillverkade eheter. Låt oss ata att vi käer felkvote (p = 0,03). Med Calc Radom Data Biomial ka vi simulera ett stickprov som får vara det atal defekta ma fa. Simulerige gav y = 28 defekta.

38 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Proportioe p uppskattas följaktlige till 28/1000 = 0,028 (relativt ära saige 0,03). Vi ka u uppskatta Y:s fördelig atige som Bi 1000, 0,028 eller som N 28, 27,216 (σ = 27,216 = 5,217). (N p, pq = N , (1 0,028) )

39 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Distributio Plot 0,08 0,07 0,06 Distributio p Biomial ,028 Distributio Mea StDev Normal 28 5,217 0,05 Desity 0,04 0,03 0,02 0,01 0, X Approximatioera är relativt likstämmiga!

40 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Distributio Plot 0,08 0,07 0,06 Distributio p Biomial ,03 Distributio Mea StDev Normal 28 5,217 0,05 Desity 0,04 0,03 0,02 0,01 0, X Beroede på hur utfallet blir (hur ära skattige av proportioe är saa p) kommer skattige av saa fördelige att vara bra och midre bra. Ju större desto bättre skattige av p (ärmare saige).

41 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Låt oss bestämma P(Y 32) exakt och med hjälp av approximatioera. Biomial with = 1000 ad p = 0,028 x P( X x ) 32 0, Normal with mea = 28 ad stadard deviatio = 5,217 x P( X x ) 32 0, Hyfsat lika resultat. Saige: Biomial with = 1000 ad p = 0,03 x P( X x ) 32 0,686568

42 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Vi ka kostatera att båda approximatioe ger liktydiga resultat. Däremot ka överestämmelse med saige bli relativt fel. Ofta är ma itresserad av fel-proportioe p och framför allt e uppfattig om hur bra skattig Y/ är av saa p. Eftersom vi ka approximera skattige Y/ med N p, pq/ så vet vi t.ex. att ugefär 95.4% av utfalle för Y/ kommer att ligga i itervallet μ 2σ, μ + 2σ = p 2 pq, p + 2 pq. Ju större stickprov () desto sävare itervall rut p. Skattigara ka ite avvika alltför mycket frå saa p om är stort. I kapitel 7 kommer vi att bestämma itervall som täcker i p med e give saolikhet, så kallade kofidesitervall.

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4..3 Normalfördelge Bomal- och Possofördelge är två exempel på fördelgar för slumpvarabler som ka ata ädlgt eller uppräkelgt måga olka värde. Sådaa fördelgar sägs vara dskreta. Ofta är ett resultat X frå

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grudläggade matematisk statistik Puktskattig Uwe Mezel, 2018 uwe.mezel@slu.se; uwe.mezel@matstat.de www.matstat.de Saolikhetsteori: Saolikhetsteori och statistikteori vad vi gjorde t.o.m. u vi hade e give

Läs mer

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ) Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1

Läs mer

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera Matematisk statistik slumpes matematik Saolikhetsteori hur beskriver ma slumpe? Statistikteori vilka slutsatser ka ma dra av ett datamaterial? Statistikteori översikt Puktskattig Hur gör ma e bra gissig

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

För att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ

För att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ 1 February 1, 2018 1 Förel. VII Puktskattigar av parametrar i fördeligar 1.1 Puktskattig För att skatta vätevärdet för e fördelig är det lämpligt att aväda Medelvärdet ξ = 1 ξ j. Vi tar u vätevärdet av

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive

Läs mer

θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars

θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF903 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH TORSDAGEN DEN TREDJE JUNI 200 KL 4.00 9.00. Examiator: Guar Eglud, tel. 790 74 06 Tillåta hjälpmedel: Läroboke.

Läs mer

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Formelblad Sannolikhetsteori 1 Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla

Läs mer

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np.

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601 Valiga fördeligar Fördelig Vätevärde Varias Biomialfördelig, Bi (, p ) P (X = x) = ( x) p x (1 p)

Läs mer

(a) Skissa täthets-/frekvensfunktionen och fördelningsfunktionen för X. Glöm inte att ange värden på axlarna.

(a) Skissa täthets-/frekvensfunktionen och fördelningsfunktionen för X. Glöm inte att ange värden på axlarna. 1 0,5 0 LÖSNINGAR till tetame: Statistik och saolikhetslära (LMA120) Tid och plats: 08:30-12:30 de 6 april 2016 Hjälpmedel: Typgodkäd miiräkare, formelblad Betygsgräser: 3: 12 poäg, 4: 18 poäg, 5: 24 poäg.

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level

Läs mer

Skattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas?

Skattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas? Skattig / Iferes Saolikhet och statistik Puktskattig Försöket att beskriva e hel populatio pga ågra få mätvärde! Oberservatio = Populatio HT 2008 UweMezel@mathuuse http://wwwmathuuse/ uwe/ Populatio har

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg

Läs mer

Föreläsning 2: Punktskattningar

Föreläsning 2: Punktskattningar Föreläsig : Puktskattigar Joha Thim joha.thim@liu.se 7 augusti 08 Repetitio Stickprov Defiitio. Låt de stokastiska variablera X, X,..., X vara oberoede och ha samma fördeligsfuktio F. Ett stickprov x,

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade frå saolikhetsteori:

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00. Kap 2: Sannolikhetsteorins grunder

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00. Kap 2: Sannolikhetsteorins grunder LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 10, HT-00 Saolikhetsteori Kap : Saolikhetsteoris gruder Följade gäller för saolikheter: 0

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

TAMS79: Föreläsning 9 Approximationer och stokastiska processer

TAMS79: Föreläsning 9 Approximationer och stokastiska processer TAMS79: Föreläsig 9 Approximatioer och stokastiska processer Joha Thim 18 ovember 2018 9.1 Biomialfördelig Vi har reda stött på dea fördelig flera gåger. Situatioe är att ett slumpförsök har två möjliga

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

F3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index.

F3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index. F3 Lite till om tidsserier Deflaterig, att justera för iflatioe tatistikes gruder dagtid 4 3,5 3,5,5 Mjölk ockerdricka HT,5 975 976 977 978 979 98 98 98 Löpade priser År Mjölk ockerdricka KPI 945 = 975,34,

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN kl

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN kl TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004 TEN 0-04-5 kl 8.5-.5 Hjälpmedel: Formler och tabeller i statistik, räkedosa Fullstädiga lösigar erfordras till samtliga uppgifter. Lösigara skall vara

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp, MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.hp, 2018-08- Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 20 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas

Läs mer

Högskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00

Högskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00 Lösigsförslag UPPGIFT 1 Kvia Ma Högskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00 Pr(ej högskoleutbildad kvi=0,07=7% Pr(högskoleutbildad)=0,87 c) Pr(Kvi*Pr(Högskoleutbildad)=0,70*0,87=0,609

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II Estimerig 2 Kofidesitervall G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 3 februari 205 3 Hypotesprövig 4 Korrelatio och regressio G. Gripeberg Aalto-uiversitetet

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) = Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF955 f d 5B555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN AUGUSTI 008 KL 400 900 Examiator: Guar Eglud, tel 790746 Email: guare@mathkthse Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig

Läs mer

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten Statistik Språkligt och historiskt betyder statistik ugefär sifferkuskap om state E Statistisk udersökig består av fyra delar: Plaerig Dataisamlig Bearbetig Beskrivade statistik (kap 1) Statistisk aalys

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik MSTA3, Saolikhetsteori A, 5 p 5--7 Tetame i matematisk statistik Saolikhetsteori A, 5 poäg Skrivtid: 9.-5.. Tillåta hjälpmedel: Tabellsamlig, ege miiräkare. Studetera får behålla tetamesuppgiftera. På

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner. Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele

Läs mer

P (A) = k A P (A ) = 1 P (A) P (A B) P (B) P (M i ) = 1 P (A) P (X = k) = p X (k) p X (k) = 1 P (A B) p X (k)

P (A) = k A P (A ) = 1 P (A) P (A B) P (B) P (M i ) = 1 P (A) P (X = k) = p X (k) p X (k) = 1 P (A B) p X (k) SVERIGES LANTBRUKSUNIVERSITET Istitutioe för eergi och tekik Uwe Mezel e-post: uwe.mezel@matstat.de Formelsamlig Grudläggade matematiskt statistik 2080822 Saolikhetslära Klassisk saolikhetsdeitio: P A

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp, MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik,.hp, 019-0-1 Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas i!

Läs mer

a) Beräkna E (W ). (2 p)

a) Beräkna E (W ). (2 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF19 och SF191 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 13:E MARS 18 KL 8. 13.. Examiator: Björ-Olof Skytt, 8 79 86 49. Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23 1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig,

Läs mer

1. Test av anpassning.

1. Test av anpassning. χ -metode. χ -metode ka avädas för prövig av hypoteser i flera olika slag av problem: om e stokastisk variabel följer e viss saolikhetsfördelig med käda eller okäda parametrar. om två stokastiska variabler

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

E ( X ) = (här ska ni skriva en viss bokstav! Vilken? Varför)

E ( X ) = (här ska ni skriva en viss bokstav! Vilken? Varför) STOCKHOLMS UNIVERSITET HT 2005 Statistiska istitutioe 2005-09-9 MC Istruktioer till DATORÖVNING Fortsättigskurs i statistik, momet, Statistisk Teori, 0 poäg. Saolikhetsteori - Cetrala gräsvärdessatse.

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Tetame TT091A KMASK14H 7,5 högskolepoäg Nam: (Ifylles av studet) Persoummer: (Ifylles av studet) Tetamesdatum: 2 jui 2015 Tid: 9:00-13:00 Hjälpmedel:

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp, MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp, 08-05-3 Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas i!

Läs mer

b) Bestäm det genomsnittliga antalet testade enheter, E (X), samt även D (X). (5 p)

b) Bestäm det genomsnittliga antalet testade enheter, E (X), samt även D (X). (5 p) Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF922, SF923 och SF924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 29:E MAJ 208 KL 0800 300 Examiator för SF922/SF923: Tatjaa Pavleko, 08-790 84 66 Examiator för SF924:

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II Stickprov MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig del II G Gripeberg Aalto-uiversitetet 4 februari 04 Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G Gripeberg

Läs mer

Tentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl

Tentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl Avdelige för atioalekoomi och Tetame i för STA A13, 1-10 poäg Deltetame II, 5p Lördag 9 jui 007 kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp, MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik,.hp, 018-0-1 Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas i!

Läs mer

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR CDEFI, NANO OCH PI, MAS233, 2004 FMS 012, FMS 022, FMS 121 OCH MAS233

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR CDEFI, NANO OCH PI, MAS233, 2004 FMS 012, FMS 022, FMS 121 OCH MAS233 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR CDEFI, NANO OCH PI, MAS233, 2004 FMS 012, FMS 022, FMS 121 OCH MAS233 Saolikhetsteori Kap 2: Saolikhetsteoris

Läs mer

Statistik för bioteknik SF1911 // KTH Matematisk statistik // Formler och tabeller. 1 Numeriska sammanfattningar (statistikor)

Statistik för bioteknik SF1911 // KTH Matematisk statistik // Formler och tabeller. 1 Numeriska sammanfattningar (statistikor) Statistik för biotekik SF9 // KTH Matematisk statistik // Formler och tabeller Ht 206 Numeriska sammafattigar (statistikor) För ett datamaterial x, x 2,..., x beräkas Stickprovsmedelvärde x = i= x i =

Läs mer

S0005M V18, Föreläsning 10

S0005M V18, Föreläsning 10 S0005M V18, Föreläsig 10 Mykola Shykula LTU 2018-04-19 Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig 10 2018-04-19 1 / 15 Hypotesprövig ett stickprov, σ okäd. Stadardiserig av stickprovsmedelvärdet då σ är

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1917/SF1918/SF1919 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 8 JANUARI 2019 KL 8.00 13.00. Examiator för SF1917/1919: Jörge Säve-Söderbergh, 08-790 65 85. Examiator

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010 Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att

Läs mer

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a. Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik,.hp Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas

Läs mer

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A)

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK TETAME I MATEMATISK STATISTIK Te i kurse 6H, KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse 6H, 6L MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: :-7: Lärare: Armi Halilovic Kurskod 6H, 6H, 6L, 6A Hjälpmedel:

Läs mer

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Statistisk försöksplaerig Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Skriftlig tetame 3,0 hp 51SF01 DTEIN14h 4,5 högskolepoäg TetamesKod: Tetamesdatum: 5 ovember 015 Tid: 9.00-13.00 Hjälpmedel: Miiräkare Totalt

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Istitutioe för matematisk statistisk Statistiska metoder, 5 poäg MSTA36 Peter Ato LÖSNINGSFÖRSLAG 005-10-6 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistiska metoder, 5 poäg

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik Matematik tatitik KTH Formelamlig i matematik tatitik Vårtermie 07 Kombiatorik! = k k! ( k)!. Tolkig: mägd med elemet. = atalet delmägder av torlek k ur e k Stokatika variabler V (X) = E X (E (X)) C (X;

Läs mer

Matematisk statistik TMS063 Tentamen

Matematisk statistik TMS063 Tentamen Matematisk statistik TMS063 Tetame 208-05-30 Tid: 8:30-2:30 Tetamesplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamlig och tabell samt Chalmersgodkäd räkare. Kursasvarig: Olof Elias Telefovakt/jour: Olof Elias,

Läs mer

2004 Rune Norberg. Måste elimineras! Hur då? Kapitel 9. Variation Olika typer av data. 2004 Rune Norberg. Kapitel 9

2004 Rune Norberg. Måste elimineras! Hur då? Kapitel 9. Variation Olika typer av data. 2004 Rune Norberg. Kapitel 9 Fe l i t ill verki ge ept Okt Nov Dec ept Okt Nov Dec Högskola Dalara Översikt tatistisk processtyrig Itroduktio till tatistisk Processtyrig (P) aolikhet Normalfördelig Några adra fördeligar Variatio Olika

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig och exempel, del II Stickprov Två yttiga fördeligar Estimerig G. Gripeberg 3 Kofidesitervall Aalto-uiversitetet 3 februari 05 4 Hypotesprövig

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig och exempel, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 13 februari 015 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 13 februari 015 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS65

SAMMANFATTNING TAMS65 SAMMANFATTNING TAMS65 Matematisk statistik, fortsättigskurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, VT 016 Seast reviderad: 016-06-01 Författare: Viktor Cheg Iehållsförteckig

Läs mer

Sannolikhetslära statistisk inferens F10 ESTIMATION (NCT )

Sannolikhetslära statistisk inferens F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, vt 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlita till NCT Iferece Slutledig, ifere Parameter Parameter Saolikhetlära tatitik ifere Hittill har vi ylat med aolikhetlära. Problem av type:

Läs mer

Laboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar

Laboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-02 Laboratio 5: Kofidesitervall viktiga statistiska fördeligar Syfte I dea laboratio

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 4 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Sannolikhet Vad är sannolikhet? o Slumpvariabel o Sannolikhetsfördelningar Binomialfördelning Normalfördelning o Stickprov och population o Centrala

Läs mer

TENTAMEN Datum: 16 okt 09

TENTAMEN Datum: 16 okt 09 TENTAMEN Datum: 6 okt 09 Kurs: KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK HF00 TEN (Matematisk statistik ) Te i kurse HF00 ( Tidigare k 6H0), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF00, 6H000, 6L000 MATEMATIK

Läs mer

Matematisk statistik

Matematisk statistik Matematisk statistik (Corelia Schiebold) Iehåll:. Saolikhetsteori 2. Diskreta stokastiska variabler 3. Kotiuerliga stokastiska variabler 4. Oberoedemått, summor av stokastiska variabler och cetrala gräsvärdessatse

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 11 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

Tentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000

Tentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klitberg Lösigar Tetame i Saolikhetsteori III 13 jauari 2000 Uppgift 1 a) Det mest detaljerade utfallsrummet är med uppebara beteckigar Ω = {(B1, B2),

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

================================================

================================================ rmi Halilovic: ETR ÖVNINGR TVÅ STICKPROV Vi betraktar två oberoede ormalfördelade sv och Låt x, x,, x vara ett observerat stickprov, av storleke, på N (, ) och låt y, y,, y vara ett observerat stickprov,

Läs mer

Matematisk statistik

Matematisk statistik Tetame TEN, HF, 8 aug Kursod: HF Srivtid: 8:-: Lärare och examiator: Armi Halilovic Matematis statisti Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statisti ") och miiräare av vile typ som

Läs mer

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann 73G70 Statistik A Föreläsigsuderlag skapad av Karl Wahli Föreläsigsslides uppdaterade av Bertil Wegma Istitutioe för dataveteskap (IDA) Liköpigs uiversitet vt 06 Kapitel Populatioer, stickprov och variabler

Läs mer

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann 73G70 Statistik A Föreläsigsuderlag skapad av Karl Wahli Föreläsigsslides uppdaterade av Bertil Wegma Istitutioe för dataveteskap (IDA) Liköpigs uiversitet vt 07 Kapitel Populatioer, stickprov och variabler

Läs mer

Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 1: Matematik 7.5 hp

Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 1: Matematik 7.5 hp Tetame i Tillämpad Matematik och statistik för IT-foresik. Del 1: Matematik 7.5 hp 1 jui, 2017 Maxpoäg: 30p. Betygsgräser: 12p: betyg 3, 18p: betyg 4, 24p: betyg 5. Hjälpmedel: Typgodkäd miiräkare samt

Läs mer

Id: statistik.tex :48:29Z joa

Id: statistik.tex :48:29Z joa UTDRAG UR FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI PUNKT- OCH INTERVALLSKATTNINGAR SAMT HYPOTESTEST MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, È; FMS 012 JOAKIM LÜBECK, SEPTEMBER 2008 Iehåll 1 Puktskattigar

Läs mer

F6 Uppskattning. Statistikens grunder 2 dagtid. Beteckningar, symboler, notation. Grekiskt-romerskt

F6 Uppskattning. Statistikens grunder 2 dagtid. Beteckningar, symboler, notation. Grekiskt-romerskt 01-10-19 F6 Uppskattig Statistikes gruder dagtid HT 01 Vi skattar populatiosparametrar (modellparametrar med olika statistikor: E. stickprovs- -medelvärdet X skattar μ -variase S skattar -adele P skattar

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer