Tentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Tentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl"

Transkript

1 Avdelige för atioalekoomi och Tetame i för STA A13, 1-10 poäg Deltetame II, 5p Lördag 9 jui 007 kl Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Cecilia Håglad Övrigt: Varje uppgift ka ge max 10p. Lösigar skall uta svårighet kua följas. Iförda beteckigar skall förklaras. För betyget Godkäd krävs mist 30p och för Väl godkäd krävs mist 45p. Uppgift 1 Slumpvariabel är N(µ= 1 000; = 100). a) Skissa frekves-/saolikhetsfuktioe för variabel och markera vätevärde, media och stadardavvikelse i figure. b) Beräka saolikhete för att ligger utaför itervallet µ ±, samt rita e figur som illustrerar dea saolikhet. c) Vad är saolikhete för att ligger iom itervallet [950; 1 150]? Illustrera äve detta i e figur. d) För vilka symmetriska itervall av värde gäller att saolikhete att ett slumpmässigt -värde hamar iom själva itervallet är 0,90 respektive 0,99? Rita e (eller två) figur(er) och markera tydligt hur itervalle ligger. e) Beräka: -µ ) samt illustrera det aktuella området i e figur. För lösigar på uppgift 1, se separat fil. Uppgift Utgå frå samma ormalfördelade slumpvariabel,, som i uppgift 1. a) Om vi är fullstädigt isatta i vilke fördelig följer och gör ett slumpmässigt urval om =4 observatioer frå populatioe, vilke fördelig följer då stickprovsmedelvärdet? Glöm ite att age all relevat iformatio (bara fördeliges am räcker ite). Om är ormalfördelad är också ormalfördelad (se kompletterigsmaterialet till kapitel 8, uder Amärkig. Detta räcker dock ite som svar, uta vi måste ha med ormalfördeliges parametrar också. Vätevärdet E ( ) = µ är alltid samma som vätevärdet för, => µ = µ = 100, och stadardavvikelse för,, är alltid, vilket här 100 =. är N( µ = 1000, = 50 ). blir 50 4

2 Avdelige för atioalekoomi och b) Vad är saolikhete för att medelvärdet i stickprovet ligger utaför itervallet E ( ) ± V ( )? Eftersom är ormalfördelad precis som, är saolikhete för att skulle ligga utaför itervallet E ( ) ± V ( ) lika stor som att skulle ligga utaför itervallet E ( ) ± V ( ), d. v. s. utaför itervallet µ ±. Dea saolikhet har vi reda tagit fram i 1b och de är 0,3174. Om ma ite upptäcker likhete med 1b går det aturligtvis bra att i stället aväda resultatet i a och räka ut saolikhete att ligger utaför itervallet µ ± = 1000 ± 50, eller utaför itervallet (950; 1 050) µ 1050 µ ) = ) = 1 1 Z 1) = [ Z < 1) 4 4 Z < 1)] = (0,8413 0,1587) = 1 0,686 = 0,3174 Uppgift 3 De förvirrade lärare Ztatistica tappar bort både vätevärde och stadardavvikelse för slumpvariabel frå uppgiftera ova. a) Atag att Ztatistica trots allt lyckas hålla i miet att variabel är ormalfördelad. Om ho i detta läge drar ett slumpmässigt stickprov om =4 observatioer frå populatioe och beräkar diverse itressata läges- och spridigsmått i stickprovet hur skulle ho därefter kua utyttja dea iformatio på bästa sätt för att försöka ta reda på ugefär hur stort vätevärdet för är? Hitta på siffror i lämplig storleksordig sut föruft räcker! för att illustrera di redogörelse ytterligare och förklara också i ord vad Ztatistica faktiskt skulle kua säga beträffade vätevärdet för. Om Ztatistica beräkar medelvärde och stadardavvikelse i stickprovet, ka ho seda utyttja kuskape om att de uderliggade populatioe är ormalfördelad och ta fram ett kofidetiella för vätevärdet μ. Specifikt: När Ztatistica drar ett litet urval frå e ormalfördelad populatio med µ okäd stadardavvikelse vet ho att s följer e t-fördelig med (-1=3) frihetsgrader. Ett (exempelvis) 95%-igt kofidesitervall för μ ka då beräkas som: (3) s s x ± t0,975 = x ± 3,18 4

3 Avdelige för atioalekoomi och Om vi u hittar på ågorluda realistiska värde, t. ex. att stickprovsmedelvärdet blir 98 och stickprovsstadardavvikelse 54, får vi 54 itervallet 98 ± 3,18 = (896,14; 1067,86) Ztatistica ka u påstå att Med 95% säkerhet ligger vätevärdet för mella 896 och b) De förvirrade lärare Ztatistica är u om möjligt äu mer förvirrad. Ho kommer ite ihåg ågotig om slumpvariabel (mer ä att det är just e slumpvariabel!). Kom med e välmotiverad, utförlig beskrivig på hur Ztatistica i detta läge skulle kua gå tillväga för att få e riktigt hygglig uppfattig om hur stort vätevärdet för är. Hitta på siffror i lämplig storleksordig sut föruft + relevata ämeskuskaper krävs för att illustrera di redogörelse ytterligare och förklara också i ord vad Ztatistica faktiskt skulle kua säga beträffade vätevärdet för. Om vi har e slumpvariabel som vi ite vet ågotig om, är det e god idé för Ztatistica att dra ett stort slumpmässigt stickprov ur populatioe. Eftersom ho vet att stickprovsmedelvärdet är e vätevärdesriktig skattig av vätevärdet µ, ka ho ekelt göra e puktskattig av vätevärdet. Me detta ger ju bara ett värde, som Ztatistica ite alls vet hur ära saige det ligger. Här ka ho därför med fördel utyttja de Cetrala gräsvärdessatse, CGS. CGS säger att E summa av oberoede slumpvariabler frå samma fördelig följer ugefär e ormalfördelig, om atalet variabler som igår i summa bara är tillräckligt stort. Eftersom Ztatistica är väl påläst, vet ho vidare att ett stickprovsmedelvärde är just e 1 3 summa av slumpvariabler, = , och att vi dividerar respektive observatio med sakar betydelse för forme på fördelige. 1 3 Om u = är ugefär ormalfördelad och Ztatistica vet (eller slår upp i formelsamlige) att vätevärde och stadardavvikelse för är µ respektive ka ho äve se att ho ka beräka ett 100(1-α)%-igt kofidesitervall för µ som x ± z Fast hur gör ho med de okäda stadardavvikelse? Jo, eftersom Ztatistica tog ett stort stickprov, om t. ex. =100 observatioer, ka ho skatta med stickprovsstadardavvikelse s och säga att: Med cirka 95% (exempelvis) säkerhet ligger vätevärdet µ iom itervallet s s x ± z0,975 = x ± 1, α

4 Avdelige för atioalekoomi och Om vi hittar på att vi fått ett stickprovsmedelvärde på och e stickprovsstadardavvikelse på 48.3 får vi: 48,3 1006, ± 1,96 = (996,733, 1015,6668) och vi ka säga att Med ca 95% 10 säkerhet ligger vätevärdet µ mella 996,7 och 1015,7.. c) Hur påverkas resoemaget/beräkigara i b om Ztatistica plötsligt slås av isikte att vi söker vätevärdet i e ädlig populatio? Om populatioe vi pratar om är ädlig, ka Ztatistica för det första börja med att kostatera att de aldrig ka vara exakt ormalfördelad, eftersom ormalfördelige defiitiosmässigt ite är ädlig. Om det gäller e lite ädlig populatio ka ho självfallet udersöka hela populatioe och beräka det saa vätevärdet µ. Fast så ekelt är ju sälla fallet! Däremot är det ju så, att ju midre populatioe är, desto större adel kommer Ztatistica att ha udersökt med si stickprovsstorlek på =100. Det iebär vidare att ett kofidesitervall med samma bredd som ova, d. v. s. ca 0, kommer att ha e mycket högre kofidesgrad ä 95%. Aalogt kommer ett 95%-igt kofidesitervall att bli mycket smalare ä 0 eheter, eftersom vi udersökt e större adel av populatioe. Detta beror på att variase för vår variabel, stickprovsmedelvärdet, kommer att miska ju större adel av populatioe vi udersöker. N Beräkigsmässigt dyker detta upp i ädlighetskorrektioe,. N 1 Ztatistica behöver därför reda på hur stor populatioe är. Säg t. ex. att populatiosstorleke N=300. I så fall ka vi ta fram ett ugefär 95%-igt kofidesitervall för µ som s N 48, x ± 1,96 = 1006, ± 1,96 ger (998,457; 1013,943) N Med ca 95% säkerhet ligger vätevärdet µ mella 998,4 och 1014,0 och vi har u fått ett ågot sävare itervall. Sammafattigsvis är det itressat att otera hur kofidesitervalles bredd påverkas av vad vi vet om slumpvariabels fördelig, stickprovsstorlek och huruvida populatioe är ädlig eller ite. Det bredaste itervallet fick vi i a, me då skall vi också ha i åtake att vi bara hade fyra observatioer!

5 Avdelige för atioalekoomi och Uppgift 4 E tillverkare av mp3-spelare garaterar att det är högst 10% av has produkter som är defekta. E skeptisk iköpsasvarig gör e mycket oggra urvalsprocedur och plockar ut 75 spelare som ka betraktas som slumpmässigt valda ur tillverkares produktio. Om det är 13 eller fler defekta mp3-spelare blad dessa, så aser iköpare att ha kuat visa att spelara är av sämre kvalitet ä vad tillverkare påstår, och plaerar att kofrotera tillverkare med detta. a) Sätt upp hypotesera för testet som de iköpsasvarige gör. H 0 : Adele defekta mp3-spelare π 0,10 H 1 : Adele defekta mp3-spelare π > 0,10 b) Förklara dels i allmäa termer och dels i termer av vårt exempel vad typ- I-fel respektive typ-ii-fel är. Ett typ-i-fel är att förkasta ollhypotese trots att de är sa. Här skulle det motsvara att de iköpsasvarige får 13 eller fler defekta spelare i urvalet och drar slutsatse att mer ä 10% av mp3-spelara är defekta, trots att så ite är fallet. Relaterat till typ-i-fel är sigifikasivå α, som är typ- I-fel). Ett typ-ii-fel är att ite förkasta ollhypotese är mothypotese är sa. I vårt fall att de iköpsasvarige ite får åtmistoe 13 defekta mp3-spelare i urvalet, trots att adele defekta spelare är högre ä 10%. Relaterat till typ- II-fel är β, typ-ii-fel). 1- β kallas för styrka och är saolikhete att förkasta de falska ollhypotese givet e viss mothypotes. c) Beräka testets sigifikasivå. Glöm ite halvkorrektioe! Sigifikasivå α är typ-i-fel). α=mist 13 defekta mp3-spelare i urvalet π = 0,10). Tillverkare påstår att adele defekta spelare är högst 10% och vi vill försöka visa att de är högre. Det värde vi räkar på i ollhypotese måste då vara det högsta värdet i tillverkares itervall, d. v. s. 0,10. Tillverkare har ju idirekt påstått att det i alla fall ite är mer ä 10% defekta mp3- spelare i urvalet. Vi iför Atal defekta mp3-spelare i ett slumpmässigt urval om 75 spelare. E mp3-spelare är atige defekt eller ite. Saolikhete att e slumpmässigt vald spelare är defekt är π och de är samma för alla spelare i urvalet. Vidare: om vi har e mycket stor populatio av mp3-spelare ka vi ata att de 75 valda spelara är oberoede av varadra. => är Bi(=75 och π=0,10) är ollhypotese är sa. => α= 13 är Bi(=75 och π=0,10)) = 1-1)

6 Avdelige för atioalekoomi och Eftersom vi ite har tabellvärde för som är större ä 50 och ogära vill sitta och räka för had kotrollerar vi om vi ka approximera. Både π och (1-π) är större ä 5 (7,5 respektive 6,5) så det går bra. => är approx N(µ=π=7,5 = (π(1-π))= 6,75). α = 1 + 0,5 är appr. N( µ = 7,5; = 6,75)) = µ 1 + 0,5 7,5 ) = 6,75 Z 1,9 ) = 1 0,976 = 0,074 Ag. halvkorrektio: Eftersom biomialfördelige bara ka ata heltalsvärde meda ormalfördelige är kotiuerlig och ka ata alla värde, måste vi dela upp värdeitervallet mella 1 och 13. Vi halvkorrigerar, vilket motsvarar att täka sig att värde mella 1 och 1,5 hör till 1 och att värde mella 1,5 och 13 hör till 13. d) Ata det i själva verket är 0 % defekta eheter i partiet. Beräka uder dea förutsättig testets styrka. Glöm ite halvkorrektioe! Styrka är saolikhete att förkasta ollhypotese givet att mothypotese är sa, d. v. s. 13 π=0,0). Tumreglera för ormalapproximatio är fortfarade uppfyllda, π=15 och (1-π)=60. Uppställige i övrigt blir precis som ova, det som skiljer är att vi u får ett ytt vätevärde och e y stadardavvikelse. är approx N(µ=π=15 = (π(1-π))= 1). Styrka = ,5 är appr. N( µ = 15; = 1)) = µ 1 + 0,5 15 ) = 1 Z 0,7 ) = 0,358 = 0,764 e) Vid stickprovskotrolle visade det sig vara 1 defekta eheter. Beräka testets p-värde. Glöm ite halvkorrektioe! Ett tests p-värde är saolikhete att få det observerade resultatet eller äu extremare, givet att ollhypotese är sa. P-värdet ka därför sägas vara de observerade, eller faktiska sigifikasivå om ma täker sig att ma skulle förkasta ollhypotese direkt. => P-värdet = 1 π 0,10) = 1-11 π 0,10) α = 8 + 0,5 är appr. N( µ = 7,5; = 6,75)) = µ 11+ 0,5 7,5 ) = 6,75 Z 1,54 ) = 0,938 = 0,0618 Här är det e god idé att staa upp ett slag och reflektera. Eligt vad iköpsasvarige bestämde frå börja, skulle ha klaga hos tillverkare om 13 eller fler mp3-spelare i urvalet var defekta. Detta skulle då ge e sigifikasivå på kappt 3%, att jämföras med p-värdet på drygt 6%.

7 Avdelige för atioalekoomi och Slutsatse blir här att ite förkasta ollhypotese, d. v. s. att avstå frå att klaga hos tillverkare. På 3% sigifikasivå ka vi ite påstå att adele defekta mp3-spelare överstiger 10%. Me, fråga är om detta är det föruftigaste att göra? E risk på drygt 6% - visserlige högre ä vad iköpare frå börja bestämt sig för att acceptera är de oacceptabelt hög egetlige? Detta ka bara de iköpsasvarige själv svara på. Det viktiga i sådaa här situatioer är att ma ite bara mekaiskt jämför p-värdet med sigifikasivå, uta att ma aktivt tar ställig till hur stor risk ma är villig att ta att felaktigt förkasta ollhypotese äve efter att själva stickprovsförfaradet har geomförts. Det är ite sälla som t. ex. forskare hoppar direkt på p-värdet är ma geomför olika studier, och seda klassificerar udersökiges resultat utifrå dessa observerade sigifikasivåer. Uppgift 5 Cetrala gräsvärdessatse, CGS, är mycket viktig iom statistisk teori. Age i vilka av uppgiftera 1-4 ova ma ka dra ytta av CGS och på vilket sätt ma utyttjar satse. För de uppgifter där CGS ite behöver avädas, ge e kort motiverig till varför satse i dessa fall är överflödig/irrelevat. De Cetrala gräsvärdessatse formulerade vi i uppgift 3 ova. Nu gäller det att se var de har aväts, och var de ite har aväts. Första gåge vi var tvuga att utyttja CGS för att kua lösa uppgifte, var i 3b. Vi visste att vi hade e slumpvariabel, me igetig mer. Vi behövde därför CGS, så att vi med hjälp av ett tillräckligt stort stickprov kude ata att stickprovsmedelvärdet blev approximativt ormalfördelat. Därefter kude vi beräka ett kofidesitervall som valigt. Vi hade alltså ite kuat beräka kofidesitervallet på det sätt vi gjorde uta att stödja oss mot CGS. I 3c, som är e variat på 3b, aväder vi e variat av CGS. Vi har ett tillräckligt stort stickprov, och behöver bara justera för att vi har e ädlig populatio. I övrigt stöjder vi oss mot CGS. Uppgift 4 har e biomialfördelad slumpvariabel, som reda i sig själv är e summa av alla lyckade oberoede delförsök uder samma förutsättigar. Detta iebär, att är atalet variabler i summa är tillräckligt stort, ka vi approximera variabel till e ormalfördelig. Dock: här är det ite bara att räka atalet variabler som igår i summa. Vi behöver också ta häsy till π, saolikhete för att ett eskilt delförsök skall lyckas. Ju lägre frå 0,5 π är, desto större atal delförsök behövs för att kompesera för att e såda fördelig är väldigt skev. Äve om biomialfördelige bara ka ata heltalsvärde, är de ju faktiskt helt symmetrisk för π=0,5, vilket gör att det då också krävs väsetlige färre observatioer för att ormalapproximatioe skall bli bra.

8 Avdelige för atioalekoomi och Övriga uppgifter då? Uppgift 1 behadlar e ekel ormalfördelad slumpvariabel => CGS är helt överflödig. Uppgift hadlar om att vi beräkar medelvärdet av ett atal ormalfördelade slumpvariabler. Detta medelvärdet kommer då också alltid att vara ormalfördelat (se Amärkig på adra sida i det kompletterade kompediematerialet som hör till kapitel 8) och eftersom vi käer till populatiosstadardavvikelse ka vi äve räka ormalfördelat. I uppgift 3a har vi fortfarade medelvärdet av ett atal ormalfördelade variabler, som då också är ormalfördelat. Detta iebär att CGS ite är aktuell (CGS har ju bara ågo poäg om de ursprugliga populatioe ite är ormalfördelad). Det som i stället häder, är att vi ite käer till populatiosstadardavvikelse och att vi därför utyttjar t-fördelige. Detta har dock igetig med CGS att göra. Uppgift 6 E pedagog vill udersöka hur läshastighete Y (ord/miut) påverkas av ålder (år). Ho utför därför ett experimet där ho låter 11 slumpmässigt valda bar på e skola göra ett läshastighetsprov. Resultatet blev y x För att beskriva det aktuella sambadet avser ho aväda e lijär regressiosmodell. a) Ta fram e skattig av de lijära regressiosmodelle. Vi aväder modelle y = a + bx, där xy x y 11* *1550 b = = x ( x) 11* ,5103*139 a = y bx = 9, => y = 9, ,51x. 13,5103 Modelle ger alltså e rät lije med ett itercept på ca -30 och e riktigskoefficiet på +13,5.

9 Avdelige för atioalekoomi och b) Rita ett diagram över observatioera och regressioslije. Sambad mella läshastighet och ålder Läshastighet (ord/miut) Ålder (år) Här är förvisso ite lije iritad, me det går ädå att se att puktera ligger spridda på ett sådat vis att ett lijär modell ger e gaska bra beskrivig av sambadet mella läshastighet och ålder. c) Beräka korrelatioskoefficiete och förklarigsgrade / determiatioskoefficiete. r = r xy x ( 0,6785 x x) y = 11* * * ,837 d) Tolka regressioskoefficiete b i ord, och förklara vad som här ka utläsas av förklarigsgrade / determiatioskoefficiete. Att regressioskoefficiete b=13,5 iebär att läshastighete mätt i atal ord per miut ökar med i geomsitt 13,5 ord för varje år äldre som bare blir, givet det udersökta åldersitervallet i de udersökta populatioe. Vad som är viktigt här, är att ite aväda modelle utaför det udersökta åldersitervallet. Vi ser t. ex. att ett yfött bar eligt modelle skulle ha e egativ läshastighet, på -30 ord/miut. Detta är självfallet helt orimligt. Förklarigsgrade, eller determiatioskoefficiete mäter hur stor adel av variatioe i läshastighet som ka häföras till variatioe i ålder, d. v. s att bare är olika gamla. I de här modelle ser vi att 68% av deras förbättrade läsförmåga verkar kua förklaras av att bare blir äldre (och har huit öva mer). Resterade ka 3% alltså ases bero dels på e idividuell variatio, dels på förklarigsvariabler som ite fis med i modelle.

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten Statistik Språkligt och historiskt betyder statistik ugefär sifferkuskap om state E Statistisk udersökig består av fyra delar: Plaerig Dataisamlig Bearbetig Beskrivade statistik (kap 1) Statistisk aalys

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level

Läs mer

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ) Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Tetame TT091A KMASK14H 7,5 högskolepoäg Nam: (Ifylles av studet) Persoummer: (Ifylles av studet) Tetamesdatum: 2 jui 2015 Tid: 9:00-13:00 Hjälpmedel:

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II Stickprov MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig del II G Gripeberg Aalto-uiversitetet 4 februari 04 Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G Gripeberg

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig,

Läs mer

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Statistisk försöksplaerig Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Skriftlig tetame 3,0 hp 51SF01 DTEIN14h 4,5 högskolepoäg TetamesKod: Tetamesdatum: 5 ovember 015 Tid: 9.00-13.00 Hjälpmedel: Miiräkare Totalt

Läs mer

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I Föreläsig 5 732G04 Surveymetodik 732G19 Utredigskuskap I Dages föreläsig Klusterurval Estegs klusterurval Tvåstegs klusterurval Klusterurval med PPS 2 Klusterurval De urvalsdesiger som diskuterats hittills

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner. Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele

Läs mer

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Formelblad Sannolikhetsteori 1 Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010 Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 13 februari 015 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np.

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601 Valiga fördeligar Fördelig Vätevärde Varias Biomialfördelig, Bi (, p ) P (X = x) = ( x) p x (1 p)

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160331, kl. 08.00 12.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Tetame Psykologi Kurskod: PC106, Kurs 6: Idivide i ett socialt sammahag (15 hp) och PC145 Datum: 5/5-013 Hel- och halvfart VT 13 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig

Läs mer

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta. KOD: Kurskod: PC106/PC145 Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 4/5 014 Hel- och halvfart VT14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare: Niklas Frasso

Läs mer

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig och exempel, del II Stickprov Två yttiga fördeligar Estimerig G. Gripeberg 3 Kofidesitervall Aalto-uiversitetet 3 februari 05 4 Hypotesprövig

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Istitutioe för matematisk statistisk Statistiska metoder, 5 poäg MSTA36 Peter Ato LÖSNINGSFÖRSLAG 005-10-6 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistiska metoder, 5 poäg

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160928, kl. 14.00 18.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23 1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Id: statistik.tex :48:29Z joa

Id: statistik.tex :48:29Z joa UTDRAG UR FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI PUNKT- OCH INTERVALLSKATTNINGAR SAMT HYPOTESTEST MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, È; FMS 012 JOAKIM LÜBECK, SEPTEMBER 2008 Iehåll 1 Puktskattigar

Läs mer

Lösningsförslag 081106

Lösningsförslag 081106 Lösigsförslag 86 Uppgift Trädslag: kvalitativ, omialskala (diskret) Diameter: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Höjd: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Ålder: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Trädslag:

Läs mer

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann 73G70 Statistik A Föreläsigsuderlag skapad av Karl Wahli Föreläsigsslides uppdaterade av Bertil Wegma Istitutioe för dataveteskap (IDA) Liköpigs uiversitet vt 06 Kapitel Populatioer, stickprov och variabler

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS65

SAMMANFATTNING TAMS65 SAMMANFATTNING TAMS65 Matematisk statistik, fortsättigskurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, VT 016 Seast reviderad: 016-06-01 Författare: Viktor Cheg Iehållsförteckig

Läs mer

Några grundläggande begrepp och termer i statistikteorin

Några grundläggande begrepp och termer i statistikteorin Matematisk statistik för STS vt 004 004-05 - 03 Begt Rosé Några grudläggade begrepp och termer i statistikteori Om matematisk statistik Som tidigare ämts brukar matematisk statistik delas upp i huvudområdea

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

Matematisk statistik

Matematisk statistik Tetame TEN, HF, 8 aug Kursod: HF Srivtid: 8:-: Lärare och examiator: Armi Halilovic Matematis statisti Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statisti ") och miiräare av vile typ som

Läs mer

Laboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar

Laboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-02 Laboratio 5: Kofidesitervall viktiga statistiska fördeligar Syfte I dea laboratio

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

STATISTIK FÖR LÄKARSTUDENTER

STATISTIK FÖR LÄKARSTUDENTER 2015-04-05 STATISTIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsso läkarstudet.se INDEX INTRODUKTION...2 Att skriva saolikheter...2 Saolikhetslagar...2 Fakulteter...3 Odds och oddskvot...3 Typer av data...4 Diagram...5

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

Statistik för ingenjörer 1MS008

Statistik för ingenjörer 1MS008 Statistik för igejörer MS8 Föreläsig Kursmål: För godkät betyg på kurse skall studete käa till ett flertal metoder och tekiker för visualiserig av datamaterial; kua geomföra ekla beräkigar av saolikheter;

Läs mer

HYPOTESPRÖVNING. De statistiska metoderna som används för att fatta denna typ av beslut baseras på två komplementära antaganden om populationen.

HYPOTESPRÖVNING. De statistiska metoderna som används för att fatta denna typ av beslut baseras på två komplementära antaganden om populationen. HPOTESPRÖVNING De tatitika metodera om aväd för att fatta dea typ av belut baera på två komplemetära atagade om populatioe. Partiet produkter har atige de utlovade kvalitete eller å har de de ite. Atige

Läs mer

Efter tentamen För kurser med fler än 60 examinerande meddelas resultatet SENAST 20 arbetsdagar efter examinationen annars 15 arbetsdagar.

Efter tentamen För kurser med fler än 60 examinerande meddelas resultatet SENAST 20 arbetsdagar efter examinationen annars 15 arbetsdagar. Luleå tekiska uiversitet TENTAMEN Kurskod: R0009N Kursam: Modeller för iter styrig Tetamesdatum: 2015-03-16 Skrivtid: 4 timmar Tillåta hjälpmedel: Räkare. Rätetabeller bifogas lägst bak i dea teta. Jourhavade

Läs mer

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe Databasdesig Förstudie, behovsaalys ER-modellerig Kravspecifikatio För att formulera e kravspecifikatio: Idetifiera avädare Studera existerade system Vad

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,

Läs mer

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3150 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 29 maj 2007 Lösig till tetame för kurse Log-lijära statistiska modeller 29 maj 2007 Uppgift 1 a Modelle uta ågra

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

Slutrapport Bättre vård i livets slutskede

Slutrapport Bättre vård i livets slutskede Team : Stadsvikes VC Syfte med deltagadet i Geombrott Att öka tillite och trygghete till de vård som bedrivs i det ega hemmet för de palliativa patiete. Teammedlemmar Eva Lidström eva.lidstrom@ll.se Viktoria

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

Kompletteringsskrivning i EG2050 Systemplanering, 17 september 2009, 9:00-11:00, stora konferensrummet

Kompletteringsskrivning i EG2050 Systemplanering, 17 september 2009, 9:00-11:00, stora konferensrummet Kompletterigsskrivig i EG2050 Systemplaerig, 17 september 2009, 9:00-11:00, stora koferesrummet Istruktioer Edast de uppgifter som är markerade på det bifogade svarsbladet behöver lösas (på de övriga uppgiftera

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 5

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 5 Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsig 5 HYPOTESPRÖVNING (LLL Kap 11) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,

Läs mer

Samtal med Karl-Erik Nilsson

Samtal med Karl-Erik Nilsson Samtal med Karl-Erik Nilsso,er Ert av Svesk Tidskrifts redaktörer, Rolf. Ertglud, itejuar här Karl-Erik Nilsso, ar kaslichej på TCO och TCO:s represetat ed i litagarfodsutredige. er e t or så å g. ). r

Läs mer

Biostatistik II - Hypotesprövning i teori och praktik. Frida Eek

Biostatistik II - Hypotesprövning i teori och praktik. Frida Eek Biostatistik II - Hypotesprövig i teori och praktik Frida Eek frida.eek@med.lu.se 1 Viktiga dimesioer vid val av test (och äve val av deskriptiv statistik) Urvalsstorlek Mätivå/skaltyp Fördelig av data

Läs mer

Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna

Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna UMEÅ UNIVERSITET Ititutioe för matematik tatitik Statitik för lärare, MSTA8 PA LÖSNINGSFÖRSLAG 004-0-8 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statitik för lärare, poäg Tillåta hjälpmedel:

Läs mer

Smärtlindring vid medicinsk abort

Smärtlindring vid medicinsk abort Smärtlidrig vid medicisk abort EN JÄMFÖRANDE STUDIE VETENSKAPLIGT ARBETE UNDER ST ELIN SJÖLANDER HANDLEDARE MARIE BOLIN Itroduktio Smärta vid medicisk abort valig, smärtlidrig vid medicisk abort dåligt

Läs mer

F4 Enkel linjär regression.

F4 Enkel linjär regression. Lijär regressio F4 Ekel lijär regressio. Christia Tallberg Avdelige för Natioalekoomi och Statistik Karlstads uiversitet Hittills har vi försökt beskriva data som utgjorts av observatioer frå e variabel.

Läs mer

MAS110:B MATEMATISK STATISTIK INFERENSTEORI. Matematikcentrum Matematisk statistik ÖVNINGSUPPGIFTER MED LÖSNINGAR TILL FLERTALET UPPGIFTER

MAS110:B MATEMATISK STATISTIK INFERENSTEORI. Matematikcentrum Matematisk statistik ÖVNINGSUPPGIFTER MED LÖSNINGAR TILL FLERTALET UPPGIFTER MAS0:B MATEMATISK STATISTIK ALLMÄN KURS, INFERENSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER MED LÖSNINGAR TILL FLERTALET UPPGIFTER Läsåret 0/0 Matematikcetrum Matematisk statistik CENTRUM SCIENTIARUM MATHEMATICARUM MAS0:B

Läs mer

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter TNA00 Matematisk grudkurs Övigsuppgiter Iehåll: Uppgit Uppgit 8 Uppgit 9 6 Uppgit 7 5 Uppgit 55 60 Facit sid. 8-0 Summor, Biomialsatse, Iduktiosbevis Ivers uktio Logaritmer, Expoetialuktioer Trigoometri

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik Matematik tatitik KTH Formelamlig i matematik tatitik Vårtermie 07 Kombiatorik! = k k! ( k)!. Tolkig: mägd med elemet. = atalet delmägder av torlek k ur e k Stokatika variabler V (X) = E X (E (X)) C (X;

Läs mer

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider... Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Statistik en introduktion

Statistik en introduktion Varför? Statistik e itroduktio Frida Eek frida.eek@med.lu.se Framtida forskig? Projektarbete? Förståelse! Tolkig! Kritisk graskig/utvärderig! Statistik 1 2 Upplägg Föreläsig 1 q Datatyper q Lägesmått och

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Liöpigs uiversitet Matematisa istitutioe Matemati och tillämpad matemati Kursod: TATA4 Provod: TEN Iga hjälpmedel är tillåta. Tetame i Evariabelaalys 4-4-3 l 4 9 Lösigara sall vara fullstädiga, välmotiverade,

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska

Läs mer

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005 Dr 1345/01/2005 Föreskrift om publicerig av yckeltal för elätsverksamhete Utfärdad i Helsigfors de 2. december 2005 Eergimarkadsverket har med stöd av 3 kap. 12 3 mom. i elmarkadslage (386/1995) av de

Läs mer

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A)

Läs mer

KTH/ICT IX1501:F7 IX1305:F2 Göran Andersson Statistik: Skattningar

KTH/ICT IX1501:F7 IX1305:F2 Göran Andersson Statistik: Skattningar KTH/ICT IX50:F7 IX305:F Göra Adero goera@th.e Statiti: Sattigar Statiti Vi all u tudera obervatioer av toatia variabler. Vad blev det för värde? Dea obervatioer alla ett ticprov (ample). Iom tatitie fi

Läs mer

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling Systemplaeri VT Föreläsi F6: Mote Carlo Iehåll:. Repetitio av ekel sampli 2. Sampli av elmarkader 3. Multi-areamodelle 4. Räka exempel Repetitio: Ekel sampli Mål: Få fram E[X] Defiitio av E[X]: EX [ ]

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4..3 Normalfördelge Bomal- och Possofördelge är två exempel på fördelgar för slumpvarabler som ka ata ädlgt eller uppräkelgt måga olka värde. Sådaa fördelgar sägs vara dskreta. Ofta är ett resultat X frå

Läs mer

AMF. I princip är det bara möjligt att flytta privat sparande och sparande där avtalet tecknats efter den 2 februari i fjol.

AMF. I princip är det bara möjligt att flytta privat sparande och sparande där avtalet tecknats efter den 2 februari i fjol. Välj att flytta dia Utyttja di flytträtt om du ka. Det är Privata Affärers råd u är regeriges tillfälliga flyttstopp hävs de 1 maj. Flyttstoppet ifördes i februari i fjol som e direkt följd av Damarksmålet.

Läs mer