Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp

Transkript

1 Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik,.hp Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas i! Iget tetamesomslag! Svarsalterativ i Bold Courier New ska tolkas som text i e Iput Cell. Övrig text som i e Text Cell. Vektorer, dess belopp a, matriser, osv. beteckas eligt kovetioe i kompedieserie "Något om...". För bedömig och betygsgräser se kurses hemsida. Lösigsförslag aslås på kurses hemsida efter tetame. Lycka till! Mats och Bertil Del A poäg med fokus saolikhetsteori.. I e låda fis äpple av vilka är rutta i kärhuset. Om ma på måfå tar äpple uta återläggig vad är då saolikhete att ma får exakt äpple som är ruttet i kärhuset? Lösigsförslag: Vi har äpple varav rutta, det vill säga 7 prima. Tag uta återläggig, då är P ruttet 7. a Biomial7, Biomial, Biomial, b c d. Vid e produktio ka två olika fel, A och B, uppkomma på de tillverkade detalje. Dessa fel förekommer oberoede av varadra. Om PA0. och PB0. vad är då saolikhete att iget av fele uppkommer? Lösigsförslag: Vi har att PA BPAPBPA B, där PA BPAPB. Så Piget fel PA B a 0.67 b 0.6 c 0.9 d 0.6 Rätt svarsalterativ: d. Tre mätistrumet, umrerade,,, fugerar med saolikhete 0.9, 0.8 respektive 0.. Välj slumpmässigt ett av dem.. Hur stor är saolikhete att det valda istrumetet fugerar? Lösigsförslag: Låt I k vara hädelse att istrumet k blir valt, PI k, k,,, och F hädelse att valt istrumet fugerar. Eligt förutsättigara är PF I 0.9, PF I 0.8 och PF I 0.. I PF PF I PF I PF I PI PF I PI PF I PI PF I I FI FI I FI a 0.76 b 0.67 c 0.6 d 0.60 Rätt svarsalterativ: e. Atag att det istrumet ma valt visar sig fugera. Beräka de betigade saolikhete att ma valt istrumet r. Lösigsförslag: Med förutsättigar i föregåede uppgift får vi PI F PFI PF a 0.80 b 0.8 c 0. d 0. PI PF I PF Rätt svarsalterativ: b. E påse äpple, vars vikt ages till kg, säljs på e Stormarkad ära dig. Låt vikte Ξ N, 0. och bestäm P.8 Ξ.. Lösigsförslag: Vi får P.8 Ξ.PΞ.PΞ

2 P Ξ NormalDistributio, 0.; CDFP Ξ,.CDFP Ξ, a 0. b c 0. d Varje vecka ordar MC-klubbe Hjulkul ett lotteri. Saolikhete att via på e lott e give vecka är p 0.0. Vad är saolikhete att via mist e gåg uder veckor om ma köper e lott per vecka? Lösigsförslag: Låt Ξ = atal vistlotter av, då är Ξ Bi, 0.0 (oberoede upprepigar med samma p). Så Pmist vist på veckorpξ PΞ Rätt svarsalterativ: b a 0.9 b 0.88 c 0.8 d De stokastiska variabel Ξ har saolikhetsfuktioe f x xc x 0 x, där C är e kostat. 0 aars 7. Bestäm C. Lösigsförslag: Defiitio, f xx Solve x C x x 0 C 7 6 Rätt svarsalterativ: e a b c d 8. Bestäm vätevärdet för Ξ. Lösigsförslag: Defiitio, EΞ xfxx. 7 x 0 6 x x 9 a 8 b 7 c 9 d 8 9. Ett hamburgerställe säljer hamburgare av tre storlekar. Priset i kroor på e såld hamburgare ka betraktas som e stokastisk variabel Ξ, med följade saolikhetsfördelig x px Bestäm vätevärde och varias för Ξ. Lösigsförslag: Låt Ξ i = pris/hamburgare, så Μ EΞ i Σ VΞ i i p i Ξ i Μ x,, ; p 0., 0., 0.; Μ p.x, Σ p.x Μ.,. a Μ, Σ.0,.00 b Μ, Σ.0,.0 c Μ, Σ.0,.7 d Μ, Σ.,.

3 . E dag såldes 00 hamburgare. Beräka approximativt saolikhete att det såldes för mist 660 kr dea dag. Lösigsförslag: Låt Η 00 i Ξ i vara priset för 00 hamburgare. Vi ska bestämma PΗ 660, där Μ EΗ E 00 i Ξ i 00 i EΞ i Σ VΗ V 00 i Ξ i Ober 00 i VΞ i Med stöd av Cetrala gräsvärdessatse ka vi u säga att ΗN600, 900 N600, 0. Därmed har vi till slut PΗ 660 PΗ P Ξ NormalDistributio600, 0; CDFP Ξ, a 0.06 b 0.9 c 0.8 d Rätt svarsalterativ: e Del B poäg med fokus på statistisk aalys.. Vid e kemisk idustri vill ma bestämma medelavkastige (vätevärdet av avkastige), för e viss kemisk process. Uder tio dagar fick ma följade avkastigar (ehet: to): 7., 7., 7.8, 7., 8.0, 6.9, 7., 8., 7.7, 7.. Atag att mätvärdea kommer frå e NΜ, 0... Bestäm ett 9 % kofidesitervall för Μ. Lösigsförslag: Stickprovet ger x 7.. Ett 9% kofidesitervall ges av Μ x Λ 0.0 Λ fås Μ 7.6, 7.76, (9%). Σ med giva värde och Needs"HypothesisTestig`" Mea7., 7., 7.8, 7., 8.0, 6.9, 7., 8., 7.7, 7., MeaCI7., 7., 7.8, 7., 8.0, 6.9, 7., 8., 7.7, 7., KowVariace 0., CofideceLevel , 7.608, a Μ 7., 7.80 b Μ 7., 7.9 c Μ 7.6, 7.76 d Μ 7.0, 7.7. Hur måga mätigar måste ma göra för att lägde av kofidesitervallet ova ska miska till /? Lösigsförslag: Ett 9% kofidesitervall ges av Μ x.96 Σ Itervalllägde ova är Ny lägd: Solve.96 0., 90. a 0 b 0 c 70 d 90 Rätt svarsalterativ: d. Vid e simtävlig aväds samtidigt automatisk och mauell tidtagig för varje deltagare. De automatiska betraktas som felfri, meda the mauella har e slumpmässig osäkerhet och ett systematiskt fel. De mauella mätigara uppfattas som utfall av oberoede ormalfördelade stokastiska variabler med de saa tide plus det systematiska felet som vätevärde och med e okäd stadardavvikelse, Σ. Följade data erhölls (tidsehet sek): Deltagare: 6 Automatisk tid (X): Mauell tid (Y): Beräkigshjälp: x 6.77, y 6.77, s x.867, s y.908 och s z stadardavvikelse för skillade. Bestäm ett 9% kofidesitervall för, skillade mella mauell tid och automatisk tid. Lösigsförslag: Stickprov i par. Atag att Ξ i automatisk tid för deltagare i och Ξ i NΜ i, Σ

4 Η i mauell tid för deltagare i och Η i NΜ i, Σ Atag vidare att alla tider är uppmätta oberoede avvaradra. Då är Ζ i Η i Ξ i N, Σ där Σ Σ Σ och okäd. Deltagare: 6 Automatisk tid (X): Mauell tid (Y): Skillad (Z=Y-X): Ett kofidesitervall för ges av Εx t Α Α0 s I vårt fall är x = 0,7, = 6, s = 0,067 och t vilket ger Ε (9%) vilket blir (0.,0.88) (9%) 6 Needs"HypothesisTestig`" Xmed Mea60.0, 60.7, 6., 6., 6.88, 6.0, Ymed Mea60.8, 60., 6.7, 6.0, 6.07, 6.8, Sx StadardDeviatio 60.0, 60.7, 6., 6., 6.88, 6.0, Sy StadardDeviatio60.8, 60., 6.7, 6.0, 6.07, 6.8, Sz StadardDeviatio0., 0.8, 0.7, 0.8, 0.9, 0. MeaCI0., 0.8, 0.7, 0.8, 0.9, 0., CofideceLevel , 6.77,.867,.908, , 0.97 a 0.6, 0.8 b.90,. c.9,.669 d 0., Tolka itervallet ova? a Idetlåga loppet iehåller itervallet 9 av försöke. b I geomsitt över måga försök ierhåller itervallet 9 av observatioera. c Mist 9 av observatioera faller alltid iom itervallet. d Det är ite statistiskt säkerställt att 0.. Rätt svarsalterativ: d 6. Företaget Rocket AB tillverkar fyrverkeripjäser. Kvalitete på pjäsera är ite speciellt hög me å adra sida så säljs de till ett väldigt lågt pris. Kurt Stubi, chef för e affärskedja som säljer fyrverkeripjäser tillverkade av Rocket AB, har erhållit e sädig beståede av 000 pjäser och vill uppskatta hur stor adel av dessa som ej fugerar tillfredsställade. Eftersom det är kostsamt att udersöka samtliga pjäser (de förstörs ju är de kotrolleras) så tar Kurt ett slumpmässigt urval beståede av 0 fyrverkeripjäser.. Beräka ett 99% kofidesitervall för adele fyrverkeripjäser i sädige som ej fugerar tillfredsställade om 9 av de 0 pjäsera i urvalet fugerade tillfredsställade. Lösigsförslag: Låt X = atalet pjäser som ite fugerar, X Hyp 000, 0, pbi0, p Låt p X CGS N p, pp och ett kofidesitervall för p ges av p Λ Α p p, Α0 Med 0 och x fås p obs samt Λ p p 0.07, p 0., ΛIverseCDFNormalDistributio, 0.99 p Λ p p 0,pΛ p p , , ,

5 a p 0.0, 0.08 b p 0.00, c p 0.07, 0.09 d p 0.0, Hur måga fyrverkerier måste ma prova om ma vill ha e felmargial på högst % i itervallet ova? Atag att 0 < p < 0.. Lösigsförslag: Felmargiale är halva itervallägde, Λ Α p p Med p 0. och Λ får ma ekvatioe Reduce , a 86 b 98 c d 99 Rätt svarsalterativ: b 78. E maribiolog udersöker salthalte i Laholmsbukte i Kattegatt. Atag att varje mätig, som görs på olika ställe i Laholmsbukte, är ormalfördelad med vätevärde Μ och käd stadardavvikelse, Σ =. Tidigare mätigar har visat att salthalte är Μ = 0.0 och ma vill u testa om salthalte är de samma eller om de har ökat. Atag att ma täker göra = 0 mätigar. 7. Om ma ska pröva H 0 : Μ 0.0 mot H : Μ 0.0 på % sigifikasivå vilket är det mista värdet på x som H 0 förkastas. Lösigsförslag: Ξ i salthalt. Ξ i NΜ, Ξ NΜ, 0 Testvariabel T T obs x0.0 0 Ξ N0, förkasta H 0 om T.6.6 x a förkasta H 0 om x 0.07 b förkasta H 0 om x 0.0 c förkasta H 0 om x 0.07 d förkasta H 0 om x Hur stort stickprov behövs om styrka för testet ova ska bli 0.90 för Μ = 0.0? Lösigsförslag: Styrka för testet för Μ 0.0 h0.0pförkasta H 0 H sapξ Ξ N0.0, FidRoot CDFNormalDistributio0.0,, ,, a 7 b 8 c 9 d 8 9. E perso, som påstod att ha kude fia vatte med e slagruta, prövades på följade sätt. Ha fördes i i e lokal där det fas täckta behållare på stort avståd frå varadra och fick veta att st iehöll vatte och var tomma. Ha idetifierade st av de vattefyllda behållara rätt och e fel. Pröva hypotese, sigifikasivå %, att slagruta var värdelös, dvs att ha gissade. Aväd direktmetode och age p-värdet explicit. Lösigsförslag: Vi ska pröva H 0 : slagruta värdelös (ha gissar) mot H 0 : slagruta fukar. Om ha gissar och väljer behållare slumpmässigt ka vi aväda Ξ atalet vattefyllda kärl i urvalet, som då blir Ξ Hyp,, 0. då det är fråga om drag uta återlägg, som testvariabel. Ha lyckades att idetifiera st så vi beräkar saolikhete PΞ och tolkar dea.

6 PΞ , så vårt p-värde för testet är.% H 0 ka ite förkastas. 0 CDFHypergeometricDistributio,,, "" N.7 a p värde 7.9 H 0 ka förkastas. b p värde 9.9 H 0 ka förkastas. c p värde. H 0 ka ite förkastas. d p värde. H 0 ka förkastas. 0. E läkemedelstillverkare aväder iblad e viss läkemedelsfärg och ma vill veta hur färge påverkar utseedet hos framställda läkemedlet. Ur tillverkige tar ma därför på måfå tio förpackigar och mäter grumlighete (i ågo lämplig ehet) i iehållet efter e tids lagrig. Resultat: Uta färgtillsats brukar de geomsittliga grumlighete Μ.00. Materialet ases vara ett slumpmässigt stickprov frå NΜ, Σ. Hur klarar sig läkemedel med färgtillsats i förhållade till läkemedel uta tillsats? Besvara fråga geom att beräka och tolka ett kofidesitervall för Μ med kofidesgrad 9%. Beräkigshjälp: Μ x.9 och Σ s 0.9. Lösigsförslag: Μ x.9 och Σ 9 s 0.9 samt t Ett kofidesitervall för de geomsittliga grumlighete 9 ges av Μ x t 0.0 s (9%) så Μ Μ.07,.99. Det är alltså statistiskt säkerställt att grumlighete förädras, med felrisk (sigifikasivå) %. Grumlighete ökar då kofidesitervallet ova med 9% säkerhet ite iehåller Μ.00. Needs"HypothesisTestig`" Mea.,.,.7,.,.9,.,.,.,.8,.9, s StadardDeviatio.,.,.7,.,.9,.,.,.,.8,.9, IverseCDFStudetTDistributio9, 0.97 MeaCI.,.,.7,.,.9,.,.,.,.8,.9, CofideceLevel 0.9.9, 0.96,.66.07,.878 a Grumlighete ökar då Μ.07,.9 b Grumlighete ökar ite då Μ.89,.7 c Grumlighete ökar ite då Μ.,.6 d Grumlighete ökar då Μ.,.6 6