SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs"

Transkript

1 SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: Författare: Viktor Cheg

2 Iehållsförteckig Grudläggade saolikhetsteori... 4 Mägdlära... 4 De Morgas lagar... 4 Kolmogorovs axiom... 4 Regler... 5 Klassisk saolikhet... 5 Kombiatorik... 5 Betigad saolikhet... 6 Regler... 6 Lage om total saolikhet... 6 Bayes sats... 6 Oberoede hädelser... 6 Diskreta stokastiska variabler (slumpvariabler)... 7 Saolikhetsfuktio... 7 Fördeligsfuktio... 7 Vätevärde och varias... 8 Diskreta fördeligar... 8 Kotiuerliga stokastiska variabler (slumpvariabler)... 9 Täthetsfuktio... 9 Fördeligsfuktio... 9 Vätevärde och varias Kotiuerliga fördeligar Stadardiserad ormalfördelig Regler för ormalfördelig Diskreta tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y)...11 Simulta saolikhetsfuktio Fördeligsfuktio Margiella saolikhetsfuktioer Margiella fördeligsfuktioer Oberoede s.v Kotiuerliga tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y) Simulta täthetsfuktio Fördeligsfuktio Margiella täthetsfuktioer Margiella fördeligsfuktioer Oberoede s.v Sida 2 av 16

3 Tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y) Vätevärde Varias Kovarias Korrelatio Simultaa fördeligar av oberoede s.v. (Χ, Y) Betigade fördeligar Betigad saolikhetsfuktio för diskreta s.v Betigad täthetsfuktio för kotiuerliga s.v Betigat vätevärde Avädbara olikheter Summor av oberoede stokastiska variabler Egeskaper hos ormalfördelade stokastiska variabler Stora tales lag Cetrala gräsvärdessatse (CGS) Sida 3 av 16

4 Grudläggade saolikhetsteori Defiitio Beteckig Betydelse Exempel Utfall Resultatet av ett slumpmässigt försök kroa Hädelse A, B, C, Samlig av utfall A = "högst 1 kroa" Utfallsrum Ω Mägde av möjliga utfall Ω = kroa,klave Mägdlära Defiitio Beteckig Betydelse Övrigt Komplemet A A iträffar ite A = A Uio A B A eller B eller båda A A = Ω Sitt A B A och B A A = Disjuktio A B = A och B ka ite iträffa samtidigt Kallas också parvis oföreliga De Morgas lagar A B C = A B A C A B C = A B A C A 1 A 2 A 3 A = A 1 A 2 A 3 A A 1 A 2 A 3 A = A 1 A 2 A 3 A Kolmogorovs axiom 1. För varje hädelse A gäller att: o 0 P A 1 2. För hela utfallsrummet Ω gäller att: o P Ω = 1 3. Om A, B, är e ädlig eller uppräkeligt oädlig följd av disjukta hädelser gäller att: o P A B = P A + P B + Sida 4 av 16

5 Regler Beskrivig Beteckig Komplemetsatse P A = 1 P(A) Omöjliga hädelse P = 0 Additiossatse för två hädelser P A B = P A + P B P(A B) Additiossatse för två oberoede hädelser P A B = P A + P B Om A B (dvs A B) P A P B Booles olikhet P A B P A + P B Klassisk saolikhet Atag att det i Ω fis m st utfall, x 1,x 2,, x m ( m = möjliga utfall ) Om varje utfall frå ett försök har samma saolikhet, dvs P x i = 1 m, i = 1,, m o så föreligger ett likformigt saolikhetsmått. Atag därefter att hädelse A har g st utfall ( g = gysamma utfall ) Då är P A = g atal gysamma utfall = m atal möjliga utfall OBS: Täk på att g och m bör beräkas på samma sätt (med avseede på häsy till ordig ) Kombiatorik Multiplikatiospricipe Om åtgärd 1 ka utföras på a 1 olika sätt och åtgärd 2 ka utföras på a 2 olika sätt, osv. så fis det a 1 a 2 sätt att utföra båda åtgärder. Atal sätt att välja k st elemet ur st elemet: Dragig med återläggig Dragig uta återläggig Med häsy till ordig k 1 k + 1 =! Uta häsy till ordig + k 1 k! k! k! = k Sida 5 av 16

6 Betigad saolikhet P B A = P A B P(A), givet att P A > 0 Betydelse: P B A är de betigade saolikhete för B, givet att A har iträffat. Regler Beskrivig Komplemetsatse Additiossatse (för två hädelser B och C, givet A) P B A = 1 P(B A) Beteckig P B C A = P(B A) + P(C A) P B C A Lage om total saolikhet B 1,, B disjukta hädelser B 1 B = Ω, dvs i ett försök iträffar precis e av hädelsera Då gäller, för varje hädelse A, där A Ω: P A = P(B i ) P(A B i ) i=1 Bayes sats B 1,, B disjukta hädelser B 1 B = Ω, dvs i ett försök iträffar precis e av hädelsera Då gäller, för varje hädelse A, där A Ω: P B i A = P(A B i ) P(B i ) P(A) eller ekvivalet: P F i A = P(A B i ) P(B i ) P(B i ) P(A B i ) i=1 Oberoede hädelser Om P A B = P(A) P(B) så är A och B oberoede hädelser Betydelse: Om P B A = P(B), dvs saolikhete för B är desamma oavsett om A iträffar eller ej, så ka A och B ases vara oberoede. Då blir: P B A = P A B P(A) Krav för tre oberoede hädelser: P B = P A B P(A) P A B = P(A) P(B) P A B = P(A) P(B) P A C = P(A) P(C) P B C = P(B) P(C) P A B C = P(A) P(B) P(C) Sida 6 av 16

7 Diskreta stokastiska variabler (slumpvariabler) E diskret s.v. Χ Är e fuktio frå utfallsrummet Ω till R, dvs Χ: Ω R Atar edast ädligt eller uppräkeligt oädligt måga olika värde Returerar ett tal som bestäms av ett utfall Saolikhetsfuktio p Χ k = P(Χ = k) för alla möjliga värde k som Χ ka ata Betydelse: Saolikhetsfuktioe returerar saolikhete för utfallet k (dvs. saolikhete att Χ atar värdet k) Egeskaper: p Χ k 0 för alla k Χ Ω k Χ Ω p Χ k = 1 P Χ A = p Χ k k A Fördeligsfuktio F Χ x = P Χ x, x R Betydelse: Fördeligsfuktioe returerar saolikhete att få ett värde som är midre ä eller lika med x Egeskaper: F Χ x 0,då x 1,då x + F Χ x = p Χ k k Χ Ω : k x F Χ x är icke-avtagade P Χ > x = 1 F Χ x F Χ x är högerkotiuerlig F Χ k F Χ k 1 = p Χ k för alla k Χ Ω Sida 7 av 16

8 Vätevärde och varias Vätevärde (μ) Varias (σ 2 ) Defiitio E Χ = k p Χ k Tolkig k Χ Ω Medelvärdet med avseede på fördelige av Χ. Vad vi ka förväta oss att Χ blir på ett ugefär. V Χ = k 2 p Χ k k Χ Ω E Χ 2 Hur saolikhetsmassa är kocetrerad krig vätevärdet. Hur utspritt det är. Regler E Χ 2 = k Χ Ω k 2 p Χ k E aχ + b = a E Χ + b E g(χ) = k Χ Ω g(k) p Χ k V Χ = E Χ 2 E Χ 2 V aχ + b = a 2 V X Stadardavvikelse D(X) = V X Diskreta fördeligar Fördelig Beteckig Situatio Saolikhetsfuktio Biomialfördelig Bi, p st oberoede försök där e hädelse A iträffar med saolikhet p. p Χ k = k pk 1 p k k = 0,1,, Hypergeometrisk fördelig Hyp N,, p Stor mägd med N st elemet av två typer, Np st av de ea och N(1 p) av de adra, välj ut st elemet och räka atalet som är av första type. p Χ k = Np k N 1 p k N k k = 0,1,, Np Poisso-fördelig Po λ Hädelser som iträffar slumpmässigt i tide med e viss itesitet λ > 0. p Χ k = λk k! e λ k = 0,1,, Sida 8 av 16

9 Kotiuerliga stokastiska variabler (slumpvariabler) E kotiuerlig s.v. Χ Är e fuktio frå utfallsrummet Ω till R, dvs Χ: Ω R Ka ata alla värde i ett itervall eller e uio av itervall. Täk kotiuum. Returerar ett tal som bestäms av ett utfall Täthetsfuktio Om det fis e fuktio f Χ : R [0, [ såda att P a < Χ < b = a b f Χ x dx för alla itervall (a, b) R så kallas f Χ x täthetsfuktioe för Χ OBS: P a < Χ < b = P a < Χ b om Χ är kotiuerlig. Betydelse: Täthetsfuktio ager hur mycket saolikhetsmassa det fis per lägdehet i pukte x. Nödvädiga egeskaper: f Χ x 0 för alla x R f Χ x dx = 1 Fördeligsfuktio F Χ x = P Χ x = P < Χ x = x f Χ t dt, x R Betydelse: Fördeligsfuktioe returerar saolikhete att få ett värde som är midre ä eller lika med x Egeskaper: F Χ x 0,då x 1,då x + F Χ x är icke-avtagade I alla pukter där f Χ x är kotiuerlig gäller att F Χ x = d dx F Χ x = f Χ x F Χ x är kotiuerlig överallt (itegralkalkyles huvudsats) P a < Χ b = b f Χ t a dt = F Χ b F Χ a, a < b Sida 9 av 16

10 Vätevärde och varias Defiitio E Χ = x f Χ x Tolkig Vätevärde (μ) Varias (σ 2 ) Medelvärdet med avseede på fördelige av Χ. Vad vi ka förväta oss att Χ blir på ett ugefär. dx V Χ = x 2 f Χ x dx E Χ 2 Hur saolikhetsmassa är kocetrerad krig vätevärdet. Hur utspritt det är. Regler E Χ 2 = x 2 f Χ x dx E aχ + b = a E Χ + b E g(χ) = g(x) f Χ x dx V Χ = E Χ 2 E Χ 2 V aχ + b = a 2 V X Stadardavvikelse D(X) = V X Kotiuerliga fördeligar Fördelig Beteckig Situatio Täthetsfuktio Rektagelfördelig Likformig fördelig Normalfördelig Re a, b U a,b N μ, ς Allt är lika saolikt f Χ x = Aväds ofta då variabler har okäd fördelig (se CGS) f Χ x = 1 ς 2π e 1 b a, a < x < b 0, aars x μ 2 2ς 2, x R Expoetialfördelig Exp λ Expoetiellt avtagade f Χ x = λ e λx, x 0 0, aars Stadardiserad ormalfördelig Låt Φ y vara (de fyrkatiga) fördeligsfuktioe för Y~N 0,1, dvs y y 1 t 2 Φ y = f Χ t dt = 2 dt 2π e Låt X vara e s.v. med vätevärde μ och stadardavvikelse ς, dvs. X~N μ,ς Då kallas Y = Χ μ e stadardiserad s.v. och Y~N 0,1 ς P a < X b = P a μ ς X μ b μ < ς ς = P a μ ς b μ < Y ς = Φ b μ ς Φ a μ ς Regler för ormalfördelig Atag att a > 0, b > 0 och Χ~N 0,1 Då gäller: Regel P Χ a = = Φ a = 1 Φ a P Χ > a = = 1 P Χ a = 1 Φ a P a < Χ b = = Φ b Φ a = Φ b 1 Φ a = Φ b + Φ a 1 Exempel P Χ 2 = = Φ 2 = 1 Φ 2 P Χ > 3 = = 1 P Χ 3 = 1 Φ 3 P 2 < Χ 3 = = Φ 3 Φ 2 = Φ 3 1 Φ 2 = Φ 3 + Φ 2 1 Sida 10 av 16

11 Diskreta tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y) Simulta saolikhetsfuktio p Χ,Y x,y = P(Χ = x, Y = y) för alla möjliga värde x och y som Χ respektive Y ka ata Egeskaper: p Χ,Y x, y 0 för alla x, y y=0 x=0 p Χ,Y x, y = 1 P Χ, Y A = p Χ,Y x, y x,y A Fördeligsfuktio F Χ,Y x, y = P Χ x, Y y = p Χ,Y x, y Margiella saolikhetsfuktioer y Y x X p Χ x = För Χ y=0 p Χ,Y x, y Håll x fixt, summera över alla y, dvs. p x 2 = p Χ,Y 2,0 + p Χ,Y 2,1 + p Χ,Y 2,2 + p Y y = För Y x=0 p Χ,Y x, y Håll y fixt, summera över alla x, dvs. p Y 2 = p Χ,Y 0,2 + p Χ,Y 1,2 + p Χ,Y 2,2 + Margiella fördeligsfuktioer För Χ För Y F Χ x = p Χ x = p Χ,Y x, y F Y y = p Y y = p Χ,Y x, y x=0 x=0 y =0 y =0 y =0 x=0 Summera Χ:s margiella saolikhetsfuktioer över alla x Summera Y:s margiella saolikhetsfuktioer över alla y Oberoede s.v. Två diskreta s.v. Χ och Y kallas oberoede om ågo av följade gäller (för alla möjliga x och y) p Χ,Y x,y = p X (x) p Y (y) F Χ,Y x, y = F Χ x F Y y Sida 11 av 16

12 Kotiuerliga tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y) Simulta täthetsfuktio Om det fis e fuktio f Χ,Y x,y såda att P Χ, Y A = f Χ,Y x, y A dx dy för alla A R 2 så kallas f Χ,Y x,y täthetsfuktioe för Χ, Y Nödvädiga egeskaper: f Χ,Y x, y 0 för alla x,y R 2 f Χ,Y x, y dx dy = 1 Fördeligsfuktio F Χ,Y x, y = P Χ x, Y y = y x f Χ,Y u, v du dv Margiella täthetsfuktioer För Χ f Χ x = f Χ,Y x,y Håll x fixt & itegrera över y så fås e fuktio av x, dvs. f x 2 = f Χ,Y 2, y dy För Y dy, x R f Y y = f Χ,Y x, y dx, y R Håll y fixt & itegrera över x så fås e fuktio av y, dvs. f Y 2 = f Χ,Y x,2 dx Margiella fördeligsfuktioer För Χ För Y F Χ x = f Χ x dx = f Χ,Y x, y dy dx F Y y = f Y y dy = f Χ,Y x, y dx dy Itegrera margiella täthetsfuktioe för Χ över alla x Itegrera margiella täthetsfuktioe för Y över alla y Oberoede s.v. Två kotiuerliga s.v. Χ och Y kallas oberoede om ågo av följade gäller (för alla möjliga x och y) f Χ,Y x, y = f X (x) f Y (y) F Χ,Y x, y = F Χ x F Y y Sida 12 av 16

13 Tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y) Vätevärde E g Χ, Y = Regler: x=0 y=0 g x, y p Χ,Y x, y, (diskreta s.v. ) g x, y f Χ,Y x, y dx dy, (kotiuerliga s. v. ) E X + Y = E X + E Y E ax + by + c = a E X + b E Y + c E X Y = E X E Y om Χ och Y är oberoede Varias Regler: V X + Y = V X + 2 Cov X,Y + V Y V ax + by + c = a 2 V X + 2ab Cov X,Y + b 2 V Y V X + Y = V X + V Y om Χ och Y är oberoede Kovarias Cov Χ,Y = E Χ Y E Χ E Y Regler: Cov X, X = V(X) Cov X, Y = Cov Y,X Cov ax,by = a b Cov X, Y Cov X, Y = 0 om Χ och Y är oberoede Korrelatio Betydelse: ρ Χ, Y = Cov Χ, Y D X D(Y) = Cov Χ, Y V Χ V Y Mått på lijärt beroede mella Χ och Y 1 ρ 1 gäller alltid! Täk X är 100% respektive 100% beroede av Y Regler: Χ och Y är oberoede Cov X,Y = 0 Χ och Y är okorrelerade OBS: Implikatioe går ebart åt ea hållet! Sida 13 av 16

14 Simultaa fördeligar av oberoede s.v. (Χ, Y) Fördelig för Χ Fördelig för Y Fördelig för Χ + Y Po(λ 1 ) Po(λ 2 ) Po(λ 1 + λ 2 ) N μ 1,ς 1 N μ 2,ς 2 N μ 1 + μ 2, ς ς 2 2 X~Bi m, p Bi,p Bi(m +, p) Betigade fördeligar Betigad saolikhetsfuktio för diskreta s.v. Betigad saolikhetsfuktio för Χ, givet Y = y: p Χ Y =y x = P Χ = x Y = y = p Χ,Y x, y p Y y Betigad täthetsfuktio för kotiuerliga s.v. Betigad täthetsfuktio för Χ, givet Y = y: Betigat vätevärde Betigat vätevärde för Χ, givet Y = y: Lage om total förväta: E X Y = y = E X = E E X Y = Avädbara olikheter f Χ Y =y x = P Χ = x Y = y = f Χ,Y x,y f Y y x=0 x p Χ Y=y x, (diskreta s.v. ) x f Χ Y=y x y=0 dx, (kotiuerliga s. v. ) E X Y = y p Y y, (diskreta s.v. ) E X Y = y f Χ Y =y y dy, (kotiuerliga s. v. ) Markovs olikhet Chebyshevs olikhet a > 0 X 0 Förutsättigar E X = μ D X = ς > 0 eller V X = ς 2 < Gäller för alla k > 0 Resultat P X a E X a P X μ kς 1 k 2 eller P X μ k ς 2 k 2 Sida 14 av 16

15 Summor av oberoede stokastiska variabler Förutsättigar OBS: Kräver ite att X 1,, X är oberoede X 1,, X har alla samma vätevärde μ Resultat E X X = μ X 1,, X har alla samma varias ς 2 V X X = ς 2 X 1,, X har alla samma stadardavvikelse ς D X X = ς X 1,, X har alla samma vätevärde μ X 1,, X har alla samma stadardavvikelse ς X = X 1 + +X är det aritmetiska medelvärdet E X = μ V X = ς2 D X = ς Egeskaper hos ormalfördelade stokastiska variabler X~N μ, ς Y = ax + b Förutsättigar Resultat Y~N(a μ + b, a ς) X~N μ 1,ς 1 Y~N μ 2,ς 2 X och Y oberoede (Χ ± Y)~N μ 1 ± μ 2, ς ς 2 2 X 1,, X är oberoede X 1 ~N μ 1,ς 1,, X ~N μ,ς 1 a i Χ i + b ~N 1 a i μ i + b, a 2 2 i ς i 1 X 1,, X är oberoede X 1 ~N μ, ς,, X ~N μ, ς X = X 1 + +X är det aritmetiska medelvärdet Alla s.v. är oberoede X 1 ~N μ 1,ς 1,, X ~N μ 1,ς 1 Y 1 ~N μ 2, ς 2,, Y ~N μ 2, ς 2 X = X 1 + +X är det aritmetiska medelvärdet Y = Y 1 + +Y är det aritmetiska medelvärdet ς X~N μ, X Y ~N μ 1 μ 2, ς ς 2 2 Stora tales lag X 1,, X är oberoede X 1,, X är likafördelade med vätevärde μ X = X 1 + +X För alla ε > 0: P X μ ε 0 eller ekvivalet: P X μ < ε 1, då Sida 15 av 16

16 Cetrala gräsvärdessatse (CGS) Formellt: X 1,, X är e följd av oberoede och likafördelade s.v. X 1,, X har samtliga vätevärde μ X 1,, X har samtliga stadardavvikelse ς > 0 eller varias ς 2 < Då gäller, för Y = X X : Iformellt: Y μ P a < b Φ b Φ a, ς då eller ekvivalet, med X = X X X μ P a < b Φ b Φ a, då ς E summa av oberoede och likafördelade s.v. är ugefär ormalfördelad så läge atalet s.v. är tillräckligt stort. Detta gäller oavsett vilke fördelig de egetlige har! Alltså ka okäda eller svårberäkade fördeligar approximeras med ormalfördelig. Poissoprocess E Poissoprocess med itesitet λ > 0 är e stokastisk process i kotiuerlig tid (dvs. e familj av s.v. X t, t 0) med följade egeskaper: För varje t 0: processes värde X t är e s.v. som ka ata värde 0,1,2 och X 0 0 Varje utfall (realiserig) är e icke-avtagade högerkotiuerlig fuktio För varje följd av tidpukter 0 = t 0 < t 1 < t 2 < < t gäller att: o X 1 X 0, X 2 X 1, X 3 X 2,, X X 1 är oberoede s.v För varje t 0: P X t+ X t = 1 = λ + O, då 0 För varje t 0: P X t+ X t > 1 = O, då 0 Egeskaper: o O() är e restterm som defiieras eligt lim 0 O = 0. Förutsättigar 0 t 1 < t 2 X t ~Po λ t Hopptider T 1, T 2,, T Vätetider T 1, T 2 T 1,, T T 1 Fixt t 0 0 Y t = X to +t X t 0 för t 0 X t, t 0 med itesitet λ 1 Y t, t 0 med itesitet λ 2 X t och Y t oberoede Resultat X t2 X t1 ~Po λ t 2 t 1 Speciellt: X t ~Po λ t E X t = λ t T 1, T 2,, T är oberoede och Exp(λ)-fördelade s.v. T 1, T 2 T 1,, T T 1 är oberoede och Exp(λ)-fördelade s.v. Y t, t 0 är också e Poissoprocess med samma itesitet λ X t + Y t, t 0 är också e Poissoprocess med itesitet λ 1 +λ 2 Sida 16 av 16

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Formelblad Sannolikhetsteori 1 Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1

Läs mer

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np.

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601 Valiga fördeligar Fördelig Vätevärde Varias Biomialfördelig, Bi (, p ) P (X = x) = ( x) p x (1 p)

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ) Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska

Läs mer

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A)

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS65

SAMMANFATTNING TAMS65 SAMMANFATTNING TAMS65 Matematisk statistik, fortsättigskurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, VT 016 Seast reviderad: 016-06-01 Författare: Viktor Cheg Iehållsförteckig

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig,

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II Stickprov MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig del II G Gripeberg Aalto-uiversitetet 4 februari 04 Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G Gripeberg

Läs mer

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten Statistik Språkligt och historiskt betyder statistik ugefär sifferkuskap om state E Statistisk udersökig består av fyra delar: Plaerig Dataisamlig Bearbetig Beskrivade statistik (kap 1) Statistisk aalys

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik Matematik tatitik KTH Formelamlig i matematik tatitik Vårtermie 07 Kombiatorik! = k k! ( k)!. Tolkig: mägd med elemet. = atalet delmägder av torlek k ur e k Stokatika variabler V (X) = E X (E (X)) C (X;

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010 Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 13 februari 015 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK Versio 9 december 4 Fel i lösigara mottages tacksamt till mattsso@math.kth.se. Notera att lösigara på vissa ställe utyttjar adra,

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig och exempel, del II Stickprov Två yttiga fördeligar Estimerig G. Gripeberg 3 Kofidesitervall Aalto-uiversitetet 3 februari 05 4 Hypotesprövig

Läs mer

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner. Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Tetame TT091A KMASK14H 7,5 högskolepoäg Nam: (Ifylles av studet) Persoummer: (Ifylles av studet) Tetamesdatum: 2 jui 2015 Tid: 9:00-13:00 Hjälpmedel:

Läs mer

Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s.

Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s. Vätevärde, stadardavvkelse och varas Ett statstskt materal ka sammafattas med medelvärde och stadardavvkelse (varas, och s. På lkade sätt ka e saolkhetsfördelg med käda förutsättgar sammafattas med vätevärde,,

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann

732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann 73G70 Statistik A Föreläsigsuderlag skapad av Karl Wahli Föreläsigsslides uppdaterade av Bertil Wegma Istitutioe för dataveteskap (IDA) Liköpigs uiversitet vt 06 Kapitel Populatioer, stickprov och variabler

Läs mer

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 1: Matematik 7.5 hp

Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 1: Matematik 7.5 hp Tetame i Tillämpa Matematik och statistik för IT-foresik. Del 1: Matematik 7.5 hp 2015 kl. 9.00 13.00 Maxpoäg: 30p. Betygsgräser: 12p: betyg 3, 18p: betyg 4, 24p: betyg 5. Hjälpmeel: Typgokä miiräkare

Läs mer

Id: statistik.tex :48:29Z joa

Id: statistik.tex :48:29Z joa UTDRAG UR FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI PUNKT- OCH INTERVALLSKATTNINGAR SAMT HYPOTESTEST MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, È; FMS 012 JOAKIM LÜBECK, SEPTEMBER 2008 Iehåll 1 Puktskattigar

Läs mer

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}: CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal

Läs mer

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23 1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Statistisk försöksplaerig Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Skriftlig tetame 3,0 hp 51SF01 DTEIN14h 4,5 högskolepoäg TetamesKod: Tetamesdatum: 5 ovember 015 Tid: 9.00-13.00 Hjälpmedel: Miiräkare Totalt

Läs mer

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Laboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar

Laboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-02 Laboratio 5: Kofidesitervall viktiga statistiska fördeligar Syfte I dea laboratio

Läs mer

INGENJÖRSMATEMATISK FORMELSAMLING

INGENJÖRSMATEMATISK FORMELSAMLING Sätyck u femte upplaga av fomle och tabelle fö aolikhetläa och tatitik, idoa 89-4. Toe Gutafo 004. INGENJÖRSMATEMATISK FORMELSAMLING Toe K. Gutafo Kombiatoik 89 90 Kombiatoik 6 KOMBINATORIK Atal pemutatioe

Läs mer

STATISTIK FÖR LÄKARSTUDENTER

STATISTIK FÖR LÄKARSTUDENTER 2015-04-05 STATISTIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsso läkarstudet.se INDEX INTRODUKTION...2 Att skriva saolikheter...2 Saolikhetslagar...2 Fakulteter...3 Odds och oddskvot...3 Typer av data...4 Diagram...5

Läs mer

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I Föreläsig 5 732G04 Surveymetodik 732G19 Utredigskuskap I Dages föreläsig Klusterurval Estegs klusterurval Tvåstegs klusterurval Klusterurval med PPS 2 Klusterurval De urvalsdesiger som diskuterats hittills

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3150 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 29 maj 2007 Lösig till tetame för kurse Log-lijära statistiska modeller 29 maj 2007 Uppgift 1 a Modelle uta ågra

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

Matematik. Definition 1 Mängdbeteckningar Tomma mängden Ω Hela utfallsrummet Unionen Snittet C Komplementet A Antalet element i A

Matematik. Definition 1 Mängdbeteckningar Tomma mängden Ω Hela utfallsrummet Unionen Snittet C Komplementet A Antalet element i A Formelsamlig Formler och tabeller iom Matematik och statistik för IT-foresik Kursasvarig: Eric Järpe Högskola i Halmsta Matematik Defiitio 1 Mägbeteckigar Tomma mäge Ω Hela utfallsrummet Uioe Sittet C

Läs mer

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata Sesorer, effektorer och fysk Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Noggrahet och precso Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätgar är

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson

Läs mer

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider... Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................

Läs mer

Väntevärde och varians

Väntevärde och varians TNG6 F5 19-4-216 Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som

Läs mer

Matematisk statistik

Matematisk statistik Tetame TEN, HF, 8 aug Kursod: HF Srivtid: 8:-: Lärare och examiator: Armi Halilovic Matematis statisti Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statisti ") och miiräare av vile typ som

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

Tentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl

Tentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl Avdelige för atioalekoomi och Tetame i för STA A13, 1-10 poäg Deltetame II, 5p Lördag 9 jui 007 kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig

Läs mer

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Erik Lindström 25 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 1/16 Repetition Stok. Var. Diskret

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4..3 Normalfördelge Bomal- och Possofördelge är två exempel på fördelgar för slumpvarabler som ka ata ädlgt eller uppräkelgt måga olka värde. Sådaa fördelgar sägs vara dskreta. Ofta är ett resultat X frå

Läs mer

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer?

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer? Datastrukturer och algoritmer Föreläsig 2 Aalys av Algoritmer Aalys av algoritmer Vad ka aalyseras? - Exekverigstid - Miesåtgåg - Implemetatioskomplexitet - Förstålighet - Korrekthet - - 29 30 Varför aalysera

Läs mer

Datastrukturer och algoritmer

Datastrukturer och algoritmer Iehåll Föreläsig 6 Asymtotisk aalys usammafattig experimetell aalys uasymtotisk aalys Lite matte Aalysera pseudokode O-otatio ostrikt o Okulärbesiktig 2 Mäta tidsåtgåge uhur ska vi mäta tidsåtgåge? Experimetell

Läs mer

Statistik för ingenjörer 1MS008

Statistik för ingenjörer 1MS008 Statistik för igejörer MS8 Föreläsig Kursmål: För godkät betyg på kurse skall studete käa till ett flertal metoder och tekiker för visualiserig av datamaterial; kua geomföra ekla beräkigar av saolikheter;

Läs mer

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle

Läs mer

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 6 MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. Tatjana Pavlenko 12 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling Systemplaeri VT Föreläsi F6: Mote Carlo Iehåll:. Repetitio av ekel sampli 2. Sampli av elmarkader 3. Multi-areamodelle 4. Räka exempel Repetitio: Ekel sampli Mål: Få fram E[X] Defiitio av E[X]: EX [ ]

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.

Läs mer

Stokastiska vektorer

Stokastiska vektorer TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Funktioner av s.v:er, Flera stokastiska variabler. Marginell sannolikhetsfunktion och -täthetsfunktion. Oberoende sv:er, Maximum och minimum av oberoende

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst

Läs mer

2004 Rune Norberg. Måste elimineras! Hur då? Kapitel 9. Variation Olika typer av data. 2004 Rune Norberg. Kapitel 9

2004 Rune Norberg. Måste elimineras! Hur då? Kapitel 9. Variation Olika typer av data. 2004 Rune Norberg. Kapitel 9 Fe l i t ill verki ge ept Okt Nov Dec ept Okt Nov Dec Högskola Dalara Översikt tatistisk processtyrig Itroduktio till tatistisk Processtyrig (P) aolikhet Normalfördelig Några adra fördeligar Variatio Olika

Läs mer

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.

Läs mer

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata Sesorer och elektrok Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätresultat är behäftade med e vss osäkerhet

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 2 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE HÄNDELSER Tatjana Pavlenko 26 mars, 2015 SANNOLIKHETSGRUNDER (REPETITION) Slumpförsöket

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

KTH/ICT IX1501:F7 IX1305:F2 Göran Andersson Statistik: Skattningar

KTH/ICT IX1501:F7 IX1305:F2 Göran Andersson Statistik: Skattningar KTH/ICT IX50:F7 IX305:F Göra Adero goera@th.e Statiti: Sattigar Statiti Vi all u tudera obervatioer av toatia variabler. Vad blev det för värde? Dea obervatioer alla ett ticprov (ample). Iom tatitie fi

Läs mer

Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna

Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna UMEÅ UNIVERSITET Ititutioe för matematik tatitik Statitik för lärare, MSTA8 PA LÖSNINGSFÖRSLAG 004-0-8 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statitik för lärare, poäg Tillåta hjälpmedel:

Läs mer