Matematisk statistik - Slumpens matematik

Transkript

1 Matematisk Statistik Matematisk statistik är slumpens matematik. Började som en beskrivning av spel, chansen att få olika utfall. Brevväxling mellan Fermat och Pascal Modern matematisk statistik är ovärderlig i all naturvetenskap, ingenjörsvetenskap, ekonomi, medicin,...

2 Matematisk statistik - Slumpens matematik Sannolikhetsteori: Matematisk teori/modellering av verkligheten, med användande av slump. Modellerna innehåller ofta okända, s.k. parametrar Statistikteori: Matematisk teori för hur man drar slutsatser om de okända parametrarna.

3 Grundläggande sannolikhetsteori Grundläggande begrepp Utfall - resultatet av ett slumpmässigt försök ω 1,ω 2,... Utfallsrum - mängden av alla möjliga utfall, Ω. Händelse - en samling av utfall, en delmängd av utfallsrummet, A,B,... Några elementära beteckningar ω A, betyder att elementärhändelsen ω ligger i A. A B, betyder att A är en delmängd av B. Beskriver Om A inträffar så inträffar också B.

4 Två exempel med tärningskast Exempel Kast av en tärning. Utfallsrum - Ω = {1,2,3,4,5,6}. Händelsen minst en 4:a är A = {4,5,6}. Händelsen högst en 5:a är B = {1,2,3,4,5}. Händelsen 3:a är C = {3}. Några samband: C B, dvs Om vi får en 3:a så får vi högst en 5:a. Om ω = 1 så ω B.

5 Exempel Kast av två tärningar Utfallsrum Det finns 36 st. utfall. Ω = {(1,1),(1,2),...,(6,6)} = {(i,j) : i = 1,...6,j = 1,...,6}. Summan är högst 3 är händelsen D = {(1,1),(1,2),(2,1)}. Vi får en 6:a i första kastet är händelsen E = {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.

6 Mängdoperationer och illustration med hjälp av Venn-diagram Om man har ett utfallsrum och en samling delmängder kan man relatera dem till varandra och göra operationer på dem. Boolsk algebra. Ω. Utfallsrummet, grundmängden. Innehåller alla möjliga utfall.. Tomma mängden {}. Innehåller inga utfall. En omöjlig händelse. A. Händelse, delmängd av Ω. A. Komplementära händelsen till A, inte A. A B. Unionen av A och B. A eller B inträffar. A B. Snittet av A och B. Både A och B inträffar. A B =. A och B är disjunkta. Snittet av A och B är en omöjlig händelse. A och B kan inte inträffa samtidigt.

7 Illustration av kast med en tärning, forts A B = {4,5}. A B = Ω. B C = C = {3}. Observera att det gäller allmänt att A 1 A 2 A 1 A 2 = A 1 och A 1 A 2 = A 2. A C =. Vi kan inte samtidigt få både 3:a och minst 4:a.

8 Formell definition av sannolikhet Om A är en händelse vill vi kunna tala om sannolikheten för att A inträffar. Definition (Kolmogorov 1933) En sannolikhet P är en funktion på mängden av händelser sådan att 0 P(A) 1. P(Ω) = 1. Om A 1,A 2,... är en ändlig eller uppräkneligt oändlig sekvens av parvis disjunkta händelser, dvs A i A j = om i j, så gäller att P(A 1 A 2...) = P(A 1 )+P(A 2 )+... Speciellt gäller att om A och B är disjunkta så P(A B) = P(A)+P(B).

9 Räkneregler för sannolikheter Av definitionen följer P(A ) = 1 P(A). För godtyckliga A och B gäller P(A B) = P(A)+P(B) P(A B).

10 Hur ska man tolka sannolikheten? Frekvenstolkningen av en sannolikhet: Om A är en händelse och man gör ett försök n ggn, där antingen A eller A kan inträffa, så är Antalet ggn A inträffar n ungefär P(A) om n är väldigt stort. Detta är en i själva verket en matematisk sats ( Stora talens lag ). Figuren visar relativa frekvensen av krona vid slantsingling med korrekt mynt. Figure:

11 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen för diskreta utfallsrum Om Ω består av m möjliga utfall och alla utfall är lika sannolika, säger man att man har en likformig sannolikhetsfördelning. Alltså Ω = {ω 1,...ω m } och P(ω i ) = 1/m för alla i = ,m. Om då A består av g stycken av utfallen ω 1,...,ω m är det klart att P(A) = 1 m m summa av g termer = g m. Detta kallas för den klassiska sannolikhetsdefinitionen. Observera att ingen definition! Det är en speciell fördelning.

12 Exempel på likformig fördelning Exempel Dra ett kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att det är ett hjärter? Det finns 52 kort alla lika sannolika. Alltså har vi en likformig sannolikhetsfördelning. A = { draget kort är hjärter} innehåller 13 av de möjliga utfallen. Alltså är P(A) = 13/52 = 1/4.

13 Betingad sannolikhet Om man vet att man befinner sig på en delmängd av utfallsrummet, begränsas ju antalet möjliga utfall. Hur ska man räkna med sannolikheter då? Definition Om A och B är händelser och P(B) > 0 definieras den betingade sannolikheten för A givet B som P(A B) = P(A B). P(B) Exempel Kast av tärning. Ω = {1,...,6}. Vi antar att tärningen är rättvis och då är den likformiga sannolikhetsfördelningen en bra modell. Alltså har alla utfall slh 1/6. Låt B = {1,3,5}, udda utfall och A = {1}. Då är P(A B) = P(A B) P(B) = P(A) P(B) = 1/6 3/6 = 1 3.