Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Transkript

1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar Var tiode T-baetåg som lämar uiversitetet är förseat Vilke är saolikhete att ästa tåg är förseat? Statistik 2p E perso av hudra drabbas ågo gåg uder si livstid av hjärtstilleståd Vilke är saolikhete att drabbas av hjärtstilleståd? Defiitio saolikhet: Adele gysamma utfall av de utfall som är möjliga Gysamma utfall Möjliga utfall På ett uiversitet går studeter. Av dessa läser aturveteskap. Vilke är saolikhete att e slumpmässigt vald studet läser aturveteskap? Frekvese aturvetare = = Gysamma utfall: Möjliga utfall: =

2 Kast med myt Kast med tärig Dragig ur kortlek Grude för de klassiska saolikhetsdefiitioe Additiosregel Multiplikatiosregel Betigad saolikhet Biomialfördelige - biomialformel Två väior vätar bar samtidigt. Vilke är saolikhete att båda får pojkar? Vi atar jäm köskvot P(pojke) = 0.5 P(båda får pojkar) = 0.5 * 0.5 = 0.25 Vilke kombiatio vad gäller bares kö är troligast? E flicka och e pojke (P=0.5) Utfallsrum: alla möjliga hädelser vid ett slumpmässigt försök Statistik 2p Ve-diagram A Hädelse A Om P(A) = 0.1 vad är P(A*)? P(A*) = 1 - P(A) = 0.9 Hädelse ej A = A* P(K) = P(kroa) = 0.5 P(K*) = P(klave) = 0.5 A* P(kroa eller klave) = P(K) + P(K*) = 1 P(A) + P(A*) = 1 P(A) = 1 - P(A*) P(A*) = 1 - P(A) Ve-diagram Saolikhetslära Additiosregel Saolikhete att få 2:a eller 6:a vid kast med e tärig Ex: kast med tärig A: > 4 B: jämt atal prickar P(2:a eller 6:a) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 Ex: tärig A: > 4 B: < 3 Hädelsera oberoede - ka ite iträffa samtidigt 2

3 Saolikhetslära Additiosregel Saolikhete att få spader eller kug (eller både och) vid dragig av ett kort ur kortlek. P(spader eller kug) = 13/52 + 4/52 1/52 = 16/52 Hädelsera ka iträffa samtidigt Saolikhetslära Additiosregel Saolikhete för hädelse A eller hädelse B P(A eller B) = P(A) + P(B) Om hädelsera A och B är ömsesidigt uteslutade (de ka ej iträffa samtidigt) P(A eller B) = P(A) + P(B) P(AB) Om hädelsera A och B ej är ömsesidigt uteslutade de ka iträffa samtidigt Saolikhetslära Multiplikatiosregel Saolikhete för kroa på första kastet och klave på det adra kastet P(kroa på första, klave på adra) = 1/2 1/2 = 1/4 Saolikhete för hädelse A och hädelse B om A och B är oberoede av varadra P(A och B) = P(A) P(B) Saolikhetslära Multiplikatiosregel Saolikhete att få spader och kug vid dragig av ett kort ur kortlek P(spader och kug) = 13/52 1/13 = 1/52 Hädelsera ka iträffa samtidigt Saolikhete för hädelse A och hädelse B om A och B är ite är oberoede av varadra P(A och B) = P(A) P(B A) Vad är e hög saolikhet? Vad är e låg saolikhet? När är e hädelse osaolik? Sigifikasivåer 0.01 < P < < P < 0.01 P < * estjärig sigifikas **tvåstjärig sigifikas *** trestjärig sigifikas 3

4 Observatioer, tidigare studier, ituitio Statistisk hypotesprövig Vid statistisk testig avgörs om e observatio är saolik heller ite uder e viss hypotes Hypotes Prediktio frå hypotes Test av prediktio - formulera H0 Observatioe är osaolik uder H0 H0 förkastas H1 accepteras Observatioe är ite osaolik uder H0 H0 accepteras Normalfördelige Normalfördelige Det fis ett oädligt atal ormalfördeligar Var och e karaktäriseras av sitt medelvärde och si varias Det fis ett oädligt atal ormalfördeligar Var och e karaktäriseras av sitt medelvärde och si varias Ur: Vejde & Leader Ordbok i statistik Måga variabler är approximativt ormalfördelade Normalfördelige 4

5 Normalfördelige Sampligsfördelig viktigt begrepp iom statistike Flera stickprov dras ur samma populatio Populatio N Stickprov Stickprov x 1 x 2 Populatio N x 3 x 4 x 5 Geom att dra upprepade stickprov av samma storlek ur populatioe erhålls e fördelig av x-värde. Dea fördelig kallas för sampligsfördelig Exempel Populatio N = 6 = 3.5 Sampligsfördelige utgörs av alla täkbara kombiatioer om elemet som är möjliga att dra ur populatioe 5

6 Exempel Vi drar alla möjliga stickprov om =4 Dragig uta återläggig Populatio N = 6 = 3.5 Ur: Vejde & Leader Ordbok i statistik Totalt 15 kombiatioer möjliga Sampligsfördelig för x då =4 Sampligsfördelige för x Ur: Vejde & Leader Ordbok i statistik Ur: Vejde & Leader Ordbok i statistik Cetrala gräsvärdessatse: Sampligsfördelige för stickprovsmedelvärdet blir sabbt approximativt ormalfördelad Fördelige av medelvärde frå ett stort atal stickprov som dras slumpmässigt frå samma populatio följer e ormalfördelig där medelvärdeas medelvärde är detsamma som populatiosmedelvärdet 6

7 Måga viktiga biologiska feome är kopplade till ekla, biomiala saolikheter Tre kast med myt kö Medelsk edärvig överlevad uder viss tidsperiod Biomialfördelig Fyra kast med myt Fördelig över saolikhete för det atal gåger e hädelse ka iträffa vid oberoede upprepigar av ett slumpmässigt försök där hädelse atige iträffar eller ite iträffar. (ex. kast med myt, dragig av alleler ur ett gametmol ) Biomialfördelig Kast med 3 myt Biomialfördelig P kroa 1 kroa 2 kroa 3 kroa Atal kroa vid kast med 3 myt P Frekvese kroa (vid kast med tre myt) Bi(,p) = atalet försök (kast, dragigar) p = saolikhete för de aktuella hädelse (kroa, A-allele) 7

8 Biomialfördelig Bi(3,0.5) Biomialkoefficiete P kroa 1 kroa 2 kroa 3 kroa Atal kroa vid kast med 3 myt P Frekvese kroa (vid kast med tre myt)! k = k! (-k)! Ager atalet möjliga ordigsföljder som k stycke av hädelse ka iträffa på av stycke försök 8