Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Transkript

1 Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska uderrubrike måtteori (äve kallat itegratiosteori). Strax ska vi defiiera begreppet saolikhet i elighet med måtteori, me låt oss börja med ågra adra grudläggade begrepp och de klassiska defitioe. Låt oss betrakta två exempel. I exempel 1 kastar vi e tärig e gåg. I exempel 2 kastar vi samtidigt e grö och e röd tärig e gåg. Detta är exempel på två experimet. Varje experimet ka ha olika resultat (hädelser). Utfalle är de mista bestådsdelar som bygger upp de olika hädelsera. Tillsammas bildar utfalle mägde av allt som ka iträffa, utfallsrummet. Begrepp Förklarig Värde i exemple Experimet Specifikatio av e 1: Kasta e tärig situatio som ka få 2: Kasta två tärigar olika förlopp Utfall De möjliga resultate 1: 1, 2, 3, 4,, 6 av experimetet 2: (1,1),(1,2),...,(6,),(6,6) (Atomära hädelser) Hädelse Sammasättig av utfall 1: A 1 {vi slår e sexa} {6} B 1 {vi slår högst 4} {1,2,3 eller 4} 2: A 2 {gröa tärige är e sexa} {(6,1),(6,2),...,(6,6)} B 2 {summa är 7} {(1,6),(2,),(3,4),(4,3),(,2),(6,1)} Utfallsrum Ω Mägde av alla utfall 1: {1,2,3,4,,6} 2: {(1,1),(1,2),...,(,6),(6,6)} Defiitio 1 De klassiska defiitioe Saolikhete för att ett experimet utmyar i e hädelse A beteckas P(A) och defieras som atalet utfall gysamma för A, g(a), i proportio mot det totala atalet utfall som experimetet ka utmya i, m: P(A) #{gysamma utfall} #Ω g(a) m 1

2 Multiplikatiospricipe Om ett experimet ka idelas i j delexperimet där det första ka få 1 utfall det adra ka få 2 utfall. det j:te ka få j utfall så har experimetet 1 2 j utfall. Exempel I exemplet med de röda och de gröa tärige ger kast med de röda 6 utfall och kast med de gröa också 6 utfall varmed experimetet har totalt utfall. Låt oss beräka saolikhera för hädelsera A 1,B 1,A 2 och B 2. 1: P(A 1 ) g(a 1) m 1 #{6} #{1,2,3,4,,6} 1 6 P(B 1 ) g(b 1) m 1 #{1,2,3,4} #{1,2,3,4,,6} 2 3 2: P(A 2 ) g(a 2) m 2 #{(6,1),(6,2),...,(6,6)} #{(1,1),(1,2),...,(6,6)} P(B 2 ) g(b 2) #{(1,6),(2,),(3,4),(4,3),(,2),(6,1)} m 2 #{(1,1),(1,2),...,(6,6)} Exempel Atag att vi kackar på hos e fembarsfamilj och att bare i tur och ordig kommer till dörre. På hur måga sätt ka det iträffa? Lösig: Eftersom varje bar ka vara atige pojke eller flicka blir det totala atalet kofiguratioer 2 32 stycke. Kombiatorik/biomialkoefficieter Atalet sätt ma ka välja k elemet blad möjliga uta återläggig och uta häsy till ordige är ( )! k k!( k)! Kom ihåg: ( ) ( k ( k), ( 0) 1, 1). Läs om Pascals triagel! Observera P(Ω) 1. (Mycket avädbar regel!) 2

3 Exempel Vad är saolikhete att det hos e fembarsfamilj (i ett område med lika stor adel pojkar som flickor) fis (a) 1 pojke och 4 flickor? (b) 2 pojkar och 3 flickor? (c) övriga kofiguratioer? Lösig: (a) Ataletsättför1pojkeoch4flickorär ( 1) (dvs(p,f,f,f,f),(f,p,f,f,f),...,(f,f,f,f,p)). Dettotalaataletsättär2 32varmedP(1P,4F). 32 ) 10 varmed P(2P,3F) 10 (b) #{2P,3F} ( (c) Pga symmetriregel för biomialkoefficietera är P(3P,2F) 10 och 32 P(4P,1F). Vidare, eftersom ( ( 32 0) ) 1 så är P(F) P(P) Kotroll: P(F)+P(4F,1P)+P(3F,2P)+P(2F,3P)+P(1F,4P)+P(P) 1. Exempel Kalle köper lotter på ett lotteri med 100 lotter varav 1 ger :- 2 ger e bostadsrätt 2 ger e koloilott ger e cykel ger 100:- Vad är chase att ha vier (a) mist 3 cyklar? (b) 200:-, 1 cykel och 1 koloilott (och iget aat)? (c) bostad eller pegar? (d) ågot överhuvudtaget? Lösig: (a) P(mist 3 cyklar) P(3 cyklar)+p(4 cyklar)+p( cyklar) ( ) ( ) ( ) (b) P(200:- och 1 cykel och 1 koloilott) ! (c) P(bostad eller pegar) P(ite bara cyklar och itlotter) 1 P(bara cyklar och itlotter) (d) P(ågot) 1 P(iget)

4 På det här viset ka ma klara av saolikheter för hädelser ur uppräkeliga (dvs umrerbara) utfallsrum. Me täk t.ex. om Pelle hoppar lägdhopp och att ha ka mäta sia hopp med godtyckligt hög precisio. Vad blir u utfalle av ett hopp? Utfallsrummet måste vara de positiva reella tale Ω R + och hädelser frå detta utfallsrum t.ex. ett hopp är lägre ä 4 meter. Me vilka är utfalle? Detta är ett exempel med överuppräkeligt utfallsrum och för att klara av det behövs e geeraliserig av saolikhetsbegreppet. Ett framgågsrikt agreppssätt är att lika hädelser vid mägder. Låt oss börja med att repetera lite mägdlära. Nam Förklarig Värde i exemple Ve-diagram 1: A 1 {6} Ω A B B 1 { 4} 2: A 2 {gröa 6} B 2 {summa 7} Uio Sitt A B A eller B A B A och B 1: A 1 B 1 { 6 eller 4} {6,1,2,3,4} 2: A 2 B 2 {gröa 6 eller summa 7} {(6,1),...,(6,6),(,2),...,(1,6)} 1: A 1 B 1 { 6 och 4} 2: A 2 B 2 {gröa 6 och summa 7} {(6,1)} Komplemet A c Allt utom A 1: AC 1 { 6} {1,2,3,4,} 2: A C 2 Ω\{gröa 6} {(1,1),(1,2),...,(,),(,6)} Två hädelser A,B är disjukta om de ite ka iträffa samtidigt, dvs om A B. Lär De Morgas lagar: (A B) C A C B C och (A B) C A C B C. Idelig av hela utfallsrummet Ω i disjukta delmägder kallas partitio. 4

5 Defiitio 2 De modera defiitioe E fuktio P, som till varje hädelse A ur ett utfallsrum Ω ordar P(A) R, är ett saolikhetsmått om 1. 0 P(A) 1 för alla A Ω, 2. P(Ω) 1, 3. P(A B) P(A)+P(B) för alla disjukta A,B Ω. P mäter de mass-/yt- adel som upptas av A relativt utfallsrummet Ω. Tilläggas bör också att de modera defiitioe sammafaller med (dvs ger samma resultat som) de klassiska i de fall det hadlar om uppräkeliga utfallsrum. Ite desto midre ka de klassiska vara ett pedagogiskt första steg att ta och ma ka aturligtvis aväda de ärhelst ma föredrar de i de fall de är tillämpbar. Sats 2B Komplemetsatse: P(A C ) 1 P(A). Sats 2C Additiossatse: P(A B) P(A)+P(B) P(A B). Övig Härled Satsera 2B och 2C frå defiitioe av saolikhet och mägdlagara.