MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I"

Transkript

1 MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Mägder (aiv, ite axiomatisk, mägdlära x A om x är ett elemet i mägde A, dvs. x hör till A och x / A om x ite gör det. {,, 5, 6} är mägde som iehåller tale,, 5 och 5, dvs. {,, 5, 6}, {,, 5, 6} osv. me 4 / {,, 5, 6}. Mägdera {,, 5, 6} och {6, 5,,,, } är desamma eftersom ordige och upprepigar ite har ågo betydelse för fråga om ett elemet hör till mägde eller ite och det är det eda som räkas. Istället för att räka upp elemete i e mägd ka ma defiiera e mägd som de elemet i e mägd A som har e viss egeskap P, dvs. B = { x A : P(x } där P(x för varje x A atige är sat eller falskt, tex. { x R : x 4 }. Russells paradox Vad ka vi säga om {x : x / x}? Ge ett am åt detta: A = {x : x / x}. Atag att A A: Då uppfyller A villkoret x / x dvs. A / A, och vi får e motsägelse. Atag att A / A: Då uppfyller A villkoret x / x så eligt defiitioe av A gäller A A, ige e motsägelse. Slutsats? Det går ite att defiiera mägder hur som helst uta att få större problem ä ma hade! G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45

2 Mägder, forts. = {} är de tomma mägde som ite har ågra elemet alls. A B om x B för alla x A och då är A är e delmägd av B. P(A (potesmägde till A är mägde av alla delmägder av A. A B = { x : x A eller x B } är uioe av A och B. A B = { x : x A och x B } är sittet av A och B. A \ B = { x : x A och x / B } är differese mella A och B. A c = Ω \ A är komplemetet till A ifall A Ω och det är klart vad Ω är. Satslogik Om a och b är satser eller påståede som ka vara saa eller falska, me ite ågotig mitt emella, så gäller satse a && b är sa då a och b är saa. satse a b är sa då a eller b är sa (och också då både a och b är saa. satse!a är sa då a ite är sa, dvs. falsk. satse a b är sa då (!a b är sa, dvs. då atige b är sa eller a är falsk. satse a b är sa då (a b && (b a är sa. I matematisk logik aväds valige istället för &&, istället för och istället för!. Observera att implikatioe a b som logisk sats ite alltid motsvarar vad ma i dagligt tal mear med e implikatio, dvs. av a följer b eftersom a b är sa då a är falsk och de ite ödvädigtvis har ågot med orsakssambad att göra. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 5 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 6 / 45 Slutledigsregler och bevis Atag att p och q är två satser. Vi skall u bevisa att q är sat om vi atar att p &&!p är sat, vilket alltså visar att om ma atar e motsägelse ka ma bevisa vad som helst. Det fis måga slutledigsregler me här skall vi bara aväda följade: (a x y!x y (b x && y x (c x x y Det som gör att tex. (a är e slutledigsregel är att satse (x y &&!y x är e tautologi, dvs. sa för alla saigsvärde för x och y (vilket ka kotrolleras åtmistoe så att ma går geom alla möjligheter. Slutledigsregler och bevis, forts. Slutledigsregelera var alltså följade: (a (b (c x y!x y x && y x x x y Beviset ser u ut på följade sätt: ( p &&!p: Atagade ( p: (b tillämpat på ( med x = p och y =!p ( p q: (c tillämpat på ( med x = p och y = q (4!p: (b tillämpat på ( med x =!p och y = p (5 q: (a tillämpat på ( och (4 med x = p och y = q. Observera att vi i pukt (4 också aväde det faktum att x && y = y && x. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 7 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 8 / 45

3 Ett exempel Atag att du befier dig i e främmade stad och udrar om du kommer med buss 409 till ditt hotell. Du täker fråga e ivåare i stade me kommer ihåg att du hört att det fis två sorts mäiskor i dehär stade, dels de som svarar saigseligt ja eller ej på varje fråga och dels de som svarar lögaktigt ja eller ej. Vad skall du fråga? Vi ka tex. resoera på följade sätt: Låt B vara påståedet att buss 409 för dig till ditt hotell och låt S vara påståedet att de perso du frågar alltid talar saig. Vi skall formulera ett påståede som vi frågar om är sat så att vi får svaret ja eller påståedet är sat i precis de fall då B är sat. Detta iebär att vi får följade tabell för saigsvärdea: B T T F F S T F T F P T F F T Vi ser att P skall vara sat då B och S båda är saa eller båda falska så påståedet eller fråga blir (B && S (!B &&!S. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 9 / 45 Predikatlogik Predikatlogike är e utvidgig av satslogike så att ma förutom satser har variabler x, y,... och predikat P, Q,... (eller hur ma u vill betecka dem. Predikate har ett ädligt atal argumet, tex. P(x, Q(x, y, osv. och ett predikat uta argumet är e sats. Förutom de operatioer (!, &&, och som fis i satslogike aväder predikatlogike all- och existeskvatorera och som uttrycker för alla och det existerar. Förutom predikat ka ma också aväda fuktioer vars värde hör till det område som behadlas ( domai of discourse. E fuktio med oll argumet är då e kostat. Fuktioer och kostater ka också uttryckas med hjälp av predikat, me det blir lätt oödigt klumpigt. Operatorordig Om ma ite vill aväda pareteser, som aturligtvis har högsta prioritet, ka ma utyttja att de logiska operatorera (valigtvis evalueras i följade ordig: Först!, seda och, seda && och och till sist. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 0 / 45 Obs! Oftast skriver ma x A (P(x istället för det fullstädiga x((x A P(x och x A (P(x istället för x((x A && P(x. Kom också ihåg att!( x P(x x!p(x, och (eftersom!(!p P!( x P(x x!p(x. Iduktiospricipe Om P( är ett påståede (som för alla 0 atige är sat eller falskt så att P( 0 är sat P(k + är sat ifall P(k är sat (dvs. P(k P(k + då k 0 så är P( sat för alla 0. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45

4 Iduktio Visa med hjälp av iduktio att i = = i= ( +,. Lösig: Påståedet P( är alltså i= i = (+ och 0 =. Då är påståedet P( samma som att = (+ vilket är sat. Atag u att P(k är sat och k. Eftersom P(k är sat gäller k i= i = k(k+ vilket iebär att k+ i = i= k k(k + i + (k + = + (k + i= ( k = (k + + (k + (k + = = (k + ((k + +, vilket i si tur iebär att P(k + är sat. Eligt iduktiospricipe följer u påståedet. (Ofta, me kaske ite här, löar det sig att formulera det ma skall visa som att ett uttryck skall vara 0. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Kartesisk produkt De kartesiska produkte X Y av två mägder X och Y består av alla ordade par (a, b eller [a, b] där a X och b Y, dvs. X Y = { [a, b] : a X och b Y }. Det fis olika sätt att defiiera paret [a, b] (eller (a, b edast med hjälp av mägdteoretiska beteckigar och ett ofta avät sätt är att säga att [a, b] är mägde {{a}, {a, b}}. Relatioer E relatio mella mägdera X och Y (eller i X om Y = X är e delmägd av de kartesiska produkte X Y. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45 Koordiatera i ett ordat par De första koordiate i [x, y] (eller (x, y är (förstås x och de adra y. Om ma skriver paret med mägdbeteckigar som {{x}, {x, y}} så hur skall ma defiiera predikate F (p, x och A(p, y så att F (p, x är sa då x är första koordiate i p och A(p, y är sa då y är adra koordiate i p? Tex. på följade sätt: F (p, x def = z ((z p (x z (eller kortare z p(x z me de adra är besvärligare, A(p, y def = z((z p && (y z && u v ((u p && (v p &&!(u == v!(y u!(y v. Ma ka också skriva detta som A(p, y def = z p (y z && u p v p (!(u == v (y / u (y / v. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 5 / 45 Vad är e graf? E graf består av e mägd oder och e mägd bågar mella odera, tex. såhär: 4 I e riktad graf har varje båge e startod och e slutod, meda ma i e icke riktad graf ite gör skillad mella start- och slutode. E riktad graf ka beskrivas med ett ordat par [V, E] (V som vertex, E som edge där V är e mägd (valigtvis ädlig och ite tom och E V V, dvs. E är e relatio i V. E icke riktad graf ka beskrivas med ett ordat par [V, E] där V är e mägd (ige valigtvis ädlig och ite tom och E { {a, b} : a V, b V }. E icke riktad graf ka förstås (? också beskrivas som e riktad graf där relatioe E är symmetrisk, dvs. [a, b] E [b, a] E. Observera att med igedera av dessa defiitioer ka ma ha flera bågar mella samma oder me og e båge frå e od till samma od. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 6 / 45

5 Olika slag av relatioer i e mägd X E relatio W i mägde X är reflexiv ifall [x, x] W för alla x X. symmetrisk ifall [x, y] W [y, x] W för alla x och y X. trasitiv ifall [x, y] W && [y, z] W [x, z] W för alla x, y och z X. e ekvivalesrelatio om W är reflexiv, symmetrisk och trasitiv. atisymmetrisk om [x, y] W && x y [y, x] / W för alla x och y X. e partiell ordig om de är reflexiv, atisymmetrisk och trasitiv. asymmetrisk om [x, y] W [y, x] / W för alla x och y X. total om [x, y] W [y, x] W för alla x och y X. Ofta skrivar ma xwy istället för [x, y] W, tex. x < y (istället för [x, y] <. Ekvivalesklasser Om X är e mägd (som ite är tom och är e ekvivalesrelatio i X, dvs. är reflexiv, symmetrisk och trasitiv så delar de i mägde X i delmägder Y j, j J som kallas ekvivalesklasser så att j J Y j = X, Y j Y k = om j k, a b a och b hör till samma mägd Y j. Ofta tolkar ma ekvivalesrelatioe så att två elemet som är ekvivaleta är lika så att ma istället för mägde X täker på mägde { Y j : j J } med ekvivalesklassera som elemet. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 7 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 8 / 45 Fuktioer Om X och Y är mägder så är e fuktio f : X Y e relatio mella X och Y dvs. e delmägd i X Y så att för varje x X fis det ett y Y så att [x, y] f. om [x, y ] f och [x, y ] f så är y = y. Här är X fuktioes defitiosmägd och Y är dess målmägd. Valigtvis skriver ma relatioe så att [x, y] f om och edast om y = f (x, äve om y = xf eller y = x.f kude vara bättre om ma läser frå väster till höger. Med adra ord, e fuktio f frå X till Y är e regel som för varje x X ger som svar ett etydigt elemet y = f (x i Y. Mägde { f : f är e fuktio frå X till Y } beteckas ofta med Y X. Ijektioer och surjektioer f a b c d 4 e X Y 4 5 X g a b c d Y Ijektioer, surjektioer och bijektioer E fuktio f : X Y är e ijektio om f (x = f (x x = x för alla x, x X. surjektio om det för varje y Y fis ett x X så att f (x = y. bijektio om de är e ijektio och e surjektio. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 9 / 45 Fuktioe f : X Y är e ijektio ( till varje elemet i Y kommer högst e pil me ite e surjektio eftersom det ite fis ågot elemet i X så att f (x = d. Fuktioe g : X Y är e surjektio ( till varje elemet i Y kommer mist e pil me ite e ijektio, eftersom g( = g(5. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 0 / 45

6 Listor, talföljder och kartesiska produkter som fuktioer E lista [a, b, c, d] ka tolkas som e fuktio f defiierad i mägde {,,, 4} (eller {0,,, } så att f ( = a, f ( = b, f ( = c och f (4 = d. E oädlig talföljd (a =0 = (a 0, a, a,... ka tolkas som e fuktio f defiierad i N 0 så att f ( = a för alla N 0. Om X j är e mägd för varje j J där J är e (aa mägd så ka ma defiiera de kartesiska produkte j J X j som mägde av alla fuktioer f : J j J X j så att f (j X j. f (A och f (B Om f : X Y är e fuktio, A X och B Y så är f (A = { f (x : x A } och f (B = { x X : f (x B }. Sammasatta och iversa fuktioer Om f : X Y och g : Y Z är två fuktioer så är h = g f : X Z fuktioe h(x = g(f (x. Om f : X Y, g : Y Z och h : Z W är fuktioer så är (h g f = h (g f så att dea fuktio ka skrivas som h g f. Om f : X Y är e fuktio så att det fis e fuktio g : Y X så att (g f (x = x och (f g(y = y för alla x X och y Y så är f iverterbar, g är dess ivers och ma skriver ofta g = f. E fuktio f : X Y är iverterbar om och edast om de är e bijektio. Om f : X Y är iverterbar så är (f = f. Observera att f ite är samma sak som fuktioe h(x = f (x som förutsätter att ma i Y ka räka iverser, vilket är G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 fallet i R \ {0} me ite i Z. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Ordo eller Stora O: f O(g Om g är e fuktio som är defiierad för alla tillräckligt stora heltal så betyder f O(g att f också är defiierad för alla tillräckligt stora heltal och att det fis e kostat C och ett heltal 0 så att f ( C g(, 0, Avädige av dea beteckig betyder också att ma ite är speciellt itresserad av, eller ite exakt vet, vad C och 0 är. Ofta skriver ma f ( = O(g( istället för f O(g, me om ma då istället för O( + O( O( skriver O( + O( = O( så måste ma ise att ma ite ka förkorta bort O(! Det är iget speciellt med att fuktioera här atas vara defiierade bara för (edel heltal och att ma ser vad som häder då. Tex. gäller också x 4 x x +x O(x då x 0. Hur måga jämförelser behövs för att sortera tal i storleksordig? Vi skall visa att det räcker med högst log ( jämförelser och aväda e variat av iduktiospricipe. Då = (eller = är det klart att detta är sat. Atag u att det stämmer för alla k och att vi har k + tal som vi skall orda. Atag först att k + = m och dela upp tale i två mägder med m tal som vi ordar (geom att aväda sammalagt högst m log (m jämförelser och seda kombierar vi dehär ordade listora till e lista. Om vi skall kombiera två ordade listor med j och j elemet ka detta göras med högst j + j jämförelser eftersom det stämmer då j ellr j = och aars behövs det e jämförelse för att hitta det största talet och seda återstår det att kombiera två listor med atige j och j eller j och j tal. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45

7 Hur måga jämförelser behövs för att sortera tal i storleksordig? Forts. Det sammalagda atalet jämförelser då k + = m blir alltså högst m log (m + m + m = m ( log (m + m m log (m = (k + log (k +. Om k + = m + så delar vi upp mägde i två mägder med m och m + elemet och får på samma sätt att atalet jämförelser blir högst m log (m + (m + log (m + + m + + m = m log (m(m + + log (m + + m m(log (m + log (4 + log (m + + m m( log (m + + log (m + + m m log (m + + log (m + = (k + log (k +. Iduktiossteget fugerar och högst log ( jämförelser behövs! Hur måga jämförelser behövs för att hitta talet med storleksordigsummer p i e mägd med tal? Det är klart att om p = (det mista talet eller p = (det största talet så räcker det med (me behövs också jämförelser me hur är det i det allmäa fallet? Vi skall u visa att då p så hör maximimatalet jämförelser till O(, dvs. det fis e kostat C så att atalet jämförelser är högst C och vi bryr oss här ite så mycket om hur stor kostate C blir: Dela i tale i grupper om tex. 5: Iga jämförelser. Bestäm mediaera i dessa gupper: Behövs O( jämförelser. Bestäm mediae av mediaera: Behövs C( 5 + jämförelser om vi ka aväda ett iduktiosatagade. Dela i tale i två grupper, de som är större ä mediaeras media och de som är midre: Behövs O( jämförelser. De större av dessa grupper kommer att iehålla högst ( O( = 0 + O( tal! G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 5 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 6 / 45 Hur måga jämförelser behövs för att hitta talet med storleksordigsummer p i e mägd med tal? Forts. Det tal vi söker fis i ågodera gruppe eller är mediaeras media så vi ka hitta det med C CO( jämförelser. Vi har avät O( + 5 C + C + O( C + CO( = 9 C + CO( + O( 0 = 9 0 C + Ck + k jämförelser där k och k är ågra kostater Eftersom vi för 0k ka först sätta alla tale i storleksordig och seda välja det med storleksordigsummer p så ser vi att om vi väljer C > max{0k log (0k, 0k } så är 9 0 C + Ck + k 9 0 C + 0 C + C = C 0 och iduktiosresoemaget fugerar. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 7 / 45 Atalet elemet i e mägd Två mägder A och B har samma atal elemet (eller kardialiteter, dvs. A = B om det fis e bijektio A B. Mägde A har färre ä eller lika måga elemet som mägde B, dvs., A B, om det fis e ijektio A B. Mägde A har färre elemet ä mägde B, dvs., A < B, om det fis e ijektio A B me ige bijektio A B. Ifall A = {0,,,..., } så är A =. E mägd A sägs vara ädlig om det fis e bijektio A {0,,,..., } för ågot heltal 0, dvs., om A =. Obs! För att dessa defiitioer skall vara föruftiga måste ma visa att det fis e bijektio {0,,,..., } {0,,,..., m } om och edast om m = och att ifall det fis ijektioer A B och B A så fis det e bijektio A B. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 8 / 45

8 Atalet elemet i ågra oädliga mägder N 0 = Z eftersom f : N 0 Z där f (0 = 0, f (k = k och f (k = k för k är e bijektio. N 0 = Q eftersom vi ka kostruera e bijektio på följade sätt: 0... Om vi seda hoppar över de tal vi reda gått geom får vi följade bijektio: f (0 = 0, f ( =, f ( =, f ( =, f (4 =, f (5 =, f (6 =, f (7 = 4, f (8 =, f (9 = (och ite =, f (0 =, f ( = (och ite =, f ( = 4, osv. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 9 / Summerigsregel, ekel form Om A och B är två (ädliga mägder så att A B = så är A B = A + B. Av detta följer att om B A så är A \ B = A B. Produktregel, ekel form Om A och B är två (ädliga mägder så är A B = A B. Lådpricipe: Ekel me yttig! Ifall m föremål placeras i lådor så måste e låda iehålla mist m föremål! Varför? Om det största atalet föremål som fis i ågo av lådora är k så är k m så att k m och eftersom m defiieras som det mista heltal som är m så måste vi ha k m. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 0 / 45 Summerigs eller iklusios-exklusiospricipe Om A och B är två (ädliga mägder så är A B = A + B A B, och mera allmät (förutsatt att alla mägder A j eda är ädliga Ifall k j= A j = k ( r+ r= E allmä form av produktregel j <j <...<j r k i= r. A ji C = { (x, x,..., x k : x A, x A,x,..., x k A k,x,...,x k }, där A =, for varje x A gäller A,x = och så vidare så att för alla x A, x A,x,..., x k A k,x,...,x k gäller A j,x,x,...,x j = j, j k, så är C =... k. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Välj r föremål ur e mägd med föremål eller elemet Det fis (åtmistoe två sätt skilja på olika situatioer: Ordat val: Det har betydelse vid vilket val föremålet väljs Ite ordat val: Det har ite ågo betydelse vid vilket val föremålet väljs. Ige upprepig: ett föremål ka väljas bara e gåg Upprepig möjlig: samma föremål ka väljas måga gåger. Atalet olika sätt på vilket detta ka göras blir därför: Ige upprepig Upprepig möjlig Ordat (. (.. ( r + ( r + r Ite ordat r r ( m m! Här är =. Upprepig ka både tolkas så att ma väljer ett j j! (m j! föremål, oterar vilket det är, och sätter tillbaka det, och så att elemete i mägde är de olika slag av föremål som ma ka välja. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45

9 Plocka bollar ur e låda eller sätta bollar i e låda? Ett aat sätt att se på situatioe där ma väljer r föremål ur e mägd med föremål (med ett ordat eller ite ordat val, med upprepigar eller uta är att täka på föremåle i mägde, ite som bollar i e låda, uta som lådor i vilka ma väljer att placera ett föremål, tex. e boll. I det ordade fallet ka dessa bollar vara umrerade eller på aat sätt idetifierbara och i det ite ordade fallet är de idetiska och ka ite skiljas åt. Ett val uta upprepigar iebär då att i varje låda ka sättas högst e boll och ett val med upprepigar att flera bollar ka sättas i samma låda. Ordat val av r föremål frå e mägd med föremål Om varje föremål ka väljas bara e gåg ka det första väljas på olika sätt, det adra på olika sätt och så vidare så att föremål ummer r ka väljas på r + olika sätt. Geom att aväda produktregel ser vi att atalet olika möjligheter är! ( (... ( r + eller ( r!. Om varje föremål ka väljas flera gåger (dvs. de tas ite bort ur mägde eller så är mägdes elemet typer av föremål som tas frå ågot aat ställe då fis det alterativ vid varje val så att det följer av produktregel att atalet möjligheter är r. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45 Icke-ordat val av r föremål frå e mägd med föremål uta upprepigar Låt b(, r vara detta atal av icke-ordade val av r föremål frå e mägd med föremål uta upprepigar. När vi har gjort ett sådat val får vi ett ordat val geom att orda de valda r föremåle. Detta ka göras på r! olika sätt så det följer av produktpricipe att atalet sätt göra att ett ordat val av r föremål frå e mägd med föremål uta upprepigar är b(, r r!. Eftersom vi vet att detta atal är (... ( r + =! ( r! så får vi b(, r =! r! ( r! = (. r Icke-ordat val av r föremål frå e mägd med föremål med upprepigar, I Täk på situatioe så att vi har ett obegräsat atal av olika slags föremål och vi skall välja r stycke. Om vi har gjort ett val ka situatioe beskrivas tex. såhär: vilket skall tolkas som att vi valt stycke av typ, av typ, 0 av typ, av typ 4, av typ 5 och av typ 6 så att i detta fall är = 6 och r = =. Varje val motsvaras alltså att vi placerar r stycke föremål och stycke skiljetecke i e rad vilket alltså betyder att väljer de r positioer där vi placerar föremåle (så att reste får skiljetecke, eller tvärtom. Eftersom detta är ett oordat val uta upprepigar blir atalet alterativ ( ( + r + r =. r G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 5 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 6 / 45

10 Icke-ordat val av r föremål frå e mägd med föremål med upprepigar, II Låt f (r, vara atalet sätt på vilka ma ka göra ett icke-ordat val av r föremål frå e mägd med föremål med upprepigar. Ett sådat val är detsamma som att placera r föremål i ordade (dvs. ite idetiska lådor. Om =, så ka detta göras på bara ett sätt så att f (r, = för alla r 0. Om > ka vi sätta j = 0,,..., r föremål i de första låda och de återståede r j föremåle i de återståede lådora. Eftersom vi får olika resultat för varje val värde på j så får vi rekursiosekvatioe f (r, = r j=0 f (r j, k = = r j r f (k,. I syerhet betyder detta att f (r, = r + och med hjälp av formel för summa av e aritmetisk serie får vi f (r, = (r+(r+. Nu gissar vi att f (r, = ( ( r+ = r+ r så vi skall visa att ( r + r ( k + =, r 0,. k=0 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 7 / 45 k=0 Icke-ordat val av r föremål frå e mägd med föremål med upprepigar, II, forts. Dea likhet gäller säkert för r = 0 och varje. Atag att de gäller för r = s och. Då får vi är r = s + och s+ ( ( k + s + + s ( k + = + k=0 k=0 ( ( s + + s + = + (s +... (s + (s +... (s + = + (! (! (s +... (s + ( + s + = (! ( (s + (s +... (s + ( + s + + = =. (! Iduktiossteget fugerar och påståedet följer med iduktiospricipe. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 8 / 45 Atalet fuktioer A B Atag A = m och B =. E fuktio f : A B är ett ordat val med upprepigar av m elemet (fuktioes värde ur mägde B som har elemet. Atalet fuktioer: A B är därför m (och därför är det föruftigt att betecka mägde av fuktioer A B med B A. E ijektio: A B är ett ordat val uta upprepigar av m elemet (fuktioes värde ur mägde B som har elemet. Atalet ijektioer A B är därför! (... ( m + = då m. ( m! ( Atalet surjektioer A B är ( r r m. r r=0 Varför? Atalet surjektioer är totala atalet fuktioer mius atalet fuktioer till e strikt delmägd av B och detta seare atal ka ma räka med hjälp av iklusios-exklusiospricipe vilket efter diverse räkigar ger formel ova. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 9 / 45 Atalet surjektioer A B då A = m och B = Atag att B = {y, y,..., y m }. Låt F = B A vara mägde av alla fuktioer A B. Låt F j = (B \ {y j } A F vara mägde av alla fuktioer A : B \ {y j }, dvs. alla fuktioer f F så att f (x y j för alla x A. Detta iebär att mägde av surjektioer är F \ j= F j. Nu är F j F j... F jk mägde (B \ {y j, y j,... y jk } A av alla fuktioer A B som ite får ågot av värdea y j,..., y jk. Om j <... < j k så är F j F j... F jk = ( k m. Eftersom idexe j <... < j k ka väljas på ( k olika sätt så ka vi med hjälp av iklusios-exklusiospricipe dra slutsatse att atalet surjektioer: A B är ( ( m ( ( k+ k m = k k= ( ( r r m. r Observera att då m < så fis det iga surjektioer: A B så att r=0 ( r ( r r m = 0 då < m, vilket kaske ite är helt uppebart. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober / 45 r=0

11 Hur måga delmägder av e mägd med m elemet fis det? Ett sätt att besvara dea fråga är följade: Om A är e mägd med m elemet så bestämmer varje delmägd B A e fuktio f B : A {0, } så att f B (x = då x B och f B (x = 0 då x / B. På motsvarade sätt bestämmer vare fuktio f : A {0, } e delmägd B f A geom defiitioe B f = { x A : f (x = }. Def fis alltså e bijektio frå potesmägde P(A till mägde {0, } A av alla fuktioer: A {0, }. Därför är atalet delmägder i A om A iehåller m elemet. P(A = {0, } A = A = m, G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45 Multiomialtal ( =,,..., k!!!... k! = k. (,,..., k är atalet sätt på vilka e mägd med elemet ka delas i k disjukta delmägder med,,... och k elemet. (,,..., k är atalet sätt på vilka ma ka orda föremål av typ y, av typ y och så vidare, då = k och föremål av samma typ ite ka skiljas åt. Om A är e mägd med elemet och B = {y,..., y k } är e mägd med k elemet och,,..., k är icke-egativa tal så att k = så då är (,,..., k atalet fuktioer f : A B så att { x A : f (x = y j } = j. Om 0 och k så är (x x k = k = j 0 (,,..., k x... x k k. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45 Ett exempel (a Fyra kort ur e ormal kortlek med 5 kort placeras i e rad. På hur måga sätt ka detta göras om alla kort i rade skall ha samma färg? (b Fyra kort ur e ormal kortlek med 5 kort placeras i e rad. På hur måga sätt ka detta göras om rade skall iehålla exakt e kekt? (a Färge ka väljas på 4 olika sätt och seda skall ma göra ett ordat val av 4 kort blad och detta ka göras på 0 olika sätt så atalet alterativ blir sammalagt 4 0 = (b Det fis 4 olika kektar att välja på och de ka placeras på 4 olika ställe, så sammalagt ger detta 6 olika alterativ. Seda skall ma göra ett ordat val av de återståede 48 korte och detta ka göras på olika sätt så det sammalagda atalet alterativ blir = G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45 Ett ordigsproblem 8 persoer har delats i i tre lika stora grupper. Alla 8 persoer skall u i tur och ordig utföra ett uppdrag (tex. lösa e uppgift i diskret matematik och villkoret är att vid varje tidpukt skall skilladera mella atale persoer i varje grupp som reda utfört uppdraget till sia absolutbelopp vara högst. På hur måga sätt ka ordigsföljde då väljas (är gruppidelig är give? Ett aat sätt att formulera problemet är att ma bildar 6 grupper, som alla iehåller exakt e medlem frå var och e av de ursprugliga gruppera, och seda sätter ma dessa midre grupper och medlemmara i dem i ordigsföljd. Eller så att medlemmara i de urspruliga gruppera sätts i ordigsföljd och persoera med samma ordigsummer bildar e grupp som seda i si tur ordas. Medlemmara i de tre ursprugliga gruppera ka ordas på 6! 6! 6! olika sätt och med hjälp av dessa ordigar utses medlemmar till de midre gruppera som i si tur ka ordas var och e på! olika sätt så att det sammalagd atalet alterativ blir 6! 6! 6! (! 6 = G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober / 45

12 På hur måga sätt ka ma placera m idetiska bollar i idetiska lådor? Låt A(m, vara detta atal. Eftersom vi ka placera m 0 bollar i låda på bara ett sätt så har vi A(m, = då m 0. Om m = 0 förblir alla lådor tomma och det ger bara ett alterativ, dvs. A(0, = för alla. Atag u att m och. Låt k vara atalet bollar i de låda (eller de lådor som iehåller mist bollar. Olika värde på k ger upphov till olika fördeligar på bollara i lådora. Fördelige av bollara i lådora ka u göras så att vi först sätter k bollar i varje låda och seda sätter de återståede m k bollara i de lådor som ka iehålla flera ä k bollar. Detta ka göras på A(m k, olika sätt. Eftersom vi måste ha m k 0, dvs. k m, så får vi m A(m, = A(m k,. k=0 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober / 45

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 04 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Mängder och logik Relationer

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter? Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt

Läs mer

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider... Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

Funktionsteori Datorlaboration 1

Funktionsteori Datorlaboration 1 Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

Föreläsning F3 Patrik Eriksson 2000

Föreläsning F3 Patrik Eriksson 2000 Föreläsig F Patrik riksso 000 Y/D trasformatio Det fis ytterligare ett par koppligar som är värda att käa till och kua hatera, ite mist är ma har att göra med trefasät. Dessa kallas stjärkopplig respektive

Läs mer

Inklusion och exklusion Dennie G 2003

Inklusion och exklusion Dennie G 2003 Ilusio - Exlusio Ilusio och exlusio Deie G 23 Proble: Tio ä lägger ifrå sig sia hattar vid ett besö på e restaurag. På hur åga sätt a alla äe läa restaurage ed fel hatt. Detta proble a lösas ed ägdläras

Läs mer

Artificiell intelligens Probabilistisk logik

Artificiell intelligens Probabilistisk logik Probabilistiska resoemag Artificiell itelliges Probabilistisk logik Are Jösso HCS/IDA Osäkerhet Grudläggade saolikhetslära Stokastiska variabler Bayes teorem Bayesiaska ätverk Kostruktio Iferes Osäkerhet

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23 1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner. Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Kombinatorik. Torbjörn Tambour 21 mars 2015

Kombinatorik. Torbjörn Tambour 21 mars 2015 Kombiatori Torbjör Tambour mars 05 Kombiatori är de del av matematie som sysslar med frågor av type På hur måga sätt a ma? Några gasa typisa exempel är följade: På hur måga olia sätt a åtta persoer bilda

Läs mer

Bertrands postulat. Kjell Elfström

Bertrands postulat. Kjell Elfström F r å g a L u d o m m a t e m a t i k Matematikcetrum Matematik NF Bertrads ostulat Kjell Elfström Bertrads ostulat är satse, som säger, att om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2.

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x) Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell

Läs mer

a utsöndring b upptagning c matspjälkning d cirkulation

a utsöndring b upptagning c matspjälkning d cirkulation I levade varelser bryts stora och sammasatta molekyler ed till små och ekla molekyler. Vad kallas dea process? S02_01 a utsödrig b upptagig c matspjälkig d cirkulatio S042009 Kalle hade ifluesa. Ha spelade

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för

Läs mer

Allmänna avtalsvillkor för konsument

Allmänna avtalsvillkor för konsument Godkäare 7.2 Kudakuta Godkät Kommuikatio Distributio Kudservice Kommuikatio, deltagade och samråd Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras av fjärrvärme Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg

Läs mer

Lösningsförslag 081106

Lösningsförslag 081106 Lösigsförslag 86 Uppgift Trädslag: kvalitativ, omialskala (diskret) Diameter: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Höjd: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Ålder: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Trädslag:

Läs mer

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst

Läs mer

Familje- juridik Här är dina rättigheter. Bostad& fastighet. Sambo eller gift? Sambo eller gift? Privata Affärers serie om. Del 3

Familje- juridik Här är dina rättigheter. Bostad& fastighet. Sambo eller gift? Sambo eller gift? Privata Affärers serie om. Del 3 Äkteskap& samboförhållade Huvudregel eligt sambolage är att bostad och bohag, som skaffats för Är i ekoomiskt jämställda, det vill säga har ugefär lika stora skulder eller tillgågar, har det kaske ite

Läs mer

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()

Läs mer

MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I

MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 2 oktober 2013 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A409 Grundkurs i diskret matematikappendix, del I 2 oktober

Läs mer

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe Databasdesig Förstudie, behovsaalys ER-modellerig Kravspecifikatio För att formulera e kravspecifikatio: Idetifiera avädare Studera existerade system Vad

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

ESBILAC. mjölkersättning för hundvalpar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com

ESBILAC. mjölkersättning för hundvalpar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com ESBILAC mjölkersättig för hudvalpar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd valp är självklart att dia tike och få i sig mammas mjölk. Modersmjölke iehåller allt som de små behöver i form av ärigsäme,

Läs mer

Leica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers

Leica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers Leica Lio Noggraa, självavvägade pukt- och lijelasers Etablera, starta, klart! Med Leica Lio är alltig lodat och perfekt apassat Leica Lios projekterar lijer eller pukter med millimeterprecisio och låter

Läs mer

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på?

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på? SveTys Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2 Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2008 SveTys, Uta Schulz, Reibek 3 Iledig När ma gör affärer i Tysklad eller

Läs mer

Operativsystem - Baklås

Operativsystem - Baklås Operativsystem - Baklås Mats Björkma 2017-02-01 Lärademål Vad är baklås? Villkor för baklås Strategier för att hatera baklås Operativsystem, Mats Björkma, MDH 2 Defiitio av baklås (boke 6.2) A set of processes

Läs mer

( ) ( ) Kap. 5.5-7. Kolligativa egenskaper + fasjämvikter för 2-komponentsystem 5B.2/5.5 Kolligativa egenskaper R T

( ) ( ) Kap. 5.5-7. Kolligativa egenskaper + fasjämvikter för 2-komponentsystem 5B.2/5.5 Kolligativa egenskaper R T Ka. 5.5-7. Kolligativa egeskaer + fasjämvikter för 2-komoetsystem 5.2/5.5 Kolligativa egeskaer Kolligativa egeskaer: Egeskaer som edast beror å atalet artiklar som lösts Förutsättig: utsädda lösigar, lösta

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder;

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder; MKB till detaljpla Förbifart Stockholm Hälsoeffekter av tuelluft Studier idikerar att oöskade korttidseffekter, blad aat ökat atal iflammatiosmarkörer, börjar uppstå vid e expoerig som motsvaras av tuelluft

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK Versio 9 december 4 Fel i lösigara mottages tacksamt till mattsso@math.kth.se. Notera att lösigara på vissa ställe utyttjar adra,

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

Applikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering.

Applikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering. Aktiverig mobil app 1 Aktiverig mobil app Aktiverig mobil app aväds för att koppla e eskild avädare till Visma Agdas mobilapplikatio. Applikatioe ka edast avädas av eskilda avädare med förtroederapporterig.

Läs mer

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II Stickprov MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig del II G Gripeberg Aalto-uiversitetet 4 februari 04 Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G Gripeberg

Läs mer

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}: CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal

Läs mer

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3 Kuskapsbaserade system, tetame 2000-03-0 Istitutioe för tekik Tetame i Kuskapsbaserade system, 5p, Data 3 Datum: 2000-03-0 Tid: 8.00-3.00 Lärare: Potus Bergste, 3365 Hjälpmedel: Miiräkare Uppgiftera ska

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Liöpigs uiversitet Matematisa istitutioe Matemati och tillämpad matemati Kursod: TATA4 Provod: TEN Iga hjälpmedel är tillåta. Tetame i Evariabelaalys 4-4-3 l 4 9 Lösigara sall vara fullstädiga, välmotiverade,

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

Datastrukturer och algoritmer

Datastrukturer och algoritmer Iehåll Föreläsig 6 Asymtotisk aalys usammafattig experimetell aalys uasymtotisk aalys Lite matte Aalysera pseudokode O-otatio ostrikt o Okulärbesiktig 2 Mäta tidsåtgåge uhur ska vi mäta tidsåtgåge? Experimetell

Läs mer

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling Systemplaeri VT Föreläsi F6: Mote Carlo Iehåll:. Repetitio av ekel sampli 2. Sampli av elmarkader 3. Multi-areamodelle 4. Räka exempel Repetitio: Ekel sampli Mål: Få fram E[X] Defiitio av E[X]: EX [ ]

Läs mer

Återanvändning. Två mekanismer. Nedärvning av egenskaper (inheritance) Objekt komposition

Återanvändning. Två mekanismer. Nedärvning av egenskaper (inheritance) Objekt komposition Iheritace Återavädig Två mekaismer Nedärvig av egeskaper (iheritace) Objekt kompositio A A +a +b B B Iheritace Återavädig geom att skapa subklasser kallas ofta white box reuse Ekelt att aväda Relatioe

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt Lektio 3 Kära Bidigseergi och assdefekt Några begre och beteckigar Nuklid Nukleo Isotoer Isobarer Masstal A Atouer Z E ato ed ett bestät atal rotoer och eutroer. Beteckas ofta A ed skrivsättet Z Xx där

Läs mer

Universitetet: ER-diagram e-namn

Universitetet: ER-diagram e-namn Databaser Desig och programmerig Fortsättig på relatiosmodelle: Normaliserig fuktioella beroede ormalformer iformatiosbevarade relatiosschemauppdelig Varför ormalisera? Metod att skydda oss frå dum desig

Läs mer

KMR. mjölkersättning för kattungar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com

KMR. mjölkersättning för kattungar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com KMR mjölkersättig för kattugar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd kattuge är självklart att dia mammas mjölk. För e yfödd kattuge är det framför allt viktigt att få i sig mammas mjölk de två första

Läs mer

Systemdesign fortsättningskurs

Systemdesign fortsättningskurs Systemdesig fortsättigskurs Orgaisatio Föreläsare Potus Boström Assistet? Tider mådagar och tisdagar kl. 8-10 Börjar 3.9 och slutar 16.10 Rum B3040 Orgaisatio Iga föreläsigar 24.9, 25.9, 1.10 och 2.10

Läs mer

Inledande kombinatorik LCB 2001

Inledande kombinatorik LCB 2001 Iledade kombiatorik LCB 2001 Ersätter Grimaldi 1.1 1.4, 3.1 (delvis) 1 Additios- och multiplikatiospricipera Kombiatorik hadlar om koste att räka atalet av saker och tig. Hur måga gåger geomlöpes e viss

Läs mer

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A)

Läs mer

2009-11-20. Prognoser

2009-11-20. Prognoser 29--2 Progoser Progoser i idsserier: Gissa e framida värde i idsserie killad geemo progoser i regressio: De framida värde illhör ie daaområde. fe med e progosmodell är a göra progos, ie a förklara de hisoriska

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 JOHAN ASPLUND Iehåll Egevärde, egevektorer och egerum 2 Diagoaliserig 3 Uppgifter 2 5:4-5a) 2 Extrauppgift frå dugga 2 52:8 4 52:3 4 Extrauppgift frå teta 4 Egevärde, egevektorer

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig,

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning...

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning... Iehåll Grafräkare och diskret matematik...1 Vad hadlar diskret matematik om?...1 Permutatioer och kombiatioer...3 Något om heltalsräkig...4 Modulusoperator...4 Faktoriserig i primfaktorer...5 Talföljder...7

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P( Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

Universitetet: ER-diagram e-namn

Universitetet: ER-diagram e-namn Databaser Desig och programmerig Fortsättig på relatiosmodelle: Normaliserig fuktioella beroede ormalformer iformatiosbevarade relatiosschemauppdelig Varför ormalisera? Metod att skydda oss frå dum desig

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

i de fall de existerar. Om gränsvärdet ifråga inte skulle existera, ange i så fall detta med motivering.

i de fall de existerar. Om gränsvärdet ifråga inte skulle existera, ange i så fall detta med motivering. Kap 9. 9.5, 9.8 9.9, 6.5. Talföljd, mootoa talföljder, koverges, serier, koverges, geometriska serier, itegralkriterium, p serier, jämförelsekriterier, absolut koverges, altererade serier, potesserie,

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level

Läs mer

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer?

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer? Datastrukturer och algoritmer Föreläsig 2 Aalys av Algoritmer Aalys av algoritmer Vad ka aalyseras? - Exekverigstid - Miesåtgåg - Implemetatioskomplexitet - Förstålighet - Korrekthet - - 29 30 Varför aalysera

Läs mer

tullinge FLEMINGSBERG TULLINGE Kommunens avsikter för Tullinge som helhet

tullinge FLEMINGSBERG TULLINGE Kommunens avsikter för Tullinge som helhet tullige VILLASTAD r be e tri Tulligesjö e äg v gs FLEMINGSBERG Ka TRÄDGÅRDSSTAD Nib ble väg e PARKHEM 10 BERG Tullige är e attraktiv plats i Stockholmsregioe att bo och bygga på. Tullige är också de del

Läs mer

Markanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25

Markanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25 TJÄNSTSKRIVLS Hadläggare atum Äredebeteckig Johaa Kidqvist -05- KS /05 50 Kommufullmäktige Markavisigsavtal för och försäljig av fastighete Gesälle 5 Förslag till beslut Kommufullmäktige godkäer förslag

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl TEN HF9 Tetame i Matematik, HF9, Fredag september, kl. 8.. Udervisade lärare: Fredrik ergholm, Elias Said, Joas Steholm Eamiator: rmi Halilovic Hjälpmedel: Edast utdelat formelblad miiräkare är ite tillåte

Läs mer

ICKE KONVENTIONELLT AVFALL

ICKE KONVENTIONELLT AVFALL ICKE KONVENTIONELLT AVFALL Avfall Biologiskt avfall Cytostatikaavfall Geetiskt modifierade mikroorgaismer Läkemedelsavfall Kemiskt avfall Radioaktivt avfall Skärade/stickade avfall Smittförade avfall Sida

Läs mer

Översikt av ouppklarade fall av dödligt våld i Skåne under tiden 1985-07-01 och framåt i tiden.

Översikt av ouppklarade fall av dödligt våld i Skåne under tiden 1985-07-01 och framåt i tiden. Översikt av ouppklarade fall av dödligt våld i Skåe uder tide 1985-07-01 och framåt i tide. OBSERVERA att översikte grudar sig på e iveterig, som ite är klar! Atalet ärede och urval av ärede ka komma att

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.

Läs mer

Innehållsförteckning Tabeller och polynom

Innehållsförteckning Tabeller och polynom Iehållsförteckig Tabeller och polyom -Utsigal och seebeckkoefficieter för termoelemet B, E, J, K, N, R, S, T eligt IEC 60584 (1995). 10:2 -Utsigal för termoelemet W3Re/W25Re och W5Re/W26Re eligt ASTM 988

Läs mer

Samtal med Karl-Erik Nilsson

Samtal med Karl-Erik Nilsson Samtal med Karl-Erik Nilsso,er Ert av Svesk Tidskrifts redaktörer, Rolf. Ertglud, itejuar här Karl-Erik Nilsso, ar kaslichej på TCO och TCO:s represetat ed i litagarfodsutredige. er e t or så å g. ). r

Läs mer