Introduktion till statistik för statsvetare

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Introduktion till statistik för statsvetare"

Transkript

1 "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011

2 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma fördelig, så gäller ˆµ = X ärmar sig µ ju fler observatioer som tas Observera att detta äve gäller uder svagare villkor. Stora tales lag är därför e mycket avädbar lag (sats). Me de hjälper oss ite att bestämma hur stort vi behöver för att vara tillräckligt ära. Me vad är tillräckligt ära?

3 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma fördelig, så gäller ˆµ = X ärmar sig µ ju fler observatioer som tas Observera att detta äve gäller uder svagare villkor. Stora tales lag är därför e mycket avädbar lag (sats). Me de hjälper oss ite att bestämma hur stort vi behöver för att vara tillräckligt ära. Me vad är tillräckligt ära?

4 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma fördelig, så gäller ˆµ = X ärmar sig µ ju fler observatioer som tas Observera att detta äve gäller uder svagare villkor. Stora tales lag är därför e mycket avädbar lag (sats). Me de hjälper oss ite att bestämma hur stort vi behöver för att vara tillräckligt ära. Me vad är tillräckligt ära?

5 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma fördelig, så gäller ˆµ = X ärmar sig µ ju fler observatioer som tas Observera att detta äve gäller uder svagare villkor. Stora tales lag är därför e mycket avädbar lag (sats). Me de hjälper oss ite att bestämma hur stort vi behöver för att vara tillräckligt ära. Me vad är tillräckligt ära?

6 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag (forts) Iget speciellt atagade om fördelige görs varför vi äve har ˆσ 2 = 1 (X i X ) 2 ärmar sig σ 2 ju fler observatioer som tas ty om X i :a är oberoede så är äve X 2 i :a det. Me det står (X i X ) 2 och X i X :a är ite oberoede! Hur ser ma att de ite är oberoede? Hur ser ma att det ädock fugerar?

7 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag (forts) Iget speciellt atagade om fördelige görs varför vi äve har ˆσ 2 = 1 (X i X ) 2 ärmar sig σ 2 ju fler observatioer som tas ty om X i :a är oberoede så är äve X 2 i :a det. Me det står (X i X ) 2 och X i X :a är ite oberoede! Hur ser ma att de ite är oberoede? Hur ser ma att det ädock fugerar?

8 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag (forts) Iget speciellt atagade om fördelige görs varför vi äve har ˆσ 2 = 1 (X i X ) 2 ärmar sig σ 2 ju fler observatioer som tas ty om X i :a är oberoede så är äve X 2 i :a det. Me det står (X i X ) 2 och X i X :a är ite oberoede! Hur ser ma att de ite är oberoede? Hur ser ma att det ädock fugerar?

9 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag (forts) Iget speciellt atagade om fördelige görs varför vi äve har ˆσ 2 = 1 (X i X ) 2 ärmar sig σ 2 ju fler observatioer som tas ty om X i :a är oberoede så är äve X 2 i :a det. Me det står (X i X ) 2 och X i X :a är ite oberoede! Hur ser ma att de ite är oberoede? Hur ser ma att det ädock fugerar?

10 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s

11 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s

12 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s

13 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s

14 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s

15 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s

16 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s

17 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s

18 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio Begreppet tillräckligt ära bör således utyttja sig av stadardiserade variabler X i X S Vårt ärhetsbegrepp ka (och skall) vara att de flesta mätigar ligger ära det förvätade värdet µ = E (X ). Detta begrepp skall vi basera på ett saolikhetsuttalade. Mer kokret skall vi säga att vi är 1 α ära om P (a < µ < b) = 1 α Först varför 1 α och ite α? Detta har göra med att α har e speciell betydelse i testteori så svaret kommer seare.

19 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio Begreppet tillräckligt ära bör således utyttja sig av stadardiserade variabler X i X S Vårt ärhetsbegrepp ka (och skall) vara att de flesta mätigar ligger ära det förvätade värdet µ = E (X ). Detta begrepp skall vi basera på ett saolikhetsuttalade. Mer kokret skall vi säga att vi är 1 α ära om P (a < µ < b) = 1 α Först varför 1 α och ite α? Detta har göra med att α har e speciell betydelse i testteori så svaret kommer seare.

20 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio Begreppet tillräckligt ära bör således utyttja sig av stadardiserade variabler X i X S Vårt ärhetsbegrepp ka (och skall) vara att de flesta mätigar ligger ära det förvätade värdet µ = E (X ). Detta begrepp skall vi basera på ett saolikhetsuttalade. Mer kokret skall vi säga att vi är 1 α ära om P (a < µ < b) = 1 α Först varför 1 α och ite α? Detta har göra med att α har e speciell betydelse i testteori så svaret kommer seare.

21 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio Begreppet tillräckligt ära bör således utyttja sig av stadardiserade variabler X i X S Vårt ärhetsbegrepp ka (och skall) vara att de flesta mätigar ligger ära det förvätade värdet µ = E (X ). Detta begrepp skall vi basera på ett saolikhetsuttalade. Mer kokret skall vi säga att vi är 1 α ära om P (a < µ < b) = 1 α Först varför 1 α och ite α? Detta har göra med att α har e speciell betydelse i testteori så svaret kommer seare.

22 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio Begreppet tillräckligt ära bör således utyttja sig av stadardiserade variabler X i X S Vårt ärhetsbegrepp ka (och skall) vara att de flesta mätigar ligger ära det förvätade värdet µ = E (X ). Detta begrepp skall vi basera på ett saolikhetsuttalade. Mer kokret skall vi säga att vi är 1 α ära om P (a < µ < b) = 1 α Först varför 1 α och ite α? Detta har göra med att α har e speciell betydelse i testteori så svaret kommer seare.

23 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio Begreppet tillräckligt ära bör således utyttja sig av stadardiserade variabler X i X S Vårt ärhetsbegrepp ka (och skall) vara att de flesta mätigar ligger ära det förvätade värdet µ = E (X ). Detta begrepp skall vi basera på ett saolikhetsuttalade. Mer kokret skall vi säga att vi är 1 α ära om P (a < µ < b) = 1 α Först varför 1 α och ite α? Detta har göra med att α har e speciell betydelse i testteori så svaret kommer seare.

24 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio (forts) För det adra vart tog våra mätigar X 1, X 2,..., X väge? Svaret är att de ligger i kostatera a och b som således ite är ågra kostater uta fuktioer Ett mer korrekt skrivsätt blir således P (a (X 1, X 2,..., X ) < µ < b (X 1, X 2,..., X )) = 1 α Så arbetsgåge blir: bestäm hur stort 1 α skall vara. Därefter bestäm fuktioer a och b så att vi får ett itervall som med saolikhete 1 α täcker det saa värdet µ. Om 1 α = 0.95, a = 2 och b = 3 så har vi att det saa me okäda värdet µ ligger mella 2 och 3 med saolikhete Simulera med WiStats

25 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio (forts) För det adra vart tog våra mätigar X 1, X 2,..., X väge? Svaret är att de ligger i kostatera a och b som således ite är ågra kostater uta fuktioer Ett mer korrekt skrivsätt blir således P (a (X 1, X 2,..., X ) < µ < b (X 1, X 2,..., X )) = 1 α Så arbetsgåge blir: bestäm hur stort 1 α skall vara. Därefter bestäm fuktioer a och b så att vi får ett itervall som med saolikhete 1 α täcker det saa värdet µ. Om 1 α = 0.95, a = 2 och b = 3 så har vi att det saa me okäda värdet µ ligger mella 2 och 3 med saolikhete Simulera med WiStats

26 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio (forts) För det adra vart tog våra mätigar X 1, X 2,..., X väge? Svaret är att de ligger i kostatera a och b som således ite är ågra kostater uta fuktioer Ett mer korrekt skrivsätt blir således P (a (X 1, X 2,..., X ) < µ < b (X 1, X 2,..., X )) = 1 α Så arbetsgåge blir: bestäm hur stort 1 α skall vara. Därefter bestäm fuktioer a och b så att vi får ett itervall som med saolikhete 1 α täcker det saa värdet µ. Om 1 α = 0.95, a = 2 och b = 3 så har vi att det saa me okäda värdet µ ligger mella 2 och 3 med saolikhete Simulera med WiStats

27 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio (forts) För det adra vart tog våra mätigar X 1, X 2,..., X väge? Svaret är att de ligger i kostatera a och b som således ite är ågra kostater uta fuktioer Ett mer korrekt skrivsätt blir således P (a (X 1, X 2,..., X ) < µ < b (X 1, X 2,..., X )) = 1 α Så arbetsgåge blir: bestäm hur stort 1 α skall vara. Därefter bestäm fuktioer a och b så att vi får ett itervall som med saolikhete 1 α täcker det saa värdet µ. Om 1 α = 0.95, a = 2 och b = 3 så har vi att det saa me okäda värdet µ ligger mella 2 och 3 med saolikhete Simulera med WiStats

28 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio (forts) För det adra vart tog våra mätigar X 1, X 2,..., X väge? Svaret är att de ligger i kostatera a och b som således ite är ågra kostater uta fuktioer Ett mer korrekt skrivsätt blir således P (a (X 1, X 2,..., X ) < µ < b (X 1, X 2,..., X )) = 1 α Så arbetsgåge blir: bestäm hur stort 1 α skall vara. Därefter bestäm fuktioer a och b så att vi får ett itervall som med saolikhete 1 α täcker det saa värdet µ. Om 1 α = 0.95, a = 2 och b = 3 så har vi att det saa me okäda värdet µ ligger mella 2 och 3 med saolikhete Simulera med WiStats

29 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio (forts) För det adra vart tog våra mätigar X 1, X 2,..., X väge? Svaret är att de ligger i kostatera a och b som således ite är ågra kostater uta fuktioer Ett mer korrekt skrivsätt blir således P (a (X 1, X 2,..., X ) < µ < b (X 1, X 2,..., X )) = 1 α Så arbetsgåge blir: bestäm hur stort 1 α skall vara. Därefter bestäm fuktioer a och b så att vi får ett itervall som med saolikhete 1 α täcker det saa värdet µ. Om 1 α = 0.95, a = 2 och b = 3 så har vi att det saa me okäda värdet µ ligger mella 2 och 3 med saolikhete Simulera med WiStats

30 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio De väsetliga fråga Så återstår de ite oväsetliga fråga Hur hittar ma a och b? Vars svar är att det ka bara göra frå fall till fall

31 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio De väsetliga fråga Så återstår de ite oväsetliga fråga Hur hittar ma a och b? Vars svar är att det ka bara göra frå fall till fall

32 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio De väsetliga fråga Så återstår de ite oväsetliga fråga Hur hittar ma a och b? Vars svar är att det ka bara göra frå fall till fall

33 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet Vi vet att X i N ( µ, σ 2) samt att slumpvariablera X i är oberoede varav följer X i N ( µ, σ 2) Me detta ger att (visa detta) X i µ σ 2 N (0, 1) Vi ka u sätta upp följade ekvatio ( ) P 1.96 < X i µ < 1.96 = 0.95 σ 2

34 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet Vi vet att X i N ( µ, σ 2) samt att slumpvariablera X i är oberoede varav följer X i N ( µ, σ 2) Me detta ger att (visa detta) X i µ σ 2 N (0, 1) Vi ka u sätta upp följade ekvatio ( ) P 1.96 < X i µ < 1.96 = 0.95 σ 2

35 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet Vi vet att X i N ( µ, σ 2) samt att slumpvariablera X i är oberoede varav följer X i N ( µ, σ 2) Me detta ger att (visa detta) X i µ σ 2 N (0, 1) Vi ka u sätta upp följade ekvatio ( ) P 1.96 < X i µ < 1.96 = 0.95 σ 2

36 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) I ett första steg omskrives dea till ( P 1.96σ < X i µ < 1.96σ ) = 0.95 Vi har u två olikheter 1.96σ < X i µ och X i µ < 1.96σ Byt plats mella µ och 1.96σ µ < X i σ och X i 1.96σ < µ

37 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) I ett första steg omskrives dea till ( P 1.96σ < X i µ < 1.96σ ) = 0.95 Vi har u två olikheter 1.96σ < X i µ och X i µ < 1.96σ Byt plats mella µ och 1.96σ µ < X i σ och X i 1.96σ < µ

38 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) I ett första steg omskrives dea till ( P 1.96σ < X i µ < 1.96σ ) = 0.95 Vi har u två olikheter 1.96σ < X i µ och X i µ < 1.96σ Byt plats mella µ och 1.96σ µ < X i σ och X i 1.96σ < µ

39 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Dividera med µ < 1 X i σ och 1 X i 1.96 σ < µ Sätt ihop ( P X 1.96 σ < µ < X σ σ ) = 0.95 Ett kofidesitervall för µ är σ kät och med kofidesgrad 95% ka u skrivas ( x 1.96 σ, x σ ) Tyvärr kräver detta itervall kuskap om σ.

40 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Dividera med µ < 1 X i σ och 1 X i 1.96 σ < µ Sätt ihop ( P X 1.96 σ < µ < X σ σ ) = 0.95 Ett kofidesitervall för µ är σ kät och med kofidesgrad 95% ka u skrivas ( x 1.96 σ, x σ ) Tyvärr kräver detta itervall kuskap om σ.

41 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Dividera med µ < 1 X i σ och 1 X i 1.96 σ < µ Sätt ihop ( P X 1.96 σ < µ < X σ σ ) = 0.95 Ett kofidesitervall för µ är σ kät och med kofidesgrad 95% ka u skrivas ( x 1.96 σ, x σ ) Tyvärr kräver detta itervall kuskap om σ.

42 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Dividera med µ < 1 X i σ och 1 X i 1.96 σ < µ Sätt ihop ( P X 1.96 σ < µ < X σ σ ) = 0.95 Ett kofidesitervall för µ är σ kät och med kofidesgrad 95% ka u skrivas ( x 1.96 σ, x σ ) Tyvärr kräver detta itervall kuskap om σ.

43 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Om vi ite har kuskap om σ (och det har vi sälla) så måste σ skattas och ersättas med sitt approximativa värde de observerade skattige s. Me i rimlighetes am måste dea extra approximatio ge upphov till ett bredare itervall. Det är också vad som häder. Vi får ite talet 1.96 uta ett större tal som beteckas med t ( 1). Observera att detta tal beror på atalet observatioer.

44 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Om vi ite har kuskap om σ (och det har vi sälla) så måste σ skattas och ersättas med sitt approximativa värde de observerade skattige s. Me i rimlighetes am måste dea extra approximatio ge upphov till ett bredare itervall. Det är också vad som häder. Vi får ite talet 1.96 uta ett större tal som beteckas med t ( 1). Observera att detta tal beror på atalet observatioer.

45 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Om vi ite har kuskap om σ (och det har vi sälla) så måste σ skattas och ersättas med sitt approximativa värde de observerade skattige s. Me i rimlighetes am måste dea extra approximatio ge upphov till ett bredare itervall. Det är också vad som häder. Vi får ite talet 1.96 uta ett större tal som beteckas med t ( 1). Observera att detta tal beror på atalet observatioer.

46 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Om vi ite har kuskap om σ (och det har vi sälla) så måste σ skattas och ersättas med sitt approximativa värde de observerade skattige s. Me i rimlighetes am måste dea extra approximatio ge upphov till ett bredare itervall. Det är också vad som häder. Vi får ite talet 1.96 uta ett större tal som beteckas med t ( 1). Observera att detta tal beror på atalet observatioer.

47 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Ett kofidesitervall för µ är σ okät och med kofidesgrad 95% ka u skrivas ( x t ( 1) s, x + t ( 1) s ) Diskutera rut t-fördelige

48 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Ett kofidesitervall för µ är σ okät och med kofidesgrad 95% ka u skrivas ( x t ( 1) s, x + t ( 1) s ) Diskutera rut t-fördelige

49 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Example För skogsområdet upmättes E köpare vill via ett 95 procetigt symmetriskt kofidesitervall beräka de största mägd timmer dee rimlige ka erhålla för att med hjälp av de övre gräse kua beräka de högsta acceptabla iköpskostade per volymsehet. Beräka ett sådat kofidesitervall.

50 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Solutio Vi har tidigare fuit att x = s = så ett 95%-igt kofidesitervall för µ är σ okät blir ( , ) som ger oss att varje ruta iehåller mella 9.14 och 14.6 m 3 skog. Så köpare räkar med att få högst 14.6 m 3 skog per ruta. Me äve skattige σ är behäftad med osäkerhet. Vi behöver därför ett kofidesitervall för σ.

51 Kofidesitervall för varias Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Me om σ är e okäd parameter så bör vi äve för dea kua skapa ett kofidesitervall. Hur ser ett sådat ut? Vi söker u ett itervall med utseedet P ( a < σ 2 < b ) = 0.95 Här måste både a och b vara större ä oll ty variase skattas med e summa av kvadrater. Skattige av σ 2 är µ är käd är S 2 = 1 (X i µ) 2

52 Kofidesitervall för varias Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Me om σ är e okäd parameter så bör vi äve för dea kua skapa ett kofidesitervall. Hur ser ett sådat ut? Vi söker u ett itervall med utseedet P ( a < σ 2 < b ) = 0.95 Här måste både a och b vara större ä oll ty variase skattas med e summa av kvadrater. Skattige av σ 2 är µ är käd är S 2 = 1 (X i µ) 2

53 Kofidesitervall för varias Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Me om σ är e okäd parameter så bör vi äve för dea kua skapa ett kofidesitervall. Hur ser ett sådat ut? Vi söker u ett itervall med utseedet P ( a < σ 2 < b ) = 0.95 Här måste både a och b vara större ä oll ty variase skattas med e summa av kvadrater. Skattige av σ 2 är µ är käd är S 2 = 1 (X i µ) 2

54 Kofidesitervall för varias Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Me om σ är e okäd parameter så bör vi äve för dea kua skapa ett kofidesitervall. Hur ser ett sådat ut? Vi söker u ett itervall med utseedet P ( a < σ 2 < b ) = 0.95 Här måste både a och b vara större ä oll ty variase skattas med e summa av kvadrater. Skattige av σ 2 är µ är käd är S 2 = 1 (X i µ) 2

55 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Betrakta u S 2 σ 2 = ( Xi µ Högerledet är e summa av kvadrerade N (0, 1)-variabler. Tidigare har kostaterats att e såda summa är χ 2 ()-fördelad. Därför är saolikhetsekvatioe P (a < S 2 ) < b = 0.95 σ 2 σ ) 2 meigsfull. Vi leds till att betrakta (diskutera χ och χ ) P (χ < S 2 ) σ 2 < χ = 0.95

56 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Betrakta u S 2 σ 2 = ( Xi µ Högerledet är e summa av kvadrerade N (0, 1)-variabler. Tidigare har kostaterats att e såda summa är χ 2 ()-fördelad. Därför är saolikhetsekvatioe P (a < S 2 ) < b = 0.95 σ 2 σ ) 2 meigsfull. Vi leds till att betrakta (diskutera χ och χ ) P (χ < S 2 ) σ 2 < χ = 0.95

57 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Betrakta u S 2 σ 2 = ( Xi µ Högerledet är e summa av kvadrerade N (0, 1)-variabler. Tidigare har kostaterats att e såda summa är χ 2 ()-fördelad. Därför är saolikhetsekvatioe P (a < S 2 ) < b = 0.95 σ 2 σ ) 2 meigsfull. Vi leds till att betrakta (diskutera χ och χ ) P (χ < S 2 ) σ 2 < χ = 0.95

58 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Vi löser u de två olikhetera med avseede på σ 2. Lösige blir χ < S 2 σ 2 och S 2 σ 2 < χ σ 2 < S 2 χ och S 2 χ < σ 2 varför ( S 2 P χ < σ 2 < S 2 ) χ 2 =

59 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Vi löser u de två olikhetera med avseede på σ 2. Lösige blir χ < S 2 σ 2 och S 2 σ 2 < χ σ 2 < S 2 χ och S 2 χ < σ 2 varför ( S 2 P χ < σ 2 < S 2 ) χ 2 =

60 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Vi löser u de två olikhetera med avseede på σ 2. Lösige blir χ < S 2 σ 2 och S 2 σ 2 < χ σ 2 < S 2 χ och S 2 χ < σ 2 varför ( S 2 P χ < σ 2 < S 2 ) χ 2 =

61 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Ett kofidesitervall för σ är µ är käd och med kofidesgrad 0.95 ka u skrivas ( ) S 2 S, 2 χ χ Tyvärr kräver dea lösig kuskap om µ.

62 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Ett kofidesitervall för σ är µ är käd och med kofidesgrad 0.95 ka u skrivas ( ) S 2 S, 2 χ χ Tyvärr kräver dea lösig kuskap om µ.

63 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Så om vi ite har kuskap om µ hur ser då itervallet ut? Ma ka visa att det räcker med e smärre korrigerig och erhåller: Ett kofidesitervall för σ är µ är okäd och med kofidesgrad 0.95 ka skrivas ( ) ( 1) S 2 ( 1) S χ 2, χ Där S 2 = 1 1 (X i X ) 2

64 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Så om vi ite har kuskap om µ hur ser då itervallet ut? Ma ka visa att det räcker med e smärre korrigerig och erhåller: Ett kofidesitervall för σ är µ är okäd och med kofidesgrad 0.95 ka skrivas ( ) ( 1) S 2 ( 1) S χ 2, χ Där S 2 = 1 1 (X i X ) 2

65 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Så om vi ite har kuskap om µ hur ser då itervallet ut? Ma ka visa att det räcker med e smärre korrigerig och erhåller: Ett kofidesitervall för σ är µ är okäd och med kofidesgrad 0.95 ka skrivas ( ) ( 1) S 2 ( 1) S χ 2, χ Där S 2 = 1 1 (X i X ) 2

66 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Så om vi ite har kuskap om µ hur ser då itervallet ut? Ma ka visa att det räcker med e smärre korrigerig och erhåller: Ett kofidesitervall för σ är µ är okäd och med kofidesgrad 0.95 ka skrivas ( ) ( 1) S 2 ( 1) S χ 2, χ Där S 2 = 1 1 (X i X ) 2

67 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Example (forts) För skogsområdet gällde att kofidesitervallet (9.14, 14.6) för det förvätade ihållet. För stadardavvikelse har vi itervallet ( ) ( 1) S 2 ( 1) S χ 2, χ vilket ger ( ) (49 1) (49 1) , = (8.3, 12.5)

68 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Köpare har därför e ä större osäkerhet ( , ) = (9.6, 14.4) eller ( , ) = (8.4, 15.6) Vilket av de tre framräkade tale, 14.1, 14.6 och 15.6, skall dee välja?

69 Åkerareal Åkerareal Frå SCBs statistikdatabas fier vi de totala åkerareale i Uppsala A-regio för e följd av år Bestäm e approximatio av geomsittlig aväda areal uder agive tid samt ge ett 95%-igt kofidesitervall. Vi skapar följade modell X i = åkerareal Uppsala A-regio år i i = 1981, 1985,..., 2007 med atagadet att X i N (µ, σ) (oberoedekravet dubiöst här).

70 Åkerareal Åkerareal Frå SCBs statistikdatabas fier vi de totala åkerareale i Uppsala A-regio för e följd av år Bestäm e approximatio av geomsittlig aväda areal uder agive tid samt ge ett 95%-igt kofidesitervall. Vi skapar följade modell X i = åkerareal Uppsala A-regio år i i = 1981, 1985,..., 2007 med atagadet att X i N (µ, σ) (oberoedekravet dubiöst här).

71 Åkerareal Åkerareal Frå SCBs statistikdatabas fier vi de totala åkerareale i Uppsala A-regio för e följd av år Bestäm e approximatio av geomsittlig aväda areal uder agive tid samt ge ett 95%-igt kofidesitervall. Vi skapar följade modell X i = åkerareal Uppsala A-regio år i i = 1981, 1985,..., 2007 med atagadet att X i N (µ, σ) (oberoedekravet dubiöst här).

72 Åkerareal Vi söker först e approximatio på µ och dea är självklar: x = = Variase igår ästa alltid så ret sletriamässigt beräkar vi äve dea: s = (observera att variase ite är käd) Ett 95%-igt kofidesitervall för µ med σ okät blir u ± Varav vi fier itervallet (74303, 76833) för åkerareal.

73 Åkerareal Vi söker först e approximatio på µ och dea är självklar: x = = Variase igår ästa alltid så ret sletriamässigt beräkar vi äve dea: s = (observera att variase ite är käd) Ett 95%-igt kofidesitervall för µ med σ okät blir u ± Varav vi fier itervallet (74303, 76833) för åkerareal.

74 Åkerareal Vi söker först e approximatio på µ och dea är självklar: x = = Variase igår ästa alltid så ret sletriamässigt beräkar vi äve dea: s = (observera att variase ite är käd) Ett 95%-igt kofidesitervall för µ med σ okät blir u ± Varav vi fier itervallet (74303, 76833) för åkerareal.

75 Åkerareal Vi söker först e approximatio på µ och dea är självklar: x = = Variase igår ästa alltid så ret sletriamässigt beräkar vi äve dea: s = (observera att variase ite är käd) Ett 95%-igt kofidesitervall för µ med σ okät blir u ± Varav vi fier itervallet (74303, 76833) för åkerareal.

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner. Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II Stickprov MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig del II G Gripeberg Aalto-uiversitetet 4 februari 04 Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G Gripeberg

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig,

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I Föreläsig 5 732G04 Surveymetodik 732G19 Utredigskuskap I Dages föreläsig Klusterurval Estegs klusterurval Tvåstegs klusterurval Klusterurval med PPS 2 Klusterurval De urvalsdesiger som diskuterats hittills

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010 Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3150 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 29 maj 2007 Lösig till tetame för kurse Log-lijära statistiska modeller 29 maj 2007 Uppgift 1 a Modelle uta ågra

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Istitutioe för matematisk statistisk Statistiska metoder, 5 poäg MSTA36 Peter Ato LÖSNINGSFÖRSLAG 005-10-6 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistiska metoder, 5 poäg

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23 1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1

Läs mer

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Statistisk försöksplaerig Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Skriftlig tetame 3,0 hp 51SF01 DTEIN14h 4,5 högskolepoäg TetamesKod: Tetamesdatum: 5 ovember 015 Tid: 9.00-13.00 Hjälpmedel: Miiräkare Totalt

Läs mer

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Formelblad Sannolikhetsteori 1 Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst

Läs mer

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ) Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

2 Intervallskattning Konfidensintervall för µ i normalfördelningen... 14

2 Intervallskattning Konfidensintervall för µ i normalfördelningen... 14 UTDRAG UR FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI PUNKT- OCH INTERVALLSKATTNINGAR SAMT HYPOTESTEST MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, Π; FMS 012 JOAKIM LÜBECK, MARS 2014 Iehåll 1 Puktskattigar

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för

Läs mer

Laboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar

Laboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-02 Laboratio 5: Kofidesitervall viktiga statistiska fördeligar Syfte I dea laboratio

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 13 februari 015 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160331, kl. 08.00 12.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,

Läs mer

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

Id: statistik.tex :48:29Z joa

Id: statistik.tex :48:29Z joa UTDRAG UR FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI PUNKT- OCH INTERVALLSKATTNINGAR SAMT HYPOTESTEST MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, È; FMS 012 JOAKIM LÜBECK, SEPTEMBER 2008 Iehåll 1 Puktskattigar

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Tetame TT091A KMASK14H 7,5 högskolepoäg Nam: (Ifylles av studet) Persoummer: (Ifylles av studet) Tetamesdatum: 2 jui 2015 Tid: 9:00-13:00 Hjälpmedel:

Läs mer

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter? Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

Tentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl

Tentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl Avdelige för atioalekoomi och Tetame i för STA A13, 1-10 poäg Deltetame II, 5p Lördag 9 jui 007 kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS65

SAMMANFATTNING TAMS65 SAMMANFATTNING TAMS65 Matematisk statistik, fortsättigskurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, VT 016 Seast reviderad: 016-06-01 Författare: Viktor Cheg Iehållsförteckig

Läs mer

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider... Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................

Läs mer

Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna

Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna UMEÅ UNIVERSITET Ititutioe för matematik tatitik Statitik för lärare, MSTA8 PA LÖSNINGSFÖRSLAG 004-0-8 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statitik för lärare, poäg Tillåta hjälpmedel:

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig och exempel, del II Stickprov Två yttiga fördeligar Estimerig G. Gripeberg 3 Kofidesitervall Aalto-uiversitetet 3 februari 05 4 Hypotesprövig

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x) Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås

Läs mer

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling Systemplaeri VT Föreläsi F6: Mote Carlo Iehåll:. Repetitio av ekel sampli 2. Sampli av elmarkader 3. Multi-areamodelle 4. Räka exempel Repetitio: Ekel sampli Mål: Få fram E[X] Defiitio av E[X]: EX [ ]

Läs mer

Så här kommer byggherren och entreprenören överens om energianvändningen

Så här kommer byggherren och entreprenören överens om energianvändningen Så här kommer byggherre och etrepreöre överes om eergiavädige Så här kommer byggherre och etrepreöre överes om eergiavädige Sveby står för Stadardisera och verifiera eergiprestada i byggader och är ett

Läs mer

Matematisk statistik

Matematisk statistik Tetame TEN, HF, 8 aug Kursod: HF Srivtid: 8:-: Lärare och examiator: Armi Halilovic Matematis statisti Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statisti ") och miiräare av vile typ som

Läs mer

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np.

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601 Valiga fördeligar Fördelig Vätevärde Varias Biomialfördelig, Bi (, p ) P (X = x) = ( x) p x (1 p)

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160928, kl. 14.00 18.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}: CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl TEN HF9 Tetame i Matematik, HF9, Fredag september, kl. 8.. Udervisade lärare: Fredrik ergholm, Elias Said, Joas Steholm Eamiator: rmi Halilovic Hjälpmedel: Edast utdelat formelblad miiräkare är ite tillåte

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 JOHAN ASPLUND Iehåll Egevärde, egevektorer och egerum 2 Diagoaliserig 3 Uppgifter 2 5:4-5a) 2 Extrauppgift frå dugga 2 52:8 4 52:3 4 Extrauppgift frå teta 4 Egevärde, egevektorer

Läs mer

Bertrands postulat. Kjell Elfström

Bertrands postulat. Kjell Elfström F r å g a L u d o m m a t e m a t i k Matematikcetrum Matematik NF Bertrads ostulat Kjell Elfström Bertrads ostulat är satse, som säger, att om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2.

Läs mer

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.

Läs mer

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor

Läs mer

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata Sesorer, effektorer och fysk Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Noggrahet och precso Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätgar är

Läs mer

E F. pn-övergång. Ferminivåns temperaturberoende i n-dopade halvledare. egen ledning. störledning

E F. pn-övergång. Ferminivåns temperaturberoende i n-dopade halvledare. egen ledning. störledning ÖVRGÅNG De eklaste halvledarkomoete är diode. Diode består av e doad och e doad del. Vid kotaktyta mella och doat område ustår ett ire elektriskt fält.g.a. att elektroer i ledigsbadet å sida diffuderar

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK Versio 9 december 4 Fel i lösigara mottages tacksamt till mattsso@math.kth.se. Notera att lösigara på vissa ställe utyttjar adra,

Läs mer

Tentamen i EG2050/2C1118 Systemplanering, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22

Tentamen i EG2050/2C1118 Systemplanering, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22 Tetame i EG2050/2C1118 Systemplaerig, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22 Tillåta hjälpmedel Vid dea tetame får följade hjälpmedel avädas: Miiräkare uta iformatio med akytig till kurse. E hadskrive, ekelsidig

Läs mer

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A)

Läs mer

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005 Dr 1345/01/2005 Föreskrift om publicerig av yckeltal för elätsverksamhete Utfärdad i Helsigfors de 2. december 2005 Eergimarkadsverket har med stöd av 3 kap. 12 3 mom. i elmarkadslage (386/1995) av de

Läs mer

Fouriertransformen. Faltning, filtrering och sampling

Fouriertransformen. Faltning, filtrering och sampling Faltig Fouriertrasforme Faltig, filtrerig och samplig Givet två sigaler f och g och deras respektive spektra f`, g`, hur bildar ma e tredje sigal såda att dess spektrum är lika med summa f` + g`. Lätt!

Läs mer

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 45 Orderkvatteter kabasystem grupp av materalstyrgsmetoder karakterseras av att behov av materal som uppstår hos e förbrukade ehet mer eller mdre

Läs mer

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning ydkraft Nät AB, Tekiskt Meddelade för Jordigsverktyg : Dimesioerig, kotroll och besiktig 2005-04-26 Författare NUT-050426-006 Krister Tykeso Affärsområde Dokumettyp Dokumetam Elkrafttekik Rapport 1(6)

Läs mer

Samtal med Karl-Erik Nilsson

Samtal med Karl-Erik Nilsson Samtal med Karl-Erik Nilsso,er Ert av Svesk Tidskrifts redaktörer, Rolf. Ertglud, itejuar här Karl-Erik Nilsso, ar kaslichej på TCO och TCO:s represetat ed i litagarfodsutredige. er e t or så å g. ). r

Läs mer

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta. KOD: Kurskod: PC106/PC145 Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 4/5 014 Hel- och halvfart VT14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare: Niklas Frasso

Läs mer

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer?

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer? Datastrukturer och algoritmer Föreläsig 2 Aalys av Algoritmer Aalys av algoritmer Vad ka aalyseras? - Exekverigstid - Miesåtgåg - Implemetatioskomplexitet - Förstålighet - Korrekthet - - 29 30 Varför aalysera

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata Sesorer och elektrok Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätresultat är behäftade med e vss osäkerhet

Läs mer

Statistik för ingenjörer 1MS008

Statistik för ingenjörer 1MS008 Statistik för igejörer MS8 Föreläsig Kursmål: För godkät betyg på kurse skall studete käa till ett flertal metoder och tekiker för visualiserig av datamaterial; kua geomföra ekla beräkigar av saolikheter;

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd

Läs mer

= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2

= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2 Ljär regresso aolkhet och statstk Regressosaalys VT 2009 Uwe.Mezel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Fgur: Mätpukter: x, y Ljär regresso - kalbrerg av e våg Modell för ljär regresso Modell: y α +

Läs mer

Några grundläggande begrepp och termer i statistikteorin

Några grundläggande begrepp och termer i statistikteorin Matematisk statistik för STS vt 004 004-05 - 03 Begt Rosé Några grudläggade begrepp och termer i statistikteori Om matematisk statistik Som tidigare ämts brukar matematisk statistik delas upp i huvudområdea

Läs mer

Funktionsteori Datorlaboration 1

Funktionsteori Datorlaboration 1 Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 5

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 5 Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsig 5 HYPOTESPRÖVNING (LLL Kap 11) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,

Läs mer