4.2.3 Normalfördelningen

Transkript

1 4..3 Normalfördelge Bomal- och Possofördelge är två exempel på fördelgar för slumpvarabler som ka ata ädlgt eller uppräkelgt måga olka värde. Sådaa fördelgar sägs vara dskreta. Ofta är ett resultat X frå (slumpmässgt) försök ett värde ett tervall. Ex. Lägde hos e 5-årg ma. Ex. Dameter hos e producerad kula tll ett kullager Ex 3. Resstase ett motståd X sägs då vara e kotuerlg slumpvarabel

2 4..3 Normalfördelge Ex. Lägde hos 00 st 5-årga mä. (Smulerade värde). Klass frekves relatv frekves relatv frekvesdestet relatv frekvesdestet relatv frekves/klassbredd

3 4..3 Normalfördelge Hstogram of Lägd Hstogram of Lägd Frequecy 0 5 Desty Lägd Lägd Area(0.0) 00. Låt X Lägde hos e slumpmässgt vald 5-årg ma. P(90 < X 00) 0. (Mtab)

4 4..3 Normalfördelge Hstogram of Lägd Hstogram of Lägd Desty Desty Lägd Lägd Lägde hos 000 mä Lägde hos 0000 mä (Mtab)

5 4..3 Normalfördelge Hstogram of Lägd Normal Hstogram of Lägd Normal Desty Desty f(x) Lägd Lägd f(x) kallas frekvesfukto (desty fucto) 00 P(90 < X 00) f x dd 90 (Mtab)

6 4..3 Normalfördelge Hstogram of Lägd Normal Hstogram of Lägd Normal Cumulatve Percet Cumulatve Percet F(x) Lägd Lägd F(x)P(X x) kallas för fördelgsfukto äve här. (Mtab)

7 4..3 Normalfördelge E valgt (och aturlgt) förekommade kotuerlg fördelg är ormalfördelge. Dess frekvesfukto f(x) är klockformad och beskrvs av två parametrar, ämlge µ vätevärdet och σ varase. Beteckas N(µ, σ ) Ata u att lägde X är N(8,9 )-fördelad. P(90 < X 00) P(X 00) - P(X 90) P(X 90) (Mtab)

8 4..3 Normalfördelge När är datat ormalfördelat? E bedömg ka göras med hstogram, ormal probablty plot och ormalty test. Percet Probablty Plot of Lägd Normal - 95% CI Lägd Mea 8.5 StDev N 00 AD 0.47 P-Value Om p-value<0.05 har ma statstska belägg för att säga att data te kommer frå e ormalfördelg. Ett p-value >0.05 behöver emellertd te betyda att data är ormalfördelat! (Mtab)

9 4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer Hur påverkas vätevärde och varas om data skalas om? E(k X)k E(X)k m V(k X)k V(X)k s Det ebär att stadardavvkelse blr k s Ex. Skala om lägdera tll meter frå cm. Multplcera med k/00 (Mtab)

10 4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer Vad blr vätevärde och varas är ma summerar flera slumpvarabler? Låt X, X,, X p vara oberoede slumpvarabler med vätevärde µ, µ,, µ p och stadardavvkelser σ, σ,, σ p. E( V( p p X ) X ) p p µ σ µ σ + µ + σ + + µ p + + σ p

11 4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer Ex. Summa av 0 tärgskast upprepade 000 gåger. Probablty Ett tärgskast 3 4 Atal prckar 5 6 Ma ka vsa att vätevärde och varas för ett kast är 3.5 respektve.9. Det betyder att summa av 0 kast bör ha vätevärde 35, varas 9. och stadardavvkelse 5.4.

12 4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer Ex. Summa av 0 tärgskast upprepade 000 gåger. Frequecy Hstogram of sum Normal Mea StDev N 000 Som ser påmer hstogrammet om frekvesfuktoe för e ormalfördelad varabel sum (Mtab)

13 Vad blr vätevärde och varas för medelvärdet av flera slumpvarabler?? Låt X, X,, X vara oberoede slumpvarabler med vätevärde µ, µ,, µ och stadardavvkelser σ, σ,, σ. X ) V( V(X) X ) E( E(X) + σ + + σ σ σ + µ + + µ µ µ 4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer

14 I praktke tar v medelvärdet av upprepade mätgar dvs slumpvarablera har samma vätevärde och varas. X V X V X E X E σ + σ + + σ σ σ µ + µ µ + µ + µ ) ( ) ( ) ( ) ( 4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer

15 4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer Om våra slumpvarabler X, X,, X är oberoede och ormalfördelade slumpvarabler blr medelvärdet (och summa) ormalfördelad. Äve om de te är ormalfördelade kommer medelvärdet (och summa) approxmatvt att vara ormalfördelad. Detta approxmatva resultat följer av cetrala gräsvärdessatse. σ X är (approxmatvt) N( µ, X är (approxmatvt) N(µ, σ ) )

16 4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer Cetrala gräsvärdessatse medför bl.a. att proportoer kommer att approxmatvt vara ormalfördelade. För bomalfördelge gäller: Låt A betecka e hädelse vd ett slumpmässgt försök. Upprepa försöket oberoede gåger. Vd varje upprepg träffar A med saolkhete p.

17 4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer Atalet gåger, X, som A träffar vd stycke försök är då bomalfördelat. X ka ses som summa av st slumpvarabler som atar värdet om A träffar och värdet 0 om A te träffar. Varje såda slumpvarabel har vätevärde p och varas p(-p) varför X får vätevärde p och varas p(-p). CGS säger då att X är approxmatvt N(p, p(-p))

18 4.3 Fördelg för medelvärde och proportoer I praktke käer v te värdet på p uta v måste uppskatta det. E rmlg och bra uppskattg är X/, dvs adele gåger som A träffar vd stycke upprepade försök. V fer då att proportoe X/ är approxmatvt N(p, p(-p)/) Ex. Atag att felkvote vd e tllverkgsprocess är 0.03 och att v kotrollerar 00 st leveraser om 000 tllverkade eheter. (Mtab)